Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 1999 года

1. Каждая из восьми нарисованных фигурок состоит из единичного квадрата и двух его «половинок» — прямоугольных треугольников. Можно ли из них сложить квадрат 4×4 (фигурки разрешено переворачивать)?

2. а) Имеется бесконечный лист клетчатой бумаги. В начальный момент на одной из клеток находится микроб первого поколения. Через секунду в двух соседних с ним клетках появляется по одному микробу второго поколения. Ещё через секунду в двух соседних клетках с каждым микробом второго поколения появляется по микробу третьего поколения. Ещё через секунду в двух соседних клетках с каждым микробом третьего поколения появляется по микробу четвёртого поколения и так далее (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). При этом не допускается, чтобы в какой-либо клетке оказалось более одного микроба. Какое наибольшее число поколений может оказаться на листе?
б) Тот же вопрос, если соседними считаем и клетки, имеющие общую вершину.

3. Найдите все такие натуральные числа x, что десятичная запись числа x² + 1 состоит только из а) двоек; б) семёрок.

4. На стороне AB параллелограмма ABCD задана точка P. Постройте вписанный параллелограмм с вершиной в точке P, стороны которого отсекают от параллелограмма ABCD четыре треугольника равной площади.

5. Укажите бесконечное множество пар таких чисел, что сумма чисел каждой пары равна их произведению, одно из этих чисел — целое, а другое — рациональное.

Задачи пятого номера 1999 года

2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81

6. Иногда на обложках тетрадей взамен таблицы умножения печатают «Таблицу Пифагора» — квадратную таблицу размером 8×8, строкам и столбцам которой присвоены номера от 2 до 9, а на пересечении каждой строки и столбца стоит произведение их номеров. Можно ли вычеркнуть из этой таблицы несколько строк и столбцов так, чтобы сумма оставшихся незачёркнутыми чисел была простым числом? А сумма зачёркнутых чисел?

7. Для любой точки, расположенной внутри треугольника, есть хотя бы одна его вершина, удалённая от неё не более чем на длину его средней по длине стороны, делённое на корень квадратный из 2. Докажите это.

8. Если сумма корней третьей степени из двух данных рациональных чисел рациональна, а эти корни иррациональны, то сумма равна нулю. Докажите это.

9. По кругу записаны n натуральных чисел, каждые два соседних числа различаются на 1. Назовём число значительным, если оба соседа меньше его; сумма всех значительных чисел равна M. Назовём число незначительным, если оба соседа больше его; сумма всех незначительных чисел равна m. Докажите равенство n = 2(M – m).

10. Найдите все такие натуральные числа, каждое из которых в 100 раз больше количества его делителей.

Задачи шестого номера 1999 года

11. Какие целые числа представимы в виде частного от деления числа (x² — 1)y на (y² — 1)x, где x и y — целые числа?

12. Двое играют на доске m×n клеток. Двое по очереди проводят отрезок по одной стороне или диагонали одной клетки (дважды проводить один и тот же отрезок нельзя), причём ни в одной клетке её диагонали не должны пересекаться. Тот, кто первым нарушит это условие, проиграет. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

13. Числа x, y, z удовлетворяют равенству