Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи десятого номера 1990 года

1. Найдите такое десятизначное число, что все его цифры различны, причём число, составленное из первых двух его цифр, делится на 2, из трёх первых цифр — на 3, и так далее до того, что само число делится на 10.

2. Докажите делимость числа
а) 1 · 3 · 5 · 7 · ... · 1987 · 1989 + 2 · 4 · 6 · 8 · ... · 1988 · 1990 на 1991;
б) 2 · 4 · 6 · 8 · ... · 1990 · 1992 – 1 · 3 · 5 · 7 · ... · 1989 · 1991 на 1991.

3. В три магазина привезли 1990 книг. В первые три дня первый магазин продал соответственно 1/37, 1/11 и 1/2 часть полученных книг, второй магазин — 1/57, 1/9 и 1/3 полученных книг, третий магазин — 1/25, 1/30 и 1/10. Выясните, сколько книг получили первый, второй и третий магазины соответственно.

4. Найдите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 56 и которое к тому же оканчивается цифрами 56 и делится на 56.

5. На шахматной доске расставлены фигуры так, что на каждой горизонтали и вертикали стоит не меньше двух фигур. а) Всегда ли можно снять с доски несколько фигур так, чтобы на каждой горизонтали и вертикали осталось ровно по одной фигуре? б) Исследуйте этот вопрос в случае, когда на каждой горизонтали и вертикали первоначально стоят ровно две фигуры.

6. В клетках таблицы размером 3×3 стоят числа. Такую таблицу называют магическим квадратом, если сумма чисел на каждой горизонтали, на каждой вертикали и на каждой из двух диагоналей одна и та же. Докажите, что сумма квадратов чисел верхней строки магического квадрата равна сумме квадратов чисел его нижней строки.

Задачи одиннадцатого номера 1990 года

7. На листе клетчатой бумаги отмечены 100 узлов — вершины клеток, образующих квадрат 9×9. Двое игроков по очереди соединяют вертикальным или горизонтальным отрезком два соседних отмеченных узла. Игрок, после хода которого образуется квадратик, закрашивает его в свой цвет. Выиграет тот, кто закрасит больше квадратиков. Придумайте стратегию, которая позволит второму игроку выиграть.

8. В строчку записаны 1990 чисел, каждое из которых равно 1 или –1. Снизу между каждыми двумя числами запишем их произведение; получится новая строка, состоящая из 1989 чисел. Будем продолжать эту операцию, пока не получим строчку из одного числа. Докажите, что если в первой строке хотя бы одно число равно –1, то в полученном числовом треугольнике не менее 1990 чисел равны –1.

9. Точку плоскости, имеющую координаты (a; b), разрешено соединить отрезками с точками (a – b; a) и (a; b – a). Можно ли ломаными, состоящими из таких отрезков, связать точки а) (19; 90) и (1990; 3383); б) (234; 1001) и (661; 7007)?

Задачи двенадцатого номера 1990 года

10. Имеются 9 килограммов крупы и чашечные весы с двумя гирями в 50 г и 200 г. а)Можно ли за три взвешивания отвесить 2 кг этой крупы? б)Можно ли это сделать, если имеется лишь одна гиря в 200 г?

11. Высота треугольника, опущенная на его большую сторону, не больше суммы длин перпендикуляров, опущенных из произвольной точки этой стороны на две другие стороны этого треугольника. Докажите это.

12. Придумайте три девятизначных числа, в которых цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 встречаются по одному разу, а сумма некоторых двух из них равна третьему числу.

Задачи первого номера 1991 года

13. Бабушка раздавала внукам яблоки. Первому внуку она дала 1 яблоко и 1/10 часть оставшихся, второму — 2 яблока и 1/10 часть оставшихся, третьему — 3 яблока и 1/10 часть оставшихся, и так далее тех пор, пока яблоки не кончились. Все внуки получили яблок поровну. Сколько было внуков и по сколько яблок они получили?

14. Телефонные номера в городе Энск состоят из пяти цифр, причём первая цифра не является нулём. Счастливым называют такой номер, в котором все цифры различны и расположены в убывающем или возрастающем порядке. (Например, 12345 — счастливый номер, а 11234 или 10234 — нет.) Найдите количество всех счастливых номеров.

15. Найдите все натуральные числа n, обладающие следующим свойством: если сумма чисел x₁, x₂, ..., x_n равна нулю, то сумма квадратов этих чисел в n раз больше их произведения.

Задачи второго номера 1991 года

М А Р Ш Р У Т   А Р Ш Р У Т     Р Ш Р У Т       Ш Р У Т         Р У Т           У Т             Т

16. Слово МАРШРУТ можно прочесть на рисунке разными способами. Сколько таких способов? Какую букву нужно убрать, чтобы количество способов стало равно 145?

17. Несколько тракторов вспахивают поле в 300 га за целое число дней, причём каждый трактор вспахивает в день 15 га. Сколько тракторов потребуется дополнительно для того, чтобы выполнить работу на 6 дней раньше?

18. Треугольник BMN вписан в составленный из двух равносторонних треугольников ромб ABCD, как показано на рисунке. Докажите, что если величина хотя бы одного из углов треугольника BMN равна 60°, то он равносторонний.

Задачи третьего номера 1991 года

19. На плоскости расположен равносторонний треугольник ABC. Укажите все такие точки M этой плоскости, для которых треугольники ABM и ACM равнобедренные.

20. Андрей раскладывает 200 спичек на 6 кучек, каждая из них содержит по крайней мере одну спичку. Затем Борис выравнивает количество спичек в некоторых двух кучках, беря несколько спичек из большей из них. Боря стремится взять как можно меньше спичек. Сколько спичек может Андрей заставить взять Борю?

21. Вертикали и горизонтали шахматной доски занумерованы снизу вверх и слева направо числами от 1 до 8. На доске стоят 8 ладей, не бьющих друг друга. Для каждой ладьи вычислим произведение номеров вертикали и горизонтали, на которых она стоит. Сложим эти произведения. Докажите, что для расстановки ладей, центрально-симметричной данной, аналогичная сумма равна первоначальной.

Задачи четвёртого номера 1991 года

22. Величина угла A треугольника ABC равна 60°, а сторона AC в полтора раза длиннее стороны AB. Разрежьте треугольник на три части, из которых можно сложить правильный шестиугольник.

23. Найдите два таких семизначных числа, что их сумма, разность и сумма цифр одного их них являются факториалами. (Факториалом натурального числа n называют произведение всех натуральных чисел, не превосходящих числа n. Например, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24.)

24. Выпуклые четырёхугольники ABCD и A'B'C'D' таковы, что отрезок AB параллелен отрезку CD, отрезок B'C' параллелен отрезку D'A', а длины соответствующих сторон равны: AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D' и DA = D'A'. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Задачи пятого номера 1991 года

25. Найдите четырёхзначное число, сумма цифр которого равна разности между 2011 и самим числом.

26. Имеется лист бумаги. Его можно разрезать на 6 или 12 частей. Каждый новый кусок можно разрезать также на 6 или 12 частей или оставить целым, и так далее. Можно ли таким образом разрезать лист на 40 частей? Докажите, что можно получить любое число частей, большее 40.

27. Найдите пять чисел, если их суммы по три соответственно равны 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15, 17.