«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 1974 года

1. У ювелира во время шлифовки раскололся бриллиант. Его стоимость снизилась на 32%. Какая часть бриллианта откололась, если стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса?

Ответ

2. Почему набегающие на берег волны «скручиваются»?

Ответ

3. Сколько вулканов насчитывается на планете, если в искомом числе десятков на 3 больше, чем сотен, а единиц на 4 меньше десятков, причём полусумма всех цифр числа равна цифре десятков?

4. В стакан с сахаром и в стакан без сахара налили чай из одного чайника. В каком стакане чай холоднее?

Ответ

5. В равенстве (Р + О + М + А)² = РОМА определите число РОМА.

Ответ

6. Металлический стержень уравновешен в горизонтальном положении на узкой опоре. Опора находится на середине стержня. Сохранится ли равновесие, если одну половину согнуть пополам?

Ответ

Задачи второго номера 1974 года

1. Группа школьников покупала различные альбомы. Каждый ученик покупал альбомы одного типа, причём столько, сколько стоил один альбом этого типа. Все ребята расплачивались монетами по 10 копеек, каждый получил сдачу, и все сдачи были разные. Какую сдачу могли получать школьники и какое наибольшее число школьников могло быть в этой группе?

2. По реке плывёт вёсельная лодка и рядом с ней щепка. Что легче для гребца: обогнать щепку на несколько метров или на столько же отстать от неё?

Ответ

3. В следующем примере цифры заменены буквами:

ДЕТАЛЬ + ДЕТАЛЬ = ИЗДЕЛИЕ.

(Одинаковые — одинаковыми, разные — разными.) Восстановите запись.

Ответ

4. На разных берегах ручья стоят взрослый человек и ребёнок. У каждого в руках по доске, чуть более короткой, чем расстояние между берегами. Могут ли они поменяться местами?

Ответ

5. Найдите число, сумма цифр которого равна разности между числом 328 и самим числом.

Ответ

6. Вагон освещён шестью лампочками, соединёнными последовательно. На каждой из них написано: 110 вольт, 25 ватт. Одна из лампочек перегорела, и её заменили другой, на которой написано: 110 вольт, 40 ватт. Будет ли эта лампочка гореть ярче остальных?

Задачи третьего номера 1974 года

1. На противоположных берегах реки напротив друг друга растут две пальмы. Высота одной из них 10 метров, другой — 15 метров; расстояние между основаниями пальм равно 25 метрам. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую на поверхность реки между пальмами. Птицы бросились к рыбе и достигли её одновременно, пролетев одно и то же расстояние. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы выплыла рыба?

2. На улице идёт дождь. В каком случае ведро, стоящее в кузове грузовика, быстрее наполнится: когда грузовик стоит или когда он движется?

3. На лугу растёт трава. Пустили на луг 9 коров, они опустошили луг за 4 дня. Если бы на луг пустили 8 коров, то они съели бы всю траву за 6 дней. Сколько коров могут кормиться на лугу всё время, пока растёт трава?

4. На чашечных весах уравновешена свеча. Нарушится ли равновесие, когда свечу зажгут? Если нарушится, то в какую сторону?

5. Чтобы определить неизвестное сопротивление, имея в своем распоряжении амперметр и вольтметр, один раз собрали схему, показанную на левом рисунке, другой раз — на правом. Измерили напряжение и силу тока. В каком случае полученное значение сопротивления ближе к истинному?

Задачи четвёртого номера 1974 года

1. Грузы в город A предполагается доставлять по реке до некоторого пункта B, а затем автомашиной по шоссе из B в A. Цена перевозки по реке вдвое меньше, чем по шоссе. Как провести шоссе AB, чтобы затраты на перевозки были наименьшими?

2. В сосуде с водой удерживают под самой поверхностью воды два целлулоидных шарика одинаковых масс, но разных диаметров. Если отпустить шарики, какой из них подскочит выше? (Силы сопротивления не учитывайте.)

3. Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Четырёхзначный номер машины студенты не запомнили, но каждый из них приметил по одной его особенности:

• две первые цифры числа были одинаковы;
• две последние цифры совпадали;
• число являлось точным квадратом.

4. Имеется металлический заряженный шарик на изолирующей ручке. Каким образом можно заряд этого шарика полностью передать электроскопу?

5. На площади установлено 5 громкоговорителей, разбитых на две группы: в одной 2, в другой — 3 аппарата. Расстояние между группами равно 50 м. Где надо встать, чтобы звуки обеих групп были слышны с одинаковой силой?

Задачи пятого номера 1974 года

1. Из цилиндрического бревна надо вырезать прямоугольный брус наибольшего объёма. Какой формы должно быть сечение этого бруса?

2. Из прямоугольного металлического листа надо согнуть жёлоб с сечением в форме равнобочной трапеции. Какой ширины должны быть боковые полосы и под каким углом надо их отогнуть, чтобы сечение жёлоба имело наибольшую площадь?

3. Почему керосиновая лампа гаснет, если подуть сверху в её стеклянный колпак?

Ответ

4. Научитесь определять массу тела при помощи неправильных чашечных весов и правильных гирь.

Ответ

5. Почему вода в проруби не поднимается до верхней кромки льда?

Указание

6. Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какими должны они быть, чтобы периметр прямоугольника равнялся его площади?

Ответ

Задачи шестого номера 1974 года

1. Почему, когда вы наливаете воду в бутылку через воронку, вода в воронке иногда «застревает»?

2. Человек сидит на стуле и откидывается назад так, что едва сохраняет равновесие. Что произойдёт, если человек будет поднимать ноги, выпрямив колени?

3. На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится 5 раз в день с 7 до 19 часов». И, действительно, в первый раз почтальон подходит к ящику в 7 часов утра, а в последний — в 7 часов вечера. Через какие интервалы времени вынимают письма из ящика?

4. При ревизии торговых книг магазина одна из записей в книге оказалась залитой чернилами. Невозможно было разобрать число проданных метров, но было ясно, что число это целое. Было также ясно, что вырученная сумма не превосходит 1000 рублей. Мог ли ревизор восстановить запись?

5. Найдите двузначное число, равное сумме числа десятков и квадрата числа единиц.

Задачи седьмого номера 1974 года

1. Магическим квадратом называем квадратную таблицу целых положительных чисел, в которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце, в каждой строке и на диагонали, равны. Саму эту сумму называем суммой магического квадрата. Докажите, что сумма магического квадрата размером 3×3 всегда делится на 3.

2. В вашем распоряжении «прямой» магнит и иголка. Как определить, намагничена ли иголка?

3. Саша и Оля по очереди ставят крестики и нолики на поля шахматной доски размером 9×9. Первый ход делает Оля в центр доски. Саша ходит в одну из 8 свободных клеток, которые окружают Олин ход, и так далее. Ходить можно только в свободные клетки. Выигрывает тот, кто поставит свой знак в одну из четырёх угловых клеток (или же противнику некуда ходить). Докажите, что Оля всегда может выиграть.

4. Два шарика одинаковой массы — свинцовый и стальной — падают с одинаковой высоты на песок. Какой из них больше нагреется?

5. Имеется кусок бумаги. Его можно разорвать на 8 или на 12 частей, каждый новый кусок также можно разорвать на 8 или на 12 частей или оставить целым, и так далее. а) Можно ли получить таким образом 60 кусков? б) Докажите, что можно получить любое число кусков, большее 60.

Задачи восьмого номера 1974 года

1. Восьмиклассники построены в шеренгу. Перед каждым из них стоит семиклассник, который ниже его ростом. Доказать, что если шеренги семиклассников и восьмиклассников построить по росту, то по-прежнему каждый восьмиклассник будет выше стоящего перед ним семиклассника.

2. Мальчик поймал в реке рыбу. Ему захотелось тут же хотя бы приблизительно определить массу этой рыбы. Как он может это сделать, если у него есть ровная прочная удочка, а в своих запасах он нашёл буханку хлеба массой 1 кг?

3. Число n² + n + 1 не делится на 1974 ни при каком целом n. Докажите это.

4. Человек, войдя с одного конца длинного коридора, включил лампу, а пройдя коридор, выключил её. Нарисуйте схему проводки, чтобы лампочку можно было включать и выключать из обоих концов коридора.

5. Дана шахматная доска размером 100×100 клеток. Две клетки называем соседними, если у них есть общая сторона. В клетках этой доски стоят целые числа, причём числа, стоящие в соседних клетках, отличаются не более чем на 20. Докажите, что на доске есть три одинаковых числа.

6. Имеется алюминиевый шарик объёмом 20 кубических сантиметров и массой 18 граммов. Как определить, сплошной он или внутри него есть воздушная полость? Можно ли выяснить, находится эта полость в центре шара или около его поверхности?

Задачи девятого номера 1974 года

1. В классе учится менее 50 школьников. За контрольную работу ¹/₇ учеников получила пятёрки, ¹/₃ — четвёрки, ¹/₂ — тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

2. Имеется тело массы m и несколько гирь одинаковых масс m, сделанных из различных материалов. Какой гирей надо уравновесить тело на весах в вакууме, чтобы равновесие не нарушилось в воздухе?

3. Некоторое число возвели в третью степень. Цифры полученного трёхзначного числа записали в обратном порядке; получилось простое число. Найдите исходное число.

4. Свет проходит расстояние от Солнца до Земли приблизительно за 8 минут. Если бы свет распространялся мгновенно, увидели бы мы на Земле восход Солнца на 8 минут раньше?

5. Директор завода ежедневно приезжает на станцию к 8 часам утра. К этому же времени на станцию приезжает машина и отвозит директора на завод, расположенный в посёлке за несколько километров от станции. Однажды директор приехал на станцию в 7 утра и пошёл по шоссе по направлению к заводу. Вскоре он встретил свою машину, сел в неё и приехал на завод на 12 минут раньше, чем обычно. Когда директор встретил машину?

Задачи десятого номера 1974 года

1. У школьника была некоторая сумма денег монетами достоинством в 15 коп. и 20 коп., причём двадцатикопеечных монет было больше, чем пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил, отдав две монеты за билет в кино. Половину оставшихся денег он отдал за обед, оплатив его тремя монетами. Сколько монет каждого достоинства было у школьника вначале?

2. Расстояние от Земли до Солнца приблизительно в 387 раз больше расстояния от Земли до Луны. Оцените, пользуясь этими данными, во сколько раз объём Солнца больше объёма Луны.

3. В ветреный день нам становится теплее, если мы «спрячемся» от ветра. Одинаковы ли показания термометра на ветру и «за углом»?

4. «Московское время — 19 часов»,— услышали мы, сидя за ужином в один из последних дней пребывания в доме отдыха. А на моих часах было без пяти семь. Но часы бегут вперёд, и я рассчитал, что к моменту моего отъезда покажут точное время отхода поезда. Часы моей соседки Тамары показывали без четырёх минут семь. Её часы убегали вперёд на 3 минуты в сутки больше, чем мои. Тамара должна была уехать тем же поездом, но ровно на сутки раньше меня. Её часы к моменту отъезда тоже показали точное время. На сколько минут в сутки спешат мои часы?

Задачи одиннадцатого номера 1974 года

1. Володя написал на доске:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 21,

причём вместо каждой из звёздочек он поставил плюс или минус. Саша переправил несколько знаков на противоположные, и в результате вместо числа 21 получил 20. Можно ли утверждать, что по крайней мере один из мальчиков допустил ошибку при подсчёте результата?

2. Температура пламени свечи не меньше 1600 градусов Цельсия. Температура плавления железа — 1400 градусов Цельсия. Почему гвоздь не плавится на свече, а если внести в пламя на жаростойкой ручке железную кнопку, то она расплавится?

3. Восстановите запись умножения.

4. Будет ли вращаться в пустоте сегнерово колесо? (Похожая на паука вертушка, которую вы видите здесь на картинке, и есть сегнерово колесо.)

5. Найдите пять чисел, зная, что их суммы по три соответственно равны 3, 5, 6, 9, 10, 10, 12, 14, 16 и 17.

6. Перед вами изображение куба на плоскости. Проведите, не отрывая карандаш от бумаги, одну непрерывную линию, которая пересекла бы по одному разу все 16 отрезков, из которых составлена фигура. Где должна начинаться эта линия и где кончаться?

Задачи двенадцатого номера 1974 года

1. В примере КИС + КСИ = ИСК каждой букве соответствует своя цифра. Определите, чему равен «иск».

2. Если внимательно следить за уровнем жидкости в банке с консервированными томатами, то можно заметить, что при открывании банки уровень жидкости понижается. Как это объяснить?

3. Из 36 спичек построили треугольники, квадраты и домики (как на рисунке) — всего 10 фигур. Найдите количества фигур каждого вида.

4. В сосуд налито две жидкости — вода и машинное масло. В нижнюю жидкость с помощью верёвочки погружают кубик. Как определить величину выталкивающей силы, действующей на кубик?

5. В одном из рассказов Джека Лондона есть такие строки: «Честное слово, в такой холод нельзя разъезжать,— сказал Джон Месснер.— Если сейчас не все 80 ниже нуля, то уж 79 верных». (Температура указана по Фаренгейту.)
Известный полярный путешественник В. Стефанссон в книге «Гостеприимная Арктика» пишет: «Если при 45 градусах ниже нуля снять перчатку и держать руку перед глазами, то можно видеть, что с каждого пальца поднимается струйка пара...» (Здесь температура указана по Цельсию).
Какая из упомянутых температур действительно ниже, если известно, что в термометре Фаренгейта за 0° принята температура смеси снега и нашатыря, равная приблизительно –18° Цельсия, а температура кипения воды равна 212° Фаренгейта?