Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи пятого номера 1995 года

1. С тройкой чисел можно производить следующую операцию: взять два из них и заменить их на среднее арифметическое и среднее геометрическое этих чисел, третье оставив без изменения. Квадратный корень из числа 2 обозначим буквой a. Можно ли, несколько раз применив эту операцию, получить из тройки чисел 2 – a, 1, 2a + 3 тройку a – 1, 2, 3a – 1?

2. На гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника ABC взяты точки M и K так, что точка K лежит между точками A и M, а величина угла MCK равна 45°. Докажите равенство MK² = AK² + BM².

3. Найдите какое-нибудь натуральное число, которое при делении на любое натуральное числа от 2 до 10 включительно даёт остаток, не меньший половины делителя. А каково наименьшее такое число?

4. Можно ли замостить прямоугольник 7×15 фигурками из пяти клеточек 1×1, изображёнными на рисунке? (Фигурки можно поворачивать и переворачивать.)

5. На шахматной доске расставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга. Докажите, что можно поставить ещё одного коня так, чтобы вновь никакие два коня не били друг друга.

Задачи шестого номера 1995 года

6. Число 1995 может быть представлено в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел многими способами: например, 997 + 998, 664 + 665 + 666, 330 + 331 +332 + 333 + 334 + 335. В каком из таких представлений наибольшее число слагаемых?

7. Рассмотрим число, записываемое n девятками. Чему равна сумма цифр куба этого числа?

8. На доске записаны в ряд числа 1, 2, ..., 1995. Сначала стирают с доски все нечётные числа. Из оставшихся стирают все числа, оказавшиеся на чётных местах. Затем стирают числа, оказавшиеся на нечётных местах, и так пока не останется единственное число. Какое это число?

9. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условиям a + b = c + d = 1000. Каково максимально возможное значение суммы дробей a/c и b/d?

10. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки M, N, P и Q, делящие стороны четырёхугольника в отношении 1 : 2, как показано на рисунке. Докажите, что если четырёхугольник MNPQ — параллелограмм, то ABCD — тоже параллелограмм.

Задачи первого номера 1996 года

А Б В Г Д Е Ж З И А   – – + – – + – – Б –   + + + + + + + В – +   – – – + + – Г + + –   + – + – + Д – + – +   – + – + Е – + – – –   – – + Ж + + + + + –   – – З – + + – – – –   – И – + – + + + – –

11. Во время длительного полета некоторые члены экипажа космического корабля поссорились и перестали разговаривать друг с другом. В таблице плюсы обозначают, что данные люди ещё не поссорились, а минусы — что они не разговаривают друг с другом. Радист А узнал некоторую новость о событиях на Земле и сообщил её одному из тех, кто с ним разговаривает (то есть Г или Ж), тот ещё одному, и так далее. Последним узнал новость Е. Каким путём пришла к нему эта новость?

12. Все вершины ломаной ABCDE лежат на окружности, как показано на рисунке. Углы при вершинах B, C и D равны 45°. Докажите равенство AB² + CD² = BC² + DE².

1 2 3 4 5 6 7 8 16 15 14 13 12 11 10 9 17 18 19 20 21 22 23 24 32 31 30 29 28 27 26 25 33 34 35 36 37 38 39 40 48 47 46 45 44 43 42 41 49 50 51 52 53 54 55 56 64 63 62 61 60 59 58 57

13. Поля шахматной доски занумерованы, как показано на рисунке. Расставьте на этой доске несколько ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, а сумма номеров полей, на которых они стоят, была наибольшей.

14. Для любого натурального числа k сущестуют такие k различных натуральных чисел, что произведение любых двух из этих чисел делится на разность этих двух чисел.

15. Натуральные числа a, b и c таковы, что ab + bc = ca. Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и c равен сумме наибольшего общего делителя чисел a и b с наибольшим общим делителем чисел b и c.

Задачи второго номера 1996 года

16. Отец и сын катаются по кругу на катке. Время от времени отец обгоняет сына. Когда сын стал двигаться по кругу в противоположном направлении, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает на коньках быстрее своего сына?

17. Квадрат, вписанный в круг радиусом 5, разделён на несколько одинаковых квадратиков. После того как из квадрата удалили два маленьких квадратика, оставшуюся часть удалось поместить в круг радиусом 4. Можно ли убрать ещё один квадратик так, чтобы остаток поместился в круге радиусом 3?

18. Во дворце императора по кругу было установлено 10 золотых скульптур. Император, страстный любитель искусства и математики, повелел между каждыми двумя соседними скульптурами установить шар, масса которого равна разности масс этих скульптур. Придворный математик заметил, что в таком случае можно часть этих шаров положить на одну чашку весов, а остальные на другую чашку так, что весы окажутся в равновесии. Прав ли он?

19. В шахматном матче между городами Васюки и Арбатов с каждой стороны участвовало по 1996 шахматистов. Организаторы матча решили, что система, при которой первый играет с первым, второй со вторым и так далее, слишком скучна, и решили разбить игроков на пары так, чтобы сумма номеров игроков в каждой паре была квадратом целого числа. Возможно ли такое разбиение?

20. Найдите все пары натуральных чисел x и y, для которых справедливы следующие три условия: Зx при делении на y даёт остаток 1; Зy при делении на x даёт остаток 1; xy при делении на 3 даёт остаток 1.