Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»
Задачи четвёртого номера 2009 года
1. Шахматную фигуру, которая умеет ходить и как ладья, и как конь, назовём канцлером, а фигуру, обладающая возможностями ферзя и коня,— магараджей. Расставьте на шахматной доске четыре канцлера и четыре магараджи так, чтобы ни одна из фигур не била никакую другую.
2. Числа a и b называют дружественными, если сумма всех делителей числа a, кроме самого числа a, равна b, а сумма всех делителей числа b, кроме самого b, равна a. (Например, 220 и 284 — дружественные.) Взяли два дружественных числа a и b. Нашли сумму чисел, обратных к делителям числа a, вычли единицу и получили результат x. Проделав то же самое для числа b, получили результат y. Чему равно произведение xy?
3. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены автомобильными дорогами. Между любыми двумя городами есть авиационное сообщение. Из каждого города выходит нечётное число дорог. Путешественник хочет проехать по каждой дороге ровно один раз (в одном из двух направлений, ездить по дороге дважды
запрещено). Какое наименьшее число авиаперелётов ему придётся совершить?
4. Натуральное число a назовём уютным, если одно из чисел a – 1 и a + 1 простое, а другое — составное. Докажите, что уютных чисел бесконечно много.
5. Диагональ AC четырёхугольника ABCD является биссектрисой угла BCD, при этом величина угла BCD равна 120°, а величина угла BAD равна 30°. Докажите, что периметр треугольника BCD равен длине отрезка AC.
Задачи пятого номера 2009 года
6. На новом сайте «Разговоры.ru» зарегистрировались 2000 человек. Каждый из них пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
7. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты — не равны?
8. Двести гирек 1 г, 2 г, …, 200 г разложили на две чаши весов так, что любые две гири с разницей масс 100 г попали на разные чаши и любые две гири с суммой масс 201 г тоже попали на разные чаши. При этом весы оказались в равновесии. Затем с каждой чаши убрали все гири чётной массы. Докажите, что весы снова будут в равновесии.
9. Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a3 + b3 + c3 + d3 = 100100?
10. На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP = CQ. Докажите, что центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.
Задачи шестого номера 2009 года
11. Расставьте между числами в левой части равенства
75 + 74 + 73 + 72 + 7 + 1 = 2009
знаки арифметических действий и скобки так, чтобы равенство стало верным.
12. Назовём натуральное число возрастающим, если в нём каждая следующая цифра больше предыдущей (например, 23689). Докажите, что если возрастающее число умножить на 9, то сумма цифр полученного числа равна девяти.
13. Из пронумерованных квадратных фишек 1×1 сложена фигура, содержащая два квадрата 2×2, причём фишка номер 4 — общая:
Фишки каждого квадрата 2×2 можно повернуть вокруг его центра на угол, кратный 90°. Выясните, можно ли при помощи таких поворотов получить расположения, показанные на левом и правом рисунках:
14. Докажите, что если среди чисел a, b, c хотя бы два положительны и ab + bc + ca = 1, то сумма a + b + c не меньше квадратного корня из 3.
15. Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на четыре части, из которых складывается прямоугольник.
Задачи первого номера 2010 года
16. Дана равнобокая трапеция с боковыми сторонами длины a и диагоналями длины b. Найдите произведение длин её оснований.
17. Бильярдный шар выпустили из вершины A квадратного стола ABCD. Он отражается от бортов по закону «угол падения равен углу отражения». Известно, что никакие два удара подряд не пришлись на противоположные борта, причём первый удар был от борта BC. После 2010 ударов от бортов шар наконец попал в вершину стола. В какую?
18. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости со стороной клетки 1 записано по числу. Если центры трёх клеток образуют треугольник со сторонами 3, 4, 5, то числа, записанные в этих клетках, дают в сумме ноль. Обязательно ли тогда во всех клетках записаны нули?
19. Пусть a < b < c — наименьшие возможные составные числа, идущие в порядке возрастания, каждое из которых не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что произведение abc — точный куб натурального числа.
20. В некоторой конторе 25 кабинетов, занумерованных числами от 1 до 25. У коменданта 25 ключей с номерами от 1 до 25, так что каждый ключ открывает кабинет с таким же номером. Но некоторые ключи могут открывать не только один кабинет, и из того, что ключ N открывает кабинет M, не следует, что ключ M открывает кабинет N.
Контору продали, двери покрасили (номера не видны). Новый комендант со старой связкой ключей стал открывать кабинеты. Открыв кабинет, он оставляет ключ в двери и идёт дальше, к уже открытым кабинетам не возвращается. Может случиться, что некоторые кабинеты ему не удастся открыть. Сколько таких кабинетов может быть в самом плохом случае? (Укажите возможное число и докажите, что больше быть не может.)
| 
