26 (1972-6). Около каждой вершины треугольника поставьте какое-нибудь число. Напишите возле каждой стороны этого треугольника число, равное сумме чисел, стоящих у её концов. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Почему равны все три полученные суммы?
27 (1972-6). В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной комнаты вышло 30, а из второй 40 человек, то людей в комнатах осталось поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?
28 (1972-6). Представьте себе, что Вы машинист. Машинист ведёт поезд из Москвы во Владивосток. В составе 64 вагона: 14 вагонов с мебелью, 30 вагонов с бурым углём и 20 вагонов с солью. Делаете 3 остановки по 15 минут. До первой остановки поезд шёл со скоростью 60 км/ч. Сколько лет машинисту?
29 (1972-7). Останкинская телебашня высотой 530 метров весит 30 000 тонн. Сколько весит точная модель этой башни высотой 53 см?
30 (1972-7). В погребе — 20 одинаковых банок с вареньем. В 8 банках клубничное варенье, в 7 — малиновое, в 5 — вишнёвое. Каково наибольшее число банок, которые можно в темноте вынести из погреба с уверенностью, что там осталось ещё хотя бы 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого?
31 (1972-7). Из всех прямоугольников одного и того же периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Докажите это.
32 (1972-8). Два друга стояли внизу около эскалатора метро. Им хотелось сосчитать количество ступенек эскалатора, находящихся между входом и выходом с него. Однако вести счёт движущимся ступенькам оказалось не так просто, и вскоре друзья запутались. Тогда они решили применить более надёжный метод: одновременно ступили на эскалатор, причём в то время, как один делал два шага, другой делал один шаг (через ступеньки никто не перескакивал). Чтобы дойти до верхнего конца эскалатора, тому из друзей, который шагал быстрее, пришлось сделать 28 шагов, другой же сделал всего 21 шаг. Сколько ступенек в эскалаторе (снизу доверху)?
33 (1972-9). Найдите наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом, а при умножении на 3 — кубом целого числа.
34 (1972-9). Расшифруйте равенство ** + *** = ****, если и сумма, и слагаемые — палиндромы: они одинаковы при чтении справа налево и слева направо.
35 (1972-9). Найдите два таких числа, чтобы их сумма, произведение и частное от деления первого из них на второе были равны.
36 (1972-10). На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, пришельцы всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал, что тот говорит, что абориген. Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?
37 (1972-10). Может ли конь попасть из левой нижней клетки шахматной доски в правую верхнюю, побывав при этом на каждой клетке один и только один раз?
38 (1972-10). Из всех людей, живших когда-либо на свете и живущих сейчас, количество людей, сделавших в течение всей своей жизни нечётное число рукопожатий, есть число чётное. Докажите это.
39 (1972-11). 9 одинаковых книг стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких книг — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна книга?
40 (1972-11). Я отпил треть стакана кофе и долил его молоком, потом я выпил четверть стакана и снова долил молоком, затем отпивал 1/5, 1/6 и 1/7 стакана, и каждый раз доливал его молоком. В другой раз я отпил 1/7 стакана кофе и долил его молоком, затем отпил 1/6 стакана и снова долил молоком, и так далее до 1/3 стакана. В какой раз я выпил больше кофе?
41 (1972-11). Почему чай или кофе остывают быстрее, если на них подуть?
42 (1972-11). Любую ли сумму из целого числа рублей, большего семи, можно уплатить без сдачи денежными билетами в 3 и 5 рублей?
43 (1972-12). Сложите из шести спичек четыре одинаковых равносторонних треугольника.
44 (1972-12). У треугольника, длины сторон которого — целые числа, длина одной стороны равна 5, а другой — 1. Чему равна длина третьей стороны?
45 (1973-1). Двое приятелей не виделись много лет. Встретившись, они разговорились, и один похвалился другому, что у него уже трое детей. «Сколько же им лет?»,— спросил второй. «Произведение их лет равно 36, а сумма — номеру вот этого трамвая». Посмотрев на номер трамвая, второй собеседник сказал, что этих данных недостаточно. «А старший сын у меня рыжий»,— «Тогда я знаю, сколько им лет»,— сказал его приятель и точно назвал возраст каждого ребёнка. Сколько же лет было каждому ребёнку?
46 (1973-1). На очередном занятии математического кружка каждый школьник получил 8 карточек с числами. Требовалось разложить карточки в две строчки (по 4 карточки в строчку) так, чтобы суммы чисел строчек были равны между собой. Один из играющих разложил карточки в одну строчку так, как показано на рисунке, и немедленно заявил комиссии, что задача не имеет решения. Почему ученик, не занимаясь подробным подсчётом, сделал такое заявление? И как всё-таки решить задачу?
47 (1973-1). Расшифруйте пример на сложение.
48 (1973-2). На прямой через равные промежутки поставили 10 точек, они заняли отрезок длины l. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, они заняли отрезок длины L. Во сколько раз L больше, чем l?
49 (1973-2). По шоссе со скоростью 100 км/ч движутся машины. При этом расстояние между машинами, идущими друг за другом, около 15 м. Можно ли потребовать, чтобы на более узком участке для обеспечения безопасности скорость машин понижалась до 15 км/ч?
50 (1973-3). Электропоезд длиной 18 м проезжает мимо километрового столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной 36 м?
51 (1973-3). У двух продавцов было по 30 яблок у каждого. Первый продавал по 2 яблока за 1 рубль, второй — по 3 яблока за 1 рубль. Во время торговли одного вызвали домой, и он попросил второго продавца продать его яблоки. Оставшиеся яблоки второй продавец продавал по 2 рубля за 5 яблок. Если бы они продавали порознь, то получили бы 10 + 15 = 25 рублей, а продавая 5 яблок по 2 рубля, они получили лишь 24 рубля. Куда делся рубль?
52 (1973-4). Когда наливают сок из жестяной банки через отверстие в крышке, то делают два отверстия. Только тогда идёт хорошая струя. Почему?
53 (1973-5). Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью должен ехать другой автомобиль, чтобы проходить каждый километр на 2 минуты быстрее? На 1 минуту быстрее?
54 (1973-7). У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?» «В моей корзине половина числа рыб, находящихся в корзине у него, да ещё 10»,— ответил первый. «А у меня в корзине столько рыб, сколько у него, да ещё 20»,— сказал второй. Сколько же рыб у первого, а сколько у второго?
55 (1973-8). Катер проходит путь от A до B вверх по течению за 4 часа 30 минут, а путь от B до A (вниз по течению) — за 3 часа. Сколько времени будет плыть от B до A плот?
56 (1973-9). Если машинист не может сразу сдвинуть с места тяжёлый состав, он даёт сначала задний ход, а затем медленно трогает состав с места. В чём тут дело?
57 (1974-1). У ювелира во время шлифовки раскололся бриллиант. Его стоимость снизилась на 32%. Какая часть бриллианта откололась, если стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса?
58 (1974-3). На лугу растёт трава. Пустили на луг 9 коров, они опустошили луг за 4 дня. Если бы на луг пустили 8 коров, то они съели бы всю траву за 6 дней. Сколько коров могут кормиться на лугу всё время, пока растёт трава?
59 (1974-5). Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какими должны они быть, чтобы периметр прямоугольника равнялся его площади?
60 (1974-7). Имеется кусок бумаги. Его можно разорвать на 8 или на 12 частей, каждый новый кусок также можно разорвать на 8 или на 12 частей или оставить целым, и так далее. а) Можно ли получить таким образом 60 кусков? б)Докажите, что можно получить любое число кусков, большее 60.
61 (1974-8). Восьмиклассники построены в шеренгу. Перед каждым из них стоит семиклассник, который ниже его ростом. Докажите, что если шеренги семиклассников и восьмиклассников построить по росту, то по-прежнему каждый восьмиклассник будет выше стоящего перед ним семиклассника.
62 (1974-8). Человек, войдя с одного конца длинного коридора, включил лампу, а пройдя коридор, выключил её. Нарисуйте схему проводки, чтобы лампочку можно было включать и выключать из обоих концов коридора.
63 (1974-9). Директор завода ежедневно приезжает на станцию к 8 часам утра. К этому же времени на станцию приезжает машина и отвозит директора на завод, расположенный в посёлке за несколько километров от станции. Однажды директор приехал на станцию в 7 утра и пошёл по шоссе по направлению к заводу. Вскоре он встретил свою машину, сел в неё и приехал на завод на 12 минут раньше, чем обычно. Когда директор встретил машину?
64 (1974-11). Перед вами изображение куба на плоскости. Проведите, не отрывая карандаш от бумаги, одну непрерывную линию, которая пересекла бы по одному разу все 16 отрезков, из которых составлена фигура. Где должна начинаться эта линия и где кончаться?
65 (1974-12). Из 36 спичек построили треугольники, квадраты и домики (как на рисунке) — всего 10 фигур. Найдите количества фигур каждого вида.
66 (1975-1). Старый пират, умирая, завещал наследнику найти зарытый на острове клад по трём ориентирам — часовне, дубу и вязу — следующим образом: сначала пройти от часовни до дуба и от него направо под прямым углом на такое же расстояние, воткнуть на этом месте палку; затем пройти от часовни до вяза и от него налево под прямым углом на такое же расстояние, воткнуть в этом месте ещё одну палку; в середине отрезка, соединяющего палки, зарыт клад. Приплыв на остров, наследник увидел, что дуб и вяз на месте, а от часовни не осталось и следа. Помогите ему отыскать клад.
67 (1975-1). 100 фишек стоят в ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли расположить фишки в обратном порядке?
68 (1975-2). В городе Васюки каждая семья занимала отдельный дом. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, ранее занятый другой семьей. В ознаменование этого дня Васюксовет решил покрасить все дома в красный, синий или жёлтый цвета, причём так, чтобы ни для какой семьи цвета старого и нового домов не совпадали. Удастся ли Васюксовету это сделать?
69 (1975-2). Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 60 км за три часа? Скорость пешехода равна 5 км/ч, скорость мотоцикла (с грузом или без груза) — 50 км/ч.
70 (1975-5). Ира, Таня, Коля и Леня собирали грибы. Таня собрала больше всех, Ира — не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?
71 (1975-5). Сумма 1n + 2n + 3n + 4n делится на 10 тогда и только тогда, когда n не делится на 4. Докажите это.
72 (1975-12). Сколько надо взять слагаемых суммы
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...,
чтобы получилось трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр?
73 (1976-1). В игре «Кто первым назовёт число 100» участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному любое целое число от 1 до 9, которое ему понравится, и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9 и называет новую сумму. И так далее. Выигрывает тот, кто первым назовёт число 100. В этой игре начинающий всегда проигрывает, если только его противник откроет один секрет. В чём же секрет, который обеспечивает второму игроку победу?
74 (1976-2). И сказал Кащей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром явишься пред мои очи, задумаю три цифры — a, b, c. Назовёшь ты мне три числа — x, у и z. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно ax + by + cz. Тогда отгадай, какие a, b, c я задумал. Не отгадаешь — голову с плеч долой». Запечалился Иван-Царевич, пошёл думу думать. Надо бы ему помочь.
75 (1976-4). На шахматной доске на поле f8 стоит ферзь. Двое по очереди передвигают ферзя либо на несколько клеток вниз, либо на несколько клеток влево, либо на несколько клеток влево–вниз по диагонали. Выигрывает тот, кто загонит ферзя в левый нижний угол — на поле a1. Известно, что в этой игре начинающий, если он играет правильно, всегда выигрывает, как бы хорошо ни играл его партнёр. Как же должен играть начинающий, чтобы выиграть? Сколько ходов ему понадобится?
А кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его противник, если вначале ферзь стоит на поле e8?
76 (1976-4). Расположите на плоскости одиннадцать одинаковых квадратов, не налегающих друг на друга, так, чтобы выполнялось следующее условие: как бы ни покрасить эти квадраты тремя красками, обязательно какие-нибудь два квадрата одного цвета будут иметь общий участок границы.
77 (1976-5). Про три точки A, B и C известно, что для любой четвёртой точки M плоскости расстояние от A до M не превосходит хотя бы одного из расстояний BM или CM. Докажите, что точка A лежит на отрезке BC.
78 (1976-6). В трёх одинаковых коробках лежат по два шарика: в одной — два чёрных, в другой — два белых, в третьей — белый и чёрный. На каждой коробке есть табличка: на одной изображены два белых шарика, на другой — два чёрных, на третьей — белый и чёрный. Содержимое ни одной из коробок не соответствует её табличке. Как, вынув только один шарик только из одной коробки, переставить таблички на коробках в соответствии с их содержимым?
79 (1976-7). В некотором царстве каждые двое — либо друзья, либо враги. Каждый человек может в любой момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в государстве могут стать друзьями.
80 (1976-7). Для каких простых чисел p числа 2p + 1 и 4p + 1 тоже простые?
81 (1976-7). Пароход плывёт из одного города в другой и обратно. Одинаковое ли время затратит пароход, если в одном случае города находятся на берегу реки, а в другом — на таком же расстоянии на берегу озера? Скорость парохода относительно воды постоянна.
82 (1976-8). Группа из 21 мальчика получила 200 орехов. Докажите, что как бы ребята ни разделили эти орехи, найдутся двое, которым достанется поровну орехов (может быть, ни одного ореха).
83 (1976-8). Найдите все выпуклые многоугольники, обладающие следующим свойством: для любой точки внутренности многоугольника основание перпендикуляра, опущенного из неё на любую сторону, лежит внутри этой стороны.<
84 (1976-9). Простые числа имеют только два различных делителя — единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?
85 (1976-10). Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед началом турнира.
— Обратите внимание,— заметил черноволосый,— один из нас седой, другой рыжий, а третий черноволосый. Но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии. Забавно, не правда ли?
— Ты прав,— подтвердил мастер.
Какого цвета волосы у кандидата в мастера?
86 (1976-11). Поп и Балда играют на «щелбаны» в следующую игру. Они, не показывая друг другу, пишут каждый последовательность из 1976 знаков «плюс» или «минус». После этого выписывают знаки по кругу: первый знак из набора Попа, первый знак из набора Балды, второй знак из набора Попа, второй знак из набора Балды и так далее. Балда даёт Попу столько щелбанов, в скольких местах плюс находится рядом с минусом. Как должен играть Поп, чтобы в наихудшем для себя случае получить поменьше щелбанов?
87 (1976-12). В магазине есть на равную сумму конфеты стоимостью 2 рубля за килограмм и конфеты стоимостью 3 рубля за килограмм. По какой цене надо продавать смесь из этих конфет?
88 (1976-12). Дана доска 19×19 клеток. На каждой клетке поставлено по шашке. Можно ли переставить шашки так, чтобы каждая шашка оказалась на соседней клетке (по горизонтали или по вертикали, но не по диагонали)?
89 (1977-1). В чемпионате мира среди профессионалов по крестикам-ноликам на бесконечной клетчатой доске участвовали 10 игроков. Проигравший партию, потеряв надежду на главный приз, уезжал с чемпионата. Какое максимальное число участников могло выиграть по две партии?
90 (1977-1). Когда одного любителя головоломок спросили, отчего он так успешно решает задачи, то в ответ было написано Н : Е = 0, СТАРЕЮ СТАРЕЮ СТАРЕЮ... Расшифруйте эту запись.
91 (1977-2). Два чудака строят на бесконечном листе бумаги в клетку ломаную, прибавляя по очереди с любой стороны одно ребро длины 1, причём проходить дважды по одному отрезку запрещено. Чудак, не имеющий возможности сделать ход, проигрывает. Докажите, что первый чудак может не проиграть, а второй чудак не может проиграть.
92 (1977-2). Некоторое число как при делении на 1976, так и при делении на 1977 даёт в остатке 76. Какой остаток даст это число при делении на 39?
93 (1977-2). На самом левом поле клетчатой полосы 1×1977 лежат три пуговицы. Саша и Люся играют в следующую игру: каждый из них может перенести любую пуговицу (но только одну за ход) вправо на любое число полей. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Докажите, что Люся, начиная, может обеспечить себе победу.
94 (1977-3). Найдите наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 соответственно.
95 (1977-6). Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в восемь раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли ещё два ученика, и оказалось, что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?
96 (1977-6). Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.
97 (1977-8). Однажды грибов я набрал!— еле дотащил. Но тащил-то почти одну воду — в свежих грибах её 90%. А когда грибы высушили, они стали на 15 кг легче — теперь в них было 60% воды. Сколько грибов я принёс из леса?
98 (1977-9). Почему ножницы, которыми пользуются портные, делают с короткими ручками и длинными лезвиями, а ножницы, которыми режут металлические листы, например, жесть, делают с длинными ручками и короткими лезвиями?
99 (1978-3). Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?
100 (1978-4). Имеется несколько кувшинов, среди которых есть два кувшина разной формы, а также два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы, и разного цвета.
101 (1978-5). Десять человек пришли в гости в галошах. Уходили они по одному, и каждый надевал произвольную пару галош, в которую он мог влезть (то есть не меньшего размера, чем его собственная). Какое наибольшее число людей могло не суметь надеть галоши?
102 (1978-5). Разрезав фигуру, изображённую на рисунке, на две части, сложите из них квадрат так, чтобы цветные квадратики были симметричны относительно всех осей симметрии квадрата.
103 (1978-6). Две девочки играют в такую игру: по очереди отрывают лепестки у ромашки. За один ход можно оторвать либо один лепесток, либо два соседних (с самого начала) лепестка. Выигрывает девочка, сорвавшая последний лепесток. Докажите, что вторая девочка всегда может выиграть (у ромашки больше двух лепестков).
104 (1978-7). На сторонах прямоугольного треугольника площади S как на диаметрах построены полуокружности. Чему равна площадь заштрихованной фигуры? (Для самых маленьких сообщаем теорему Пифагора: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a2 + b2 = c2, где a и b — длины катетов, то есть взаимно перпендикулярных сторон треугольника, c — длина гипотенузы, то есть самой длинной стороны прямоугольного треугольника).
105 (1978-8). Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила —
Всё это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять тёмно-синих глаз
Рассматривали мир привычно...
Но станет всё совсем обычным,
Когда поймёте наш рассказ.
106 (1978-10). В магазин привезли платья трёх разных фасонов и трёх разных расцветок. Продавщица хочет выбрать для витрины три платья так, чтобы были представлены все фасоны и все расцветки. Всегда ли она сможет это сделать?
107 (1978-11). а) Если к произвольному числу с нечётным количеством цифр приписать его ещё раз, то полученное число нацело разделится на одиннадцать. Докажите это.
б) Если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим число, кратное одиннадцати. Докажите это.
108 (1979-2). Сумма никаких двенадцати последовательных чисел натурального ряда не делится на 4. Докажите это.
109 (1979-2). Изображённую на рисунке фигуру разрежьте на две конгруэнтные части.
110 (1979-3). В языке некоторого племени любое сочетание восьми различных букв И, Г, Р, Ё, Т, Н, О, К является словом, и других слов нет. Вождь племени, узнав о существовании словарей, поручил своему придворному лингвисту составить аналогичный словарь из всех слов племени. Лингвист выписал буквы в порядке И, Г, Р, Ё, Т, Н, О, К и стал упорядочивать слова в соответствии с этим алфавитом. Он дошёл до слова ЁКОНТРГИ. Какое слово он должен написать следующим? А после слова ИЁНГТКОР? После слова ИГКОНТЁР? Какое слово будет последним?
111 (1979-3). В комнате стоят табуретки и стулья. У каждой табуретки 3 ноги, у каждого стула 4 ноги. Когда на всех табуретках и стульях сидят люди, в комнате всего 39 ног. Сколько стульев и сколько табуреток в комнате?
112 (1979-3). Два человека бегут по ступеням эскалатора метро. Первый бежит быстрее второго. Кто насчитает больше ступеней?
113 (1979-4). Двое мальчиков играют в такую игру: они по очереди ставят ладьи на шахматную доску. Выигрывает тот, при ходе которого все клетки доски оказываются побитыми поставленными фигурами. Кто выигрывает в этой игре, если оба стараются играть наилучшим образом?
114 (1979-6). Длина одной стороны треугольника равна 6,31 м, длина другой стороны — 0,82 м. Чему равна длина третьей стороны, если она выражается целым числом метров?
115 (1979-6). На окружности расположены одна красная точка и 1977 белых. Рассматриваем всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких среди них будет больше: с красной вершиной или без неё?
116 (1979-6). Пусть a — произвольное 1979-значное число, делящееся на 9. Сумму цифр этого числа обозначим буквой A. Сумму цифр числа A обозначим буквой B. Сумму цифр числа B — буквой C. Найдите число C.
117 (1979-6). Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут двенадцать кур за двенадцать дней?
118 (1979-7). Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трёх подряд идущих клетках, равнялась пятнадцати.
119 (1979-7). Девять одинаковых книг стоят меньше десяти рублей, а десять таких же книг стоят больше одиннадцати рублей. Сколько стоит одна книга?
120 (1979-7). Майя использовали очень интересный способ записи чисел: на рисунке показано, как майя записывали числа 1, 5, 17, 137. Поймите, почему эту систему счисления считают двадцатеричной, и запишите в ней число 1979.
121 (1979-8). Разность двух квадратов натуральных чисел оканчивается цифрой 2. На какие цифры оканчиваются уменьшаемое и вычитаемое, если последняя цифра уменьшаемого больше последней цифры вычитаемого?
122 (1979-8). Коля отправился за грибами где-то между восемью и девятью часами утра, в момент, когда стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня; при этом стрелки его часов были направлены в прямо противоположные стороны. Сколько длилась прогулка Коли?
123 (1979-9). Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает полтора часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь занимает у неё тридцать минут. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу, и из школы она идёт пешком?
124 (1979-10). Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить несколько непересекающихся кругов, сумма радиусов которых равна 1979?
125 (1979-11). Сумма всех натуральных чисел от 1 до любого числа, оканчивающегося на 5, сама делится на 5. Докажите это.
126 (1979-11). Существует ли треугольник, длины высот которого равны 1, 2 и 3 соответственно?
127 (1979-12). Ученик 6 класса Петя Иванов придумал две новые теоремы:
а) если натуральное число делится на 27, то и сумма его цифр делится на 27;
б) если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27.
Сможет ли Петя доказать эти теоремы?
128 (1980-1). Имеется 5 листов бумаги. Некоторые из них порвали на 5 кусков каждый. Некоторые из полученных кусков снова порвали на 5 частей, и так далее. Можно ли, продолжая эту операцию, получить 1980 листочков?
129 (1980-1). Имеется некоторое количество гирь, массы которых не превосходят 10 кг. При любом разбиении всех гирь на две кучки масса хотя бы одной из кучек не превосходит 10 кг. Найдите наибольшую возможную общую массу всех гирь.
Предупреждение.
I способ.
II способ.
III способ.
IV способ.