1. Из десяти карточек с цифрами сложили десятизначное число 1 980 237 456, а потом нашли сумму всех двузначных чисел, образованных цифрами, стоящими рядом. Получилась сумма

19 + 98 + 80 + 02 + 23 + ... + 56 = 434.

Для какого расположения цифр такая сумма будет наибольшей, а для какого — наименьшей?

2. В кукольном театре Карабаса-Барабаса состоялась премьера спектакля «Девочка с голубыми волосами, или Тридцать три подзатыльника». Большинство из этих подзатыльников досталось несчастному Пьеро от Панталоне, большинство из остальных — от Арлекина, большинство из остальных — от Артемона, большинство из остальных — от Мальвины, а оставшимися подзатыльниками Пьеро со слезами угостил себя сам. В результате один из актёров отбил себе руку, и в дальнейшем пришлось изъять у него все подзатыльники, распределив их поровну между остальными названными артистами. Сколько подзатыльников получил Пьеро от Панталоне на следующем представлении?

3. Через n! обозначают произведение 1 · 2 · 3 · ... · n. Так, 2! = 2, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Для каких значений n число n! оканчивается ровно на пять нулей?

4. Царь Горох, побывав на острове Буяне, обратил внимание, что семь крепостей, защищающих остров, связаны прямолинейными дорогами, причём по ним можно посетить все крепости, проезжая по каждой из дорог ровно один раз. А самое удивительное — каждая из дорог пересекается со всеми остальными дорогами. Вернувшись домой, он повелел своему воеводе построить вокруг столицы восемь крепостей и точно так же связать их дорогами. Думал-думал воевода, но ничего не придумал. Попробуйте это сделать вы.

Задачи третьего номера 1997 года

1. Найдите вес рыбы, зная, что её хвост весит 2 фунта, голова весит столько, сколько весят хвост и половина туловища вместе, а туловище весит столько, сколько весят вместе голова и хвост.

2. Квадрат разрезан на 36 квадратов. 35 из них имеют площади, равные 1, а один имеет площадь, отличную от 1. Какую?

3. Решите числовой ребус: замените буквы цифрами и поставьте цифры вместо точек так, чтобы пример на умножение оказался верным. Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным — разные.

4. Фигура, изображённая на рисунке, ограничена полуокружностью радиуса 2 и двумя полуокружностями радиуса 1. Разрежьте эту фигуру на 4 конгруэнтные части.

5. Равенство 742586 + 829430 = 1212016 неверно. Дело в том, что всюду одна из цифр (назовём её x) стоит вместо другой цифры (назовём её у), а вместо цифры х всюду стоит у. Какие это цифры?

Задачи четвёртого номера 1997 года

1. Когда до наступления 2000-го года оставалось 2000 часов?

2. Четыре чёрненьких чумазеньких чертенка чертили чёрными чернилами чертёж и выполнили эту работу за 3 часа. Если бы первый чертёнок чертил вдвое быстрее, а второй — вдвое медленнее, им потребовалось бы столько же времени, а если бы, наоборот, первый чертил вдвое медленнее, а второй — вдвое быстрее, то они бы управились за 2 часа. За какое время начертили бы чертёж первые три чертёнка без помощи четвёртого?

3. В таблице умножения выделены «уголки». Докажите, что суммы чисел в уголках являются кубами.

4. Число 1997 + 1996 · 1997 · 1998 является кубом целого числа. Докажите это.

5. В квадрате ABCD точка М одинаково отстоит от вершин А и В, а также от стороны CD. Какую часть площади квадрата составляет площадь треугольника АВМ?

Задачи пятого номера 1997 года

1. После выигранного сражения маршал наградил 15 своих генералов орденами «За храбрость», причём 8 генералов получили ордена по крайней мере двух степеней, а 3 генерала — ордена всех трёх степеней. Сколько орденов вручил маршал?

2. На плоскости расположены две концентрические окружности. Проведена хорда большей окружности, касающаяся второй окружности. Покажите, что площадь третьей окружности, построенной на этой хорде, как на диаметре, равна площади кольца, образованного первыми двумя окружностями.

3. Замените буквы цифрами так, чтобы равенство

ДОМА + ДОМА = ГОРОД

оказалось верным. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

4. Обозначим через f(x) наибольшее простое число, меньшее x, а через g(x) — наименьшее простое число, большее x. Найдите

15 + f(15) + g(15) + f(g(15)) + g(f(15)).

5. Пятизначное число А записывается только единицами и двойками, а пятизначное число В — только тройками и четвёрками. Может ли произведение АВ записываться одинаковыми цифрами?

Задачи шестого номера 1997 года

1. Три бизнесмена решили оказать материальную помощь научно-популярному журналу «Кварк». Бизнесмен К. Горовой дал столько же долларов, сколько и центов. Бизнесмен К. Моровой выделил на 3 доллара больше, но в 8 раз меньше центов. Бизнесмен К. Хоровой расщедрился на сумму в 7 раз меньшую, чем остальные двое вместе взятые. Каков общий размер помощи, оказанной журналу?

2. На бильярдном столе ABCD расположены два шара Р и Q так, что углы PAB и QAD равны. Если ударить шар Р так, чтобы он, оттолкнувшись от борта АВ, столкнулся с шаром Q, то он пройдёт путь PMQ. Если же ударить шар P так, чтобы он, оттолкнувшись от борта AD, столкнулся с шаром Q, то он пройдёт путь PNQ. Докажите, что длины этих путей равны. (Шары предполагаем точечными.)

3. В некоторой системе счисления цифры имеют форму различных геометрических фигур. На рисунке приведены некоторые числа, записанные в этой системе счисления. Какому числу соответствует следующая запись:

?

4. К проволочному треугольнику со стороной 2 метра прицепили с помощью колечек стержень длиной 1 метр. Мальчик решил конец M стержня обвести вокруг всего треугольника. За какое наименьшее время ему удастся это сделать, если он может передвигать конец M стержня со скоростью, не большей 1 метра в минуту?

5. В волейбольном турнире каждая команда дважды встречалась со всеми остальными командами. Оказалось, что 80% команд имеют хотя бы по одной победе. Сколько встреч было проведено в турнире?