1. Найдутся ли 10 разных натуральных чисел, ни одно из которых не является квадратом целого числа, со свойством:
а) произведение любых двух из этих чисел является квадратом целого числа;
б) произведение любых трёх из этих чисел является квадратом целого числа?

2. Фигура «соты» представляет собой объединение трёх равных правильных шестиугольников. Разрежьте эту фигуру на три одинаковые части и сложите из них один правильный шестиугольник.

3. Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как обычная шахматная ладья. Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на чёрную доску размерами 8×8 клеток. Сможет ли он раскрасить её в шахматном порядке?

4. В прямоугольном треугольнике вписанная окружность касается одной из средних линий. Докажите, что длины сторон этого треугольника относятся друг к другу как 3 : 4 : 5.

5. В числе, являющемся натуральной степенью двойки, переставили цифры. Может ли полученное число оказаться большей натуральной степенью двойки?

Задачи пятого номера 2010 года

6. В единичные треугольники фигуры впишите числа от 1 до 12 так, чтобы сумма четырёх чисел в каждом треугольнике со стороной 2 была равна 20.

7. Квартира размером 3×3 представляет собой квадрат, разделённый стенами на квадратики–комнаты размером 1×1. Между каждыми двумя соседними по стене комнатами есть дверь, но сейчас все двери заперты. Какое наименьшее число дверей нужно открыть, чтобы кот, сидевший в одной из комнат, мог гулять по всей квартире?

8. Два одинаковых точечных шара движутся с разными скоростями по одной окружности в одну сторону. Запущенные с этими скоростями каждый в отдельности, они делали бы в минуту 7 и 12 оборотов соответственно. При совместном движении они сталкиваются, обмениваясь после удара своими скоростями. Докажите, что шары будут встречаться в конечном числе точек, расположенных в вершинах некоторого правильного многоугольника, и найдите число этих точек.

9. На плоскости даны два непересекающихся круга. Найдётся ли вне кругов такая точка A, что любая прямая, проходящая через A, обязательно «заденет» хотя бы один из этих кругов (то есть пересечёт или коснётся)?

10. Фирма выпускает наборы из 7 теннисных мячиков в двух видах упаковок: длинный цилиндр толщиной в один мячик и плоский цилиндр высотой в 1 мячик, как показано на рисунке. Мячики касаются друг друга и стенок так, чтобы не болтались. Пустое место заполняется пластиковой крошкой. а) На заполнение какой упаковки — длинной или плоской,— уходит больше крошки? б*) Сколько граммов крошки уходит на заполнение плоской упаковки, если на заполнение длинной уходит 90 граммов?
Для решения пункта б) вам понадобится интересный факт, который знал ещё Архимед: шар занимает ровно 2/3 объёма цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра).

Задачи шестого номера 2010 года

11. Настольные часы с часовой и минутной стрелками имеют форму куба с круглым циферблатом в центре одной из граней. На часах нет чисел и каких-либо пометок, показывающих, где у них верх. Поэтому можно случайно поставить их на бок или даже вверх ногами.
а) Какое время показывают часы на рисунке?
б) Есть ли в сутках хотя бы один такой момент, когда нельзя будет определить, какое время показывают эти часы?

12. По кругу стоят 10 бочек с водой. Сначала половину воды из первой бочки перелили во вторую; потом треть воды из второй бочки перелили в третью; затем четверть воды — из третьей бочки в четвертую, ..., после чего 1/10 из девятой бочки перелили в десятую, и, наконец, долили воду из десятой бочки в первую до её исходного уровня. Могло ли в каждой бочке оказаться столько же воды, сколько было в ней вначале?

13. Пусть n — натуральное число. Каких треугольников с целыми длинами сторон больше: разносторонних, у которых длины сторон не меньше 1 и не больше n + 3, или всевозможных, у которых длины сторон не меньше 1 и не больше n?

14. 60 детей построились парами и пошли в музей. По пешеходному переходу они шли толпой, а после него снова построились парами (но некоторые пары могли стать другими). Докажите, что в музее детей можно разбить на три равные группы так, что дети в одной группе ни разу не были в одной паре.

15. Величина угла C при вершине равнобедренного треугольника ABC равна 120°. Из вершины C выпустили внутрь треугольника два луча, которые, отразившись от основания AB в точках M и N (по закону «угол падения равен углу отражения»), попали соответственно на боковую сторону AC в точку P и на боковую сторону BC в точку Q. Отрезок PQ пересекает CM в точке X, а CN — в точке Y. Докажите, что AP = CQ, то треугольники PMX, XCY и QNY равны.