Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6–8»
Мы продолжаем конкурс по решению задач для 6–8 классов. Решения задач высылайте в редакцию с пометкой «Конкурс "Математика 6–8"». Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес.
Мы приветствуем участие не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать адрес или контактный телефон. По традиции, кружки–победители заочного конкурса получают приглашение на летний очный турнир.
Задачи заочного конкурса (номер 1, 2010 год)
16. Дана равнобокая трапеция с боковыми сторонами длины a и диагоналями длины b. Найдите произведение длин её оснований.
17. Бильярдный шар выпустили из вершины A квадратного стола ABCD. Он отражается от бортов по закону «угол падения равен углу отражения». Известно, что никакие два удара подряд не пришлись на противоположные борта, причём первый удар был от борта BC. После 2010 ударов от бортов шар наконец попал в вершину стола. В какую?
18. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости со стороной клетки 1 записано по числу. Если центры трёх клеток образуют треугольник со сторонами 3, 4, 5, то числа, записанные в этих клетках, дают в сумме ноль. Обязательно ли тогда во всех клетках записаны нули?
19. Пусть a < b < c — наименьшие возможные составные числа, идущие в порядке возрастания, каждое из которых не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что произведение abc — точный куб натурального числа.
20. В некоторой конторе 25 кабинетов, занумерованных числами от 1 до 25. У коменданта 25 ключей с номерами от 1 до 25, так что каждый ключ открывает кабинет с таким же номером. Но некоторые ключи могут открывать не только один кабинет, и из того, что ключ N открывает кабинет M, не следует, что ключ M открывает кабинет N.
Контору продали, двери покрасили (номера не видны). Новый комендант со старой связкой ключей стал открывать кабинеты. Открыв кабинет, он оставляет ключ в двери и идёт дальше, к уже открытым кабинетам не возвращается. Может случиться, что некоторые кабинеты ему не удастся открыть. Сколько таких кабинетов может быть в самом плохом случае? (Укажите возможное число и докажите, что больше быть не может.)
Задачи заочного конкурса (номер 6, 2009 год)
11. Расставьте между числами в левой части равенства
75 + 74 + 73 + 72 + 7 + 1 = 2009
знаки арифметических действий и скобки так, чтобы равенство стало верным.
12. Назовём натуральное число возрастающим, если в нём каждая следующая цифра больше предыдущей (например, 23689). Докажите, что если возрастающее число умножить на 9, то сумма цифр полученного числа равна девяти.
13. Из пронумерованных квадратных фишек 1×1 сложена фигура, содержащая два квадрата 2×2, причём фишка номер 4 — общая:
Фишки каждого квадрата 2×2 можно повернуть вокруг его центра на угол, кратный 90°. Выясните, можно ли при помощи таких поворотов получить расположения, показанные на левом и правом рисунках:
14. Докажите, что если среди чисел a, b, c хотя бы два положительны и ab + bc + ca = 1, то сумма a + b + c не меньше квадратного корня из 3.
15. Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на четыре части, из которых складывается прямоугольник.
Задачи заочного конкурса (номер 5, 2009 год)
6. На новом сайте «Разговоры.ru» зарегистрировались 2000 человек. Каждый из них пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
7. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты — не равны?
8. Двести гирек 1 г, 2 г, …, 200 г разложили на две чаши весов так, что любые две гири с разницей масс 100 г попали на разные чаши и любые две гири с суммой масс 201 г тоже попали на разные чаши. При этом весы оказались в равновесии. Затем с каждой чаши убрали все гири чётной массы. Докажите, что весы снова будут в равновесии.
9. Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a3 + b3 + c3 + d3 = 100100?
10. На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP = CQ. Докажите, что центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.
Задачи заочного конкурса (номер 4, 2009 год)
1. Шахматную фигуру, которая умеет ходить и как ладья, и как конь, назовём канцлером, а фигуру, обладающая возможностями ферзя и коня,— магараджей. Расставьте на шахматной доске четыре канцлера и четыре магараджи так, чтобы ни одна из фигур не била никакую другую.
2. Числа a и b называют дружественными, если сумма всех делителей числа a, кроме самого числа a, равна b, а сумма всех делителей числа b, кроме самого b, равна a. (Например, 220 и 284 — дружественные.) Взяли два дружественных числа a и b. Нашли сумму чисел, обратных к делителям числа a, вычли единицу и получили результат x. Проделав то же самое для числа b, получили результат y. Чему равно произведение xy?
3. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены автомобильными дорогами. Между любыми двумя городами есть авиационное сообщение. Из каждого города выходит нечётное число дорог. Путешественник хочет проехать по каждой дороге ровно один раз (в одном из двух направлений, ездить по дороге дважды
запрещено). Какое наименьшее число авиаперелётов ему придётся совершить?
4. Натуральное число a назовём уютным, если одно из чисел a – 1 и a + 1 простое, а другое — составное. Докажите, что уютных чисел бесконечно много.
5. Диагональ AC четырёхугольника ABCD является биссектрисой угла BCD, при этом величина угла BCD равна 120°, а величина угла BAD равна 30°. Докажите, что периметр треугольника BCD равен длине отрезка AC.
Задачи прошлых лет
Задачи заочного конкурса (номер 4, 2003 год)
1. Восемь одинаковых по внешнему виду монет расположены по кругу. Известно, что три из них Фальшивые, причём они расположены рядом друг с другом. Вес фальшивой монеты отличается от веса настоящей. Все фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, фальшивая монета тяжелее или легче настоящей. Докажите, что за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить все фальшивые монеты.
2. Даны три отрезка, длины x, y, z которых удовлетворяют равенству
x4yz + y4zx + z4xy = x3y3 + y3z3 + z3x3.
Докажите равенство площади квадрата, длина стороны которого равна длине одного из данных отрезков, площади прямоугольника, длины сторон которого равны длинам двух других отрезков.
3. Если к цифре 2 приписать справа цифру 5, то получится 25 — точный квадрат. Получится ли точный квадрат, если
а) к числу 22m+1 приписать справа число 52n+1;
б) к числу 22m приписать справа число 52n?
(Здесь m, n — натуральные числа.)
 4. Через середины диагоналей выпуклого четырёхугольника проведены прямые, параллельные диагоналям. Эти прямые пересекаются в точке М. Докажите, что площадь треугольника АВМ равна площади треугольника CMD, а площадь треугольника ВМС равна площади треугольника AMD.
 5. В мастерской изготавливают квадратные решётки, состоящие из квадратных ячеек со стороной 1. Для этого используют заготовки, состоящие из трёх стержней длиной 1, сваренных под прямыми углами в виде буквы «П». При изготовлении решётки запрещается накладывать стержни друг на друга; можно лишь сваривать их между собой в точках касания. Для каких n мастерская может изготовить решётку размером n×n?
Задачи заочного конкурса (номер 5, 2003 год)
6. Фирма «Безенчук и Ко», состоящая из шефа и нескольких рабочих, изготавливает сувениры. В течение дня каждый из рабочих изготавливает по одинаковому целому количеству сувениров, а шеф — тоже целое число сувениров, но на 13 сувениров больше, чем в среднем каждый из сотрудников фирмы (включая и его самого). Сколько рабочих трудится в этой фирме?
7. Про числа x, y и z известно, что [x + y] отличается от x + y на 1/3;
[y + z] отличается от y + z на 1/3; [z + x] отличается от z + x на 1/3. На сколько [x + y + z] меньше числа x + y + z? (Квадратные скобки обозначают операцию взятия целой части, то есть [x] — наибольшее целое число, не превосходящее x.)
8. Дана окружность, внутри которой отмечены точки А и С, лежащие на одном диаметре. При помощи циркуля и линейки без делений постройте на окружности такую точку В, для которой величина угла АВС наибольшая возможная.
9. Я последовательно записал все цифры номера моего мобильного телефона. Умножив полученное натуральное число на 5, я обнаружил, что в результате получилось девятизначное число, запись которого содержит все цифры от 1 до 9. Найдите сумму цифр моего телефонного номера.
10. Все натуральные числа выписаны в порядке возрастания без разделителей. В результате получилась бесконечная последовательность цифр:
1234567891011121314...
Докажите, что существует число, образованное первыми несколькими цифрами этой последовательности и делящееся на 2003.
Задачи заочного конкурса (номер 6, 2003 год)
11. Докажите, что уравнение a2 + b3 + c4 = d5 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
12. Обозначим через S(n) сумму цифр натурального числа n. Найдите все такие натуральные числа n, что S(n) · (S(n) + 1) = n.
13. Используя только циркуль, разделите заданный квадрат на две части одинаковой площади.
14. Для любого натурального числа m докажите существование таких различных натуральных чисел k и n, что К делится на N, К + 1 делится на N + 1, ..., К + M делится на N + М.
15. Имеется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов. Строки могут различаться по высоте, а столбцы — по ширине. Мы можем указать несколько клеток таблицы, и в эти клетки запишут площадь каждой из них. Какое наименьшее число клеток мы можем указать, чтобы после их заполнения можно было узнать площади всех остальных клеток таблицы?
Задачи заочного конкурса (номер 1, 2004 год)
16. Профессор Мумбум-Плюмбум пытается из 1 единицы, 2 двоек, 3 троек, …, 9 девяток составить число так, чтобы между каждыми двумя ближайшими девятками стояла 1 цифра, между каждыми двумя ближайшими восьмёрками — 2 цифры, между каждыми двумя ближайшими семёрками — 3 цифры, …, между каждыми двумя ближайшими тройками — 7 цифр, а между двумя двойками — 8 цифр. Удастся ли ему это сделать?
17. На плоскости даны три точки А, В и С. Разрешено выбрать любые две из них и повернуть отрезок, их соединяющий, относительно его середины. После того как такую операцию проделали несколько раз, точка А совпала с исходным положением точки В, а точка В не совпала с исходным положением точки С. Докажите, что точка С также не совпала с исходным положением точки А.
18. Всякий квадратный трёхчлен можно представить в виде разности двух квадратных трёхчленов, ни один из которых не имеет корней. Докажите это.
19. Существует ли такое 99-значное число a, что 198-значное число aa делится на a2?
20. В каждую клетку таблицы 5×5 записали неотрицательное число. После этого в каждом прямоугольнике, состоящем из трёх клеток, подсчитали сумму чисел. Оказалось, что все суммы разные. Какое наименьшее количество положительных чисел может быть в таблице?
|
