«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 1985 года

1. Девочка заменила в своём имени каждую букву её номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как её звали?

2. Три школьных товарища купили 14 пирожков, причём Коля купил в 2 раза меньше Вити, а Женя больше Коли, но меньше Вити. Сколько пирожков купил каждый из товарищей?

3. Однажды я раскладывал на столе косточки домино, пытаясь сложить какую-нибудь интересную фигуру. После того как получилась фигура, изображённая на рисунке, на руках у меня оставался дупель пусто-пусто. Тут я обратил внимание, что в каждом горизонтальном ряду и каждом вертикальном ряду сумма очков одна и та же. Я перерисовал картинку, поставив вместо очков условные значки. Недавно я нашёл эту картинку среди бумаг, но забыл, что означают значки. Помогите мне восстановить их значения.

4. Найдите все числа, которые в 13 раз больше суммы своих цифр.

5. Известно, что убывающий месяц повёрнут выпуклостью влево, как буква С — первая буква слова «старый». Прибывающий же месяц повёрнут выпуклостью вправо, как закругление буквы Р — первой буквы слова «растущий». Везде ли верно это правило?

Задачи второго номера 1985 года

1. «Николай Иванович,— спросил Вадик у знакомого продавца магазина,— сколько стоит блокнот?» «16 блокнотов стоят столько же рублей, сколько блокнотов можно купить на 1 рубль»,— с улыбкой ответил продавец. Сколько же стоит один блокнот?

2. В последнее время я много хожу на лыжах. Правда, позавчера я прошёл на 3 км больше, чем вчера, а вчера на 40 км меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько километров я прошёл на лыжах сегодня?

3. «Нарисуйте в тетрадях многоугольник, стороны которого проходят по линиям сетки,— сказал учитель.— Так. Теперь посчитайте число его сторон». «12» — сказал Вова. «4» — сказал Петя. «10» — сказал Андрей. У них были нарисованы многоугольники, изображённые на рисунке. У остальных школьников тоже получились многоугольники с чётным числом сторон. Почему?

4. Какая физическая ошибка допущена в следующем стихотворении:
«Она жила и по стеклу текла,
Но вдруг её морозом оковало,
И неподвижной льдинкой капля стала,
А в мире поубавилось тепла.»?

Задачи третьего номера 1985 года

1. В числовой пирамиде, изображённой на рисунке, расставьте плюсы и минусы так, чтобы выполнялись указанные равенства. Между некоторыми соседними цифрами можно не ставить знака, объединяя их в одно число.

2. Во время подведения итогов соревнования по сбору металлолома выяснилось, что 6«А» собрал металлолома больше, чем 6«Б» и 6«В» вместе; но 6«А» и 6«Б» собрали вместе столько же металлолома, сколько 6«В» и 6«Г»; кроме того, 6«Б» и 6«Г» собрали металлолома больше, чем 6«А» и 6«В». Как распределились места в соревновании этих классов?

3. На столе лежали три карточки с цифрами. Сначала из них сложили наибольшее возможное трёхзначное число, потом сложили следующее по величине. Их сумма оказалась равна 1233. Какие цифры были на карточках?

4. Сумма 13 различных натуральных чисел равна 92. Найдите эти числа.

5. Когда я вымыл стаканы в горячей воде и поставил их сушиться вверх донышками на гладкий стол, то они дружно поползли по столу. Я вспомнил, что когда я мыл их холодной водой, то такого с ними не происходило. Почему стаканы двигались?

Задачи четвёртого номера 1985 года

1. Существует ли трёхзначное число, делящееся на 11, у которого первая цифра больше второй, а вторая больше третьей?

2. Произведение чисел 2,75 и 8 равно сумме их цифр:

2,75 · 8 = 2 + 7 + 5 + 8 = 22.

Найдите ещё хотя бы одну такую пару чисел.

3. Нетрудно разрезать прямоугольник 4×6 на две части так, чтобы из них и квадрата 1×1 можно было сложить квадрат 5×5. Но попробуйте каждую из этих двух фигур разрезать на две одинаковые части так, чтобы из них тоже можно было сложить квадрат 5×5.

4. Пять тетрадей — синяя, жёлтая, серая, коричневая и красная — в некотором порядке лежали в стопке. Их выложили на стол. Сначала верхнюю, потом следующую за ней и так далее. В результате получили две стопки, изображённые на верхнем рисунке. Затем тетради собрали в стопку в прежнем порядке, а потом вновь выложили на стол, снимая также тетради сверху стопки. На этот раз получились две стопки, изображённые на нижнем рисунке. В каком порядке тетради лежали в стопке?

5. Однажды я с приятелями гулял за городом. Мы обратили внимание на «гудящие» телефонные провода. Я спросил у друзей, почему гудят провода. «Потому, что по ним идёт разговор»,— сказал один. «Да нет,— засмеялся другой,— просто из-за того, что по ним идёт ток. Ведь провода высоковольтной передачи тоже гудят». А как думаете вы?

Задачи пятого номера 1985 года

1. Найдите все двузначные числа, которые делятся на каждую из цифр их десятичной записи.

2. Однажды в Артеке за круглым столом оказались пятеро ребят родом из Москвы, Астрахани, Томска, Перми и Уфы — Юра, Толя, Лёша, Коля и Витя. Москвич сидит между уфимцем и Витей, астраханец — между Юрой и Толей, а напротив него сидят пермяк и Лёша. Коля никогда не был в Астрахани, Юра бывал в Томске, но не был в Уфе, а уфимец с Толей регулярно переписываются. Определите, кто из ребят где живёт.

3. Найдите наименьшее четырёхзначное число, квадратный корень из которого равен числу, образованному первыми двумя цифрами в сумме с квадратным корнем из числа, образованного последними двумя его цифрами.

4. Для открывания флакона с туго сидящей в нём притёртой пробкой рекомендуют горлышко флакона нагреть. На чём основан этот рецепт?

5. Восстановите пропущенные цифры в следующих равенствах: 2** : *2 = *2, 3** : *3 = *3, 2** = 2 · *2², ** · * – * = 1, *** · * – ** = 1, ** + ** = *98, 1* · *1 = 1**1, *1 · * = 9*.

Задачи шестого номера 1985 года

1. В корзине лежат 20 грибов: белые, подосиновики и подберёзовики. Сколько в ней белых грибов, если подберёзовиков в ней в 9 раз больше, чем подосиновиков?

2. Восстановите деление.

3. Поверхность кубика 1×1×1 нельзя оклеить целиком полоской бумаги 1×6, не допуская разрывов. Можно ли такой кубик оклеить полоской бумаги 1×12 в два слоя?

4. Найдите длину наибольшей из высот треугольников со сторонами a ≤ 2, b ≤ 3 и c ≤ 4.

5. Фотограф сделал свой снимок, стоя в лодке. Оцените длину изображённого катера, считая, что фотографом были Вы.

Задачи седьмого номера 1985 года

1. У меня замечательный номер телефона: первые три цифры одинаковы, остальные четыре цифры тоже одинаковы. Более того, сумма всех цифр номера равна двузначному числу, первая цифра которого совпадает с первой цифрой номера моего телефона, а последняя — с последней. Найдите этот семизначный номер.

2. Решите ребус.

3. На круглом столе лежат 11 шашек: 5 чёрных и 6 белых. Пятеро сидящих за столом ребят играют в следующую игру. Сначала каждый берёт по две шашки, потом начинающий берёт оставшуюся шашку. Если у него оказываются все три шашки одинакового цвета, то он выиграл и игра прекращается, если нет, то он оставляет себе две шашки одинакового цвета, а третью передаёт партнёру справа. Если у того окажутся все шашки одинакового цвета, то выиграл он, если нет, то он поступает аналогично предыдущему, и так далее. Может ли так случиться, что каждый сделает не меньше двух ходов?

4. Попросите товарища стать спиной к стене, прислонив к стене пятки, а потом попытаться достать пальцами рук пальцы ног, не сгибая ноги в коленях. Наверняка это ему не удастся сделать. Почему?

5. Правильный восьмиугольник разделён на части, которые раскрашены так, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей, закрашенных каждым цветом, одна и та же.

Задачи восьмого номера 1985 года

1. Впишите в квадратики рисунка цифры от 1 до 9 так, чтобы выполнялись указанные неравенства.

2. Расшифруйте ребус

А + ББ + А = ССС.

3. Маша и Павлик купили по порции мороженого и принесли его домой. Павлик положил своё мороженое в блюдце на стол, а Маша поставила своё мороженое под струю вентилятора. Чьё мороженое дольше не растает?

4. Коля и Витя, гуляя по парку, набрели на большую поляну, окружённую липами. Коля пошёл вокруг поляны, считая деревья. Витя сделал то же, но начал с другого дерева (хотя шёл в ту же сторону). Дерево, которое у Коли было двадцатым, у Вити было седьмым, а дерево, которое у Коли было седьмым, у Вити было девяносто четвёртым. Сколько деревьев росло вокруг поляны?

5. На верхних рисунках указаны замкнутые обходы клеток шахматным конём. Используя эти рисунки, постройте замкнутый обход шахматным конём всех клеток фигуры, изображённой на нижнем рисунке.

Задачи девятого номера 1985 года

1. Петя гостил у бабушки. В субботу он сел в поезд и приехал домой в понедельник. Петя заметил, что в этот понедельник число дня месяца совпало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона, и что в ту субботу, когда он садился в поезд, число дня месяца было больше номера вагона. В каком вагоне и на каком месте он ехал?

2. Какая часть площади квадрата больше: закрашенная красным цветом или закрашенная синим цветом?

3. Сосульки на крышах домов, как правило, висят вертикально, а на ветках деревьев часто образуют такие «вееры», как на рисунке. Почему?

4. Расположите в кружках звезды первые 11 натуральных чисел так, чтобы сумма четырёх чисел в вершинах каждого из пяти секторов равнялась 25.

5. Из любых 18 последовательных трёхзначных чисел хотя бы одно делится на сумму своих цифр. Докажите это.

Задачи десятого номера 1985 года

1. Переложив две спички в равенстве X – VIII = III, превратите его в верное равенство.

2. Чему равно частное Г · Р · У · З · И · Я : (Т · Б · И · Л · И · С · И), если одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные?

3. Однажды дождливым осенним вечером я шёл на станцию по просёлочной дороге. Грязь, вылетавшая из-под моих ботинок, оседала на обшлагах брюк. Придя на станцию, я обнаружил, что с внутренней стороны брюки стали грязными до колен. Но брызги грязи так высоко не поднимались. Почему же я так испачкался?

4. Число 6116 обладает следующим свойством: какую бы пару его цифр ни взять, последняя цифра их суммы такая же, как последняя цифра суммы двух других цифр. Сколько четырёхзначных чисел обладают таким свойством?

5. Детский кубик я оклеил чистой бумагой, каждую грань разделил на четыре квадратика и в каждый квадратик попытался записать целое число так, чтобы сумма этого числа и четырех чисел в соседних квадратиках равнялась 13 (соседними считаем квадратики, имеющие общую сторону). Однако у меня ничего не получилось. Может быть, вам удастся? Или же это сделать невозможно?

Задачи одиннадцатого номера 1985 года

1. К человеку, стоящему на тротуаре, подъехал милиционер. «Вы не обратили внимания на номер только что проехавшего синего самосвала?» «Конечно, обратил. Номер состоит из двух двузначных чисел. Второе двузначное число получается из первого перестановкой цифр, а если из первого вычесть второе, то получится сумма цифр одного из них.» «Спасибо»,— сказал милиционер. И записал номер в блокнот. Какой номер он записал?

2. Разрежьте «кораблик» рисунка на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

3. На столе лежала стопка одинаковых книг. Я осторожно потянул одну из книг в середине стопки. Вместе с ней «поехали» и лежащие на ней книги. Книги же, лежащие ниже, остались на месте. Почему?

4. В выражении 19*83 вместо звёздочки поставьте цифру так, чтобы получился куб натурального числа.

5. Концы одной стороны четырёхугольника соединили с серединой его противоположной стороны. Докажите, что если площадь полученного треугольника равна половине площади четырёхугольника, то четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.

Задачи двенадцатого номера 1985 года

1. В числовом ребусе использованы 7 букв. Расшифруйте этот ребус, если ни одна из букв не заменяет цифры 1, одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные.

2. Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла ²/₃ его объёма, а в третьем бидоне — ³/₄ его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

3. Всем известно, что такое железобетон: железную арматуру заливают бетоном, который, застывая, образует с металлом очень прочную конструкцию. Почему в качестве арматуры используют железо?

4. На рисунке изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить этим куском бумаги, не разрезая его, какой-нибудь кубик?

5. Сумма цифр 20-значного числа n равна 10, сумма цифр числа 7n равна 70, сумма цифр числа 19n равна 19. Найдите n.