Счастливая комбинация генов, породившая необычайно одарённого ребёнка, была произведена Отто Гильбертом и его женой Марией где-то весной 1861 года, и 23 января 1862 года ровно в час дня в Велау вблизи Кёнигсберга —столицы Восточной Пруссии ¹ — у них родился первенец. Своего сына они назвали Давидом.

Автобиография и семейная хроника, оставленные основателем кёнигсбергской ветви семьи Гильбертов, знакомят нас с родословной Давида по отцовской линии. Уже в XVII веке Гильберты были известны в Саксонии. В основном это были ремесленники или торговцы, однако довольно часто, чтобы это стоило отметить, они выбирали себе жён из учительских дочерей. Все они были протестантами, а их библейские имена, по-видимому, показывали их принадлежность к пиетистам — фундаменталистской секте того времени, исповедующей «покаяние и веру как веление сердца, а воскрешение и святость как экспериментальные факты».

В начале XVIII столетия некто Иоганн Христиан Гильберт, начав с медника, стал преуспевающим оптовым торговцем кружевами. Имея в своём подчинении более сотни служащих, он считался «самым именитым гражданином» в маленьком городке Бранд недалеко от Фрейберга. К несчастью, он умер, оставив своих детей совсем маленькими, а его наследство было промотано не очень щепетильными опекунами. Нужда заставила его сына Христиана Давида Гильберта пойти в ученики к цирюльнику. Служба военным цирюльником в армии Фридриха Великого забросила его в Кёнигсберг. По-видимому, это был человек исключительной энергии и трудолюбия. Он купил цирюльню, затем записался в местный университет, изучал медицину, после чего получил право стать городским хирургом и акушером. С этих пор Гильберты были людьми с профессией и выбирали жён, как правило, среди купеческих дочерей. Один из многочисленных детей Христиана Давида — Давид Фюрхтготт Леберехт (Бойся Бога, Живи Правильно) — был дедом Давида. Он был судьёй и носил довольно почётный титул Geheimrat ². Его сын Отто занимал к моменту рождения Давида должность окружного судьи. Один из его братьев был адвокатом, другой — директором гимназии, что по положению соответствовало директору средней школы, но пользовалось значительно большим престижем.

Немного известно о родословной Давида по материнской линии. Карл Эрдтман был купцом из Кёнигсберга, его дочь Мария Тереза стала матерью Давида. Это была необычайная женщина — «оригинал» в немецком понимании этого слова. Она интересовалась философией, астрономией и была очарована простыми числами.

Рождение Давида почти в точности совпало с рождением германского национализма. Несколькими месяцами ранее брат умершего короля Пруссии совершил традиционное паломничество в Кёнигсберг. Здесь, в старинной замковой церкви, он возложил на свою голову корону Прусской империи. Спустя некоторое время он назначил главным министром своего двора графа Отто фон Бисмарка-Шёнхаузена. В последующий период войн за объединение Германии под началом Пруссии отец Давида стал городским судьей и переехал вместе со своей семьей в Кёнигсберг.

Столица Восточной Пруссии возникла в середине тринадцатого столетия, когда рыцари Тевтонского ордена построили свой замок на пойме, расположенной между двумя рукавами реки Прегель ³, впадающей в Балтийское море. И во времена Давида этот прочный замок всё ещё стоял, окружённый городом, незадолго до этого модернизованным с помощью газового света и конки. Дом Гильбертов на Кирхенштрассе, 13 был в нескольких кварталах от реки — «наших ворот к свободе», как любили её называть жители Кёнигсберга. Хотя город находился в четырёх с половиной милях от устья Прегели, резкий солёный вкус Балтики был повсюду. По зелёным лужайкам разгуливали чайки. Морские ветры наполняли яркие паруса рыбацких лодок. Запах солёной воды, рыбы, дёгтя, древесины и копоти висел над городом. Лодки и баржи, поднимавшиеся по Прегели, везли экзотические товары, нагружаемые и разгружаемые перед высокими пакгаузами, стоявшими на берегу реки. Возвращаясь к морю, они везли Bernstein (янтарь) и прекрасное белое, как облако, вещество, используемое при изготовлении курительных трубок и называемое Meerschaum ⁴. Семь больших мостов, каждый со своей собственной и заботливо охраняемой индивидуальностью, связывали берега Прегели с маленьким островом. Не имея собственных источников воды, он назывался Кнейпхоф, что означает пивной двор. Благодаря именно этим мостам Кёнигсберг впервые вошел в историю математики. За столетие до этого Эйлер решил одну задачу, связанную с этими мостами, положившую начало тому, что теперь называется топологией. Кёнигсбергский собор был расположен на Кнейпхофе, рядом с ним находились старый университет и могила Иммануила Канта — величайшего сына Кёнигсберга.

Детство Гильберта, как и большинства подростков Кёнигсберга, прошло в атмосфере преклонения перед Кантом. Каждый год 22 апреля, в годовщину рождения великого философа, его склеп, рядом с собором, был открыт для публики. В такие дни Давид, несомненно, сопровождал свою философски настроенную мать, чтобы почтить память Канта, видел бюст со знакомыми чертами, украшенный в этот особый день свежим лавровым венком, и читал на стене склепа:

Мать должна была также обратить внимание сына на созвездия и ввести его в мир тех интересных «первых» чисел, которые, в отличие от других, делятся только на себя и на 1.

Благодаря отцу раннее обучение Давида носило отпечаток прусских черт пунктуальности, бережливости, преданности долгу, усердия, дисциплины и уважения к закону. Должность судьи в Пруссии доставалась продвижением по гражданской службе. Это была удобная и надёжная карьера для консервативного человека. По рассказам, судья Гильберт был довольно ограниченным человеком, со строгими взглядами на добропорядочное поведение, настолько постоянным в своём образе жизни, что изо дня в день придерживался строго определённого распорядка и так «осел» в Кёнигсберге, что покидал его только в свои ежегодные каникулы, отправляясь в это время на Балтийское море.

Давид был единственным сыном Гильбертов. С шести лет у него появилась сестра, названная Элизой.

В год, когда Давиду исполнилось семь лет, сам король, ставший вскоре кайзером Германии, впервые после своей коронации вернулся в Кёнигсберг. Мальчику представился случай лично увидеть человека, которому, говоря словами городской хроники, «предназначалось возвысить свой дом до величайшего великолепия, а свою родину до величайшего могущества». Когда большая толпа людей собралась на деревянном мосту над замковым озером, чтобы увидеть короля, мост, не выдержав тяжести, рухнул, вследствие чего утонуло 67 человек.

На следующий год Пруссия начала войну против Франции. Через несколько месяцев триумфальная новость облетела столицу Восточной Пруссии — французский император взят в плен. В то время как Бисмарк и генералы готовились к осаде Парижа, восьмилетний Давид начал ходить в школу. Обычным возрастом для поступления в школу было шесть лет, и опоздание на два года указывает, что, по-видимому, свои первые уроки Давид получил дома, скорее всего от своей матери. Она была уже почти инвалидом и, как говорят, бóльшую часть времени проводила в постели.

В приготовительной школе королевского Фридрихс-колледжа Давид получил первые уроки, необходимые для гуманитарной гимназии. В неё он должен был поступить, если бы пожелал получить специальность, духовный сан или стать университетским профессором. Эти уроки включали чтение и письмо на латинском и готическом алфавитах, правописание, части речи, анализ простых предложений, важные библейские истории и простую арифметику, включавшую сложение, вычитание, умножение и деление небольших чисел.

Осенью 1872 года, когда он уже совсем подготовился к гимназии, в Кёнигсберг с триумфом возвратилась прусская армия. Но на самом деле более важным для Давида было то, что в это же время еврейская семья Минковских переехала в их город из местечка Алексотен под Ковно ⁵. Своё родное место они вынуждены были покинуть из-за преследований, которым подвергались евреи в царской России. Отцу семейства — удачливому торговцу — пришлось второпях всё распродать, понеся убытки. В Кёнигсберге он завёл новое дело — экспорт тряпья, идущего на изготовление бумаги. Дети были обеспокоены этой переменой в жизни семьи, однако мать успокоила их, сказав, что новое занятие отца — одно из благороднейших, так как бумагу лучших книг, которые им так нравилось читать, можно сделать только из этого тряпья. В конце концов дела отца снова пошли в гору, хотя поначалу времена были тяжёлые. Семья переехала в большой старый дом рядом с железнодорожной станцией, на берегу Прегели. На другой стороне реки жили Гильберты.

Макс, старший из мальчиков Минковских, в России не имел возможности поступить в гимназию из-за своего еврейского происхождения. Так никогда и не получив официального образования, он стал партнёром в делах отца, а после смерти последнего фактически «отцом семейства». Оскар, второй сын, стал одним из немногих евреев, посещавших Альтштадтскую гимназию в Кёнигсберге. Позже, став врачом и исследователем в области медицины, он обнаружил связь между диабетом и поджелудочной железой и прославился как «дедушка инсулина». Третий сын, Герман, в возрасте восьми с половиной лет поступил в приготовительную школу той же гимназии. Согласно жизнеописанию семьи, с любовью написанному их сестрой Фанни и названному «Три универсальных гения», братья Минковские произвели «сенсацию» в Кёнигсберге «не только своими большими талантами; но и личным обаянием». Особенно впечатляющими были математические способности маленького Германа. В одном классе, когда учитель не смог понять математической задачи, написанной на доске, ученики хором повторяли: «Минковский, помоги!»

Упоминания о том, что в это время на кого-нибудь произвели впечатление способности Гильберта, в записях Фанни нет. Позже он вспоминал себя как тупого и глупого в юности — «dammeling», как он обычно выражался. Наверное, это было преувеличением, ибо, как позже заметил один из его друзей, «за всем, что ни говорил Гильберт, как бы парадоксально это ни звучало, всегда чувствовалось его страстное и трогательное стремление к истине».

Гимназия, которую выбрали для Давида его родители, считалась лучшей в Кёнигсберге — старинная частная школа, основанная в начале XVII столетия и имевшая в числе своих выпускников самого Канта. Тем не менее выбор этот был весьма неудачным. В то время в Кёнигсберге было редкостное сосредоточение будущих научных талантов. Альтштадтскую гимназию одновременно посещали Макс и Вилли Вины, Арнольд Зоммерфельд и Герман Минковский. Однако Давиду, посещавшему Фридрихс-колледж, не пришлось в свои школьные годы познакомиться ни с одним из этих мальчиков.

К несчастью для Гильберта, Фридрихс-колледж был очень традиционным заведением со строго установленной учебной программой. Слово «гимназия» объяснялось тем, что такая школа была предназначена для гимнастики ума ребёнка, развивающей его умственные способности так же, как физические упражнения развивают его тело. С этой целью изучению латинского и греческого языков придавалось особое значение. Считалось, что изучение этих языков и античной литературы сделает ученика искусным во всех умственных занятиях. Грамматика поможет ему сформулировать свои мысли; поэзия пробудит в нём эстетическое чувство и разовьёт его вкус; изучение исторических и философских текстов расширит его кругозор и даст ему основы к «правильному пониманию» современности.

По традиции после древних языков математика больше всего ценилась как средство укрепления силы ума. Однако во Фридрихс-колледже её преподавание шло на значительно худшем уровне, чем преподавание латинского и греческого. Естественные науки вообще не преподавались.

Языковые классы составляли основную часть учебной программы. Особое внимание уделялось изучению грамматики, на этом основывались последующие занятия литературой. Такое обучение оставляло мало возможностей для развития самостоятельного мышления. Однако оно не помешало Давиду время от времени набрасывать на полях своих тетрадок небольшие стишки.

В это же время младший из братьев Минковских в костюме из простыни и наволочки играл в домашнем спектакле роль Отелло. Устроившись в кресле у окна комнаты, отведенной Фанни для упражнений на фортепьяно, он поглощал Шекспира, Шиллера и Гёте, запоминая последнего почти наизусть, так что, по словам сестры, «в последующие годы он вполне обходился только научными книгами».

У Давида были очень плохие способности к заучиванию наизусть, а в Фридрихс-колледже запомнить и изучить было одно и то же. По словам одного из друзей, «языковые классы вызывали у него больше грусти, чем радости». Не особенно быстро он усваивал и новый материал. Казалось, он никогда не мог понять то, чего предварительно не проработал в собственном мозгу. Несмотря на все эти трудности, он никогда не отставал от своих школьных товарищей. Он был трудолюбивым и ясно представлял себе сущность прусской системы образования. Не было никаких глупых выходок с его стороны. В отличие от Эйнштейна, он доучился в гимназии до конца, пока не сдал Abitur (экзамен, после сдачи которого разрешается поступать в университет).

Много лет спустя одна пожилая родственница Гильбертов вспоминала: «Всё, что я знаю о дяде Давиде, — это то, что все в семье считали его немного не в себе. Школьные сочинения писала за него мать. В то же время он мог объяснить учителям математические задачи. Никто его толком в семье не понимал».

Наконец он нашёл школьный предмет, соответствовавший его наклонностям и доставлявший ему нескончаемое удовольствие. Позже он вспоминал, что впервые почувствовал тягу к математике, потому что она была «bequem»— лёгкой, не требовавшей усилий. Она не требовала запоминания. Он всегда мог восстановить всё в памяти сам. Однако до получения диплома гимназии он не мог поступить в университет и полностью посвятить себя математике. Поэтому ему пришлось на время забросить свой любимый предмет и сосредоточиться на латинском и греческом.

Дни в Фридрихс-колледже никогда не вызывали у него приятных воспоминаний.

Однако с летними каникулами наступали светлые времена. На лето вся семья выезжала в Раушен ⁶, небольшую рыбацкую деревушку на берегу моря. Хотя позже место это стало популярным морским курортом, в то время его посещали немногие. Среди них была большая семья Карла Шмидта. Так же, как и Отто Гильберт, юрист по образованию, он, будучи радикальным социал-демократом, предпочёл стать мастером-каменщиком и домостроителем. Его пятый ребенок Кёте, рисуя рабочих и матросов Кёнигсберга, уже в то время проявила исключительное дарование. Много лет спустя, став знаменитой художницей, Кёте Кольвиц, вспоминая ежегодные поездки в Раушен, передавала то, что должен был испытывать и Давид: «Дорога в Раушен занимала пять часов, так как железной дороги в то время ещё не было. Мы ехали в journalière, представлявшей собой большую закрытую телегу с четырьмя или пятью рядами сидений. Задние сиденья снимались, чтобы освободить место для необходимых для отдыха вещей: постели, одежды, корзин, ящиков с книгами и вином. В телегу впрягались три, а иногда четыре лошади. Впереди на высоком сиденье находился возчик. Ехать приходилось сначала по узким кёнигсбергским улочкам, выезжать через лязгающие Трагхеймские ворота и наконец через весь Земландский полуостров. Недалеко от Сассау можно было впервые увидеть море. Тогда, вставая на цыпочки, мы радостно кричали: Море, море! Никогда больше море... не было тем, чем было для меня Балтийское море у Земландского полуострова. Невыразимое великолепие захода солнца, наблюдаемого с высокого берега; восторг, который охватывал нас, когда мы снова видели это, бежали по пляжу, сбрасывая чулки и обувь, чувствуя холодный песок под ногами и слыша металлические шлепки волн...»

Лето в Раушене было полно идиллии. Это был «детский рай» для приезжающих сюда. В сентябре уже начинались школьные занятия, а в ноябре Прегель замерзала до марта.

Вспоминая своё детство, Гильберт однажды объяснял: «В школе математикой я занимался мало, так как знал, что буду этим заниматься позже». Однако наступило время сменить это философское настроение. В сентябре 1879 года, в начале последнего учебного года в гимназии, он перешёл из Фридрихс-колледжа в Вильгельм-гимназию. Это была государственная школа, в которой уделялось значительно больше внимания математике и даже затрагивались некоторые новые достижения в геометрии.

В то же время юный вундеркинд Герман Минковский успел обойти Давида, который был старше его на два года. Весной этого года «благодаря превосходной памяти и способности схватывать на лету» (как позже вспоминал Гильберт) Минковский закончил за пять с половиной лет восьмилетний курс Альтштадтской гимназии и поступил в местный университет.

В Вильгельм-гимназии Давид чувствовал себя много счастливее, чем в Фридрихс-колледже. Наконец-то учителя оценили и начали поощрять его оригинальную личность, и позже он часто вспоминал их с признательностью. Оценки стали лучше — почти по всем предметам «хорошо» (немецкий, латинский, греческий, теология и физика), а по математике «vorzüglich» — наивысшая в то время оценка. После исключительно успешной сдачи письменного экзамена его освободили от заключительного выпускного устного экзамена. Характеристика на обратной стороне удостоверения об окончании гимназии оценивала его поведение как «показательное», отмечала его прилежание и «серьёзный интерес к науке». Заканчивалась она следующим: «Что касается математики, то здесь он всегда проявлял живой интерес и глубокое понимание: он самым лучшим образом овладел всем материалом, проходившимся в школе, и научился применять его с уверенностью и изобретательностью».

Так впервые упоминается о Гильберте-математике.

Большой удачей для Гильберта было то, что университет его родного города, хотя и отдалённый от основного центра событий в Берлине, по своим научным традициям являлся одним из самых выдающихся в Германии.

Якоби преподавал в Кёнигсберге тогда, когда во времена Гаусса он считался вторым математиком в Европе. Его преемнику Ришело принадлежит заслуга открытия гения Карла Вейерштрасса в работах неизвестного учителя гимназии. Он убедил университет присудить Вейерштрассу почётную степень и совершил путешествие в маленький городок, где преподавал Вейерштрасс, чтобы лично сообщить ему от этом. — «Мы все нашли нашего руководителя в лице господина Вейерштрасса». Разносторонний Франц Нейман организовал в Кёнигсберге первый институт теоретической физики при германском университете и ввёл семинарскую форму занятий.

Когда осенью 1880 года Гильберт поступил в университет, Вейерштрасс был самым выдающимся математиком в Германии; Якоби и великодушный Ришело уже умерли; однако Франца Неймана, которому было суждено прожить почти до ста лет, ещё можно было увидеть на университетских собраниях, иногда он даже читал лекции. Каждый студент быстро узнавал историю о том, как одна большая академия пыталась установить правила для оценки научных заслуг и Нейман — многие открытия которого никогда не были опубликованы — сказал на это: «Открытие новой истины само является величайшим счастьем; признание почти ничего не может добавить к этому».

Гильберт почувствовал себя в университете настолько же свободным, насколько стеснённым он себя чувствовал в гимназии. Преподаватели факультета сами выбирали предметы, которым они хотели учить, а студенты выбирали те предметы, которые они хотели изучать. Не было никаких особых требований, минимальных количеств баллов, перекличек, никаких экзаменов до тех пор, пока не наступала пора получать степень. Естественно, что на такую неожиданную свободу многие реагировали тем, что проводили первые университетские годы в традиционных занятиях братских студенческих организаций — попойках и дуэлях. Однако для 18-летнего Гильберта университет представлял нечто более привлекательное — долгожданную свободу сконцентрироваться на математике.

Никаких сомнений по поводу своих будущих занятий у Гильберта не было. Вопреки желаниям отца он записался не на юридический, а на математический курс, относившийся в то время к философскому факультету.

Свои занятия он начинал в то время, когда Вейерштрасс и другие придали строгую форму обильным открытиям математики первой половины столетия. Царила атмосфера общего самовосхваления. Чувствовалось, что математика достигла наконец-то уровня логической строгости, который не нужно и даже невозможно будет превзойти. Однако в это же время некий профессор из Галле по имени Георг Кантор разрабатывал оригинальную теорию множеств, в которой бесконечность рассматривалась с новой и трудно приемлемой точки зрения. Согласно традиционному понятию бесконечность представляла собой нечто «неограниченно увеличивающееся». В теории же Кантора она представляла совсем другое — не увеличивающееся, а «математически зафиксированное числами в определенной форме завершенной бесконечности». К этому понятию «завершенной бесконечности» Кантор был вынужден прийти (как он позже писал) «под давлением логики, почти против своей собственной воли, ибо оно противоречило традициям, которые я ценил». В следующем десятилетии оно должно было стать предметом наиболее острых и волнующих споров среди математиков.

Во время своего первого семестра в университете Гильберт слушал лекции по интегральному исчислению, теории определителей и кривизне поверхностей. Во втором семестре, следуя популярному обычаю странствовать по университетам, он отправился в Гейдельберг, самый очаровательный и романтический из германских университетов.

В Гейдельберге Гильберт посещал лекции Лазаруса Фукса, имя которого стало синонимом теории линейных дифференциальных уравнений. Его лекции были очень впечатляющими, однако с довольно необычной стороны. Редко готовившись к лекциям, он, как правило, импровизировал на месте. Благодаря этому его студенты, как писал позже один из них, «имели возможность наблюдать в действии мышление математика высочайшего уровня».

В следующем семестре Гильберт мог бы переехать в Берлин, где находилось созвездие таких учёных, как Вейерштрасс, Куммер, Кронекер и Гельмгольц. Однако, будучи, подобно отцу, глубоко привязанным к городу своего детства, он вернулся в Кёнигсбергский университет.

В это время в Кёнигсберге был только один полный профессор математики. Это был Генрих Вебер, исключительно одарённый и многогранный человек, достойный преемник Якоби и Ришело. Ему принадлежат значительные вклады в столь различные области, как теория чисел и математическая физика. Он также написал ряд важных книг. Вместе с Рихардом Дедекиндом он является автором знаменитой книги об арифметике вещественных чисел, а его трехтомная монография по алгебре и книга Римана—Вебера о методах математической физики являются классическими в этих областях.

У Вебера Гильберт слушал лекции по теории чисел и теории функций и впервые познакомился с теорией инвариантов, самой модной математической теорией того времени. Он аккуратно сохранял записи этих первых лекций, как, впрочем, и всех других, прослушанных им в университетские дни. Они записаны мальчишеской рукой, с юношескими описками, но без каракулей. Только по одной пачке записей видно, что ими интенсивно пользовались впоследствии. Это были записи лекций Вебера по теории чисел.

В следующем семестре — весной 1882 года — Гильберт снова решил остаться в родном университете. Этой же весной Герман Минковский вернулся в Кёнигсберг из Берлина, где он провёл предыдущие три семестра.

Это был круглолицый мальчик в профессорском пенсне, довольно нелепо сидящем на его ещё не оформившемся носу. В Берлине за свою математическую работу он завоевал денежную премию, которую уступил в пользу нуждающегося однокурсника. Этот его поступок не был известен в Кёнигсберге. (Даже его семья узнала об этом только много позже от брата этого однокурсника.) Хотя Минковскому было всего 17 лет, он был погружен в серьёзную работу, благодаря которой он надеялся завоевать Grand Prix des Sciences Mathématiques ⁷ Парижской Академии.

Эта Академия выдвинула задачу о представлении числа в виде суммы пяти квадратов. Однако исследования Минковского шли значительно дальше предложенной проблемы. Когда 1 июня 1882 года назначенный срок окончился, он всё ещё не перевёл свою работу на французский язык, как это было положено по условиям. Тем не менее он решил представить свой труд. В последний момент, по предложению своего старшего брата Макса, он написал короткую вступительную записку. В ней он объяснил, что причиной этого упущения послужила привлекательность исследований, и выразил надежду, что Академия не будет считать, что «я мог бы дать больше, если бы я дал меньше». В качестве эпиграфа была взята строчка из Монтеня: «Rien n'est beau que le vrai, le vrai seul est aimable» ⁸.

В тот год, когда его работа рассматривалась Академией, Минковский посещал лекции в Кёнигсберге. Несмотря на свою молодость, он оказывал стимулирующее влияние на других студентов-математиков. Благодаря его берлинскому опыту контакты с ним давали молодёжи, изолированной в столице Восточной Пруссии, чувство причастности к современной математике. Тем не менее он был чрезвычайно робок, слегка заикался и сильно краснел, когда к нему обращались. Представляется маловероятным, что в этом году он вошёл в близкое соприкосновение с другими студентами-математиками, большинство которых, как и Гильберт, были на несколько лет старше его.

Наконец, весной 1883 года пришло известие, что этому мальчику, только 18 лет от роду, совместно с хорошо известным английским математиком Генри Смитом присужден Grand Prix des Sciences Mathématiques. Впечатление, которое произвела эта новость в Кёнигсберге, можно оценить тем фактом, что судья Гильберт предостерегал Давида, что осмеливаться знакомиться с «таким знаменитым человеком» было бы «неуместно».

Однако некоторое время казалось, что Минковский всё же останется без премии. Французские газеты подчёркивали, что правилами конкурса специально предусматривалось, что всё предлагаемое работы должны быть написаны на французском языке. Кроме того, английским математикам следовало бы знать, что на их прославленного соотечественника, к тому времени уже покойного, бросает тень тот факт, что он должен был делить премию с мальчиком. («Сейчас любопытно вспомнить, — писал около сорока лет спустя один английский математик, — ту бурю негодования, бушевавшую в математических кругах Англии, когда Смит после своей смерти был поставлен наравне с неизвестным немецким математиком, удостоившись тем самым почести более высокой, чем все, оказанные ему при жизни».) Несмотря на оказанное давление, члены комитета по премии не дрогнули.

Камилл Жордан писал Минковскому из Парижа: «Молю Вас, работайте, чтобы стать великим математиком».

Гильберт ясно видел своё счастье, когда оно встречалось. Несмотря на неодобрение отца, он вскоре подружился с робким, одарённым Минковским. Незадолго до этого он заметил о другом застенчивом молодом математике: «Я уверен, что, если подойти к нему правильно, он раскроется». Теперь он явно применял свой искусный подход к Минковскому.

Хотя эти двое юношей происходили из разных семей и во многих отношениях были совершенно различными людьми, по существу они имели много общих черт. Много лет спустя, когда Гильберту, пришлось писать про Минковского, он раскрыл больше своих черт, чем в какое-нибудь другое время.

Кроме своей страстной любви к математике, они разделяли глубокий, твердый оптимизм. Вообще же, что касается науки в целом, период их университетской жизни был периодом торжествующего пессимизма, явившегося реакцией на почти религиозную веру во всемогущество науки, которая наблюдалась в прошлом столетии. Широко распространялись и цитировались труды Эмиля Дюбуа-Реймонда — физиолога, ставшего философом. Он в основном интересовался вопросом об ограниченности познания природы. Именно так называлась его самая знаменитая лекция. Он утверждал, что некоторые проблемы, называемые им трансцендентными или сверхчувственными, неразрешимы даже в принципе. К ним относились природа материи и силы, происхождение движения, ощущения и сознания. Его грустное признание «Ignoramus et ignorabimus» — мы не знаем и не будем знать — было девизом многих научно-философских дискуссий в университете. Однако как для Гильберта, так и для Минковского такое признание было абсолютно неприемлемо. Уже в то время оба они разделяли уверенность в том, что (как позже выразил Гильберт) «каждая определённая математическая проблема непременно должна быть доступна точному решению либо в форме действительного ответа на поставленный вопрос, либо в форме доказательства невозможности её решения и тем самым в неизбежном провале всех попыток её решить».

Эта уверенность в разрешимости любой математической проблемы незадолго до этого получила наглядное подтверждение. Немецкий математик Фердинанд Линдеман доказал старую гипотезу о трансцендентности числа π и тем самым доказал невозможность древней мечты о «квадратуре круга». До этого достижения его карьера была не очень удачной. Одна претенциозная работа, которую он опубликовал, была жестоко (и довольно несправедливо) раскритикована. Но теперь, решив знаменитую проблему, он отыгрался за всё. Он был героем дня в математике. После того как Вебер переехал из Кёнигсберга в Шарлоттенбург, Линдемана пригласили занять его место.

Несмотря на свою общепризнанную славу, Линдеман был математиком меньшего калибра, чем Вебер. Ему не пришлось оказать большого влияния на Гильберта (и совсем никакого на Минковского), однако благодаря ему в Кёнигсберге вскоре появился молодой человек, которому суждено было стать, не в пример Веберу или Линдеману, настоящим учителем Гильберта. Это был Адольф Гурвиц.

Весной 1884 года, когда Гурвиц приехал из Гёттингена, чтобы приступить к обязанностям экстраординариуса ⁹, или ассистент-профессора, ему было всего 25 лет. Как и Минковский, он уже прославился своим ранним математическим развитием. Его учитель гимназии Ганнибал Шуберт был так поражён его математическими способностями, что тратил свои воскресные дни на то, чтобы вводить Гурвица в свою область исследований, ставшую известной как «исчисление Шуберта». Ему также удалось убедить отца Гурвица, еврейского промышленника, подобно судье Гильберту, сомневавшегося в преимуществах академической карьеры, чтобы он разрешил своему одарённому сыну продолжать занятия математикой. Поощряемый Шубертом, отец одолжил необходимые деньги у своего друга.

Первая математическая работа Гурвица была опубликована в соавторстве с Шубертом, когда он ещё был в гимназии. Его дальнейшие занятия позволили ему получить исключительно широкое образование по математике того времени. Свою докторскую степень он защитил у Феликса Клейна — одного из самых блестящих молодых математиков в Германии того времени. Прослушав лекции великих берлинских математиков, он переехал в Гёттинген, где занимался важной работой по теории функций.

Это был молодой человек с приятным характером, любивший музыку почти в той же степени, как и математику, и сам прекрасно игравший на фортепьяно. Перед переездом в Кёнигсберг он уже перенёс брюшной тиф, от которого чуть не умер. Часто его мучили тяжёлые припадки мигрени, быть может частично вызванные тем, что он стремился к совершенству во всём, чем ни занимался.

Гильберт нашёл нового учителя «скромным во внешнем проявлении», он увидел, что «его мудрые и весёлые глаза свидетельствовали о его высоком духе». Вместе с Минковским они вскоре установили тесные отношения с Гурвицем. Каждый вечер «ровно в пять» все трое встречались для прогулки «к яблоне». Именно тогда Гильберт нашёл способ занятий, намного более предпочтительный, чем сидеть над пыльными книгами в какой-нибудь тёмной аудитории или библиотеке.

«В бесконечных прогулках мы погружались в тогдашние проблемы математики, обменивались своими вновь приобретёнными знаниями, мыслями и научными планами; тогда мы заложили дружбу на всю жизнь».

Занимаясь «самым интересным и лёгким способом», трое молодых людей исследовали каждое королевство математического мира. Гурвиц со своими обширными знаниями, «хорошо упорядоченными и основанными на прочном фундаменте», был всё время лидером. Он полностью затмевал остальных двух.

«Мы не верили, — вспоминал позже Гильберт, — что когда-нибудь сможем продвинуться столь же далеко».

Но у них не было причин чувствовать себя подобно Александру Македонскому, который жаловался своим школьным товарищам: «Отец всё завоюет, и нам ничего не останется завоевывать».

Мир математики неисчерпаем.

Окончив восьмисеместровый университетский курс, необходимый для получения докторской степени, Гильберт начал обдумывать возможные темы для диссертации. В ней он должен был получить какие-нибудь оригинальные результаты в математике. Сначала он намеревался заняться исследованием одного обобщения непрерывных дробей. С этим он пошёл к Линдеману, бывшему его «Doctor-Father» ¹⁰. Линдеман сообщил ему, что, к сожалению, такое обобщение уже было сделано Якоби, и порекомендовал вместо этого взять задачу из теории алгебраических инвариантов.

Хотя теория алгебраических инвариантов считалась очень современной областью, её корни уходили в аналитическую геометрию, изобретённую Рене Декартом в XVII веке. В декартовой системе координат плоскости горизонтальные координаты суть вещественные числа, обозначаемые через х, вертикальные координаты — тоже вещественные числа, которые обозначаются через у. Пользуясь этими координатами, каждую точку плоскости можно отождествить с парой вещественных чисел х, у. Благодаря этому геометрические фигуры можно выразить алгебраическими уравнениями и, наоборот, алгебраические уравнения можно изображать геометрическими фигурами. Тем самым проясняются как геометрические, так и алгебраические понятия, а также отношения между ними — геометрические идеи становятся более абстрактными и легко формулируемыми, а алгебраические идеи — более живыми и доступными интуиции.

Имеется также большой выигрыш в общности. Так же, как размер и вид фигур не завысят от их положения относительно системы координат, так и некоторые свойства соответствующих алгебраических выражений тоже не зависят от системы координат. Эти «инварианты» служат для описания данной геометрической фигуры. Так, вполне естественно, развитие проективной геометрии, изучающей часто совершенно поразительные преобразования, связанные с проектированием, способствовало параллельному развитию алгебры, концентрирующемуся на изучении инвариантов алгебраических форм относительно различных групп преобразований. Благодаря своей высокоутончённой мощи алгебраический подход вскоре одержал верх над геометрическим, а теория алгебраических инвариантов стала предметом всепоглощающего интереса большого числа математиков.

Пионерами в новой области были англичане — Артур Кэли и его близкий друг Джон Сильвестр, оба, по случайности, бывшие адвокаты, ставшие математиками.

Однако немцы быстро усвоили новую теорию. В результате этого известный математический журнал Mathematische Annalen превратился почти исключительно в международный форум работ по алгебраическим инвариантам.

Проблема, которую Линдеман предложил Гильберту для диссертации, касалась вопроса о свойствах инвариантности некоторых алгебраических форм. Она была довольно трудной для докторской диссертации, однако не настолько, чтобы нельзя было ожидать её решения. Проявив оригинальность, Гильберт решил её способом, отличным от того, который, по общему мнению, мог привести к успеху. Это была очень хорошая работа. Линдеман был удовлетворён.

Экземпляр диссертации был послан Минковскому, который после недавней смерти отца уехал вместе с матерью в Висбаден.

«Я изучал Вашу работу с большим интересом, — писал Минковский Гильберту, — и наслаждался, следя за всеми превращениями, в результате которых бедные инварианты, сыграв свою роль, должны были полностью исчезнуть. Я никогда бы не мог подумать, что такая хорошая математическая теорема могла быть получена в Кёнигсберге».

11 декабря 1884 года Гильберт сдал устный экзамен. Следующее и последнее тяжёлое испытание состоялось 7 февраля 1885 года, когда в Aula, актовом зале университета, состоялся публичный выпускной экзамен. Здесь он должен был защищать два тезиса, выбранные им по своему усмотрению. Официальными :<оппонентами» были назначены два студента-математика. (Одним из них был Эмиль Вихерт, позже ставший известным сейсмологом.) Как правило, эта защита представляла собой шуточное сражение, её основной целью было установить, что кандидат в состоянии понимать и ставить важные вопросы.

Два предложения, выбранные Гильбертом для защиты, затрагивали весь диапазон математики. Первое относилось к экспериментальному способу определения абсолютного электромагнитного сопротивления. Второе имело философский характер и воскрешало великий дух Иммануила Канта.

Кант, читавший лекции в Кёнигсбергском университете не только по философии, но и по математике, утверждал, что человек обладает некоторыми понятиями, которые имеют априорный характер, в отличие от апостериорных понятий (т.е. таких, которые даются опытным путём). В качестве примеров априорного знания он ссылался на понятия логики, арифметики и геометрии и, в частности, на аксиомы Евклида.

Открытие в первой половине XIX столетия неевклидовой геометрии вызвало серьёзное сомнение в этом утверждении Канта. Действительно, оно показало, что, отбросив одну из аксиом Евклида, можно тем не менее построить геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова геометрия. Тем самым стало очевидным, что знания, заложенные в аксиомах Евклида, являлись апостериорными, эмпирическими, а не априорными.

Могло ли так же обстоять дело и с понятиями арифметики? Гаусс, бывший, по-видимому, первым из математиков, кто сознавал существование неевклидовой геометрии, писал в одно время:

«Я глубоко убеждён, что теория пространства имеет совершенно иное отношение к нашему априорному знанию, чем арифметика; совершенная уверенность в необходимости, а следовательно, в истинности, характерная для последней, является тем, в чём мы полностью нуждаемся для первой. Мы должны со всей покорностью признать, что число есть не что иное, нак продукт нашего мышления. Наоборот, пространство обладает реальностью и помимо нашего мышления, его законы нельзя задавать a priori.»

По-видимому, Гильберт придерживался того же мнения, так как в своём втором предложении он утверждал, что возражения против теории Канта об априорной природе арифметических высказываний необоснованы.

Никаких свидетельств о защите этого предложения не имеется. По-видимому, его аргументы были достаточно убедительными, так как по окончании диспута ему была присуждена степень доктора философии.

Декан привёл его к присяге: «Торжественно спрашиваю Вас, обещаете ли Вы, давая эту присягу, и подтверждаете ли со всей убежденностью, что будете мужественно защищать истинную науку, будете её развивать и украшать не ради выгоды или мишурного блеска славы, а для того, чтобы свет божьей правды ярко светил и распространялся?»

В тот же вечер новый доктор философии и пришедшие поздравить его друзья дали телеграмму Минковскому.

Этим Гильберт вступил на первую ступень академической карьеры. Если бы его карьера сложилась удачно, он смог бы добиться конечной цели — стать полным профессором. Это положение было столь высоким в Германии того времени, что на могильных плитах умерших профессоров писались их титулы и специальности. Будучи же просто доктором философии, он не имел права даже читать лекции студентам. Для этого ему прежде всего нужно было выполнить ещё одно оригинальное математическое исследование и представить его в качестве «Habilitation» ¹¹. В случае его одобрения факультетом ему было бы присуждено venia legendi ¹², а вместе с тем звание приват-доцента и право без оплаты читать лекции под поручительством университета. Будучи таким доцентом, он должен был существовать на средства, получаемые с платы за обучение от студентов, изъявивших желание слушать его лекции. Так как курсы, посещаемые всеми студентами, такие, как, например, анализ, читались членами факультета, ему в лучшем случае пришлось бы вести класс из пяти или шести студентов. В этом случае ему пришлось бы испытать большие трудности. Однако если бы ему удалось привлечь к себе внимание своей работой и своими способностями (а лучше, нак говорили злые языки, если бы он женился на профессорской дочке), то он мог бы стать экстраординарным профессором, или ассистент-профессором, и получать жалованье от университета. Следующей ступенью было бы представление к званию ординарного, или полного профессора. Однако эта высшая ступень доставалась отнюдь не автоматически, так как, в отличие от практически неограниченного количества доцентов, число выходивших из них профессоров было очень ограниченным. Даже в Берлине было всего три профессора математики, в большинстве прусских университетов их было только два, а в Кёнигсберге всего лишь один.

В качестве спасения от превратностей такой карьеры молодой доктор мог сдавать государственный экзамен, дающий право стать учителем гимназии. Это не было наградой, которой следовало стыдиться. Хотя многие не пользовались этой возможностью, надеясь на высокопочитаемую должность профессора, надо было только сравнить число доцентов с числом профессорских кафедр, имеющих шанс стать вакантными, чтобы увидеть выгоды этой альтернативы. Учтя это, Гильберт начал готовиться к государственному экзамену, который он сдал в мае 1885 года.

В то же лето Минковский вернулся в Кёнигсберг, получил степень доктора философии, после чего почти сразу же был призван на год в армию. (Гильберт был одним из его официальных оппонентов на выпускном экзамене.)

Гильберт не был призван на военную службу. Он обдумывал научное путешествие. Гурвиц настаивал на Лейпциге — и Феликсе Клейне.

Хотя Клейну было всего 36 лет, он уже стал легендарной фигурой в математических кругах. В возрасте 23 лет (теперешний возраст Гильберта) он уже был полным профессором в Эрлангене. Его вступительная лекция, известная в истории математики как Эрлангенская программа, составила эпоху. В ней с помощью теоретико-групповых понятий ему удалось классифицировать и объединить различные и, на первый взгляд, не связанные друг с другом геометрии, созданные в этом столетии. С самого начала своей карьеры он проявил редкостное сочетание творческих и организаторских способностей, а также ярко выраженное стремление разрушить барьеры между чистой и прикладной наукой. Его интересы затрагивали всю математику. Геометрия, теория чисел, теория групп, алгебра и теория инвариантов — всё было привлечено к его главной работе — развитию и завершению великих идей Римана в геометрической теории функций. Венцом этой работы явилась его теория автоморфных функций.

Однако Клейн, которого Гильберт встретил в Лейпциге в 1885 году, уже не был прежним ослепительным талантом. За два года до этого, в середине его занятий автоморфными функциями, один молодой математик из провинциального французского университета начал публиковать работы, показывающие, что его усилия сосредоточены в той же области. Клейн сразу же оценил силу своего соперника и начал с ним лихорадочную переписку. Почти с нечеловеческими усилиями он заставил себя добиться цели раньше Анри Пуанкаре. Окончательный результат в этом соревновании был, по существу, ничейным. Но Клейн не выдержал. Ко времени приезда к нему Гильберта он только недавно оправился от целого года глубокой душевной депрессии и физической усталости, вызванных его нервным потрясением. Это время он провёл за созданием небольшой книжки об икосаэдре, ставшей со временем классической. Однако будущее его карьеры было ещё неопределённым.

Гильберт посещал лекции Клейна и принимал участие в его семинаре. Личность Клейна не могла не произвести на него впечатления. Это был красивый человек с темными волосами и чёрной бородой, с светящимися глазами. Его лекции по математике почитались всеми и распространялись даже в Америке. Что касается реакции Клейна на молодого доктора из Кёнигсберга, то он заботливо хранил его Vortrag, доклад, с которым Гильберт выступал на семинаре, и позже писал: «Когда я услышал его Vortrag, я сразу же понял, что у этого человека большое будущее в математике».

После своей депрессии Клейн получил два предложения занять кафедру, одно в университете Джонса Гопкинса в Америке, от которого от отказался, другое в Гёттингене, которое он только что принял. По-видимому, Гильберт уже проникся чувством к Гёттингену, к университету Гаусса, Дирихле и Римана. Вдохновлённый назначением Клейна, он записал на внутренней стороне обложки записной книжечки, купленной в Лейпциге, одно из своих маленьких стихотворений. Его почерк такой неразборчивый, что трудно разобрать немецкие буквы. Однако смысл стихотворения приблизительно следующий:

В Лейпциге он вскоре познакомился с рядом других молодых математиков. Одним из них был Георг Пик, в котором Гильберта привлекло сочетание познаний об оплодотворении растений и животных с преклонением перед работами Гурвица. Другим был Эдуард Штуди, основным интересом которого, как и у Гильберта, была теория инвариантов. С последним они должны были бы иметь много общего, однако этого не произошло. Как писал Гильберт Гурвицу, «Штуди был странным человеком и по своей природе совсем противоположным мне, да, насколько я могу судить, и тебе тоже. Доктор Штуди признает, а точное знает, только одну область математики, а именно теорию инвариантов, притом исключительно символическую теорию инвариантов. Всё остальное есть бессистемное «дурака валянье»... По этой причине он презирает всех других математиков. Даже в своей области он считает себя единственным авторитетом, самым решительным образом набрасываясь на всех остальных специалистов. Он из тех, кто презирает всё, чего не знает, в то время как, например, на меня производит наибольшее впечатление именно то, чего я ещё не знаю». (Отвечая, Гурвиц писал: «Я не могу тебе описать, насколько эта личность противна мне, том не менее в интересах этого молодого человека я надеюсь, что ты видишь всё в несколько мрачном свете».)

В Лейпциге было значительно больше людей, интересующихся теорией инвариантов; однако Клейн направил все свои усилия, чтобы уговорить Штуди и Гильберта ехать на юг в Эрланген навестить своего друга Пауля Гордана, который в то время был известен как «король инвариантов».

По какой-то причине эта поездка не состоялась. Быть может, Гильберту не хотелось участвовать в ней вместе с Штуди.

Вскоре Гильберт стал членом кружка математиков в Лейпциге. В начале декабря 1885 года Клейн представил научному обществу одну его работу по инвариантам.

В новогоднюю ночь он был приглашён на «маленькую, но очень избранную» вечеринку у Клейна — «профессор Клейн, его досточтимая супруга, доктор Пик и я». В эту ночь Минковский, скрюченный от холода в форте Фридрихсбург, посреди реки Прегель, писал новогодние пожелания своему другу, вопрошая: «О, где те времена, когда этот бедный солдат так жаждал посвятить себя любимой математике?» А у Клейна шла оживленная беседа «о всех возможных и невозможных вещах». Клейн пытался убедить Гильберта поехать на семестр в Париж, а после этого уже вернуться в Кёнигсберг. Гильберт писал Гурвицу: «Он сказал, что Париж в это время похож на пчелиный улей в смысле научной активности, особенно это касается молодых математиков; период занятий там мог бы оказать самое плодотворное и стимулирующее влияние на меня, особенно если удастся найти хороший подход к Пуанкаре».

Сам Клейн в молодости совершил путешествие в Париж вместе со своим другом Софусом Ли. Оба они овладели там теорией групп, которая сыграла важную роль в их научных карьерах. После этого, по словам Гурвица, Клейн всегда старался посылать многообещающих молодых немецких математиков в Париж.

Сам Гурвиц подтвердил рекомендацию Клейна: «Я боюсь, что молодые французские таланты более яркие, чем наши, поэтому нам надо овладеть всеми их результатами, чтобы затем превзойти их».

В конце марта 1886 года Гильберт был уже в дороге.

По дороге в Париж Гильберту посчастливилось ехать в поезде в одном купе со студентом Политехнической школы, знавшим всех французских математиков «по крайней мере в лицо». Однако в Париже, по необходимости, ему пришлось объединиться с несговорчивым Штуди, который уже обосновался там, также по совету Клейна.

Гильберт и Штуди вместе нанесли рекомендованные им Клейном математические визиты. Посылая свои письма Клейну, они читали их вслух друг другу, дабы избежать повторения информации.

Сразу же, как только Гильберт устроился, он написал Клейну. Письмо показывает его почтение к профессору. Его черновик был написан старательно, с большим вниманием в отношении правильного, изысканного стиля, а затем переписан крупным аккуратным латинским шрифтом вместо готического, которым он продолжал пользоваться в своих письмах к Гурвицу.

«То, что я не смог написать Вам раньше и, вверившись международной почте, прислать письмо вовремя, объясняется различными причинами и непредвиденными заботами, которые всегда неизбежны при первом посещения чужой страны. К счастью, теперь я привык к климату и освоился с новым окружением настолько, чтобы начать проводить время так, как я хочу...»

Он прилагал все усилия к тому, чтобы, следуя наставлениям Клейна, подружиться с Пуанкаре. Хотя этот француз был всего на шесть лет старше его, он уже опубликовал более ста работ. Вскоре его должны были представить в члены Академии с простым сопровождением, что его работы «выше обычной похвалы».

В своём первом письме Клейну Гильберт сообщил, что Пуанкаре всё ещё не нанёс ответного визита ему и Штуди; однако он добавлял, что ему удалось прослушать лекции Пуанкаре в Сорбонне по теории потенциала и механике жидкости и после этого быть представленным ему.

«Он читает свои лекции очень ясно и понятно для моего образа мышления, хотя, как заметил здесь один французский студент, пожалуй, слишком быстро. Он производит впечатление очень молодого и несколько нервного человека. Даже после нашего знакомства он не кажется очень дружелюбным; я думаю, что это объясняется его явной застенчивостью, которую мы не смогли преодолеть из-за отсутствия у нас лингвистических способностей».

К тому времени, когда Гильберт писал следующее письмо Клейну, Пуанкаре нанёс ответный визит молодым немецким математикам. «Но относительно Пуанкаре я могу сказать всё то же: он кажется скрытным из-за застенчивости, которую можно будет преодолеть, если умело подойти к нему».

Отвечая на письма из Парижа, Клейн (обосновавшийся теперь в Гёттингене) не отдавал предпочтения ни одному из двух своих молодых математиков. «Совершенно необходимо, чтобы Вы и Гильберт наладили личный контакт с Горданом и Нётером», — писал он Штуди. «В следующий раз, — заканчивал он своё письмо, — я буду писать доктору Гильберту». По-видимому, Гильберт больше дорожил письмами Клейна, во всяком случае, он сохранил письма, написанные как Штуди, так и ему самому.

Французские математики, — писал Гильберт Клейну, — встретили его и Штуди с большой теплотой. Особенно добр был Жордан, он же «был одним из тех, кто передавал Вам самые лучшие пожелания». В честь Гильберта и Штуди он устроил обед, «на который были приглашены только Альфан, Маннгейм и Дарбу». Однако, так как из уважения к гостям все говорили по-немецки, разговор о математике был «очень поверхностным».

Лекции по математике, которые слушал Гильберт, не произвели на него впечатления. «Французские студенты имеют не много того, что бы нас заинтересовало». Лекции Пикара оказались «менее элементарными». Хотя Гильберту было трудно понимать произношение Пикара, его лекции он посещал регулярно. «Он производит впечатление очень энергичного и уверенного как в разговоре, так и в преподавании».

Некоторые из знаменитых математиков их разочаровали. «Что касается Бонне, то труд, который мы затратили на его поиски — досадное невезенье заставило нас обойти три разных дома, — был едва ли сравним с той выгодой, которую мы получили от общения с таким старым математиком. Он явно уже не имеет отношения к математике».

Гильберт и Штуди посетили собрание Математического общества в надежде познакомиться с какими-нибудь молодыми или по крайней мере более молодыми математиками: «Одной из причин этого является желание отдохнуть от людей, подавляющих нас своим величием». Среди тех, с кем они познакомились, больше всего на Гильберта произвёл впечатление некий г-н д'Окань «своими приятными манерами и простотой в обращении».

На заседании Общества Гильберту пришёл в голову набросок более прямого доказательства одной теоремы, приведённой в сообщении д'Оканя. «Поддерживаемый Альфаном, я набрался смелости показать этот новый способ доказательства». Д'Окань попросил Гильберта написать это доказательство и предложил помочь ему во французском, если он захочет опубликовать его в Comptes Rendus ¹³. «Но я не хочу этим заниматься, так как считаю, что ни сама теорема, ни её доказательство не такие уж важные, чтобы их опубликовывать в Comptes Rendus».

В связи с этим Клейн заметил; «Что касается публикаций Пуанкаре, то они всегда производили на меня впечатление, что их автор имеет намерение что-то опубликовать, даже если в этом ничего или почти ничего нового не содержится. Согласны ли Вы с этим? Не слышали ли Вы в Париже, что у некоторых такое же мнение?»

Среди французских математиков Гильберта больше всего, по-видимому, привлекал Эрмит.

«Он не только продемонстрировал нам свою знаменитую вежливость, без промедлений нанеся нам ответный визит, но также был столь добр... что предложил провести со мной свободное от лекций утро».

Молодые немецкие математики нанесли ему второй визит. Эрмит казался им очень старым — ему было 64 года, «однако чрезвычайно добрым и гостеприимным». Он рассказывал им о своём законе взаимности бинарных форм и уговаривал их обобщить его на тернарные формы. Однако в основном разговор шёл об инвариантах, что, как знал Эрмит, главным образом интересовало его молодых гостей. Он привлёк их внимание к главной нерешённой здесь проблеме, известной как «проблема Гордана», названной так в честь друга Клейна из Эрлангена. Со всеми подробностями он рассказал им о своей переписке с Сильвестром, касающейся попыток последнего решить эту проблему.

«Разговоры Эрмита на другие, ненаучные темы показывают, что, несмотря на свои преклонные годы, он сохранил молодой задор», — писал Гильберт с восхищением Клейну.

В то время как Гильберт налаживал полезные связи в Париже, Минковский всё ещё находился на солдатской службе в Кёнигсберге. «Я стоял на посту на морозе в 20°, и меня забыли с него снять даже в новогоднюю ночь...» Однако он надеялся в скором времени «возобновить старое знакомство с фрау Математикой». До мельчайших подробностей просил он сообщать о том, что происходит с его другом «на вражеской территории».

«А если кто-нибудь из этих великих мужей, Жордан или Эрмит, ещё помнит обо мне, передайте им мои наилучшие пожелания и разъясните, что я лентяй не столько по природе, сколько по обстоятельствам».

В Париже Гильберт был полностью поглощён математикой. В письмах к Клейну не упоминается ни о каких экскурсиях, разве что о желании посетить обсерваторию. Кроме встреч с математиками и посещений лекций, он пытался отредактировать и переписать «хорошим почерком» свою работу для хабилитации. Работа быстро продвигалась.

В конце апреля 1886 года Штуди вернулся в Германию и лично отчитался Клейну о своей деятельности в Париже.

«О математике гораздо меньше, чем я ожидал», — писал неодобрительно Клейн Гильберту. В этом же письме он забросал его полудюжиной вопросов и замечаний, появившихся у него при чтении самого последнего номера Comptes Rendus. «Кто такой Спарр? Так называемая теорема г-на Спарра содержится в одной мюнхенской диссертации (я думаю, 1878 года). Кто такой Стилтьес? Этот человек представляет для меня некоторый интерес. Мне также встретилась одна ранняя работа Умберта — было бы очень интересно, если бы Вы выяснили происхождение этой работы (может быть, через Альфана?) и узнали что-нибудь о личности автора. Странно, что снова входит в моду геометрия в стиле Веронезе—Сегре...» Тон письма был более интимным, чем в общих письмах для обоих молодых людей. «Постоянно имейте в виду, — предупреждал он Гильберта, — что предоставленные Вам сейчас возможности больше никогда не повторятся».

Это письмо Клейна застало бедного Гильберта в тяжёлый для него месяц. Доктор нашёл, что его болезнь связана с акклиматизацией, «тогда как я думаю, что это просто ужасное желудочное отравление от H₂SO₄, которую здесь принято пить в виде слабого и бледного напитка под названием вина». Визиты прекратились, а переписывание работы должно было быть отложено. Ему удавалось только заставить себя ходить на лекции и собрания. «Всё приостанавливается, когда неподходящее состояние человеческого организма даёт о себе знать...»

Быть может, он также немного скучал о своей родине.

В конце июня, возвращаясь в Кёнигсберг, он был счастлив и полон энтузиазма. Остановившись в Гёттингене, он отчитался Клейну в своей парижской деятельности. Это было его первым посещением университета, и он был очарован маленьким городком и его столь живописными холмистыми окрестностями. Всё это так отличалось от суетливого Кёнигсберга и окружающих его плоских равнин. По дороге он сделал также остановку в Берлине, где «он посетил всё, что имеет хоть какое-нибудь отношение к математике». В частности, даже грозного Леопольда Кронекера.

Это был маленький человек, не более пяти футов роста, который, удачно устроив свои дела, связанные с сельским хозяйством, обеспечил семью и в возрасте 30 лет удалился от дел с тем, чтобы посвятить остаток жизни своему любимому занятию — математике. Будучи членом Берлинской Академии, он регулярно пользовался своим правом читать лекции в университете. Теперь ему было 63 года, и только недавно, вместо ушедшего в отставку Куммера, он стал официальным профессором.

Кронекеру принадлежат очень важные достижения в математике и особенно в высшей алгебре. Однако, как он однажды заметил, ему пришлось потратить больше времени на обдумывание философских проблем, чем математических. В последнее время он раздражал своих коллег-математиков, особенно немецких, громко выражаемыми сомнениями о законности оснований большей части современной математики. Главной его заботой было понятие арифметического континуума, лежащего в основе анализа. Континуум есть совокупность вещественных чисел — положительных и отрицательных — целых, дробных, рациональных или иррациональных, каждое из которых математики изображают одной из точек на прямой. Хотя вещественные числа в математике использовались уже давно, только в прошлом столетии их природа была тщательно исследована и объяснена точным и строгим образом. Это было сделано в работах Коши и Больцано, а совсем недавно в работах Кантора и Дедекинда.

Эти новые работы не устраивали Кронекера. По его убеждению, в математике ничего не существует, кроме того, что может быть построено с помощью конечного количества положительных целых чисел. С этой точки зрения дроби существуют, так как они представляются в виде отношения двух положительных чисел; в то же время иррациональные числа, например π, не существуют, так как их можно представить только бесконечным рядом дробей. Однажды, обсуждая с Линдеманом его доказательство трансцендентности числа π, Кронекер заявил: «Что пользы в вашем замечательном исследовании числа π? Зачем заниматься такими проблемами, когда иррациональные числа не существуют?» Хотя он ещё не сделал своего замечания: «Бог создал натуральные числа, всё остальное — дело рук человеческих», но в частных беседах уже заявлял о новой программе, предназначенной «арифметизировать» математику и исключить из неё все «неконструктивные» понятия. «Если же я этого сделать не сумею, — говорил он, — то это сделают те, кто придёт после меня».

Обладая многими привлекательными чертами, Кронекер в то же время делал ядовитые и очень личные нападки на математиков, чьи математические работы он не одобрял. («На самом деле, — вспоминал Минковский в своем письме к Гильберту, — я не слышал много хорошего о Кронекере даже в Берлине».) Выдающийся старый Вейерштрасс был доведён почти до слёз замечаниями Кронекера о «некорректности всех выводов, с которыми сейчас имеет дело так называемый анализ». Легко возбудимый, чувствительный Кантор из-за нападок Кронекера на теорию множеств был полностью сломлен духовно и должен был искать убежище в психиатрической лечебнице.

Гильберт был предупреждён о возможном неприветливом приёме у Кронекера, но, к удивлению, был принят — писал он Клейну — «очень дружелюбно».

Вернувшись в Кёнигсберг, он серьёзно занялся хабилитацией. Работа, которую он готовил, была также посвящена теории инвариантов, однако ставила перед собой значительно более серьёзные цели, чем обычные докторские диссертации. Одному математику, которому позже пришлось изучать в свои студенческие годы «каждую строчку» Гильберта, показалось, что эта работа основывалась на удивительно ложном пути: «Она начинается с утверждения, что представляет собой важнейшую точку зрения, а затем просто переливает из пустого в порожнее. Из неё ничего не вышло... Я всегда удивлялся, что в течение нескольких лет Гильберт находился в тупике, быть может из-за слишком формального подхода, которому он, возможно, был обязан своим контактом со Штуди».

Кроме своей работы, соискатель хабилитации должен был также прочитать лекцию ка одну из выбранных им тем, которая была одобрена факультетом. Гильберт предложил две темы: «Самые общие периодические функции» и «Понятие группы». Факультет выбрал первую из них, что больше устраивало и Гильберта. Этой лекцией остались довольны все; так же успешно прошёл и устный экзамен. Гильберт смог написать Клейну 8 июля 1886 года: «Тот титул, с которым Вы незаслуженно обратились ко мне в прошлом письме, теперь принадлежит мне по праву».

Незадолго до этого Гильберт и Клейн обсуждали целесообразность защиты хабилитации в Кёнигсберге. Столица Восточной Пруссии была весьма отдалённой математической провинцией. Немногие студенты желали отправляться заниматься математикой в такую даль; в действительности их было так мало, что Линдеману пришлось отказать в просьбе Минковского защищать хабилитацию в Кёнигсберге после увольнения из армии.

«Однако, в конце концов, я доволен и рад своему решению остаться в Кёнигсберге, — писал Клейну Гильберт.— Постоянное сотрудничество с профессором Линдеманом и больше всего с Гурвицем будет настолько же интересно, насколько окажет полезное и стимулирующее влияние на меня. Что плохо в Кёнигсберге — так это то, что он очень далёк от интересующей меня математики. Однако я надеюсь исправить это, предприняв в следующем году ряд научных поездок. Быть может, тогда мне удастся познакомиться с господином Горданом...»

Почти половина самых плодотворных лет между двадцатью и тридцатью годами уже прошла.

Гильберт решил, что, став доцентом, он будет читать лекции на разные темы, не повторяясь, как это делали многие другие, и тем самым будет образовывать не только своих студентов, но и самого себя. В то же время в ежедневных прогулках с Гурвицем к яблоне они наметили цель «систематического исследования математики».

В первом семестре Гильберт подготовил лекции по теории инвариантов, определителям и гидродинамике. Последняя тема была предложена Минковским, который готовил хабилитацию в Бонне и проявлял интерес к математической физике. Не многие воспользовались возможностью посещать эти первые лекции Давида Гильберта. Только лекции по теории инвариантов собрали число студентов, достаточное для того, чтобы получить право держать класс в университете. «Одиннадцать доцентов, зависящих примерно от такого же числа студентов», — недовольно сообщал он Минковскому. Отмечая своё новое положение, он заказал себе официальный портрет. На нём можно увидеть уже лысеющего молодого человека, в очках, с несколько театральными усами, от которого веяло целеустремлённостью.

Свои заботы были и у Минковского в Бонне. Среди доцентов он не смог найти близких ему по духу, а профессор математики был болен. «Его болезнь особо чувствительна для меня. Он был единственным, к кому можно было здесь обратиться с вопросом по математике и с кем вообще я мог говорить на математическую тему». При любой возможности он возвращался в Кёнигсберг и присоединялся к Гильберту и Гурвицу в их ежедневных прогулках.

За эти годы дружба Гильберта с Минковским окрепла. Свои каникулы Минковский часто проводил в Раушене. После одной из таких поездок, получив фотографию Гильберта, он писал: «Если бы Вы не выглядели на ней таким величавым и полным достоинства, то мне пришлось бы сохранить то диковинное впечатление, которое Вы производили своим одеянием и прической во время нашей короткой встречи этим летом в Раушене». Размышляя, он добавлял: «То, что мы, находясь в таких близких отношениях, не смогли открыться друг другу, было для меня более чем удивительно».

В переписке они всё ещё обращались друг к другу с формальным «Вы», однако, посылая Минковскому оттиск своей первой опубликованной работы, представленной в прошлом году Клейном Лейпцигской Академии, Гильберт надписал на нем: «Своему другу и коллеге в ближайшем смысле этого слова... от автора».

В этот первый год, когда Гильберт стал доцентом, ему не удалось совершить ни одной из своих поездок, которые он столь оптимистично запланировал в качестве компенсации за своё изолированное положение в Кёнигсберге. Позже он вспоминал свои годы «под защитой» своего родного города как время «медленного созревания». В следующем семестре он читал лекции об определителях и гидродинамике, которые вначале он надеялся прочитать в первом семестре. Он начал также готовить лекции по сферическим гармоникам и численным уравнениям. Несмотря на разнообразие его лекций, его собственные работы продолжали относиться исключительно к теории алгебраических инвариантов, хотя он и интересовался вопросами из других областей.

Наконец, в начале 1888 года он почувствовал, что готов предпринять давно обещанное себе путешествие. Составив маршрут, рассчитанный на посещение 21 видного математика, в марте он отправился в путь. В своих письмах к Минковскому он шутя называл себя «специалистом по теории инвариантов». Поэтому он первым делом поехал в Эрланген, где держал свой двор «король инвариантов».

Пауль Гордан ярко выделялся своей личностью среди математиков того времени. Будучи на двадцать пять лет старше Гильберта, он довольно поздно занялся наукой. Его отец, бывший торговцем, открыв необычайные способности сына к вычислениям, долгое время отказывался их признавать. Односторонний и вспыльчивый Гордан оставил несколько отрицательный след в истории математики. Однако это был человек острого ума, обладавший глубокой тягой к дружбе и близости с молодежью. Прогулки были необходимостью для него. В это время, бормоча вслух, он проделывал в голове сложные вычисления. В компании он говорил без умолку. Он часто любил «вмешиваться». Сидя в каком-нибудь кафе в окружении молодежи, с кружкой пенящегося знаменитого эрлагенского пива и с непременной сигарой в руке, он громко разглагольствовал, отчаянно жестикулируя и полностью забывая о своём окружении. Почти всё время он говорил о теории алгебраических инвариантов.

Большой удачей для Гордана было то, что время его первых занятий этой теорией совпало с началом нового этапа в ней. Первые годы её развития были посвящены исследованию общих законов, которым подчиняются инварианты; на следующем этапе началось методическое построение и классификация инвариантов, что и послужило пищей для Гордана. В некоторых его работах на протяжении 20 страниц не было ничего, кроме формул. «Они служили основой для его мыслей, заключений и способа выражения», — писал о нём позже один из его друзей. Однако усилия Гордана в изобретении и разработке формальных алгебраических операций были значительными. В начале своей карьеры он сделал первый прорыв в знаменитой проблеме инвариантов. За это ему и присвоили титул короля инвариантов. Общая проблема, всё ещё не решённая и ставшая самой знаменитой проблемой в этой теории, была названа в его честь «проблемой Гордана». Именно её обсуждал Эрмит с Гильбертом и Штуди в Париже.

«Проблема Гордана» была совсем не похожа на задачи типа «найти x», с которых начиналась алгебра много веков назад. Это была абстрактная, чисто математическая проблема, вызванная не окружающим нас физическим миром, а развитием самой математики. К этому времени стала известна внутренняя структура всех инвариантных форм. Существовал метод, который позволял, по крайней мере в принципе, выписать все различные инвариантные формы заданной степени от данного числа переменных. Новая проблема имела совершенно другой характер, так как относилась к множеству всех инвариантов. Существует ли базис, т.е. конечная система инвариантов, через которые рационально или полиномиально выражается любой другой из бесконечного числа инвариантов?

Выдающимся достижением Гордана явилось его доказательство, ровно за 20 лет до его встречи с Гильбертом, существования конечного базиса для бинарных форм, простейших из всех алгебраических форм. Характерно, что оно было основано на вычислениях и использовало структуру некоторых элементарных операций, с помощью которых получались инварианты. В настоящее время, будучи «голым вычислением», оно имеет только историческую ценность. Однако в те дни оно явилось высшим достижением в теории инвариантов, о чем свидетельствует тот факт, что, несмотря на двадцатилетние усилия английских, немецких, французских и итальянских математиков, кроме некоторых специальных случаев, теорема Гордана не была обобщена на случай небинарных форм. Король, взошедший на престол в 1868 году, оставался несвергнутым. Незадолго перед приездом Гильберта в Эрланген Гордан опубликовал вторую часть своих «Лекций о теории инвариантов». Согласно рецензии того времени, в план этой работы прежде всего входило «разъяснить и подробно проиллюстрировать примерами» доказанную им ранее теорему. Гильберт был уже некоторое время знаком с проблемой Гордана; однако теперь, слушая самого Гордана, ему казалось, что он прочувствовал её гораздо глубже, чем раньше. Проблема заняла его воображение с почти сверхъестественной силой.

Здесь налицо была проблема, обладающая всеми чертами великой глубокой математической проблемы, к которым Гильберт позже причислял следующие:

Ясная и легко понимаемая («так как, в то время как ясное и простое привлекает, сложное отталкивает»).

Трудная (чтобы нас привлекать») и в то же время не полностью недоступная («чтобы не сделать безнадёжными наши усилия»).

Важная («путеводная звезда на извилистых тропах к сокрытым истинам»).

Мысли об этой проблеме его не оставляли. Покидая Гордана, он увёз его проблему в Гёттинген, где он собирался посетить Клейна и Г. А. Шварца. Перед отъездом из Гёттингена ему удалось дать более короткое и простое непосредственное доказательство знаменитой теоремы Гордана для бинарных форм. По словам одного американского математика того времени, «приятным сюрпризом было узнать, что первоначальное сложное доказательство теоремы Гордана можно было переделать так, чтобы оно занимало не более четырёх страниц в четверть листа каждая».

Из Гёттингена Гильберт направился в Берлин, где посетил Лазаруса Фукса, который был теперь там профессором университета. Кроме того, он посетил Гельмгольца, а также Вейерштрасса, который недавно вышел в отставку. Затем он снова нанёс визит Кронекеру. Будучи большим поклонником математических работ Кронекера, он тем не менее находил чрезвычайно отталкивающим не терпящее возражений отношение старика к вопросу существования в математике. На этот раз он обсуждал с Кронекером некоторые свои планы дальнейших исследований в теории инвариантов. По-видимому, они не произвели большого впечатления на Кронекера. Он сослался на свою собственную работу, сказав, как заметил себе Гильберт, «что мои исследования по этому вопросу содержатся там». С другой стороны, они имели пространную беседу об идеях Кронекера относительно природы существования в математике и о его возражениях против использования Вейерштрассом иррациональных чисел. «Единственное равенство есть 2 = 2... Только дискретное или особое имеет смысл», — записал Гильберт в маленькую записную книжку, куда он заносил свои замечания о беседах с посещаемыми им математиками. На важность этой беседы для развития Гильберта в то время указывает тот факт, что в этой книжице ей было посвящено четыре страницы, в то время как на других математиков, в том числе Гордана, никогда не затрачивалось больше страницы.

От Кронекера он уехал, продолжая думать о проблеме Гордана.

Дома, в Кёнигсберге, эти мысли не покидали его ни во время работы, ни на отдыхе, ни даже на танцах, которые он так любил посещать. В августе, как обычно, он поехал в Раушен; оттуда 6 сентября 1888 года он послал короткую заметку в Nachrichten ¹⁴ Гёттингенского научного общества. В этой заметке он дал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа переменных.

Известие о решении знаменитой старой проблемы застало всех врасплох, и первой реакцией было полное недоверие.

После простейшего случая, доказанного самим Горданом, поиски решения в общем случае велись, по существу, в том же направлении, т.е. при помощи сложного алгоритмического аппарата, аналогичного тому, который с таким успехом использовал Гордан. В случае многих переменных и сложной группы преобразований этот подход становился фантастически трудным. Стало обычным делом видеть в Annalen ¹⁵ формулы, занимающие более одной страницы. Как жаловался позже один математик, они были «сравнимы разве что с формулами, описывающими движение Луны».

В этой атмосфере сплошного формализма Гильберт пришёл к мысли, что единственный способ добиться желаемого доказательства должен лежать на совершенно другом пути от того формалистического подхода, через который не могли пробиться все современные ему исследователи. Отбросив весь этот сложный аппарат, он свёл проблему, по существу, к следующему вопросу:

«Пусть задана бесконечная система форм от конечного числа переменных. При каких условиях существует конечная система форм, через которую все другие выражаются в виде линейных комбинаций, коэффициенты которых суть целые рациональные функции от тех же переменных?».

Ответ, к которому он пришёл, состоял в том, что такая система форм всегда существует.

Это сенсационное доказательство существования конечного базиса системы инвариантов основывалось на одной лемме, или вспомогательной теореме, о существовании конечного базиса модуля, математическую идею которой он почерпнул при изучении работ Кронекера. Лемма была такой простой, что казалась почти тривиальной. Тем не менее доказательство общей теоремы Гордана являлось её непосредственным следствием. Эта работа была первым примером черты, характерной для мышления Гильберта, — «естественная наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или предшествующем опыте», как выразил её позже один из его учеников.

Как только в декабре вышло из печати доказательство теоремы Гордана, Гильберт сразу же отослал один экземпляр Артуру Кэли, который полвека назад заложил основы этой теории. («Теория алгебраических инвариантов, — писал позже один математик, — появилась наподобие Минервы: взрослая дева, покрытая блестящими доспехами алгебры, она выросла прямо из божественной головы Кэли. Её Афинами, которыми она правила и которым она служила как охраняющая и благодетельная богиня, была проективная геометрия. С момента её рождения она была призвана защищать предложение, что все проективные системы координат эквивалентны...»)

«Дорогой сэр, — вежливо отвечал Кэли из Кембриджа 15 января 1889 года, — я должен поблагодарить Вас за экземпляр Вашей заметки... Мне кажется, что эта идея чрезвычайно важна и полезна и что она должна привести к доказательству теоремы об инвариантах; однако я всё ещё не могу поверить, что у Вас есть такое доказательство».

Однако 30 января, получив за это время два письма от Гильберта с подробными объяснениями, Кэли поздравлял молодого немца: «Моя трудность имела априорный характер, я думал, что подобный процесс можно было бы применить также и к полуинвариантам, а это оказывается не так; теперь мне совершенно ясно... Я думаю, что Вы нашли решение великой проблемы».

Гильберт решил проблему Гордана способом, очень напоминающим тот, которым Александр Македонский развязал гордиев узел.

В Гордиуме (рассказывает нам Плутарх) он увидел знаменитую колесницу, привязанную верёвками, сделанными из коры кизилового дерева. Согласно преданиям местных жителей, развязавший этот узел овладеет мировой империей. Большинство авторов рассказывают, что Александр, поняв, что он не сможет развязать узел, концы которого были секретно перевязаны и спрятаны внутрь, разрубил его на части своим мечом. Однако, согласно Аристотелю, он легко с этим справился, вынув только гвоздь из дышла, к которому было привязано ярмо, и после этого снизу вытянув само это ярмо.

При доказательстве конечности базиса системы инвариантов не использовалось его явное построение, как это пытались сделать Гордан и другие. Не нужно было даже указывать на метод его построения. Всё, что требовалось, — это доказать, что конечный базис, по логической необходимости, обязан существовать, ибо в противном случае получается противоречие. Именно это и сделал Гильберт.

Реакция некоторых математиков напоминала реакцию фригийцев на то, как Александр «развязал» узел. Они совсем не были уверены, что ему удалось это сделать. Гильберт не построил самого базиса и не дал способа его построения. Его доказательство теоремы Гордана нельзя было использовать для получения конечного базиса системы инвариантов даже какой-нибудь одной алгебраической формы.

Линдеман нашёл методы своего молодого коллеги «unheimlich» — неудобными, чудовищными, сверхъестественными. По-видимому, только Клейн оценил всю силу его работы — «абсолютно простой и потому логически безупречной», — и именно в это время он решил, что при первой же возможности должен заполучить Гильберта в Гёттинген. Впервые после долгого математического молчания громкий голос Гордана раздался в математическом мире: «Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie» ¹⁶.

Теперь Гильберт открыто выступил в общей полемике о природе математического существования, которая была начата Кронекером. Кронекер настаивал, что без построения не может быть существования. Для последнего, как и для Гордана, доказательство Гильберта конечности базиса системы инвариантов было просто не математикой. В противоположность этому Гильберт всю жизнь утверждал, что предложение, любое следствие которого непротиворечиво, должно считаться истинным.

Несмотря на философские разногласия, Гильберт находился в то время под сильным влиянием математических идей Кронекера.

На самом деле, как стало ясно позднее, главное значение его работы по инвариантам заключалось в применении арифметических методов к алгебраическим проблемам. Экземпляр каждой своей работы он посылал Кронекеру. Тем не менее Кронекер как-то заметил с обидой Минковскому, что он прекратит посылать свои работы Гильберту, если тот не будет посылать ему своих. После этого Гильберт сразу же написал формальное, вежливое, но решительное письмо:

«Я точно помню, и это же ясно показывает мой список посылаемых работ, что я позволил себе смелость отправлять Вам копию каждой работы, без исключения, сразу же после её выхода из печати; кроме того, Вы были так добры, что на некоторые последние отправления прислали мне открытки с благодарностью. С другой стороны, высокочтимый профессор, ещё не было случая, чтобы я получил в качестве подарка хотя бы один оттиск Ваших работ. Однако в прошлом году, когда я имел честь посетить Вас, Вы упомянули, что пошлёте мне что-нибудь по своему выбору. Мне кажется, что это указывает на какие-то недоразумения между нами, и я пишу эти строки, чтобы поскорее, насколько это возможно, рассеять их».

Затем после многих исправлений он попытался выразить мысль, что во всём им написанном надо видеть только один смысл: не упрёки, а только объяснения. Отчаявшись, наконец, он просто подписался: «С глубочайшим уважением, Давид Гильберт».

В следующие два года, будучи ещё доцентом, Гильберт послал две заметки в Nachrichten, а затем в 1890 году на основе всех своих работ по алгебраическим формам он написал подробную статью для Annalen. К этому времени революционное воздействие его работ стало повсеместно признаваться и приниматься. Переменил своё отношение к молодому человеку и Гордан. Предлагая другое доказательство одной из теорем Гильберта, он писал, что доказательство господина Гильберта было «абсолютно верным», а его собственное доказательство было бы даже невозможно, «если бы господин Гильберт не применил в теории инвариантов понятий, развитых Дедекиндом, Кронекером и Вебером в другой части математики».

В то время как Гильберт был вовлечён в чистейшую часть чистой математики, Минковский всё больше от неё отдалялся. 31-летний Генрих Герц, спустя два года после своего открытия электромагнитных волн, предсказанных Максвеллом, стал недавно профессором физики в Бонне. Минковский, жалуясь на «полное отсутствие хотя бы наполовину нормальных математиков» среди своих коллег, стал всё больше склоняться к Герцу и физике. Перед рождеством он писал, что, вопреки обычаю, он не будет проводить каникулы в Кёнигсберге: «Хотя я и не знаю, надо ли тебя утешать, так как сейчас ты нашёл бы меня полностью заражённым физикой. Наверное, мне пришлось бы даже пройти 10-дневный карантин, прежде чем вы с Гурвицем допустили бы меня, как математика чистого и неприкладного, к своим совместным прогулкам».

В другой раз он писал: «Причиной, по которой я теперь почти полностью плаваю в физических водах, является то, что в настоящий момент, как чистый математик, я здесь единственный среди призраков, кто имеет чувствительное сердце. Поэтому, — объяснял он, — для того чтобы контактировать с другими смертными, мне пришлось окружить себя магией, или, другими словами, физикой. Свои лабораторные дни я провожу в Институте физики, дома я изучаю Томсона, Гельмгольца и их компанию. С конца следующей недели мне даже придётся несколько дней в неделю работать в голубом дыму одного института, где в качестве техника мне придётся изготовлять физические приборы, т.е., как ты можешь себе представить, заниматься сугубо практической работой».

Однако расхождение в научных интересах не повлияло на дружбу; на самом деле именно в это время молодые люди в своей переписке сделали знаменательный переход с формального «Sie» ¹⁷ на дружеское «du» ¹⁸.

Годам приват-доцентства, казалось, не будет конца. Бóльшая часть писем посвящалась обсуждению возможности повышения. В 1891 году Минковский писал, что, по слухам, ему могут предложить место в Дармштадте. «Однако этот луч надежды может светить до тех пор, пока не станет освещать уже почти совсем седые волосы». В этом же году, по-видимому по особому разрешению университета, лекции Гильберта по аналитическим функциям слушал только один студент — американец из Балтимора, несколько старше, чем молодой лектор, однако, по словам последнего, «очень сообразительный и чрезвычайно заинтересованный». Это был Фабиан Франклин, важный человек в теории инвариантов и преемник Сильвестра в университете Джонса Гопкинса.

Так как в Кёнигсберге было мало студентов-математиков, Гильберт, кроме математических собраний, посещал также и собрания естествоиспытателей. Кёнигсберг был удивительно богат близкими ему по духу молодыми людьми. Среди них был Вихерт, в это время тоже доцент, а также недавно присоединившийся к нему студент Арнольд Зоммерфельд, вместе с которым они изобретали гармонический анализатор. Оба они со временем стали выдающимися специалистами в электродинамике. Однако, когда «маленький Зоммерфельд» услышал лекцию Гильберта по теории идеалов, он сразу же решил, что его интересует только самая чистая и абстрактная математика. Позже он заметил, что «уже было ясно, что дух особой силы принялся за работу».

Светская жизнь здесь была довольно бурной. Гильберт был весёлым молодым человеком с репутацией «энергичного танцора» и «обворожителя», как выражался один из его родственников. Он неутомимо флиртовал со многими девушками. Однако его любимым партнёром во всякого рода развлечениях была Кёте Ерош, дочь кёнигсбергского торговца, откровенная, молодая девушка, независимость мышления которой была почти сравнима с его собственной.

Даже после работы 1890 года проблема Гордана не оставляла Гильберта. Как и большинство математиков, он предпочитал явное построение доказательству существования. Как сказал один математик, «имеется большая разница между доказательством существования объекта определённого типа при помощи построения осязаемого примера такого объекта или при помощи рассуждений, показывающих, что его отсутствие приводит к противоречию. В первом случае имеется осязаемый объект, а во втором — лишь противоречие». Ему очень хотелось получить для старого Кронекера, Гордана и других конструктивное доказательство конечности базиса системы инвариантов. Но в настоящее время он просто не видел никакого подходящего способа. Однако в следующие два года направление его работы стало меняться. Его начинают всё больше привлекать идеи, относящиеся к полям алгебраических чисел. И снова они были связаны с именем Кронекера. Именно здесь Гильберт нашёл наконец-то те мощные методы, которые он так давно искал. В основополагающей работе 1892 года он рассмотрел вопрос о необходимых условиях, позволяющих найти полную систему инвариантов, через которую можно выразить все остальные инварианты. Основываясь на ранее доказанной теореме, ему удалось предложить метод, позволяющий, по существу, за конечное число шагов получить искомую конструкцию.

Хотя Гильберт не был первым, кто использовал косвенные, неконструктивные доказательства, он был первым, кто осознал их глубокое значение и силу, а также смог воспользоваться ими в драматических и чрезвычайно красивых ситуациях. Кронекер недавно умер; однако тем, кто, как и он, заявлял, что утверждение о существовании объекта без его явного построения не имеет смысла, Гильберт мог всегда возразить: «Значение доказательств чистого существования состоит в точности в том, что, избегая конкретного построения, они подчиняют многие различные конструкции одной основной цели, позволяющей выявить в доказательстве самое существенное; краткость и экономия мысли есть raison d'etre ¹⁹ таких доказательств. Запретить теоремы существования... равносильно отказу от всей математической науки».

Теперь, используя теорему существования, Гильберту удалось получить построение. Толчок, который дало это достижение для распространения методов существования, вряд ли можно переоценить.

Минковский был в крайнем восхищении: «Уже давно для меня было ясно, что дело только во времени, чтобы тобою был разрешён старый вопрос об инвариантах, — отсутствовали только точки над «i»; но то, что всё обернулось столь удивительно просто, наполнило меня большой радостью, и я тебя поздравляю».

Он был склонен к литературным вдохновениям и был любителем метафор. От первого доказательства существования Гордан почувствовал перед глазами дым, но теперь Гильберт изобрёл бездымный порох. Замок баронов-разбойников — Гордана и остальных — был сровнен с землей, было опасение, что он никогда не возродится. Гильберт смог бы помочь своим коллегам-математикам, если бы снабдил их своими материалами, с помощью которых они смогли бы восстановить замок. Но, вероятно, он не захочет тратить своё время на это. Ещё оставалось так много дел, которые он способен был совершить! Сам Гордан любезно признал: «Я убедился, что у теологии есть своя преимущества».

Когда Клейн отправился в Чикаго на объявленный Международный конгресс математиков в честь основания Чикагского университета, он взял с собой работу Гильберта, в которой этот молодой человек между делом подытожил историю теории инвариантов и свою долю участия в ней: «В истории математической теории легко различаются три фазы развития: наивная, формальная и критическая. Что касается теории алгебраических инвариантов, то её первых основателей Кэли и Сильвестра можно рассматривать как представителей наивного периода: разрабатывая простейшие понятия инвариантности и изящно применяя их к решениям уравнений первой степени, они испытали первые радости открытия. Клебш и Гордан, которые изобрели и привели в совершенство символическое исчисление, были лидерами второго периода. Критический период нашёл своё выражение в теоремах, которые я перечислил выше...»

Теоремы, на которые он ссылался, были его собственными. Это утверждение, довольно дерзкое для молодого математика, который ещё не был даже ассистент-профессором, имело, однако, достаточно оснований. Кэли и Сильвестр были ещё живы, один был в Кембридже, а другой в Оксфорде. Клебш уже умер, но Гордан был жив и являлся одним и самых видных математиков того времени. Теперь, в 1892 году, после работ Гильберта теории инвариантов, понимаемой, как во времена Кэли, внезапно пришёл конец. Как писал позже один математик, «вся теория испустила дух».

При решении проблемы Гордана Гильберт нашёл себя и свой метод атаки конкретной знаменитой проблемы, решение которой по своему значению намного превосходило саму проблему. Впервые случилось что-то совершенно неожиданное. Вначале заинтересовавшая его проблема была решена, а её решение полностью освободило его от неё.

В заключение своей последней работы по инвариантам он писал: «Тем самым мне кажется, что важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты». В одном письме к Минковскому он высказался ещё более решительно: «Я определённо брошу теорию инвариантов».