«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 1975 года

1. Старый пират, умирая, завещал наследнику найти зарытый на острове клад по трём ориентирам — часовне, дубу и вязу — следующим образом: сначала пройти от часовни до дуба и от него направо под прямым углом на такое же расстояние, воткнуть на этом месте палку; затем пройти от часовни до вяза и от него налево под прямым углом на такое же расстояние, воткнуть в этом месте ещё одну палку; в середине отрезка, соединяющего палки, зарыт клад. Приплыв на остров, наследник увидел, что дуб и вяз на месте, а от часовни не осталось и следа. Помогите ему отыскать клад.

2. Когда число ЗАКАЗ умножили на 99 999, получили число, три последние цифры которого — 705. Какое число обозначено словом «ЗАКАЗ»? (Одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные — разные.)

Ответ

3. 100 фишек стоят в ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли расположить фишки в обратном порядке?

Ответ   Решение

4. Барон Мюнхгаузен рассказывает про следующий случай, произошедший с ним. Он разбежался, чтобы прыгнуть через болото. Во время прыжка он заметил, что не допрыгнет до противоположного берега. Тогда, прямо в воздухе, он повернул обратно и возвратился на берег, с которого прыгал. Возможно ли это?

Ответ

5. Хулиган Вася отпилил от шахматной доски два противоположных угловых квадрата размером 3×3 клетки. Можно ли остаток обойти конём и вернуться на исходное поле?

Ответ   Решение

Задачи второго номера 1975 года

1. В городе Васюки каждая семья занимала отдельный дом. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, ранее занятый другой семьей. В ознаменование этого дня Васюксовет решил покрасить все дома в красный, синий или жёлтый цвета, причём так, чтобы ни для какой семьи цвета старого и нового домов не совпадали. Удастся ли Васюксовету это сделать?

2. Вы с приятелем спускаетесь в глубокую-глубокую шахту. У вас в руках рычажные весы, на которых уравновешен груз в 1 кг. У вашего приятеля — пружинные весы, на которых висит груз массой тоже 1 кг. Изменятся ли показания весов, когда вы спуститесь очень глубоко?

Ответ

3. По кругу выписаны 1974 цифры. Если прочесть их по часовой стрелке, начиная с некоторого места, то получится число, делящееся на 27. Доказать, что если его прочесть с любого другого места, то тоже получится число, делящееся на 27.

4. Вам надо подогреть на спиртовке воду. Для этого предлагаются два стакана: один из толстого стекла, другой из очень тонкого. Какой стакан вы выберете?

Ответ

5. Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 60 км за три часа? Скорость пешехода равна 5 км/ч, скорость мотоцикла (с грузом или без груза) — 50 км/ч.

Задачи третьего номера 1975 года

1. Ковбой Джо зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов (в одном долларе 100 центов), на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?

Ответ

2. Когда мы смотрим из окна движущегося вагона, то видим, что все предметы за окном «бегут» навстречу поезду; чем дальше предмет, тем медленнее он «бежит». Почему?

Указание   Решение

3. Двое часов начали и кончили бить одновременно. Первые бьют через каждые две секунды, вторые — через каждые 3 секунды. Всего было насчитано 13 ударов (слившиеся,удары воспринимались как один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

Ответ

4. Если сделать из бумаги коробочку, налить в неё воды и подогревать воду на пламени свечи, то можно довести воду до кипения, а бумага гореть не будет. Почему?

Ответ

5. В мешке содержится 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов с гирями в 50 г и 200 г (по одной штуке) распределить всю крупу по двум пакетам: в один — 2 кг, в другой — 7 кг. При этом разрешено произвести только три взвешивания.

Указание   Решение

Задачи четвёртого номера 1975 года

1. Четыре юных филателиста Митя, Толя, Саша и Петя купили почтовые марки. Каждый из них покупал марки только одной страны, причём двое из них купили советские марки, один — болгарские, а один — чешские. Митя и Толя купили марки двух разных стран. Марки разных стран купили и Митя с Сашей, Петя с Сашей, Петя с Митей и Толя с Сашей. Кроме этого известно, что Митя купил не болгарские марки. Определите, марки каких стран купил каждый из них.

2. Почему при прыжках в воду надо стараться «войти» в воду вертикально?

3. Пусть x — сумма кубов десяти последовательных натуральных чисел, а y — сумма этих же натуральных чисел. Доказать, что x² — y² делится на 300.

4. Два сосуда одинаковых объёмов доверху наполнены тёплой водой. Чтобы остудить воду, один сосуд ставят на лёд, а на другой сосуд сверху кладут большой кусок льда. В каком сосуде вода остынет скорее?

5. Я моложе своего деда во столько же раз, во сколько старше своей сестры. Сколько мне лет, если моей сестре ещё нет семи лет, а мне вместе с дедом уже 84 года?

Задачи пятого номера 1975 года

1. Ира, Таня, Коля и Леня собирали грибы. Таня собрала больше всех, Ира — не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

2. В сосуд, в котором находится 50 г льда при температуре –10°С, наливают 100 г воды, температура которой +10°С. Какой станет температура воды в сосуде? Теплоёмкостью и теплопроводностью сосуда пренебречь.

3. Сумма 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ делится на 10 тогда и только тогда, когда n не делится на 4.

4. На столе лежит гвоздь с маленькой тяжёлой шляпкой. Как надо подвигать к нему подковообразный магнит, чтобы шляпка и острие прилипли к магниту одновременно?

5. Сколькими способами, продвигаясь от буквы к букве, можно прочитать слово «Треугольник»? На рисунке показан один из маршрутов. Сможете ли вы сосчитать все возможные пути?

Задачи шестого номера 1975 года

1. Квадрат с вырезанной «четвертушкой» легко разрезать на 4 конгруэнтные части. Сможете разрезать на 5 конгруэнтных частей квадрат, если эта четвертушка не вырезана?

2. Два приятеля — высокий и низенький — расходятся с одинаковыми скоростями от фонаря в разные стороны. Чья тень движется быстрее?

3. При делении некоторого числа на 13 и 15 получились одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе — без остатка. Найти это число.

4. В недавно вышедшей книге Мартина Гарднера «Математические новеллы» есть такая головоломка. Из четырёх спичек составлен «бокал», в котором лежит вишня. Нужно, переместив лишь две спички, передвинуть «бокал» так, чтобы вишня оказалась снаружи. По словам Гарднера, многие безуспешно ломали себе голову над этой головоломкой. А вы сможете решить эту задачу? Попробуйте также решить эту задачу для «рюмки».

5. Однажды первый вторник месяца я провёл в Ленинграде, а первый вторник после первого понедельника — в Риге. В следующем месяце я первый вторник провёл в Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Какого числа и какого месяца я был в каждом из этих городов?

Задачи седьмого номера 1975 года

1. В комнате, в которой заседал совет дружины, были стулья на 4 ножках и табуретки на 3 ножках. Когда все пионеры уселись, то свободных мест не осталось, а сумма количества ног у сидящих и ножек у сидений оказалась равной 39. Сколько в комнате было стульев и сколько табуреток?

2. Аквалангист под водой потерял ориентацию. Как он может определить, где верх, а где низ?

3. Московские школьники Николай и Владимир встретились у Владимира. Николай сказал: «Если от двузначного номера моего дома отнять число, образующееся после перестановки его цифр, то получится номер твоего дома. В каком доме я живу?» Владимир сказал: «Это легкая задача»,— и сразу её решил.
В каких домах жили школьники?

4. Чтобы скошенное сено высохло, его часто ворошат. Почему это помогает?

5. Как надо поставить знаки «+» между цифрами числа 987 654 321, чтобы в сумме получилось 99? Сколько решений имеет эта задача?

Задачи восьмого номера 1975 года

1. В ста ящиках было по одинаковому количеству деталей. Когда из первого ящика взяли несколько деталей, из второго в два раза больше, из третьего в три раза больше и так далее, то в последнем ящике осталась одна деталь, а во всех ста вместе — 14950. Сколько деталей было в каждом ящике первоначально?

2. Как известно, моря все время пополняются пресной водой рек. Однако солёность морской воды при этом не уменьшается. Почему?

3. Король обошёл доску размером 4×4 и вернулся на исходное поле, побывав на каждом поле один раз. Какое наименьшее число прямых (не диагональных) ходов он мог cделать?

4. Вместо букв на рисунке надо подобрать цифры (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные), чтобы выполнялись все указанные соотношения.

5. Вася на вопрос, каков номер его квартиры, ответил так: «Если все шесть двузначных чисел, которые можно образовать из цифр номера, сложить, то половина полученной суммы составит как раз номер моей квартиры». В какой квартире живёт Вася?

Задачи девятого номера 1975 года

1. а) За круглым столом сидят 50 гостей, из которых 25 — женщины. Докажите, что найдётся гость, оба соседа которого — женщины.
б) Пусть женщин — 26, и пусть трое гостей разбили свои приборы. Докажите, что стол можно повернуть так, что хотя бы два разбитых прибора окажутся у женщин.

2. Вместо букв на рисунке подберите цифры (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные), чтобы выполнялись указанные соотношения.

3. Три товарища — Петя, Толя и Витя — подошли к стоянке автомашин и мотоциклов. Любуясь машинами, Петя от нечего делать сосчитал все транспортные средства — их оказалось 45. Толя сосчитал все колеса — их оказалось 115. Мотоциклов с коляской было в два раза меньше, чем мотоциклов без коляски. Сколько на стоянке было машин и сколько мотоциклов?

4. Запишите в строчку одно за другим 10 первых простых чисел в возрастающем порядке. В полученном многозначном числе зачеркните половину цифр так, чтобы число, образованное оставшимися цифрами, было а) наименьшим; б) наибольшим.

5. В кастрюлю с водой опустили маленький сосуд, в котором тоже находится вода. Кастрюлю ставят на газовую плиту, вода в кастрюле начинает кипеть. Будет ли кипеть вода в маленьком сосуде?

Задачи десятого номера 1975 года

1. Был жаркий день, и четыре супружеские пары, гуляя, выпили в течение дня 44 стакана лимонада. Анна выпила 2 стакана, Мария — 3, Софья — 4, Дарья — 5. Андреев выпил столько же, сколько и его жена; Борисов выпил стаканов вдвое больше, чем его жена; Васильев — втрое больше своей жены, а Груздев выпил стаканов лимонада в четыре раза больше, чем его жена. Кто на ком женат?

2. Рассмотрим множество четырёхзначных чисел, у которых цифры тысяч и десятков — нечётные, а сотен и единиц — чётные, причём ни в одном из этих четырёхзначных чисел нет одинаковых цифр. Сколько чисел из этого множества делится на девять? Сколько делится на три?

3. У Пети был один рубль монетами достоинством не более 10 копеек. Вася взял у Пети по одной монете каждого типа, и у Пети стало на 15 копеек меньше. Сколько было у Пети монет каждого достоинства, если монет самого большого достоинства было на 4 больше, чем всех остальных монет?

4. В примере на деление одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, а разные — разными; то, что получилось, вы видите на рисунке. Восстановите пример.

5. Термометр быстро вынимают из расплавленного олова. И в первый момент столбик ртути немного поднимается. Объясните, почему это происходит.

Задачи одиннадцатого номера 1975 года

1. Решите ребус ПУ^П = УДУ. (Разные цифры обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.)

2. На четырёх плитках, соединённых так, как показано на рисунке, начинают жарить котлеты. Сопротивления спиралей указаны на рисунке. На какой плитке котлеты поджарятся скорее?

3. В системе равенств ПРУТ – КАМА = КУРА, ТУР – РАК = КОМ, ТИП – РОК = АУТ цифры зашифрованы буквами. Восстановите первоначальный вид системы.

4. Известно, что температура таяния льда 0°C. Однако зимой снег на улицах лежит и тогда, когда термометр показывает выше нуля. Как это объяснить?

5. На рисунке вы видите корову, у которой есть всё, что полагается: голова, туловище, рога, ноги, хвост. Корова на рисунке смотрит влево. Переложите ровно две спички так, чтобы она смотрела вправо.

6. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Задачи двенадцатого номера 1975 года

1. Мне и моей сестре сейчас вместе 26 лет, причём сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда, когда нам вместе будет в пять раз больше лет, чем мне сейчас. Сколько сейчас лет каждому из нас?

2. Из фигуры на рисунке удалите две спички так, чтобы осталось два квадрата.

3. Сколько надо взять слагаемых суммы

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...,

чтобы получилось трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр?

4. Петя сказал Васе: «Задумай какое-нибудь трёхзначное число. Первую его цифру удвой. К полученному произведению прибавь три. Затем умножь полученную сумму на пять и прибавь к результату вторую цифру задуманного числа. Наконец, к полученной сумме припиши справа последнюю цифру задуманного числа. Сколько получилось? Пятьсот сорок? Ты задумал триста девяносто».
Как Петя узнал, какое число задумал Вася?

5. В примере цифры зашифрованы геометрическими фигурами. Расшифруйте пример.

6. Число a больше числа b в n раз, а сумма чисел a и b больше их разности в m раз. Найти сумму чисел m и n, если m и n — натуральные числа.