«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 1977 года

1. В чемпионате мира среди профессионалов по крестикам-ноликам на бесконечной клетчатой доске участвовали 10 игроков. Проигравший партию, потеряв надежду на главный приз, уезжал с чемпионата. Какое максимальное число участников могло выиграть по две партии? (В «крестиках-ноликах» на бесконечной доске выигрывает тот, кто поставит пять своих значков подряд по одной линии — вертикали, горизонтали или диагонали; ничьих не было.)

2. Когда одного любителя головоломок спросили, отчего он так успешно решает задачи, то в ответ было написано Н : Е = 0, СТАРЕЮ СТАРЕЮ СТАРЕЮ... Расшифруйте эту запись.

3. В этом примере на умножение одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными — разные, вместо звёздочек могут стоять любые цифры. Расшифруйте пример.

4. В неверном равенстве из спичек VII = I переложите одну спичку так, чтобы оно превратилось в верное.

Задачи второго номера 1977 года

1. а) Два чудака строят на бесконечном листе бумаги в клетку ломаную, прибавляя по очереди с любой стороны одно ребро длины 1, причём проходить дважды по одному отрезку запрещено. Чудак, не имеющий возможности сделать ход, проигрывает. Докажите, что первый чудак может не проиграть, а второй чудак не может проиграть.
б) Два чудака продолжают играть. Теперь они по очереди режут волейбольную сетку n×n ячеек, разрезая каждый раз по одной нитке. Чудак, после разреза которого сетка распадается на два куска, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?

2. Некоторое число как при делении на 1976, так и при делении на 1977 даёт в остатке 76. Какой остаток даст это число при делении на 39?

3. Шахматная фигура «кентавр» ходит как конь, но не может ходить на два поля вверх и одно направо, а также на два поля вниз и одно налево. Может ли кентавр обойти всю шахматную доску, побывав на каждом поле только по одному разу, и вернуться на исходную клетку?

4. На самом левом поле клетчатой полосы 1×1977 лежат три пуговицы. Саша и Люся играют в следующую игру: каждый из них может перенести любую пуговицу (но только одну за ход) вправо на любое число полей. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Докажите, что Люся, начиная, может обеспечить себе победу.

5. Имеется квадратный участок леса со стороной 1 км. Лес состоит из деревьев диаметром 50 см. Таня выяснила, что через этот лес нельзя пройти ни по какой прямой с одной стороны на противоположную. Доказать, что в лесу не менее двух тысяч деревьев.

Задачи третьего номера 1977 года

1. Однажды в минуту отдыха друзья-мушкетёры Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян решили немного поразвлечься в перетягивании каната. Портос с д'Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом. Но когда Портос стал в паре с Атосом, то победа против Арамиса с д'Артаньяном досталась им уже не так легко. А когда Портос с Арамисом оказались против Атоса с д'Артаньяном, то никакая из этих пар не смогла одолеть другую. Определите, как мушкетеры распределяются по своей силе.

2. Будем подставлять в формулу (2n² – 1) : (2n + 1) вместо n различные натуральные числа. При n = 1, 2, 3, 4 и 5 получаем дроби ¹/₃, ⁷/₅, ¹⁷/₇, ³¹/₉, ⁴⁹/₁₁ соответственно. Все эти дроби несократимы. А существует ли такое натуральное число n, при котором дробь сократима?

3. Пете в домашнем задании надо было возвести некоторое целое число в квадрат. Петя по ошибке удвоил заданное число и получил двузначное число, записанное теми же цифрами, что и квадрат исходного числа, только в обратном порядке. Каков был верный ответ?

4. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 соответственно.

5. Можно ли раскрасить волейбольный мяч, состоящий из 18 частей, в три разных цвета так, чтобы никакие две соседние части не были раскрашены в один цвет? (Невидимая часть мяча центрально симметрична видимой.)

Задачи четвёртого номера 1977 года

1. Коле для поездок в метро и на трамвае требовалось разменять некоторую сумму денег, получив её всю монетами по 3 и 5 копеек. Коля подсчитал, что всего существует k способов такого размена. Какая наибольшая сумма денег могла быть у Коли?

2. В примере на умножение некоторые цифры зашифрованы буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными, на месте звёздочек могут стоять любые цифры, в том числе и зашифрованные буквами. Расшифруйте пример!

3. Рассмотрим пять равенств, сложенных из спичек: IV – I + V = II, X = I – IX, IV – V = I, X + X = I и XXV + XXV = I. Все эти равенства — неверные. Переложите в каждом из них по одной спичке, чтобы все они стали верными.

4. В этом ребусе цифры расшифрованы фигурками. Одинаковым фигуркам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные, ни одно число не начинается нулём. Расшифруйте ребус.

Задачи пятого номера 1977 года

1. В этом ребусе цифры расшифрованы фигурками. Одинаковым фигуркам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные, ни одно число не начинается нулём. Расшифруйте ребус.

2. Жили-были дед да баба. Была у них курочка ряба. Принесла им курочка задачку Иосифа Флавия. Задачка не простая, с изюминкой.

3. В сложенных из спичек равенствах X = X – II, X + III = VII, XXV = XIII + XI и XXXV – XV = XXI допущены ошибки. Переложите в каждом из этих равенств по две спички так, чтобы все они стали верными.

4. В примере на деление МОСЬКА : И = ШАВКА разными буквами зашифрованы разные цифры, одинаковыми — одинаковые. Расшифруйте пример!

Задачи шестого номера 1977 года

1. В действиях на рисунке каждая цифра зашифрована некоторой буквой. Расшифруйте эту запись, а затем запишите буквы по номерам в порядке возрастания (с 0 до 9). Какое слово у вас получилось?

2. Научитесь без помощи линейки узнавать, является ли данный лист бумаги с прямолинейными границами квадратом.

3. Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в восемь раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли ещё два ученика, и оказалось, что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?

4. «Бьют часы двенадцать раз...» поётся в популярной песне. А сколько всего ударов в сутки делают часы, если в двенадцать часов (дня или ночи) они бьют двенадцать раз, в два часа — два раза и так далее, да ещё в промежутках бьют один раз, отмечая середину каждого часа?

5. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

Задачи седьмого номера 1977 года

1. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

2. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см, но так, чтобы обрезков не было. Как это сделать? Сколько существует способов?

3. Может ли фигура, состоящая из пяти точек, иметь один центр симметрии и ровно одну ось симметрии?

4. Сколькими способами можно из прямоугольника размером 3×5 сложить треугольник, разрезав прямоугольник на две части одним прямолинейным разрезом? Способы считаются различными, если они приводят к неконгруэнтным треугольникам.

5. В действиях на рисунке каждая цифра зашифрована некоторой буквой. Расшифруйте эту запись, а затем запишите буквы по номерам в порядке возрастания (с 0 до 9). Какое слово у вас получилось?

Задачи восьмого номера 1977 года

1. Однажды грибов я набрал!— еле дотащил. Но тащил-то почти одну воду — в свежих грибах её 90%. А когда грибы высушили, они стали на 15 кг легче — теперь в них было 60% воды. Сколько грибов я принёс из леса?

2. Переложите изображённые на рисунке кубики так, чтобы форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.

3. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все цифры от 1 до 9.

4. В примере на умножение одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, разные — разными. Восстановите первоначальный вид примера.

5. Деревни A, B и C расположены в вершинах равностороннего треугольника. В деревне A живут 30 школьников, в деревне B — 20, в деревне C — 10. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, которые проходят школьники от домов до школы, было наименьшей?

Задачи девятого номера 1977 года

1. Один гражданин захотел выпить стакан сока. Он подошел к киоску и выложил перед продавщицей все деньги, которые у него были — бумажные купюры и мелочь. Продавщица пересчитала деньги, положила их в общую выручку, затем налила стакан сока стоимостью 9 копеек и отсчитала сдачу. Но при этом она ошиблась: дала столько копеек, сколько полагалось дать рублей, а рублей дала столько, сколько полагалось дать копеек.
Гражданин, не считая, положил деньги в карман и ушел, а придя домой, обнаружил, что денег у него стало в четыре раза больше, чем было. Сколько денег было у гражданина?

2. Килограмм пломбира на 40 копеек дороже килограмма шоколадного мороженого. Андрей и Виктор заказали по 150 граммов мороженого, причём у Андрея пломбира вдвое больше, чем шоколадного, а у Виктора того и другого поровну. Чья порция дороже и на сколько?

3. Параллелограмм ABCD «раздули» в четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, как показано на рисунке: точки A, B, C и D — середины отрезков DA₁, AB₁, BC₁ и CD₁ соответственно. Площадь параллелограмма ABCD равна S. Докажите, что A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм, и найдите его площадь.

4. Почему ножницы, которыми пользуются портные, делают с короткими ручками и длинными лезвиями, а ножницы, которыми режут металлические листы, например, жесть, делают с длинными ручками и короткими лезвиями?

Задачи десятого номера 1977 года

1. а) В трёхзначном числе зачеркнули первую слева цифру; полученное двузначное число умножили на 7. В результате получилось исходное трёхзначное число. Какое?
б) В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру; получилось число, в 6 раз меньшее. Найдите исходное трёхзначное число.
в) Найдите все трёхзначные числа, которые при зачёркивании средней цифры уменьшаются в 7 или 9 раз.

2. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, ромб, круг и квадрат. Цвета этих фигур: зелёный, жёлтый, синий и красный. В каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них, если фигура красного цвета лежит между зелёной и синей, справа от жёлтой фигуры лежит ромб, круг лежит правее и треугольника, и ромба, причём треугольник лежит не с краю, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой жёлтого цвета?

3. Тамаре в 1977 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр года её рождения. В каком году она родилась?

4. Квадратная таблица размером n×n заполнена натуральными числами от 1 до n², причём в первой строке записаны слева направо подряд числа от 1 до n, во второй — от n + 1 до 2n, и так далее. Докажите, что если вырезать из этой таблицы квадрат размером m×m, то сумма стоящих в нём чисел обязательно кратна числу m².

Задачи одиннадцатого номера 1977 года

1. а) На очередном занятии математического кружка, посвящённом проблеме четырёх красок, шесть участников кружка решили поэкспериментировать — чертить разные карты и их раскрашивать в четыре цвета так, чтобы соседние страны были раскрашены разными цветами. Для этого потребовались карандаши четырёх разных цветов.
У учителя было много красных, синих, жёлтых и зелёных карандашей, но он не хотел, чтобы школьники раскрашивали карты в одиночку. Учитель пожелал так раздать ребятам карандаши, чтобы никакие два школьника (из шести!) не имели карандашей всех четырёх цветов, но любые три — имели. Сумеет ли он так сделать?
б)* Выясните, при каких n можно так раздать шестерым ребятам карандаши n цветов, чтобы каждые трое имели (вместе) карандаши всех n цветов, а никакие двое — не имели.

2. Какими цифрами нужно заменить буквы, чтобы выполнялось равенство

3. Мне сейчас в 4 раза больше лет, чем было моей сестре, когда она была моложе меня (тогдашнего!) в два раза. Сколько лет сейчас каждому из нас, если через 15 лет нам вместе будет 100 лет?

4. Решите в целых числах уравнение m = (n² – m)².

Задачи двенадцатого номера 1977 года

1. Когда трёхзначное число, две первые цифры которого одинаковы, а третья равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найти делимое, делитель и частное.

2. Впишите в пустые клеточки рисунка по цифре так, чтобы получились правильно выполненные (один за другим) два примера на деление.

3. Найдите наименьшую пару натуральных чисел a и b, удовлетворяющую равенству 5a² = 2b⁵.

4. Расшифруйте ребусы а) ТРИ – ДВА = ЯРД и (одновременно!) ТРИ + ДВА = ПЯТЬ; б) ТРИ · ТРИ = ШЕСТЬ; б) ПОДАЙ – ВОДЫ = ПАША.

5. Может ли десятичная запись куба некоторого натурального числа состоять из цифр 1, 9, 7, 6, каждая из которых встречается ровно 1977 раз?