«Квант» для «младших» школьников
Задачи первого номера 1988 года
 1. Моему племяннику в x2 году исполнится x лет. В каком году он родился?
Ответ
Решение
Ответ. В 1980-м.
Решение. Племянник родился в (x2 – x)-м году. Так как в этом году x лет ему ещё не исполнилось, то
x2 – x < 1988 < x2.
Поскольку 452 = 2025 и 2025 – 45 = 1980 < 1988, то x = 45.
 2. Бревно положили одним концом на одни весы, а другим концом — на другие. Первые весы показали 200 кг, а вторые — 100 кг. Сколько весит бревно? Где находится его центр тяжести?
Ответ
Ответ. Бревно весит 300 кг. Центр тяжести бревна вдвое ближе к первым весам, чем ко вторым.
 3. Кощей Бессмертный зарыл клад на глубину 1 м. Этого ему показалось недостаточно, он отрыл клад, поднял его на поверхность, углубил колодец до 2 м и снова зарыл. Этого ему опять показалось мало, он отрыл клад и поднял его на поверхность, углубил колодец до 3 м и зарыл. Затем он проделал то же, углубив колодец до 4 м, потом до 5 м, 6 м и так далее. Колодец глубиной n метров Кощей вырывает за n2 дней. На 1001-й день Кощей умер от непосильной работы. На какой глубине остался клад? (Временем, нужным для закапывания колодца, пренебречь.)
Ответ
Указание
Ответ. Клад на поверхности.
Указание. Через 1 + 22 + 32 + ... + 132 = 819 дней Кащей зарыл клад на глубину 13 м. Зарыть клад на глубину 14 м он не успел, поскольку 819 + 142 = 1015 > 1001.
4. Два числа называем зеркальными, если одно получается из другого перестановкой цифр в обратном порядке. Например, 123 и 321. Произведение двух зеркальных чисел равно 92 565. Какие это числа?
Ответ
Указание I
Указание II
Решение
Ответ. 165 и 561.
Указание I. Разложите число 92 565 на простые множители.
Указание II. Если число делится на 3, то и зеркальное ему число делится на 3. Аналогично — с делимостью на 11.
Решение. Разложим данное число на множители:
92 565 = 3 · 3 · 5 · 11 · 11 · 17.
Если число делится на 3, то и зеркальное ему число делится на 3, то же с делимостью на 11. Значит, оба наших числа делятся на 3 и 11, а одно из них делится на 17. Это последнее делится, таким образом, на 3 · 11 · 17 = 561. Если бы оно было больше 561, оно было бы по крайней мере четырёхзначным, второе число тоже было бы по крайней мере четырёхзначным, и их произведение было бы заведомо больше данного. Значит, одно из искомых чисел равно 561, а другое равно
92 565 : 561 = 165.
 5. В выпуклом четырёхугольнике отметили середины сторон и соединили их с вершинами так, как показано на рисунке. Докажите, что площадь красного четырёхугольника равна сумме площадей синих треугольников.
Задачи второго номера 1988 года
 1. Листок календаря частично закрыт предыдущим листком. Какая его часть больше: открытая или закрытая?
2. Целое число a возведено в куб. Докажите, что по крайней мере одно из чисел a3 – a и a3 + a делится на 10.
 3. Почему птицы в мороз распушают перья?
Указание
Ответ
Указание. Воздух плохо проводит тепло.
Ответ. Распушая перья, птицы увеличивают слой воздуха между наружным воздухом и телом птицы.
 4. Трёхзначное число начинается с цифры 7. Из него получили другое трёхзначное число, переставив эту цифру в конец числа. Полученное число оказалось на 117 меньше предыдущего. Какое число рассматривалось?
5. Выпишите цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (каждую по одному разу) так, чтобы произведение трёх полученных трёхзначных чисел оказалось наибольшим возможным.
Ответ
Ответ. 763 · 852 · 941 = 611 721 516.
Задачи третьего номера 1988 года
 1. Как перевезти в лодке с одного берега на другой козла, капусту, двух волков и собаку, если волка нельзя оставлять без присмотра с козлом и с собакой, собака «в ссоре» с козлом, а козёл «неравнодушен» к капусте? В лодке только три места, поэтому можно брать с собой одновременно или не более двух животных, или одно животное и капусту.
Ответ
Ответ. Сначала, посадив в лодку козла, перевозим по очереди собаку, а затем капусту. Возвращаемся с козлом и, высадив его, берём двух волков; высадив их, возвращаемся с собакой. Последним рейсом перевозим собаку и козла.
 2. В соревнованиях по стрельбе участвовали 30 человек. Первый стрелок выбил 80 очков, второй выбил 60 очков, третий выбил среднее арифметическое чисел очков у первых двух, четвёртый — среднее арифметическое чисел очков у первых трёх. И вообще, каждый следующий выбивал среднее арифметическое чисел очков, выбитых предыдущими стрелками. Сколько очков выбил последний стрелок?
Ответ
Указание
Ответ. 70.
Указание. Прибавление к нескольким числам их среднего арифметического даёт набор чисел с тем же самым средним арифметическим.
 3. Решите арифметический ребус, изображённый на рисунке, подставив вместо букв Ч чётные цифры, а вместо букв Н — нечётные.
Ответ
Ответ. 285 · 39 = 11 115.
4. Почему лыжники и конькобежцы после финиша накидывают на себя пальто или одеяло, хотя на дистанции им было очень жарко?
Ответ
Ответ. Вспотевший спортсмен теряет много тепла при испарении, что может привести к простуде, если не укрыться.
5. Плоскость разбита на квадраты, площадь каждого из которых — 100 квадратных сантиметров. С помощью одной линейки (без делений) получите квадрат площади 80 квадратных сантиметров.
Задачи четвёртого номера 1988 года
1. Мите подарили микрокалькулятор. Возводя числа 2 и 5 в одинаковые степени, он обнаружил, что числа 25 = 32 и 55 = 3125 начинаются с одной и той же цифры (а именно, 3). Могут ли одинаковые степени чисел 2 и 5 начинаться с другой (одной и той же для обоих чисел) цифры?
 2. Решите ребус
ПАР2 = АХАХА. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
 3. Маугли попросил обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов. По дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. Маугли достались лишь 33 ореха. Каждая обезьяна принесла больше одного ореха. По скольку орехов собрали обезьяны?
 4. Город раскинулся на восточном склоне горы. Утром усталый путешественник, расположившийся у подножия горы, видит отражение солнца в оконных стеклах. Он замечает, что «светящиеся окна» со временем перемещаются: в одних домах — «гаснут», а в других — «зажигаются». Куда они перемещаются: вверх или вниз, налево или направо? Объясните это явление.
 5. Вокруг прямоугольника описан четырёхугольник так, что две противоположные вершины прямоугольника являются серединами двух противоположных сторон четырёхугольника. Докажите, что площадь прямоугольника равна половине площади четырёхугольника.
Задачи пятого номера 1988 года
 1. Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. «Вот тебе меч-кладенец,— говорит ему баба-яга.— Одним ударом ты можешь срубить Змею либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову — новая вырастет, срубишь хвост — два новых вырастут, срубишь два хвоста — голова вырастет, срубишь две головы — ничего не вырастет». За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты?
2. Вася сложил пятизначное число, все цифры которого были не меньше 5, с другим пятизначным числом, полученным из первого некоторой перестановкой цифр. В результате он получил число 146 245. Правильно ли Вася сложил числа?
 3. В квадратики головоломки, изображённой на рисунке, проставьте все цифры от 1 до 9 включительно так, чтобы выполнялись указанные равенства (читать равенства следует слева направо и сверху вниз).
 4. Все поля шахматной доски покрыли 32-мя костяшками домино. Каждая костяшка покрыла в точности два поля. Некоторые из этих костяшек расположились горизонтально, некоторые — вертикально. Подсчитали количества вертикальных и горизонтальных костяшек — оба эти числа оказались чётными. Верно ли, что при любом покрытии шахматной доски 32-мя костяшками домино получится чётное число вертикально расположенных и чётное число горизонтально расположенных костяшек?
 5. Три окружности попарно касаются друг друга. Может ли площадь криволинейного треугольника, ограниченного меньшими дугами этих окружностей, быть больше площади одного из трёх кругов, ограниченных данными окружностями?
Задачи шестого номера 1988 года
 1. Числа от 1 до 8 так расставьте в кружки фигуры, изображённой на рисунке, чтобы сумма трёх чисел в вершинах каждого зелёного треугольника равнялась 13, а в вершинах каждого коричневого треугольника — 14.
 2. Решите числовой ребус, изображённый на рисунке. Одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным — разные.
 3. В шахматном турнире Женя и Саша сыграли одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Остальные участники турнира доиграли до конца. Всего в турнире было сыграно 23 партии. Играли ли Женя и Саша в турнире между собой?
4. ЭВМ напечатала два числа: 21987 и 51987. Сколько цифр она при этом напечатала?
 5. Все стенки и дно картонной коробки (без крышки) представляют собой квадраты площадью 1. Разрежьте коробку на три куска так, чтобы из них можно было сложить квадрат площадью 5.
Задачи седьмого номера 1988 года
 1. Проверьте справедливость тождеств в числовой пирамиде, изображённой на рисунке, и докажите, что сумма
1 + 2 + ... + (n – 1) + n + (n – 1) + ... + 2 + 1 равна n2. Подсказка — на рисунке рядом с пирамидой.
 2. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. В каждой паре кавалер выше дамы, и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании — Юра Воробьёв, следующий по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Серёжа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьёва. Кто с кем?
 3. В большую кастрюлю, наполненную горячей водой, опустили стакан вверх дном. Через некоторое время из стакана стали выходить пузырьки воздуха. Почему?
Ответ
Ответ. Воздух в стакане нагревается от воды и поэтому, расширяясь, занимает больший объём.
4. Уравнение
х5у = хy5 + 1987 не имеет решений в целых числах. Докажите это.
 5. Прямоугольный лист бумаги разрезали на три треугольных куска. Площадь одного из них оказалась равной полусумме площадей двух других кусков. Как относятся площади полученных кусков?
Задачи восьмого номера 1988 года
 1. В этом зашифрованном примере на деление все девять цифр различны. Расшифруйте его.
 2. Можно ли соединить некоторые концы отрезков, изображённых на рисунке, отрезками так, чтобы получилась одна несамопересекающаяся ломаная?
 3. Расставьте в кружочки цифры от 1 до 8 так, чтобы в горизонтальных рядах получились числа, являющиеся квадратами, а сумма чисел, расположенных в центрально-симметричных кружках, была одна и та же.
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 56, делится на 56 и имеет сумму цифр, равную 56.
 5. Если книги, которые стоят в кабинете профессора Иванова, разорвать на отдельные страницы (разумеется, мысленно!!!), можно ли этими страницами покрыть футбольное поле? А городской парк?
Задачи девятого номера 1988 года
 1. Можно ли в кружки звезды на рисунке расставить десять различных натуральных чисел так, чтобы суммы четырёх чисел вдоль каждой из пяти прямых были нечётными?
2. Шесть пассажиров автобуса без кондуктора должны уплатить за билеты по 5 копеек. Но у них есть лишь монеты по 10, 15 и 20 копеек. Тем не менее пассажиры справились с задачей. Покажите, что общее число монет у них не меньше восьми. Смогут ли пассажиры решить эту задачу, если монет у них в сумме ровно восемь?
3. Два последовательных двузначных числа сложили и в их сумме переставили цифры. В результате получилось большее из складываемых чисел. Какие числа складывали?
 4. Определите числовое значение слова ТРАНСПОРТИРОВКА, если одинаковые буквы заменить соответственно одинаковыми цифрами, разные — разными, причём так, чтобы были выполнены неравенства
| Т | > | Р | > | А | > | Н | < | С | < | П | < | О | < | Р | < | Т | > | И | > | Р | > | О | < | В | < | К | < | А. |
 5. Два параллелограмма — красный и синий — имеют общую вершину и ещё по одной вершине каждый на стороне другого, как показано на рисунке. Докажите, что их площади равны.
Задачи десятого номера 1988 года
 1. Ира, Витя и Коля взяли по порции всех сортов мороженого: фруктового, сливочного и шоколадного. Однако трёх порций каждому оказалось мало, и Ира взяла ещё порцию фруктового, Витя — сливочного, а Коля — шоколадного мороженого. Уходя, они уплатили: Ира — 70 коп., Витя — 80 коп., Коля — 90 коп. Сколько стоит порция каждого мороженого?
2. Расставьте числа a = 245, b = 336, c = 427 и d = 18 в порядке возрастания.
 3. Часто со словом «снег» употребляют эпитет «искрящийся». Чем это вызвано?
 4. Расшифруйте арифметический ребус ЯС = СЕМЬЯ. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)
5. Диагональ выпуклого четырёхугольника пополам разделила отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон этого четырёхугольника. Докажите, что эта диагональ поделила пополам и площадь четырёхугольника.
Задачи одиннадцатого-двенадцатого номера 1988 года
1. Найдите все представления числа 1988 в виде суммы последовательных натуральных чисел.
 2. Решите арифметический ребус. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
3. Два колеса покатились навстречу друг другу с одинаковой угловой скоростью. При столкновении они коснулись друг друга теми же точками, которыми касались земли в начале движения. Могут ли радиусы этих колес быть не одинаковыми?
 4. На столе лежит куча из 1001 камня. Из неё выкидывают камень и кучу делят на две. Затем из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, снова выкидывают камень, и снова делят одну из куч на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трёх камней?
 5. Составьте из десяти карточек с цифрами 1, 2, ..., 9, 0 три числа, которые относятся друг к другу, как а) 1 : 3 : 5; б) 2 : 3 : 4. (Должны быть использованы все 10 карточек.)
| 
