«Квант» для «младших» школьников
Задачи первого номера 1991 года
 1. Решите арифметический ребус МУХА + МУХА = СЛОН. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные; все гласные буквы соответствуют цифрам одной чётности, а согласные — другой.
2. Если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то произведение длин всех его сторон делится на 6. Докажите это.
 3. На пяти островах завтракали 30 аистов. На каждом острове аисты поделили лягушек поровну, причём каждый аист с первого острова съел больше, чем каждый аист со второго, со второго — больше, чем с третьего, и так далее. Сколько лягушек было съедено на каждом из островов, если всего было съедено 40 лягушек и каждый аист съел хотя бы одну лягушку?
 4. Расшифруйте слово 18356, записанное разноцветными цифрами, где каждая из цифр указывает номер буквы в слове, обозначающем её цвет.
Ответ
Ответ. КВАНТ.
 5. На первом этаже большого дома у лифта встретились пятеро друзей. Женя сказал: «Если считать отсюда, то я живу выше, чем ты, Вова, в два раза, выше Пети в три раза, выше Андрея в четыре раза и выше Тани в шесть раз». «Ты это здорово подметил,— отозвался Андрей,— а ты, Петя, потише стучи своими гантелями у меня над головой». На каком этаже живёт Андрей?
Задачи второго номера 1991 года
 1. Рассказывают, что основательница чешского государства принцесса Либуша предложила трём претендентам на её руку загадку. «Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и ещё одну сливу, второму половину остатка и ещё одну сливу, а третьему половину того, что останется, и ещё три сливы, то корзина опустела бы. Сколько слив в корзине?» А вы как думаете?
2. Для любого натурального n сумма n последовательных нечётных чисел делится на n. Докажите это.
3. При возведении в квадрат некоторого двузначного числа, состоящего из одинаковых цифр, получилось число, у которого первая и вторая цифры одинаковы, а также одинаковы третья и четвёртая. Найдите это двузначное число.
 4. Рассмотрим ребус
ЁЛКА + ЁЛКА + ... + ЁЛКА = ЛЕСОК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные, кроме букв Е и Ё, которым соответствует одна и та же цифра. Из какого наименьшего количества елок может состоять ЛЕСОК?
 5. Через точку внутри квадрата проведены прямые, параллельные его сторонам и диагоналям. Докажите, что сумма площадей, окрашенных в красный цвет, равна сумме площадей, окрашенных в синий цвет.
Задачи третьего номера 1991 года
 1. В изображённом на рисунке орнаменте сумма площадей фигур, окрашенных в красный цвет, равна сумме площадей фигур, окрашенных в синий цвет. Докажите это.
2. На королевских соревнованиях Франции по фехтованию первые четыре места разделили Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян. Сумма мест, занятых Атосом, Портосом и д'Артаньяном, равна 6, сумма мест Портоса и Арамиса тоже равна 6. Какое место занял каждый из мушкетёров, если Портос занял более высокое место, чем Атос?
Ответ
Ответ. Из первого условия следует, что Арамис занял четвёртое место, из второго — что Портос занял второе место, а из последнего условия следует, что д'Артаньян был первым, а Атос — третьим.
3. Решите арифметический ребус БИР + БИР + БИР + БИР = ДОРД. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. (По-азербайджански слова «БИР» и «ДОРД» означают «один» и «четыре».)
4. Коля заплатил 12 копеек за одну тетрадь, два карандаша и резинку. Саша — 27 копеек за две тетради, три карандаша и три резинки. Сколько заплатил Антон за две тетради, пять карандашей и одну резинку?
Ответ
Решение
Ответ. Антон заплатил 21 копейку.
Решение. Коля, Саша и Антон купили 5 тетрадей, 10 карандашей и 5 резинок, что в 5 раз больше того, что купил Саша. Следовательно, за всё было заплачено 12 · 5 = 60 копеек. Саша с Колей заплатили 39 копеек, а Антон заплатил 60 – 39 = 21 копейку.
5. Сумма величин углов ABD и BDC четырёхугольника ABCD сумма равна 180°, а длины сторон AD и ВС равны. Докажите, что величины углов при вершинах А и C этого четырёхугольника равны.
Задачи четвёртого номера 1991 года
 1. Четыре кота — Васька, Пушок, Базилио и Леопольд — охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали вместе столько же мышей, сколько Базилио с Васькой. Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок с Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши?
Указание
Ответ
Указание. Обозначим количество пойманных котом мышей начальной буквой имени этого кота. Тогда условия задачи запишутся так: Л + П = В + Б, В > Б, В + Л < П + Б и П = 3. Отсюда нетрудно вывести неравенства П > В > Б > Л.
Ответ. Васька поймал две мыши, Базилио одну, а Леопольд ни одной.
 2. Решите арифметический ребус
КВАНТ + КВАНТ = НАУКА. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
Ответ
Ответ. 32467 + 32467 = 64934.
 3. В равнобочной трапеции провели диагонали и высоты из вершин верхнего основания, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей синих треугольников равна площади красного пятиугольника.
Указание
Ответ
 Указание. Докажите, что площадь выделенного треугольника равна половине площади трапеции.
 Ответ. Рассмотрим треугольник ACM, где M — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на основание AD данной трапеции ABCD. Его высота равна высоте трапеции, а основание AM — длине её средней линии. Поэтому площадь этого треугольника, как и площадь треугольника BDN, равна половине площади трапеции. Следовательно, площадь общей части этих треугольников (красный пятиугольник) равна площади, не покрытой ими (синие треугольники).
4. Мимо моего дома проходят три автобусных маршрута. Их номера — трёхзначные числа, причём все они — квадраты. Более того, они записываются одними и теми же тремя цифрами. Какие номера у автобусов?
Ответ
Ответ. 169, 196 и 961.
5. На шахматной доске расставлено 15 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура. Докажите, что с доски можно убрать одну фигуру так, что оставшиеся фигуры будут удовлетворять тому же требованию: в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду есть хотя бы одна фигура.
Указание
Ответ
Указание. Если среди фигур есть такая, что и в её горизонтали, и в её вертикали есть ещё хотя бы по одной фигуре, то эту фигуру можно убрать.
Ответ. Пусть для каждой из 15 фигур можно указать горизонтальный или вертикальный ряд, в котором она стоит в одиночестве. Тогда найдутся 15 горизонтальных и вертикальных рядов, в каждом из которых стоит по одной фигуре. Поскольку всего таких рядов 16, то либо все горизонтальные, либо все вертикальные ряды таковы, что в них стоит по одной фигуре; поэтому на доске только 8 фигур — противоречие с условием задачи.
 На рисунке показано расположение 14 фигур, доказывающее, что в условии задачи число 15 нельзя заменить на 14.
Задачи пятого номера 1991 года
1. Молочница на рынке торговала молоком из двух бочек, одна из которых вмещала молока втрое больше, чем другая. Когда в маленькой бочке оставался 21 литр молока, а в большой — 39 литров, молочница долила доверху маленькую бочку молоком из большой. В результате большая бочка оказалась наполненной ровно наполовину. Сколько молока она отлила и какого объёма были бочки?
Указание
Решение
Ответ
Указание. После переливания в большой бочке оказалось в полтора раза больше молока, чем в маленькой. Обозначьте количество перелитого молока буквой x и составьте уравнение.
Решение. Обозначив количество перелитого молока через буквой x, составляем уравнение
1,5 (21 + x) = 39 – x,
то есть
3 (21 + x) = 2 (39 – x),
откуда x = 3. Маленькая бочка вмещает x + 3 = 24 литра, а большая — 3 · 24 = 72 литра.
Ответ. Маленькая бочка вмещает 24 литра, а большая — 72.
 2. В круге проведены диаметр и перпендикулярная ему хорда. Докажите, что один из отрезков, на которые хорда разбивает диаметр, больше половины хорды, а другой — меньше.
3. В стакан с водой положили камень, в результате этого часть воды вытекла. Легче или тяжелее стал стакан?
Указание I
Указание II
Ответ
Указание I. Камень вытеснил объём воды, равный своему объёму.
Указание II. Плотность камня больше плотности воды.
Ответ. Вес стакана увеличится.
 4. Решите арифметический ребус
АХИНЕЯ + АХИНЕЯ = ЧЕПУХА. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
Ответ
Ответ. 468 532 + 468 532 = 937 064.
 5. Горошины расположены в виде квадрата. Покажите, что в этом случае их можно расположить в виде таких двух равносторонних треугольников, что сторона одного из них равна стороне квадрата, а другого — на единицу меньше.
Задачи шестого номера 1991 года
 1. В магазин поступила тонна фруктов: яблоки в ящиках по 48 кг, груши в ящиках по 20 кг, сливы в коробках по 14 кг и вишни в коробках по 10 кг. Яблок поступило в два раза больше, чем груш, а вишен столько же, сколько слив. Сколько фруктов каждого вида поступило в магазин?
2. Игра в шашки часто оканчивается вничью. Может ли быть ничья при игре в «поддавки»?
 3. Расставьте в кружках числа от 1 до 8 так, чтобы сумма чисел в вершинах каждого синего треугольника равнялась 12, а в вершинах красного треугольника и красного квадрата — по 11.
4. Решите арифметический ребус ИЗ4 = ИКС2 = БАЗИС. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые числа, разным — разные.
Ответ
Ответ. 144 = 1962 = 38416.
 5. Имеются две батарейки — одна на 3 вольта, а вторая на 9 вольт. Какое напряжение покажет вольтметр, подключённый к плюсу первой батарейки и к минусу второй?
Указание
Ответ
Указание. Цепь незамкнута.
Ответ. Ноль вольт.
Задачи седьмого номера 1991 года
 1. На прошлом чемпионате Европы по футболу Ван Бастен забил в два раза меньше мячей, чем Гуллит. Михайличенко забил на один мяч меньше, чем Ван Бастен. Фёллер забил на три мяча больше, чем Михайличенко. Скилаччи забил на три мяча больше, чем Фёллер. Двое из этих пяти футболистов забили одинаковое число мячей, и никто не забил мячей больше, чем Гуллит. Сколько мячей забил каждый из них?
2. Закончите заполнение таблицы буквами Ч, У, К, Е, Г так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и на каждой из двух диагоналей присутствовали все эти буквы по одному разу.
3. Администратор гостиницы работает либо с 8 утра до 8 вечера, либо с 8 вечера до 8 утра, либо сутки с 8 часов (утра или вечера). В первом случае он отдыхает не меньше суток, во втором — не меньше полутора суток, в третьем — не меньше двух с половиной суток. Какое наименьшее количество администраторов должно работать в гостинице?
 4. Точка М — середина стороны ВС прямоугольника ABCD, точка N — середина его стороны CD, Р — точка пересечения отрезков DM и BN. Докажите равенство величин углов MAN и BPM.
 5. В кружке «Умелые руки» занимаются 40 школьников, у каждого в карманах лежат винтики, болтики и гвоздики. Ровно у 10 из них количество гвоздиков равно количеству винтиков, а ровно у 16 школьников количество гвоздиков не равно количеству болтиков. Докажите, что не менее чем у 15 кружковцев количество винтиков не равно количеству болтиков.
Задачи восьмого номера 1991 года
 1. В мешке лежит 101 конфета. Малыш и Карлсон играют в такую игру: по очереди — первым Малыш, а вторым Карлсон — они берут из мешка от 1 до 10 конфет. Когда все конфеты разобраны, игроки подсчитывают свои конфет. Если числа взаимно просты — выигрывает Малыш, если нет — Карлсон. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? Какая именно? (Другими словами, научитесь играть за этого игрока так, чтобы непременно выигрывать.)
2. Решите арифметический ребус У – Р = А : В = Н · Е = Н + И = Е. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
3. Суммы чисел в ромбообразных таблицах
подчиняются некоторой закономерности. Найдите её и докажите справедливость вашей гипотезы.
 4. В треугольнике ABC отрезок AM — медиана, точка N — её середина, прямая BN пересекает основание АС в точке К. В каком отношении точка К делит основание треугольника?
5. За десять дней пират Ерёма
Способен выпить бочку рома,
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоём?
Задачи девятого номера 1991 года
 1. Иван Степанович долгое время прожил в однокомнатной квартире. Ему нравилось, что его комната была квадратной и длины её сторон выражались целым числом метров. Недавно он обменял её на двухкомнатную квартиру той же площади. Площадь одной из комнат — 7 квадратных метров, а другая — вновь квадратная со сторонами, выражающимися целым числом метров. Какова площадь квартиры Ивана Степановича?
2. Решите уравнение Д – В – А = (Д : В) : А = 2 в целых числах.
 3. — С днём рождения, бабушка!
— Спасибо, Андрей. И тебя с днём рождения!
— Сколько лет тебе исполнилось?
— А вот посчитай. Если две последние цифры нынешнего года поменять местами, то получится год моего рождения.
— Значит, ты в восемь раз старше меня. А дедушка ещё старше?
— Конечно. Он родился до революции 1917 года, а я — после.
В каком году происходил этот разговор?
 4. Дима сидел за столом. Перед ним на стене висело зеркало, а на противоположной стене — электронные часы. Взглянув в зеркало, он увидел, что на отражении минутного табло указан его возраст. Взглянув на это табло через минуту, он обнаружил, что число увеличилось на 40. Сколько лет Диме?
 5. Величины углов, отмеченных на рисунке, равны. Докажите это.
Задачи десятого номера 1991 года
 1. В большой и дружной семье все мужчины носят одну фамилию, и разница в возрасте между любым отцом и сыном составляет 22 года. Правнука зовут Игорь Петрович. Его деда зовут Митрофан Тимофеевич. Как звали в детстве главу семьи и сколько ему лет, если Серёже — сыну Игоря — исполнилось 3 года?
2. Найдите все числа, равные утроенной сумме своих цифр.
 3. Имеется 10 монет: две по 2 копейки, две по 3 копейки, два пятака, два гривенника, один пятиалтынный и один двугривенный. Разместите их в кружках звезды так, чтобы сумма номиналов на каждой из пяти прямых была одна и та же.
 4. Вот уже много лет барон Мюнхгаузен ежедневно ходит к озеру охотиться на уток. Начиная с 1 августа 1991 года он каждый день говорит своему повару: «Сегодня я подбил уток больше, чем два дня назад, но меньше, чем неделю назад». Какое наибольшее число дней барон может произносить эту фразу? (Не забывайте, что Мюнхгаузен никогда не лжёт.)
 5. Два луча, выпущенные из вершин при основании равностороннего треугольника, разрезали его на четыре части, как показано на рисунке. Площадь красного треугольника равна площади синего четырёхугольника. Найдите величину угла между этими лучами.
Задачи одиннадцатого номера 1991 года
1. Некоторое трёхзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трёхзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с различных букв. Назовите эти числа.
Ответ
Ответ. Первое число — 147, второе — 111.
 2. На гранях кубика написаны 6 чисел: на трёх видимых — числа 18, 35 и 14, а на трёх невидимых гранях — простые числа. Какие это числа, если для всех пар противоположных граней сумма одна и та же?
3. Несколько шахматистов в парке целый день играли в шахматы. Поскольку у них был лишь один комплект шахмат, то они установили следующий порядок игры: выигравший очередную партию пропускает две следующие партии, а проигравший — четыре. Сколько было шахматистов, если удалось это правило соблюсти? (При ничьей проигравшим считался тот, кто играл белыми фигурами.)
Ответ
Ответ. 8.
 4. Заменив в некотором слове буквы на номера этих букв в алфавите, получили число 222122111121. Какое это слово?
Ответ
Ответ. ФУФАЙКА.
 5. Углы ABC и CDE выпуклого пятиугольника ABCDE прямые, длины сторон ВС, CD и АЕ равны 1, сумма длин сторон АВ и DE равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника равна 1.
Задачи двенадцатого номера 1991 года
 1. Акшин возвращался в кишлак из города с покупками для одноклассников. Он истратил ровно 500 рублей и купил при этом ровно 100 предметов: портфели, авторучки и микрокалькуляторы. Сколько было куплено авторучек, если авторучка стоит 1 рубль, портфель — 10 рублей, а микрокалькулятор — 50 рублей?
2. Расставьте числа в пустых клетках таблицы
так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была одна и та же, а сумма всех чисел равнялась 200.
 3. Соседка принесла для хозяйки и двух её сыновей корзину яблок. Когда пришёл из школы младший сын, он взял треть яблок, одно яблоко вернул в корзину для матери и пошёл на занятия кружка. Потом вернулся из школы старший сын. Не зная о поступке брата, он также взял треть оставшихся яблок, а одно яблоко положил в корзину для матери и отправился на тренировку. Когда хозяйка вернулась домой с работы, то она не смогла разделить яблоки в корзине на три равные части, причём их было меньше десяти. Сколько яблок первоначально было в корзине?
 4. Разрежьте одну из фигур на четыре конгруэнтные части так, чтобы из них можно было сложить вторую фигуру.
5. Решите арифметический ребус МАГНИЙ + ТАНТАЛ = МЕТАЛЛЫ. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
Ответ
Ответ. 145 826 + 948 947 = 1 094 773.
| 
