Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 2005 года

1. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 расположены на двух окружностях так, как показано на рисунке. За один шаг можно сдвинуть стоящие на одной окружности четыре цифры по кругу так, чтобы каждая из них заняла место соседней с ней цифры. Можно ли за несколько шагов добиться того, чтобы цифры 1 и 6 поменялись местами, а все остальные цифры оказались на первоначальных местах?

2. Найдите x + y + z, если числа x² + y² + z², x³ + y³ + z³ и x⁵ + y⁵ + z⁵ равны 1.

3. Среди любых семи целых чисел можно выбрать такие четыре числа а, b, c, d, что ab – cd делится на 7. Докажите это.

4.На плоскости проведено несколько прямых, которые, пересекаясь между собой, дают несколько не перекрывающих одна другую пятиконечных звёзд. Например, на рисунке девять прямых образуют три звезды. А может ли таких звёзд быть больше, чем прямых?

5. Натуральное число называем чётнолюбивым, если каждая его цифра, стоящая на чётном месте, не меньше любой соседней с ней цифры (номер места цифры отсчитываем слева направо). Называем натуральное число нечётнолюбивым, если каждая цифра, стоящая на нечётном месте, не меньше любой соседней с ней цифры. Однозначные числа, для которых невозможно сравнить соседние цифры, будем считать одновременно и чётнолюбивыми, и нечётнолюбивыми. Верно ли, что: а) любое чётнолюбивое число, большее 1, представимо в виде суммы двух нечётнолюбивых чисел; б) любое нечётнолюбивое число, большее 1, представимо в виде суммы двух чётнолюбивых чисел?

Задачи пятого номера 2005 года

6. Десять абсолютно одинаковых по внешнему виду монет расположены в узлах пятиконечной звезды. Две из них фальшивые, причём они соседствуют друг с другом. Соседями считаем монеты, соединённые на рисунке отрезком. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь обнаружить местоположение фальшивых монет, если известно, что все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты весят одинаково, а вес фальшивой монеты больше веса настоящей монеты?

7. Натуральные числа a и b таковы, что дроби (a – 2b)/(a + 2b) и (2a – b)/(2a + b) сократимы. Обязательно ли дробь a/b тоже сократима?

8. Луч света, направленный из вершины квадрата, отразившись 2005 раз от его стенок по закону «угол падения равен углу отражения», заканчивает свой путь в другой вершине квадрата. Какое наименьшее расстояние мог пройти при этом луч, если длина стороны квадрата равна 1?

9. Для каких натуральных n можно выписать в строку слева направо все числа от 1 до n в таком порядке, чтобы каждое число, начиная со второго, было делителем суммы всех чисел, расположенных левее его?

10. а) Известно, что из комплекта домино (28 костей) можно убрать n костей так, что оставшиеся нельзя будет выложить в один ряд. Если из комплекта домино убрать любые n – 1 костей, то оставшиеся всегда можно будет выложить в один ряд. Определите число n.
б) Из комплекта домино наугад убрали n костей, где число n определено в предыдущем пункте. Оставшиеся кости либо можно выложить в один ряд, либо нельзя. Какой исход имеет больше шансов?

Задачи шестого номера 2005 года

11. Из n монет составлен столбик. Разрешено взять из него любые две соседние монеты, затем одну из них положить в самый верх столбика, а другую — в самый низ. Для каких n с помощью нескольких таких операций можно расположить монеты в обратном порядке?

12. Рассмотрим арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел. Докажите, что сумма кубов первых нескольких её членов делится на сумму этих членов.

13. Треугольники ABC, ADE, BFD, CEG, BGH — равносторонние и одинаково ориентированные. Докажите, что треугольник EFH тоже равносторонний.

14. Укажите хотя бы одно такое натуральное число n, что произведение дробей 1/2, 5/6, 9/10, ..., (4n + 1)/(4n + 1) меньше числа 1/2005, которое в свою очередь меньше произведения дробей 4/5, 8/9, 12/13, ..., (4n + 4)/(4n + 5).

15. а) Назовём полуладьей такую ладью, которая обстреливает поля доски только в двух взаимно перпендикулярных направлениях из четырёх возможных. Какое наибольшее число полуладей можно расставить на доске, чтобы никакая из них не угрожала никакой другой?
б) Тот же вопрос, если полуладья обстреливает поля доски не в двух перпендикулярных, а в двух противоположных направлениях.
в) Назовём почти ладьей такую ладью, которая обстреливает поля доски в трёх взаимно перпендикулярных направлениях из четырёх возможных. Какое наибольшее число почти ладей можно расставить на доске, чтобы никакая из них не угрожала никакой другой?

Задачи первого номера 2006 года

16. Для любых целых чисел x, y и z удвоенная сумма модулей чисел (x – y)(y – z) + (y – z)(z – x) + (z – x)(x – y), (x – y)(y – z), (y – z)(z – x) и (z – x)(x – y) является квадратом целого числа. Докажите это.

17. Взаимно простые натуральные числа a, b и c таковы, что a² + b² = c². Докажите, что остаток от деления числа c на 4 равен 1.

18. Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что как ни разрезай его на три треугольника, всегда среди них найдётся треугольник площади 1. Докажите, что ABCD — параллелограмм площади 2.

19. Дано натуральное число n. Два игрока ходят по очереди, выписывая в строку по одной цифре (каждую последующую цифру записывают справа от предыдущей, самая первая цифра не должна быть нулём). Если после очередного хода полученное число делится на n, то игрока, сделавшего этот ход, объявляют победителем. При каких n один из игроков может обеспечить себе победу при любой игре противника?

20. Идёт игра в «морской бой». На клетчатом поле размером 7×7 спрятан трёхпалубный корабль. За какое наименьшее число выстрелов его можно наверняка потопить?