Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 2006 года

1. В ряд выложены 28 одинаковых по внешнему виду монет. Среди них есть две рядом лежащие фальшивые монеты — более тяжёлые, чем настоящие. Можно ли за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивые монеты?

2. Число 1010101...101, в котором 100 нулей и 101 единица, является составным, каково бы ни было основание системы счисления, в котором оно записано. Докажите это. (Основание системы счисления — натуральное число, большее 1.)

3. Квадратное поле разделили 2005 вертикальными и 2005 горизонтальными линиями на прямоугольные участки, на каждом из которых поселился рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый владелец заявил, что площадь его участка больше площадей соседних по стороне участков. Какое наибольшее количество владельцев могли быть рыцарями?

4. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки X, Y и Z так, что отрезки AX, BY и CZ делят соответствующие стороны треугольника ABC пополам. Обязательно ли точки X, Y и Z являются серединами сторон треугольника ABC?

5. Найдите наибольшее натуральное число n, которое делится на все натуральные числа, квадраты которых не превышают числа n.

Задачи пятого номера 2006 года

6. Гирьки набора 1 г, 2 г, ..., 100 г разложили по 50 штук на 2 чашки весов так, что весы показали равновесие. Верно ли, что с каждой чашки можно снять по 2 гирьки так, что равновесие сохранится?

7. Укажите две целочисленные арифметические прогрессии, в одной из которых бесконечно много квадратов целых чисел, но ни одного куба, а в другой — бесконечно много кубов, но ни одного квадрата.

8. Величины всех углов 400-угольника измеряются целыми числами градусов. Докажите, что у него есть хотя бы три параллельные стороны.

9. Если сумма трёх неотрицательных чисел x, y и z равна 1, то сумма чисел, обратных числам 1 + x², 1 + y² и 1 + z² не меньше 5/2. Докажите это.

10. Какое наибольшее количество шахматных коней можно расставить на доске 301×301 так, чтобы они не били друг друга?

Задачи шестого номера 2006 года

11. Сложили n трёхзначных чисел, в записи каждого из которых цифры идут в порядке возрастания слева направо. В результате получили число, в записи которого цифры идут в порядке убывания. При каком наименьшем n такое возможно?

12. а) Существует бесконечно много положительных чисел, дробная часть которых на 0,25 больше дробной части их квадрата. Докажите это.
б) Не существует ни одного положительного числа, сумма дробной части которого и дробной частью его квадрата равна 0,5. Докажите это.

13. Могут ли три луча разделить угол BAC на две пары конгруэнтных углов, а отрезок BC — на две пары равных по длине отрезков так, как показано на рисунке (конгруэнтные углы и соответствующие равные по длине отрезки изображены одним цветом)?

14. Если n и k — нечётные натуральные числа, то сумма k-х степеней любых n последовательных целых чисел делится на n. Докажите это.

15. Для каких натуральных n в клетках квадратной таблицы n×n можно расставить числа от 1 до n² так, чтобы суммы чисел во всех вертикалях, всех горизонталях и обеих диагоналях были нечётными?

Задачи первого номера 2007 года

16. Из 80 первых натуральных чисел выбрали 20 нечётных и 20 чётных чисел с равными суммами. Докажите, что среди выбранных есть два числа, сумма которых равна 81.

17. В прямоугольном равнобедренном треугольнике отмечена точка P пересечения его катета с биссектрисой противолежащего угла. Используя только циркуль произвольного, но фиксированного раствора, постройте центр вписанной окружности данного треугольника.

18. а) Придумайте три различных натуральных числа, сумма восьмых степеней которых делится на сумму их четвёртых степеней, сумма четвёртых степеней делится на сумму квадратов, а сумма квадратов делится на сумму самих этих трёх чисел.

19. Найдите множество таких рациональных чисел p/q, что существуют p + q последовательных натуральных чисел, сумма первых p из которых равна сумме остальных q.

20. Каждая клетка шахматной доски разрезана по одной из её диагоналей. На какое а) наименьшее; б) наибольшее количество частей могли разделить доску эти разрезы?