Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи третьего номера 1993 года

1. Разность 1993 · 1995³ – 1994 · 1992³ — куб целого числа. Докажите это.

2. Есть 8 маленьких грузов массами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 граммов. Разместите их в восьми вершинах куба так, чтобы их центр масс совпал с центром куба.

3. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если известны точка пересечения его медиан, центр описанной окружности и точка её пересечения с одной из биссектрис.

4. Два последовательных числа являются суммами кубов своих цифр. Какие это числа?

5. Найдите такое наименьшее положительное число, что а) разность между дробной частью его квадрата и квадратом его дробной части равна 1/1993; б) разность между целой частью его квадрата и квадратом его дробной части равна 1993.

Задачи четвёртого номера 1993 года

6. Через некоторое время после распада Зюйдвестской империи на 16 независимых княжеств оказалось, что каждое княжество дружит ровно с тремя другими княжествами и враждует с остальными. Восемь соседних государств решили оказать материальную помощь всем княжествам распавшейся империи, каждое — двум дружественным княжествам. Можно ли гарантировать, что такую помощь удастся организовать?

7. Дробь 2/1993 представьте всеми возможными способами в виде суммы двух дробей, числитель каждой из которых равен 1.

8. На пятидесятой клетке стоклеточной полосы стоит фишка. Играют двое, каждый может своим ходом передвинуть фишку на одну или две клетки в ту или иную сторону. Запрещено ставить фишку на клетки, где она уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнер?

9. Существует ли число, оканчивающееся на 11, которое делится на 11 и имеет сумму цифр, равную 11?

10. Биссектриса, медиана и высота, проведённые соответственно из вершин A, B и C треугольника ABC, пересекаются в точке O. Докажите, что если AB — наибольшая сторона треугольника, то BO > AO; а если наименьшая, то BO < AO.

Задачи первого номера 1994 года

11. Квадрат 4×4 разделён на единичные квадраты. Можно ли разложить сетку их границ в объединение восьми ломаных длины 5? А пяти ломаных длины 8?

12. Чебурашка и Крокодил Гена делят одно и то же натуральное число с остатком. Чебурашка делит его на 8, а Гена — на 9. Частное, которое получил Чебурашка, и остаток, который получил Гена, в сумме дают 13. Какой остаток получился у Чебурашки?

13. Существует ли такой многочлен с целыми коэффициентами, что его свободный член равен 1995, числа 1 и 5 являются его корнями, а значение в некоторой целой точке равно 1994?

14. В городе Подорожаевске регулярно изменяли цены на проезд в трамвае следующим образом: новая плата за проезд устанавливалась равной прежнему штрафу за безбилетный проезд, а новый штраф приравнивался десятикратной новой плате за проезд. Упрямый Фома принципиально не платил за проезд и в результате был 9 раз оштрафован; кроме того, однажды при уплате штрафа он потерял одну денежную купюру. В итоге он лишился 777 рублей. Какая купюра была утеряна?

15. В таблице 6×6 расставлены 36 чисел так, что сумма чисел по каждой из 22 диагоналей (диагональ может состоять из 1 (угловой), 2, 3, 4, 5 или 6 клеток) одна и та же. Какие значения может принимать эта сумма?

Задачи второго номера 1994 года

16. Какое число больше: (1 · 3 · 5 · 7 · ... · 1993)² или 1993⁹⁹⁷?

17. Четыре окружности расположены так, как показано на рисунке. В десяти образованных при этом ячейках записали разные цифры так, чтобы суммы чисел во всех кругах была одна и та же. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать такая сумма?

18. На боковой стороне BC равнобедренного треугольника ABC лежат точки M и N, причём MN = AN. Величины углов BAM и NAC равны. Найдите величину угла MAC.

19. Существует бесконечно много натуральных чисел, не оканчивающихся нулём, сумма цифр которых равна сумме цифр их квадратов. Докажите это.

20. На шахматной доске расставьте а) 16 чёрных и 16 белых фигур; б) 15 чёрных и 15 белых фигур так, чтобы на каждой горизонтали, на каждой вертикали и на каждой из двух диагоналей количество чёрных фигур равнялось количеству белых.