«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 1995 года

1. Из книги выпал кусок. Номера первой и последней страниц этого куска являются трёхзначными числами и состоят из цифр 1, 3, 4, но в разном порядке. Сколько страниц содержит выпавший кусок книги?

2. В языке государства Икнатсо всего семь букв: А, И, К, Н, О, С и Т. Всякое слово в этом языке содержит все семь этих букв и является семибуквенным, причём каждый набор из семи различных букв является словом этого языка. Сын короля Икнатсо принц Скоатни издал полный словарь своей страны. Он расположил буквы в алфавите так, чтобы первое слово словаря было «Икнатсо». Сколько слов в словаре? Какое слово будет следовать за словом «Скоатни»? Каким словом завершился словарь?

3. Решите арифметический ребус

КРОСС + КРОСС = СПОРТ.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

4. Двое играют в следующую игру: они по очереди закрашивают клетки на клетчатом поле 4×4. За ход следует закрасить одну клетку так, чтобы не образовалось закрашенного квадрата 2×2. Проигрывает тот, кому не удастся сделать такой ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

5. Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

Задачи второго номера 1995 года

1. Из фигурок, изображённых на рисунке, сложите равносторонний треугольник.

2. Прекрасная вещь — электронные часы, но ночью разглядеть на них что-либо невозможно. Однажды я выехал поездом Москва—Китеж, отправлявшимся из Москвы в 18 часов. Езды до Китежа 12 часов. И обратный поезд, выходящий из Китежа в 23 часа, тратит на дорогу 12 часов. Я хотел выйти на станции Вешки и старался не уснуть, но уснул и очнулся, когда поезд остановился на какой-то станции. Попытки увидеть время на моих часах не увенчались успехом, но вот я услышал: «К первому пути прибывает поезд Китеж—Москва». После недолгого размышления я вычислил примерное время и успокоился — до Вешек ещё было полчаса езды. А вы сможете вычислить время моего пробуждения?

3. Внутри параллелограмма ABCD взята точка Q так, что величины углов ABQ и ADQ равны. Докажите равенство величин углов DAQ и DCQ.

4. Существует ли такой четырёхугольник, что любую его вершину можно перенести в новое место, получив четырёхугольник, конгруэнтный исходному?

5. Братья Карамазовы грузили апельсины в бочках. Все бочки были одинаковыми и содержали по 125 кг апельсинов. Сначала братья загрузили бочки поровну в две трёхтонки, но затем погрузили иначе: в первую машину поместили вдвое больше бочек, чем во вторую. И хотя первая трёхтонка оказалась загруженной более чем на 85%, в неё можно было погрузить ещё не меньше трёх бочек с апельсинами без перегрузки машины. Сколько бочек грузили братья Карамазовы?

Задачи третьего номера 1995 года

1. Какое число стоит на 1995-м месте в последовательности 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ...?

2. Замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

3. Использовав каждую цифру по одном разу, сложите однозначное, двузначное, трёхзначное и четырёхзначное числа, каждое из которых нацело делится и на 7, и на 9.

4. Какие треугольники можно разрезать на три конгруэнтных треугольника?

5. В прямоугольнике, соответствующем панели кнопочного телефона, «звёздочку и «решётку» заменили некоторыми числами. Кнопки переставили так, чтобы суммы чисел во всех четырёх горизонтальных рядах стали равны и суммы во всех трёх вертикальных рядах тоже стали равны. Какой при этом могла стать наибольшая сумма всех этих чисел, а какой — наименьшая?

Задачи четвёртого номера 1995 года

1. Столяр Джузеппе получил заказ на изготовление табуреток. «Если я, начиная с сегодняшнего дня, буду делать по 3 штуки, то закончу в воскресенье, а если по 5 штук, то закончу в пятницу,»— размышлял столяр. «А какой день недели сегодня?»— спросило любопытное говорящее полено. В самом деле, какой?

2. Решите арифметический ребус А^Б = Б^А — замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

3. Шли сорок мышей, несли сорок грошей. Две мыши поплоше несли по два гроша. Немало мышей — вообще без грошей. Большие совсем тащили по семь. А остальные несли по четыре. Сколько мышей шли без грошей?

4. Число 1994² + 1994² · 1995² + 1995² является квадратом натурального числа. Докажите это.

5. Может ли предмет, находящийся к северу от наблюдателя, быть южнее его?

Задачи пятого номера 1995 года

1. Из произведения 1 · 2 · 3 · ... · 1994 · 1995 исключили все чётные сомножители и сомножители, делящиеся на 5. Чему равна последняя цифра числа, полученного перемножением оставшихся сомножителей?

2. Те, кто уже принимали быстрорастворимый аспирин «Upsa», наверное обратили внимание, что таблетка аспирина, брошенная в воду, сначала падает на дно, выделяя большое количество пузырьков, но вскоре всплывает, продолжая выделять пузырьки газа. В чём причина всплытия таблетки?

3. Расставьте по кругу четыре единицы, три двойки и три тройки так, чтобы сумма никаких трёх подряд стоящих цифр не делилась на 3.

4. На острове Невезения живут 100 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, Луны или Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:

1. Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
2. Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
3. Поклоняетесь ли Вы богу Земли?

На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?

5. Во время семейного шахматного турнира, в котором приняли участие мать, её брат, её сын и дочь, двое игроков были близнецами. Пол близнеца игрока, занявшего последнее место, противоположен полу победителя, а победитель и игрок, занявший последнее место,— лица одинакового возраста. Кто победил в этом турнире?

Задачи шестого номера 1995 года

1. У нас дома есть кусок поролона размерами 1×2 м. Отец предложил мне сделать из него матрас для моего младшего брата. При этом толщина матраса должна быть вдвое больше толщины куска поролона, а отношение сторон 1 : 2 должно сохраниться. Как это сделать? Число кусков при этом должно быть как можно меньшим.

2. Решите числовой ребус

СУМК,А + СУМК,А = БАГАЖ.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

3. Из 20 монет достоинства 5, 20 и 50 рублей составьте набор в 500 рублей.

4. В квадрате 3×3, изображённом на рисунке, можно прочесть слово МОРОЖЕНОЕ, двигаясь из клетки в клетку через их общую сторону. А можно ли буквы расположить так, чтобы кроме того в каждом столбце и каждой строке стояла буква О?

5. Ваня Суеверов очень не любит число 13 — «чёртову дюжину»; ему не нравятся не только само число 13 и числа, делящиеся на 13, но и такие двузначные числа, которые станут делиться на 13, если изменить одну из цифр. На крючки с какими номерами предпочитает вешать свою одежду в гардеробе Ваня?