4. В левой части равенства

1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 = 7

расставьте скобки так, чтобы оно стало верным.

5. Дорожная шахматная доска имеет небольшой бортик по границам игрового поля, не позволяющий фигурам соскальзывать. Ещё имеется комплект домино, каждая из 28 костей которого покрывает ровно две соседние клетки доски. Уложите комплект домино на доске так, чтобы ни одну из костей нельзя было сдвинуть с места в плоскости доски.

6. Через точку P равностороннего треугольника провели три прямые, проходящие через его вершины. Эти прямые разбили треугольник на 6 треугольников, как показано на рисунке. Сумма площадей красных треугольников оказалась равна сумме площадей синих треугольников. Докажите, что точка P принадлежит хотя бы одной из медиан равностороннего треугольника.

Задачи одиннадцатого номера 1991 года

7. Число 1,5 в 4 раза меньше суммы своих цифр. Придумайте число, которое в 8 раз меньше суммы своих цифр.

8. Сделайте разрезы на листе бумаги размером 3×4 так, чтобы лист не распался, но стало бы можно оклеить им куб 1×1×1 в два слоя.

9. Три школьника, у каждого из которых было несколько бумажных рублей, подошли к киоску с мороженым. У Андрея денег было меньше всех — 1 рубль. Он купил две порции и ушёл. Вася мог бы купить только 6 порций, а Серёжа — 11. Когда Вася и Серёжа сложили свои рубли, на 18 порций им не хватило. Сколько стоила порция мороженого?

Задачи двенадцатого номера 1991 года

10. 50 гангстеров стреляют одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (или в одного из ближайших, если несколько человек находятся на одинаковом расстоянии от него) и убивает его наповал. Найдите наименьшее возможное количество убитых. (Гангстеры — различные точки плоскости.)

11. Найдите наименьшие значения длин сторон прямоугольника рисунка, если длины сторон всех квадратов, на которые он разбит, являются целыми числами.

12. Замените в ребусе ХРУСТ · ГРОХОТ= = РР РРР РРР РРР буквы цифрами так, чтобы равенство оказалось верным (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные).

Задачи первого номера 1992 года

13. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM = BC и MC = BN. Докажите, что величина угла между отрезками AN и BM равна 45°.

14. Чудаковатый часовщик смастерил странные часы. От полуночи до часа ночи они шли нормально, а затем часовая стрелка начинала идти со скоростью минутной, а минутная — со скоростью часовой. Через час стрелки вновь менялись скоростями, и так — каждый час. Укажите все моменты, когда часы показывают верное время.

15. Двенадцать собеседников совещались за круглым столом. После перерыва они вновь сели за этот стол, но в другом порядке. Докажите, что найдутся такие два собеседника, что между ними (считая от первого ко второму по часовой стрелке) во второй раз окажется столько же собеседников, что и в первый раз.

Задачи второго номера 1992 года

16. На полосу положили квадрат, сторона которого равна ширине полосы, причём так, что его граница пересекла границу полосы в четырёх точках. Докажите, что две прямые, проходящие накрест через эти точки, пересекаются под углом 45°.

17. Калиф Гаруи-аль-Рашид одарил троих придворных астрологов десятью кошельками. Мудрецы, сев подсчитывать доход, обнаружили, что один кошелёк пуст, во втором лежит одна таньга, в третьем — две, и так далее до десятого, в котором оказались девять таньга. Гусейн Гуслия взял себе два кошелька. Абдурахман ибн Хоттаб и его брат Омар Юсуф разделили оставшиеся кошельки так, что более заслуженный и умудрённый годами Абдурахман получил большую сумму денег. По дороге домой на Омара Юсуфа напали разбойники и отняли четыре кошелька, так что от подарка калифа у него остались лишь 10 таньга. Какие кошельки достались Гуссейну Гуслия?

18. Имеется неограниченный запас монет в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и в 1 рубль. Докажите, что если сумму в a копеек можно уплатить b монетами, то и сумму в b рублей можно уплатить a монетами.

Задачи третьего номера 1992 года

19. В футбольном турнире участвовали а) 15 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Могло ли случиться, что число побед у каждой команды оказалось равным числу её ничьих? Каков ответ, если в турнире участвовали б) 16 команд? в) 17 команд?

20. Ивашка Кудряшкин из рассказа Аркадия Гайдара «Горячий камень» обнаружил на камне загадочную печать — два креста, три хвоста, дырка с палочкой и четыре запятые. Это — зашифрованная запись десятизначного числа, являющегося квадратом. Какую цифру означает дырка с палочкой?

21. Равносторонние треугольники ABC и PQR расположены так, что вершина C лежит на стороне PQ, а вершина R — на стороне AB. Докажите, что четырёхугольник ABQP — трапеция.

Задачи четвёртого номера 1992 года

22. Использовав каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 по одному разу, составьте такие два пятизначных числа, чтобы их произведение было максимальным.

23. Шахматную доску покрыли 32 костяшками домино, каждая из которых покрывает ровно две клетки. Восемь костяшек покрывают восемь клеток одной из диагоналей доски; при этом одни костяшки покрывают ещё одну клетку выше диагонали, а другие — ещё одну клетку ниже её. Докажите, что при любом покрытии доски тех и других костяшек будет поровну.

24. По поверхности стола перекатывают кубик, переворачивая его через рёбра. Можно ли его перевернуть 12 раз так, чтобы он перевернулся по одному разу через каждое ребро и в результате оказался на прежнем месте?