Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6–8»

Задачи заочного конкурса (номер 6, 2010 год)

11. Настольные часы с часовой и минутной стрелками имеют форму куба с круглым циферблатом в центре одной из граней. На часах нет чисел и каких-либо пометок, показывающих, где у них верх. Поэтому можно случайно поставить их на бок или даже вверх ногами.
а) Какое время показывают часы на рисунке?
б) Есть ли в сутках хотя бы один такой момент, когда нельзя будет определить, какое время показывают эти часы?

12. По кругу стоят 10 бочек с водой. Сначала половину воды из первой бочки перелили во вторую; потом треть воды из второй бочки перелили в третью; затем четверть воды — из третьей бочки в четвертую, ..., после чего 1/10 из девятой бочки перелили в десятую, и, наконец, долили воду из десятой бочки в первую до её исходного уровня. Могло ли в каждой бочке оказаться столько же воды, сколько было в ней вначале?

13. Пусть n — натуральное число. Каких треугольников с целыми длинами сторон больше: разносторонних, у которых длины сторон не меньше 1 и не больше n + 3, или всевозможных, у которых длины сторон не меньше 1 и не больше n?

14. 60 детей построились парами и пошли в музей. По пешеходному переходу они шли толпой, а после него снова построились парами (но некоторые пары могли стать другими). Докажите, что в музее детей можно разбить на три равные группы так, что дети в одной группе ни разу не были в одной паре.

15. Величина угла C при вершине равнобедренного треугольника ABC равна 120°. Из вершины C выпустили внутрь треугольника два луча, которые, отразившись от основания AB в точках M и N (по закону «угол падения равен углу отражения»), попали соответственно на боковую сторону AC в точку P и на боковую сторону BC в точку Q. Отрезок PQ пересекает CM в точке X, а CN — в точке Y. Докажите, что AP = CQ, то треугольники PMX, XCY и QNY равны.

Задачи заочного конкурса (номер 5, 2010 год)

6. В единичные треугольники фигуры впишите числа от 1 до 12 так, чтобы сумма четырёх чисел в каждом треугольнике со стороной 2 была равна 20.

7. Квартира представляет собой квадрат размером 3×3, разделённый стенами на квадратики–комнаты размером 1×1. Между каждыми двумя соседними по стене комнатами есть дверь, но сейчас все двери заперты. Какое наименьшее число дверей нужно открыть, чтобы кот, сидевший в одной из комнат, мог гулять по всей квартире?

8. Два одинаковых точечных шара движутся с разными скоростями по одной окружности в одну сторону. Запущенные с этими скоростями каждый в отдельности, они делали бы в минуту 7 и 12 оборотов соответственно. При совместном движении они сталкиваются, обмениваясь после удара своими скоростями. Докажите, что шары будут встречаться в конечном числе точек, расположенных в вершинах некоторого правильного многоугольника, и найдите число этих точек.

9. На плоскости даны два непересекающихся круга. Найдётся ли вне кругов такая точка A, что любая прямая, проходящая через A, обязательно «заденет» хотя бы один из этих кругов (то есть пересечёт или коснётся)?

10. Фирма выпускает наборы из 7 теннисных мячиков в двух видах упаковок: длинный цилиндр толщиной в один мячик и плоский цилиндр высотой в 1 мячик, как показано на рисунке. Мячики касаются друг друга и стенок так, чтобы не болтались. Пустое место заполняется пластиковой крошкой. а) На заполнение какой упаковки — длинной или плоской,— уходит больше крошки? б*) Сколько граммов крошки уходит на заполнение плоской упаковки, если на заполнение длинной уходит 90 граммов?
Для решения пункта б) вам понадобится интересный факт, который знал ещё Архимед: шар занимает ровно 2/3 объёма цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра).

Задачи заочного конкурса (номер 4, 2010 год)