«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 2008 года

1. Даны 6 лёгких и 6 тяжёлых монет. По внешнему виду они неразличимы. За одно взвешивание про любое множество монет можно узнать, сколько в нём тяжёлых монет. За два взвешивания найдите две монеты, одна из которых лёгкая, а другая тяжёлая.

2. Вася задумал три натуральных числа. Для каждой пары чисел он нашёл разность между их произведением и суммой. Оказалось, что одна из этих разностей отрицательна, а другая положительна. Каков знак третьей разности?

3. В прямоугольном треугольнике один катет вдвое длиннее другого. Разрежьте его на 5 конгруэнтных треугольников.

4. Для каких натуральных чисел х и y выполнено равенство

1 + 2 + 4 +...+ 2^x = 3^y?

5. В стране, каждый житель которой либо рыцарь, либо лжец (рыцари, как известно, всегда говорят правду, а лжецы врут), за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба его соседа — лжецы. Разразился скандал, в результате которого часть компании покинула застолье. После этого каждый из оставшихся с удовлетворением объявил, что теперь оба его соседа — рыцари. «И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца»,— согласился с ними последний из покидавших компанию. Тем временем «отщепенцы» организовали новое собрание, и вновь за круглым столом. Каждый из сидящих за этим столом сказал, что среди его соседей ровно один рыцарь. Сколько человек остались сидеть на своих местах после раскола компании?

Задачи второго номера 2008 года

1. Решите устно: сколько сомножителей нужно написать в произведении первых нечётных чисел, чтобы равенство 1 · 3 · 5 · ... = 135 135 оказалось верным?

2. Десятизначное число 2100010006 примечательно тем, что оно «описывает само себя»: его первая цифра равна количеству единиц в нём, вторая — количеству двоек, ..., девятая — количеству девяток, десятая — количеству нулей. Существуют ли два десятизначных числа, каждое из которых таким же способом описывает второе?

3. а) Из шести отрезков разной длины составлена треугольная пирамида. Верно ли, что из этих же отрезков всегда можно составить два отдельных (несоприкасающихся) треугольника? б) Из шести отрезков разной длины составлены два отдельных (несоприкасающихся) треугольника. Всегда ли из этих же отрезков можно составить треугольную пирамиду?

4. Существуют ли такие натуральные числа x, y и z, что

x · 2^x + y · 2^y = z · 2^z?

5. В городе Удираевске сеть дорог устроена так, что из каждого перекрёстка можно попасть на любой другой перекрёсток, а тупиков в городе нет. В начальный момент Неуловимый Джо и двое полицейских находятся на разных перекрёстках, а затем начинают двигаться по дорогам. За один ход Джо перемещается на соседний перекрёсток или остаётся на месте; следующим ходом полицейские одновременно перебираются на соседние с ними перекрёстки. Нарисуйте одну из возможных схем дорог города Удираевска, на которой Неуловимый Джо, зная местоположение полицейских, всегда сможет избежать поимки.

Задачи третьего номера 2008 года

1. В арифметическом ребусе FOUR + FIVE = NINE одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Число FOUR делится на 4, а FIVE — на 5. Делится ли NINE на 9?

2. Можно ли натуральные числа от 1 до 16 разбить на 8 пар так, чтобы суммы в парах оказались различными простыми числами?

3. В треугольнике АВС проведены высота ВН, медиана ВМ и средняя линия PQ. Докажите, что из красного и синего треугольников можно составить зелёный треугольник.

4. Натуральные числа a, b и c таковы, что числа a² + 2b + 1, b² + 2c + 1 и c² + 2a + 1 являются квадратами натуральных чисел. Обязательно ли a = b = c?

5. Существует всего пять различных четырёхклеточных фигурок — все они изображены на рисунке. Клетчатый квадрат 4×4 разрезали на четыре четырёхклеточные фигурки. Докажите, что среди них найдутся две одинаковые.

Задачи четвёртого номера 2008 года

1. Расставьте все цифры от 1 до 9 по кружочкам левого треугольника так, чтобы выполнялось равенство a² + b² = c², где c — сумма цифр, расположенных на гипотенузе, a и b — соответственно, суммы цифр, расположенных на катетах. Можно ли расставить те же цифры по кружочкам правого треугольника, чтобы было выполнено то же самое условие?

2. Среди 999999 автобусных билетов с шестизначными номерами счастливыми считаются те, у которых сумма первых трёх цифр совпадает с суммой трёх последних. Несчастными будем называть билеты, в номерах которых содержатся ровно три подряд идущие шестёрки. Сколько билетов являются одновременно и счастливыми, и несчастными?

3. Если a, b и c — нечётные числа, то хотя бы одно из чисел ab — 1, bc — 1 и ca — 1 делится на 4. Докажите это.

4. Окружность с центром на диагонали квадрата проходит через одну из его вершин и пересекает его стороны так, как показано на рисунке. Чему равна величина угла, отмеченного красной дугой?

5. Как вы думаете, чем бы отличались часы от ныне существующих, если бы древний изобретатель часов жил не в северном, а в южном полушарии Земли?

Задачи пятого номера 2008 года

1. Можно ли расставить числа от 1 до 15 в клетках таблицы 3×5 так, чтобы во всех строках суммы чисел были одинаковы, и во всех столбцах суммы чисел тоже были одинаковы?

2. За круглым столом — 31 человек. Часть из них — рыцари, которые всегда говорят правду, а остальные — лжецы, которые всегда лгут, причём лжецов не менее одного. Каждого спросили: «Сколько среди твоих соседей лжецов?» (имея в виду соседа слева и соседа справа). Все дали одинаковые ответы. Какое наибольшее число рыцарей могло быть за столом?

3. К некоторому натуральному числу прибавили 2008, затем к результату снова прибавили 2008, и так далее. Обязательно ли в какой-то момент получилось число, начинающееся на 1?

4. Можно ли отпилить от кубика 10×10×10 уголок так, чтобы срез имел форму треугольника со сторонами 2, 3 и 4?

5. Имеются шесть гирь, массы которых равны 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г и 6 г. На каждой гире надписана масса в граммах, но надписи, возможно, перепутаны. За два взвешивания на чашечных весах выясните, есть ли среди надписей неправильные (не важно, какие именно).

Задачи шестого номера 2008 года

1. На доске написано неверное равенство: 5 + 5 + 5 = 555. Проведите один прямолинейный отрезок так, чтобы получилось верное равенство.

2. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. Никакие два из них не различаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

3. В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробок нет). В разных коробках разное число карандашей, причём в каждой коробке все карандаши разных цветов. Докажите, что из каждой коробки можно выбрать по карандашу так, что все они будут разных цветов.

4. Найдите все такие тройки (a; b; c) натуральных чисел, что сумма чисел, обратных к числам a, a + b и a + b + c, равна 1.

5. Сторона CD выпуклого четырёхугольника ABCD видна из середины стороны AB под прямым углом. Докажите, что сумма длин отрезков AD и BC не меньше длины отрезка CD.