2. В языке некоторого племени любое сочетание восьми различных букв И, Г, Р, Ё, Т, Н, О, К является словом, и других слов нет. Вождь племени, узнав о существовании словарей, поручил своему придворному лингвисту составить аналогичный словарь из всех слов племени. Лингвист выписал буквы в порядке И, Г, Р, Ё, Т, Н, О, К и стал упорядочивать слова в соответствии с этим алфавитом. Он дошёл до слова ЁКОНТРГИ. Какое слово он должен написать следующим? А после слова ИЁНГТКОР? После слова ИГКОНТЁР? Какое слово будет последним?

3. В комнате стоят табуретки и стулья. У каждой табуретки 3 ноги, у каждого стула 4 ноги. Когда на всех табуретках и стульях сидят люди, в комнате всего 39 ног. Сколько стульев и сколько табуреток в комнате?

4. Два человека бегут по ступеням эскалатора метро. Первый бежит быстрее второго. Кто насчитает больше ступеней?

Задачи четвёртого номера 1979 года

1. В первом ребусе цифры зашифрованы фигурками, в остальных — буквами и звёздочками. Одинаковым фигуркам и буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные; звёздочки могут быть любыми цифрами. Ни одно число не начинается нулём. Расшифруйте ребусы.

2. Решите в ненулевых цифрах уравнения
а) 1000x + 100y + 10z + z = (10x + y)² + (10z + z)²;
б) 1000x + 100x + 10y + y = (10y + y)² + (10x + x)².

3. В кружочки изображённого на рисунке числового колеса поставьте первые девять нечётных простых чисел так, чтобы сумма любых трёх чисел, расположенных по диаметру, была простым числом. Докажите, что при этом в центре может стоять любое из этих простых чисел, кроме числа 3.

4. Параллелограмм составлен из трёх равнобедренных треугольников, среди которых нет конгруэнтных. Найдите величины его углов.

5. Двое мальчиков играют в такую игру: они по очереди ставят ладьи на шахматную доску. Выигрывает тот, при ходе которого все клетки доски оказываются побитыми поставленными фигурами. Кто выигрывает в этой игре, если оба стараются играть наилучшим образом?

Задачи пятого номера 1979 года

1. На рисунке изображён лес (из спичек) и Красная Шапочка, идущая к бабушке. Переложите две спички так, чтобы Красная Шапочка возвращалась обратно. (Другими словами, переложите две спички от правого дерева к левому.)

2. Рассмотрим трёхзначное число. Найдём произведение его цифр. Затем найдём произведение цифр результата. Исходное число и два полученных произведения можно изобразить соответственно так, как показано на рисунке (одинаковые фигурки заменяют одинаковые цифры). Каким было исходное число? Сколько решений имеет задача?

3. Заполните свободные клетки шестиугольника натуральными числами так, чтобы в них оказались все числа от 1 до 19, и во всех пяти рядах каждого из трёх направлений (вертикального и двух наклонных) сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

4. Студенты Вадим и Коля играют в шахматы. Мимо проходит Надя — младшая сестра Коли. На вопрос, сколько лет Наде, Коля ответил так: «Если умножить номер сегодняшнего дня недели на число дня рождения Нади и на номер месяца, в котором она родилась, то получится год рождения Нади». В какой день недели Вадим и Коля играли в шахматы?

5. Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Ответив на последний тест, Джон понял, что если бы за этот последний тест он получил 97 очков, то его средний балл равнялся бы 90. С другой стороны, если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

Задачи шестого номера 1979 года

1. Длина одной стороны треугольника равна 6,31 м, длина другой стороны — 0,82 м. Чему равна длина третьей стороны, если она выражается целым числом метров?

Ответ   Указание   Решение

2. На окружности расположены одна красная точка и 1977 белых. Рассматриваем всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких среди них будет больше: с красной вершиной или без неё?

3. Пусть a — произвольное 1979-значное число, делящееся на 9. Сумму цифр этого числа обозначим буквой A. Сумму цифр числа A обозначим буквой B. Сумму цифр числа B — буквой C. Найдите число C.

4. На клетке h8 шахматной доски мелом написано +1, а во всех остальных клетках — число –1. За одну операцию разрешено сменить все знаки на противоположные либо на одной (любой) вертикали, либо на одной (любой) горизонтали. Докажите, что сколько бы операций мы ни выполнили, мы никогда не получим +1 во всех клетках доски одновременно.

5. Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут двенадцать кур за двенадцать дней?

Задачи седьмого номера 1979 года

1. Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трёх подряд идущих клетках, равнялась пятнадцати.

6

4

2. Из спичек римскими цифрами составлено неверное равенство IVI – III = IX. Переложите одну спичку так, чтобы получилось верное равенство.

3. Два квадрата расположены внутри полукруга так, как показано на рисунке. Докажите, что площадь большего квадрата в четыре раза превосходит площадь меньшего квадрата.

4. Девять одинаковых книг стоят меньше десяти рублей, а десять таких же книг стоят больше одиннадцати рублей. Сколько стоит одна книга?

5. Майя использовали очень интересный способ записи чисел: на рисунке показано, как майя записывали числа 1, 5, 17, 137. Поймите, почему эту систему счисления считают двадцатеричной, и запишите в ней число 1979.

Задачи восьмого номера 1979 года

1. Разность двух квадратов натуральных чисел оканчивается цифрой 2. На какие цифры оканчиваются уменьшаемое и вычитаемое, если последняя цифра уменьшаемого больше последней цифры вычитаемого?

2. Найдите все двузначные числа, каждое их которых является делителем трёхзначного числа, полученного вписыванием нуля между первой и последней цифрами самого двузначного числа.

3. В футбольном турнире каждая пара команд должна встретиться между собой один раз. В среду, после очередного тура, Боря подсчитал, что чётное число встреч провели семь команд. После следующего тура Боря обнаружил, что чётное число встреч по-прежнему имеют семь команд! Возможно ли такое? Если да, то можно ли определить, сколько команд участвовало в турнире? (Расписание турнира составлено так, что в каждом туре свободна не более чем одна команда.)

4. Коля отправился за грибами где-то между восемью и девятью часами утра, в момент, когда стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня; при этом стрелки его часов были направлены в прямо противоположные стороны. Сколько длилась прогулка Коли?

5. Сколькими способами девять конгруэнтных квадратиков — три красных, три белых и три синих,— можно расположить в виде квадрата 3×3 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались квадратики всех цветов?

Задачи девятого номера 1979 года

1. Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает полтора часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь занимает у неё тридцать минут. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу, и из школы она идёт пешком?

2. Может ли сумма первых нескольких натуральных чисел оканчиваться на 1979?

3. На колхозный двор прилетело 35 ворон. Неожиданно испугавшись чего-то, вороны взлетели и разделились на две стаи: первая стая уселась на ветви старого тополя, а другая — на крышу водонапорной башни. Через некоторое время с тополя на крышу перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с крыши, после чего на тополе осталось вдвое больше ворон, чем на крыше. Сколько было ворон в обеих стаях первоначально?

4. Найдите произведение разностей, полученных вычитанием из числа 1 дробей, числители которых равны 1, а знаменатели равны квадратам чисел 2, 3, ..., 14, 15.

5. Возьмите трёхзначное число. Запишите цифры в обратном порядке, получится ещё одно трёхзначное число. От большего числа отнимите меньшее: например, 743 – 347 = 396. Последнюю цифру разности сообщите отгадчику. Отгадчик сможет назвать разность. Как он это сделает?

Задачи десятого номера 1979 года

1. Туристы купили в магазине сто предметов: спички (цена — 1 копейка за коробку), пирожки (по 10 копеек) и консервы (цена — 50 копеек за банку). За все уплатили 5 рублей. Сколько предметов каждого товара куплено?

2. Поверните изображённые на рисунке четыре кольца так, чтобы сумма любых четырёх чисел, расположенных на одном paдиусе, равнялась одному и тому же числу. Какое это число?

3. 15 шариков можно сложить в виде треугольника, но нельзя сложить в виде квадрата — одного шарика не хватает. Из какого количества шариков, не превосходящего 50, можно сложить как треугольник, так и квадрат?

4. Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить несколько непересекающихся кругов, сумма радиусов которых равна 1979?

5. В ряд расположено пять монет. Средняя лежит вверх орлом, остальные — решкой. За один ход разрешено перевернуть любые три рядом лежащие монеты. Можно ли добиться, чтобы все монеты лежали вверх орлом? А если вверх орлом первоначально лежит только первая монета? А если только вторая?

Задачи одиннадцатого номера 1979 года