Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 2004 года

1. При помощи какого наименьшего количества взвешиваний на чашечных весах без гирь всегда можно обнаружить 3 фальшивые монеты среди 11 одинаковых по внешнему виду монет, выложенных в ряд, если фальшивые монеты более тяжёлые, все весят одинаково и расположены подряд (то есть между фальшивыми монетами настоящая появиться не может)?

2. При каких простых числах p число 2^p + 1 делится на 9?

3. С помощью линейки и циркуля с постоянным раствором постройте остроугольный треугольник, один из углов которого вдвое больше другого.

4. Решите в целых числах систему уравнений ux – vy = 2 и vx + uy = 2.

5. В стол воткнули три вертикальных стержня. На первый стержень стопкой надели n красных колец, на второй — n синих, а третий стержень оставили пустым. За один ход разрешено снять верхнее кольцо с любого стержня и надеть его на любой другой стержень поверх имеющихся на нём колец. Каждый стержень может вместить все кольца. Требуется переложить кольца так, чтобы они снова лежали на первых двух стержнях, а их цвета чередовались. При этом на первом стержне чередование должно начинаться с синего кольца (считая снизу), а на втором — с красного.
а) За какое наименьшее число ходов это можно сделать?
б) Для каких n можно было бы осуществить требуемую перекладку, если бы каждый стержень вмещал не более n колец?

Задачи пятого номера 2004 года

6. Решите в положительных числах систему уравнений a + b² = 1, b + c² = 5 и c + a² = 2.

7. В волейбольном турнире (в один круг) участвовали k команд. Если для каких-то двух команд A и B команда A победила команду B, то существует такая команда C, что команда B победила команду C, а команда C — команду A. При каких k возможен такой турнир? (В волейболе ничьих не бывает.)

8. Существует такое 2004-значное натуральное число n, что сумма цифр числа n равна сумме цифр числа kn для любого натурального числа k, не превосходящего n. Докажите это.

9. На плоскости дан квадрат со стороной 1. Разрешено выбрать любые две его вершины и перенести одну из них на любое расстояние в произвольном направлении (в пределах плоскости), а другую — на такое же расстояние в противоположном направлении. После нескольких таких операций получили квадрат, конгруэнтный исходному. Докажите, что площадь пересечения квадратов больше 0,8.

10. Если 2^a + 2^b = 2^c + 2^d, где a, b, c и d — натуральные числа, то a + b = c + d. Докажите это.

Задачи шестого номера 2004 года

11. Существуют ли положительные числа x, y и z, одновременно удовлетворяющие равенствам x + y + z = 1 и (1 – x)(1 – y)(1 – z) = xyz?

12. Существует бесконечно много натуральных чисел n, обладающих следующим свойством: если к десятичной записи числа 2ⁿ приписать слева запись числа 2ⁿ⁺¹, то получим запись числа, делящегося на 7. Докажите это.

13. Если существуют три прямоугольных треугольника: с катетами a, b и гипотенузой c; с катетами x, y и гипотенузой z; с катетами a + x, b + y, и гипотенузой c + z,— то эти треугольники подобны. Докажите это.

14. Есть шахматная доска и а) один кубик; б) два одинаковых кубика. Все грани по размерам равны клетке доски. У каждого кубика две противоположные грани белые, а все остальные — чёрные. Можно ли поставить кубик (соответственно, кубики) на некоторую клетку (клетки) доски и прокатить по ней, перекатывая через ребро, так, чтобы на каждой клетке хотя бы раз побывал какой-либо кубик, причём цвет клетки всегда совпадал с цветом соприкасающейся с ней грани?

15. Квадратное поле со стороной 180 м засеяли рожью. На любом участке 40 м × 100 м, стороны которого параллельны сторонам поля, засеяно не меньше 91% его площади. Какое наименьшее число процентов площади поля могли засеять рожью?

Задачи первого номера 2005 года

16. Найдите все квадраты натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых все цифры одинаковы.

17. У плоской замкнутой десятизвенной ломаной ABCDEFGHKLA совпадают середины пар звеньев АВ и FG, ВС и GH, CD и HK, DE и KL. Докажите, что середины звеньев ЕF и LA также совпадают.

18. Если наименьшее общее кратное двух натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя на их разность, то наименьшее общее кратное равно квадрату наибольшего общего делителя. (Иначе говоря, если НОK[a;b] = НОД(a;b) · (a – b), то НОK[a;b] = НОД(a;b)².) Докажите это.

19. Какое наибольшее число клеток шахматной доски можно отметить, чтобы не нашлось ни одного тупоугольного треугольника с вершинами в центрах отмеченных клеток?

20. Плоскость разделена вертикальными и горизонтальными прямыми на бесконечное число одинаковых клеток. В каждой клетке записано натуральное число, причём каждое число n записано ровно в n клетках (то есть всего на доске одна единица, две двойки, три тройки и так далее). Для каждой пары соседних клеток подсчитаем абсолютную величину разности чисел этих клеток (соседними считаем клетки, имеющие общую сторону). Какое наименьшее значение может принимать наибольшая из этих разностей?