В последующие три года Гильберт повышался к академических рангах и делал то, что делает в этот период жизни большинство молодых людей, — женился, стал отцом, получил важное назначение и принял решение, изменившее его дальнейшую жизнь.

Эта неожиданная последовательность событий была вызвана смертью Кронекера и возникшей в связи с этим игрой «математических кафедр» в германских университетах. Внезапно блеснула надежда, что ограниченному достатку годов доцентства может прийти конец. Минковский, навестивший в Берлине Фридриха Альтхофа, ответственного за все дела в университетах, возвещал о новостях:

«А. говорил... предполагается, что следующие лица получат оплачиваемый экстраординариат: ты, я, Эберхард и Штуди. Я не преминул случаем представить ему тебя как математика с большим будущим... Что касается Штуди, то, по чистой совести, я мог только похвалить его добрые намерения и его усердие. А. очень предан тебе и Эберхарду».

Примерно в это же время Гурвиц, бывший в течение восьми лет ассистент-профессором (экстраординариусом) в Кёнигсберге, получил предложение занять место полного профессора в Швейцарском федеральном технологическом институте в Цюрихе. Хотя это и означало конец ежедневным математическим прогулкам, оно давало Гильберту возможность занять место Гурвица.

«По этой причине, — дружески писал Минковский, — твой страшный пессимизм кончится и можно будет осмеливаться снова посылать тебе дружеское слово. В ближайшие недели, я надеюсь, навсегда прекратится болезнь приват-доцентских дней. Вот видишь, наконец-то наступает весна и лето».

В июне Гурвиц женился на Иде Самуэльс, дочери профессора медицины. Гильберт незадолго до этого был помолвлен с Кёте Ерош и после свадьбы Гурвица с возрастающим нетерпением ждал медленно продвигающегося повышения. Наконец, в августе тайным голосованием факультет принял решение предоставить ему место Гурвица. Он назначил день своей свадьбы и в то же время сообщил Минковскому новости о своём назначении.

Минковский с радостью прислал свои поздравления: «Наконец-то ты полностью убедишься в том, что властьимущие благоволят к тебе. Тем самым твои перспективы на будущее превосходны».

Семьи Гильбертов и Ерошей уже давно были дружны. С самого начала все соглашались с тем, что Гильберт нашёл для себя совершенную пару. «Она была человеком цельным и независимым во всех отношениях, ясная и сильная, — писал о Кёте один и первых учеников Гильберта, — она всегда была ровней своему мужу, добрая, искренняя, всегда своеобразная».

Кёте Ерош и Давид Гильберт, 1892 г.

Давид Гильберт, 1900 г.

Фотография, снятая примерно в это время, запечатлела молодую пару. Ему 30 лет, ей 28. Уже на ней они довольно похожи друг на друга. Почти одинакового роста, с большими, твёрдо очерченными ртами, крупными носами и спокойными, ясными взглядами. Голова Гильберта кажется довольно маленькой. Он отрастил бороду. Уже обозначенная лысина открывает решительно выступающий, высокий лоб учёного. Не будучи ни хорошенькой, ни некрасивой, Кёте обладала приятными чертами лица, но, казалось, мало обращала внимания на свою собственную внешность. Свои темные волосы она гладко зачесывала назад с пробором посередине и закалывала сзади в виде пучка.

12 октября 1892 года Гильберт и Кёте Ерош поженились. («Приятное настроение, в котором ты пребываешь, не может не оказать влияния на твою научную работу, — писал Минковский. — Я жду от тебя нового великого открытия».)

Почти одновременно с тем, как Гильберт сменил Гурвица в Кёнигсберге, Минковский получил обещанную должность ассистент-профессора в Бонне. Хотя он надеялся получить какое-нибудь другое место, Альтхоф сказал ему, «что для него будет лучше остаться в Бонне». К этому времени Генрих Герц был поражён недугом, унёсшим его в могилу в возрасте 37 лет; интерес Минковского к физике иссяк, и он вернулся к своей первой любви — теории чисел. Позже он сказал как-то Гильберту, что если бы «папа» Герц был жив, вместо математика он мог бы стать физиком.

Подход Минковского к теории чисел был геометрическим, его целью было выразить с помощью геометрии соотношения между алгебраическими числами. При этом подходе многие доказательства становились более прозрачными. Он был глубоко погружён в работу над книгой об этой новой теории, и его письма к Гильберту были полны забот об изложении материала в ней. Окончательный вариант должен был быть «klipp und klar» ¹. Хотя он и называл Пуанкаре «величайшим математиком в мире», Гильберту он писал: «Я не могу заставить себя издавать свои труды в том виде, в каком издаёт их Пуанкаре».

Эта книга часто мешала Минковскому проводить свои каникулы в Кёнигсберге. Гильберт жаловался, что после отъезда Гурвица не с кем беседовать на математические темы. «Мое положение гораздо хуже твоего, — напоминал ему Минковский. — Насколько Кёнигсберг отдалён от остального мира, настолько Бонн отдалён от математики. Я здесь просто математический эскимос!»

К началу нового года (1893) дела Минковского улучшились. Книга была наполовину окончена и уже заслужила похвалу Эрмита, которую Гильберт нашёл очень трогательной.

«Вы очень добры, что назвали мои старые исследования отправной точкой для Ваших замечательных результатов, — писал Минковскому старый французский математик, — но Ваши результаты оставили мои настолько позади, что заслуга последних состоит теперь только в том, что они проложили путь, выбранный Вами для исследований».

Гильберт начал год новым доказательством трансцендентности чисел е (впервые доказанной Эрмитом) и π (доказанной Линдеманом). Его доказательство представляло значительный прогресс по сравнению с прежними и было удивительно простым и прозрачным. Это был великолепный результат, который Минковский ожидал от него с прошлой осени. Сразу же после получения этого результата он сел и написал письмо Гильберту.

«Час назад я получил твою заметку о e и π... и мне остаётся только выразить тебе моё искреннее и сердечное удивление... Я живо представляю себе оживление Эрмита, вызванное чтением твоей статьи. Насколько я знаю старика, я не удивлюсь, если в ближайшем будущем он сообщит тебе о своей радости, что он всё ещё способен испытывать наслаждение от такой работы».

Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении, Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. «Отныне я целиком посвящу себя теории чисел», — писал он Минковскому после окончания последней работы об инвариантах. Теперь он занялся этой новой областью.

Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел вершиной науки. Он отзывался о ней как о «неистощимом источнике интересных истин». Гильберт относился к теории чисел как к «зданию редкой красоты и гармонии». Как и Гаусса, его привлекала «простота её фундаментальных законов, малое количество определений и чистота её истин»; оба они в равной степени были восхищены резким различием между очевидностью формулировок её результатов и «чудовищной» трудностью их доказательства. Однако, одинаково отзываясь о ней, они говорили о двух различных ветвях теории чисел.

Похвалы Гаусса относились к классической теории чисел, восходящей к грекам и имеющей дело с соотношениями между обычными целыми или натуральными числами. Важнейшие из них касались отношений между простыми числами, этими «кирпичиками» числовой системы, и остальными, которые, в отличие от них, кроме 1 и самих себя имеют ещё и другие делители. Ко времени Гаусса понятие натурального числа было значительно расширено. Но Гаусс был первым математиком, выведшим теорию чисел за пределы изучения «поля» рациональных чисел. Числовое поле есть множество чисел, в котором сумма, разность, произведение и (в отличие от целых чисел) частное двух чисел есть некоторое число из этого множества. Гаусс рассматривал числа вида a + b√–1, где a и b — рациональные числа. Множество таких чисел, как и аналогичное множество чисел вида a + b√2, образует числовое поле, поле алгебраических чисел; такие поля являются предметом изучения так называемой алгебраической теории чисел. Именно об этом направлении теории чисел, созданном Гауссом, с похвалой отзывался Гильберт.

Главным препятствием в распространении теории чисел на поля алгебраических чисел являлось то обстоятельство, что в большинстве таких полей не выполняется основная теорема арифметики, которая утверждает, что каждое натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел. Это препятствие было в некоторой степени преодолено Куммером, который ввёл в рассмотрение «идеальные числа». После Куммера эту теорию разрабатывали два математика, совершенно по-разному подходившие к математике. Ещё до отъезда Гурвица в Цюрих вместе с Гильбертом они посвящали свои ежедневные прогулки обсуждению последних теоретико-числовых работ этих двух математиков. «Один из нас разобрал доказательство Кронекера теоремы о разложении на простые идеалы, другой же разобрал доказательства Дедекинда, — вспоминал позже Гильберт, — и мы нашли отвратительным как одно, так и другое». Занявшись полями алгебраических чисел, он поступил так, как и при решении проблемы Гордана. Вернувшись к самому началу, он обдумал основные идеи теории. Его первой работой в этой новой области было новое доказательство теоремы об однозначном разложении целых алгебраических чисел на простые идеалы.

Едва Гильберт освоился со своим новым положением женатого человека и ассистент-профессора с постоянным жалованьем, как пришли приятные известия. Линдеман получил приглашение из Мюнхена и собирался покинуть Кёнигсберг.

«Само собой разумеется, и, имея хоть каплю справедливости, другого не может думать и Линдеман, что ты должен быть его преемником, — писал Гильберту Минковскнй. — Если ему удастся это пробить, то он по крайней мере с честью покинет своё место, которое он занимал в течение 10 лет».

Разумеется, Гильберт был согласен с этим. Однако окончательное решение в этом деле принадлежало не Линдеману, а Альтхофу. На вакантную должность профессора факультет назвал Гильберта и трёх более солидных математиков, и список был послан в Берлин.

Альтхоф не был бюрократом, это был администратор с академической практикой. Его великой целью было создание математики в Германии. Будучи близким другом Клейна — оба вместе служили в армии во время франко-прусской войны, — он очень прислушивался к его мнению. Просмотрев впечатляющий список имён, присланный факультетом, он остановил свой выбор на 31-летнем Гильберте. После этого он даже совершил почти неслыханное дело — начал вести с ним переговоры о назначении преемника на его должность ассистент-профессора.

Это открывало возможность возвращения Минковского в Кёнигсберг. Несмотря на сложную ситуацию в Бонне, связанную с болезнью профессора математики, Гильберт с энтузиазмом взялся за незнакомую для него академическую дипломатию. Минковскому он написал об их скорой возможной встрече.

«Для меня было бы особой радостью занять твоё место в Кёнигсберге, — отвечал Минковский. — Здешние контакты с математическими коллегами действительно плачевны. Один жалуется на мигрень, а жена другого вмешивается каждые пять минут, чтобы перевести разговор на другую, нематематическую тему. Если бы вместо этого я имел возможность общаться с тобою, то в научном отношении это означало бы для меня смену ночи на день».

Однако больной профессор в Бонне, успев уже привыкнуть к Минковскому, хотел в делах опереться на его помощь. Альтхоф не любил расстраивать своих профессоров. Переговоры затягивались.

Тем временем семейные дела шли обычным чередом. 11 августа 1893 года на морском курорте Кранц ² у Гильбертов родился сын. Они назвали его Францем.

Спустя несколько недель после рождения Франца Гильберт отправился на юг, в Мюнхен, на ежегодное собрание Германского математического общества. Оно было недавно организовано группой математиков, среди которых был и Гильберт, и ставило себе целью обеспечить более тесные контакты между различными областями математики. Здесь Гильберт представил два новых доказательства разложения алгебраических чисел на простые идеалы. Несмотря на его первые шаги в области алгебраических чисел, его компетентность в этих вопросах явно произвела впечатление на остальных членов Общества. Одним из проектов Общества была ежегодная публикация обширных обзоров в различных областях математики (первый из них был посвящён теории инвариантов); на этот раз было решено поручить Гильберту и Минковскому, последний был уже хорошо известен как специалист по теории чисел, подготовить «за два года» обзор текущего состояния этой области. Назначение срока этой работы было вызвано её актуальностью в связи с тем, что революционные труды Куммера, Кронекера и Дедекинда были чрезвычайно сложными и настолько опережали своё время, что были всё ещё недоступными для большинства математиков. Тот факт, что исправить эту ситуацию поручалось Гильберту и Минковскому, был не только данью их математическим способностям, но также признанием их способности к ясному и простому изложению материала. Этой осенью письма, курсирующие между Кёнигсбергом и Бонном, были посвящены в равной мере примерно трём темам: организации обзора для Математического общества, прогрессу переговоров о переезде Минковского обратно в Кёнигсберг и тому факту, что, с отцовской точки зрения, маленький Франц уже «перекрикивает» остальных детей.

Положение в Бонне не улучшалось; в день Нового 1894 года Минковский писал, что он потерял почти всякую надежду получить назначение в Кёнигсберг. Однако спустя три дня, встретившись с Альтхофом, он послал Гильберту радостное письмо.

«Всё окончилось хорошо, очень хорошо... Сердечная благодарность за все твои усилия, приведшие к этому счастливому исходу; желаю нам с тобою приятного и выгодного сотрудничества, которое заставит простые числа и законы взаимности wiggeln und waggeln».

В марте по пути в Кёнигсберг Минковский остановился в Гёттингене. Г. А. Шварц тем временем переехал в Берлин, а его место занял Генрих Вебер. Это развязало Клейну руки для претворения в жизнь своих замыслов. По-видимому, на Минковского произвела глубокое впечатление та стимулирующая обстановка, которая уже была создана Клейном в университете. «Кто знает, когда мне снова доведётся вдыхать эту атмосферу математической мастерской, которая сейчас имеет наивысшую репутацию?»

С приездом Минковского весной 1894 года возобновились ежедневные прогулки к яблоне и совместные беседы о теории чисел. По мнению Гильберта, нельзя было придумать лучшего сотрудника для создания Zahlbericht ³ — такое название получил обзор по теории чисел. Несмотря на мягкий характер Минковского, его отношение было в основном критическое, он настаивал на ясности стиля и содержания и «даже к чужим работам предъявлял строгие требования».

План Zahlbericht начал вырисовываться в голове Гильберта. Подобное поручение Математического общества могло бы расцениваться молодым математиком как нежелательная чёрная работа, однако для Гильберта дело обстояло иначе. Уже его собственная работа показывала, что он проявлял особый интерес к вопросу о распространении законов взаимности на поля алгебраических чисел. Теперь он сознательно отложил в сторону свои планы, считая, что заказанный обзор даёт возможность заложить основы для более глубоких исследований. Хотя до сих пор он не питал склонности к изучению теории по книгам, теперь он прочитал всё изданное по теории чисел со времен Гаусса. Доказательства всех известных теорем надо было тщательно обдумать. Затем ему следовало отобрать из них те, «идеи которых поддаются обобщению и наиболее перспективны для дальнейших исследований». Однако до этого необходимо было провести эти «дальнейшие исследования». Кроме того, нужно было устранить те трудности стиля и мышления предшествующих исследователей, которые ставили преграду для общего понимания и признания их работы. Было решено разбить обзор на две части. Минковскому поручалось изложить материал, относящийся к обычным рациональным числам, а Гильберту — алгебраическую теорию чисел. В течение 1894 года он заложил основы своей части Zahlbericht.

И снова двум друзьям не пришлось долго общаться. В начале декабря из Гёттингена пришло письмо с припиской: «Строго конфиденциально».

«Наверно, Вы ещё не знаете, что Вебер уезжает в Страсбург, — писал Клейн Гильберту. — Сегодня же вечером на факультетском собрании будет выбран комитет, которому будет поручено составить список претендентов; хотя и я не берусь предсказать результат, мне хотелось сообщить Вам, что я приложу все усилия, чтобы сюда пригласили только Вас».

«Вы именно тот человек, в котором я нуждаюсь в качестве своего научного дополнения. Это объясняется направлением Вашей работы, силой Вашего математического мышления и тем фактом, что Ваш возраст приходится на самые продуктивные годы. Я рассчитываю, что Вы вольёте свежие силы в здешнюю математическую школу, которая непрерывно растёт и, по-видимому, вырастет ещё больше. Кроме того, быть может, Вы даже окажете омолаживающее влияние на меня...»

«Я не знаю, удастся ли мне оказать давление на факультет. Более того, я не знаю даже, последует ли предполагаемое предложение из Берлина. Однако одно Вы должны обещать мне уже сейчас: что Вы не откажетесь от полученного вызова!»

Неизвестно, имел ли Гильберт сомнения на этот счёт. В действительности он написал Клейну: «Безусловно, я не колеблясь и с большой радостью приму приглашение в Гёттинген». Однако, быть может, некоторые сомнения у него и были. Клейн был признанным лидером математики в Германии. Это был величественный человек, и всё чаще и чаще теперь к нему применяли слово «царственный»). Иногда даже таких выражений было недостаточно, и один его бывший студент назвал его «божественным Феликсом». Один человек, хорошо его знавший и гордившийся тем фактом, что как-то дал Клейну совет в личных делах, позже признался, что между ними до конца сохранялась дистанция, «как между богом и простым смертным».

Что касается чувств Клейна по отношению к Гильберту, то ему уже было ясно, что тот, подвергая сомнению любой авторитет как в личных, так и в математических вопросах, шёл в жизни своим путём. Клейн не мог не понимать возможных возражений против своего выбора. Когда на факультетском собрании коллеги обвинили его в том, что он просто хочет получить удобного для него молодого человека, он ответил: «Я просил самого трудного человека из всех».

Гильберт очень старался над своим ответом на письмо Клейна, много перечёркивая и переписывая для того, чтобы добиться точного понимания. Добившись удовлетворительного варианта, он дал Кёте переписать свой ответ её хорошим почерком. Последнее стало со временем его частым обычаем.

«Ваше письмо удивило меня самым счастливым образом, — начал он. — Оно открыло путь для реализации того, на что я надеялся в лучшем случае только в далёком будущем и что рассматривал как окончательную цель всех моих усилий...»

«Решающим для меня будет прежде всего тот стимул, которым Вы явитесь для моей научной деятельности, и то огромное влияние, которое окажет на меня слава Вашего университета. Кроме того, это будет исполнением самых заветных для меня и моей жены желаний жить в маленьком университетском городке и особенно так красиво расположенном, как Гёттинген».

Получив это письмо от Гильберта, Клейн принялся реализовывать план своей кампании. «Я уже сказал Гурвицу, что на этот раз его кандидатура не будет выставляться, чтобы облегчить дорогу для Вас. Минковский будет назван вторым. Я это обсудил с Альтхофом, и он думает, что это облегчит Минковскому возможность занять Ваше место в Кёнигсберге».

Через неделю он с триумфом писал Гильберту: «Всё кончилось просто прекрасно и намного быстрее, чем я даже мог надеяться. Пожалуйста, примите моё сердечнейшее приглашение».

Красночерепичные крыши Гёттингена окружены ровными холмами, среди которых здесь и там виднеются неровные силуэты древних сторожевых башен. Большая часть старой стены всё ещё окружает внутренний город, и в воскресные дни горожане «обходят стену» — эта прогулка занимает один час. За стеной находятся жёлтокирпичные здания университета Георга Августа, основанного курфюрстом Ганновера, известным также как король Англии Георг II. Внутри по сторонам узких кривых улочек стоят красивые дома, наполовину отделанные деревом. Две оживлённые улицы Принценштрассе и Веендерштрассе пересекаются в том месте, которое математики называют началом координат Гёттингена. На самом же деле центром города является Rathaus, или ратуша. На стене Ratskeller ⁴ начертан девиз, который безапелляционно утверждает: Вне Гёттингена жизни нет.

Великая научная традиция Гёттингена идёт от Карла Фридриха Гаусса, отец которого был попеременно садовником, смотрителем каналов и каменщиком. Гаусс поступил в университет осенью 1795 года как протеже герцога Брауншвейгского. В последующие три года у него появилось так много великих математических идей, что он часто только успевал заносить их в свой дневник. Ещё до окончания университета, в возрасте 21 года, он фактически завершил одно из классических произведений теории чисел и математики — Disquisitiones Arithmeticae ⁵. Позже он вернулся в Гёттинген, чтобы занять пост директора обсерватории c нерегулярными педагогическими обязанностями. Всю свою дальнейшую жизнь он провёл в этом городе, оставив свой след во всех областях чистой и прикладной математики. В конце жизни, заняв в истории своей науки место наряду с Архимедом и Ньютоном, он всегда вспоминал свои первые годы в Гёттингене как «счастливые годы».

Гильберт приехал в Гёттинген в марте 1895 года, почти ровно через сто лет после Гаусса. Не сразу студентам стало ясно, что ещё один великий математик продолжил традицию. Гильберт резко отличался от своего предшественника — сутулого и полного достоинства Генриха Вебера, а также высокого и властного Клейна. «Я всё ещё ясно помню, — писал Отто Блюменталь, в то время студент второго семестра, — то странное впечатление, которое на меня произвёл этот просто одетый, энергичный человек среднего роста с красноватой бородкой, который совсем не выглядел профессором».

Репутация Клейна привлекала в Гёттинген студентов со всех концов света и в особенности из Соединённых Штатов. Bulletin ⁶ недавно основанного Американского математического общества регулярно публиковал список лекций, читаемых в Гёттингене, а в одно время американцы в университете были столь многочисленны и состоятельны, что имели даже свой собственный почтовый адрес: Американская колония Гёттингена. «На лекциях нас примерно дюжина..., — писала англичанка Грейс Чизхольм (впоследствии миссис В. Г. Юнг) своей бывшей сокурснице в Кембридже. — Мы составляем пёструю компанию: пять американцев, один шведо-француз, один венгр и один итальянец. Для немецкой крови остаётся не так уж много места».

Центр математической жизни был сосредоточен на третьем этаже Auditorienhaus ⁷. Здесь Клейн организовал читальню, Lesezimmer, существенно отличавшуюся от других математических библиотек того времени. Книги располагались на открытых полках, к которым имелся свободный доступ студентов. На третьем этаже, в коридоре, Клейн устроил прославившую его позже обширную коллекцию математических моделей. Здесь перед лекциями всегда собирались студенты. Хотя и не являясь комнатой в точном смысле этого слова, это место называлось Комнатой математических моделей.

Лекции Клейна заслуженно признавались классическими. Как правило, примерно за час до лекции он приходил, чтобы проверить энциклопедический список цитируемой литературы, который по его требованию приготовлялся его ассистентом. Это же время он использовал для последней чистки всех шероховатостей и неточностей, которые ещё могли остаться в рукописи. Прежде чем начать лекцию, он обдумывал план расположения формул, диаграмм и цитат. Во время лекции на доске никогда ничего не стиралось. К концу на ней оставался полный конспект лекции, каждый квадратный сантиметр доски был аккуратно заполнен, следуя логическому порядку.

По мнению Клейна, студенты должны были самостоятельно работать над доказательством. Он давал только его общий план. Из-за этого студентам приходилось затрачивать для усвоения материала четыре часа на каждый час, проведённый на лекции. Сильной стороной Клейна была присущая ему широта охвата материала. «Он обладал способностью видеть основную общую идею, пронизывающую отдельные проблемы, и владел искусством представлять её слушателям без лишних необходимых подробностей», — говорил один из его студентов. В отборе материала для лекций Клейн следовал характерному для него величественному плану: «в течение курса дать полное представление о всей обширной территории современной математики».

В противоположность этому, согласно Блюменталю, Гильберт читал свои лекции медленно, «без ненужных украшений» и с частыми повторениями, «чтобы быть уверенным, что все его поняли». Как правило, он повторял материал прошлой лекции, что было привычкой преподавателей гимназии, которой пренебрегали другие профессора. И всё же скоро его лекции, столь непохожие на лекции Клейна, стали производить на многих студентов большее впечатление, так как были полны «красивейшими проникновениями».

В хорошо приготовленной лекции Гильберта одно предложение следовало за другим «просто, естественно и логично». Однако обычно он готовил лекцию только в общих чертах и часто спотыкался в деталях. Случалось, что, не отмечая этого специально, он мог внезапно начать развивать свои собственные идеи. Тогда его лекции ещё разительней отличались от совершенных лекций Клейна и демонстрировали недоработки, неправильно начатые доказательства, а иногда и ошибочное направление самого замысла.

За восемь с половиной лет в Кёнигсберге Гильберт не повторил ни одного предмета, «за одним небольшим исключением» — одночасового курса по определителям. Теперь в Гёттингене ему легко было выбрать темы своих лекций, согласованные с пожеланиями Клейна. В первом семестре он читал курсы по теории определителей и эллиптических функций, а также вместе с Клейном каждое утро по средам вел семинар по действительным функциям.

Хотя Гильберт с готовностью принял должность профессора в Гёттингене, его беспокоили две стороны нового положения. Кёте здесь не была счастлива. Общество Гёттингена, хотя для её мужа и более интересное в научном смысле, не выказывало того дружелюбия, к которому она привыкла в Кёнигсберге. Строго соблюдаемая разница в рангах отделяла профессоров от доцентов и студентов старших курсов. Несмотря на свою доброту, Клейн держал Гильберта, как и остальных, на некотором расстоянии. Его жена (дочь философа Гегеля) была очень тихой женщиной, непохожей на тех, кто окружает себя большой компанией. Дом Клейна на улице Вильгельма Вебера, 3 — большой, квадратный, внушительный, с бюстом Юпитера на лестнице, ведущей в кабинет хозяина, — уже тогда походил на здание института, которым он со временем стал. Для Гильберта «товарищество» и человеческая солидарность были необходимы для научного творчества. Так же, как и Кёте, он нашёл атмосферу Гёттингена весьма холодной.

Кроме того, поначалу Гильберта беспокоило, что он может не оправдать надежд, питаемых на его счет Клейном. Он понимал, что причиной его приглашения была вера в него. Перед отъездом из Кёнигсберга он писал Клейну: «Мои положительные достижения — которые мне известны на самом деле лучше, чем кому бы то ни было, — всё ещё очень скромны». В следующем письме он снова вернулся к этому и добавил с надеждой: «Что касается моей научной программы, то я надеюсь в конечном счёте сделать из теории идеалов полезное и общее орудие (применимое также для аналитических функций и дифференциальных уравнений), которое дополнит великое и многообещающее понятие группы». Потом он аккуратно зачеркнул это предложение и написал на полях: Я не писал этого.

Теперь в Гёттингене Гильберт сосредоточил свои усилия на своей части обзора по теории чисел для Германского математического общества, который он рассматривал как необходимую основу для своих надежд на будущее.

В Кёнигсберге Минковский почти сразу же получил назначение на место своего друга. «Всё произошло так быстро, что я ещё полностью не привык к своему поразительному счастью. Во всяком случае, я знаю, что за всё это я должен благодарить только тебя. Увидишь, что я сброшу с себя свой кокон, и тогда никто не сможет попрекнуть тебя за твои хлопоты обо мне». Минковский был счастлив в своём новом положении — профессора теперь старались изо всех сил, чтобы описать достоинства своих дочерей, — однако, писал он, после отъезда Гильберта он «ни разу не прогуливался к яблоне».

Поддерживаемый Гильбертом, Минковский использовал преимущества своего звания профессора, чтобы прочитать курс лекций о теории бесконечности Кантора. Это было в то время, когда, по словам Гильберта, работа Кантора ещё была фактическим «табу» в кругах немецких математиков, частью из-за странности её идей, а частью из-за ранних атак Кронекера на неё. Хотя Минковский был поклонником математических работ Кронекера, он, как и Гильберт, сожалел о тех способах, которыми старик пытался распространять свои личные предубеждения на всю математику в целом.

«Позднейшие историки назовут Кантора одним из глубочайших математиков своего времени, — говорил Минковский. — Достойно крайнего сожаления, что критика со стороны одного из наиболее высокочтимых математиков, основанная не только на математическом содержании, способна омрачить его радость от своей научной работы».

В продолжение 1895 года письма между Гёттингеном и Кёнигсбергом становились всё более редкими.

«Оба мы молча стараемся раскусить крепкий и в действительности не очень вкусный орешек нашего общего обзора, — писал Минковский, возобновляя переписку, — у тебя, по-видимому, и зубы острее и энергии побольше».

Идея совместного обзора на самом деле не очень привлекала Минковского. «Я слишком поздно взялся за свою долю, — писал он с сожалением. — Теперь я вижу много мелких трудностей, от которых хорошо было бы избавиться». Его более интересовала своя книга по геометрии чисел. «Полное изложение моих исследований по непрерывным дробям достигло почти сотни печатных страниц, однако вполне удовлетворяющее заключение всё ещё отсутствует: смутно угадываемый характеристический критерий кубических иррациональных чисел... Но я не смог заняться этой проблемой, так как был занят работой над нашим обзором».

Гильберт же, с другой стороны, полностью посвятил себя обзору. Он был потрясён недавно обнаруженными глубокими связями между теорией чисел и другими областями математики. Ему казалось, что теория чисел должна занять ведущую роль в алгебре и теории функций. То, что это не случилось ранее и в более широких рамках, объяснялось, по его мнению, тем, что подход к этой теории был всегда хронологическим, а не понятийным. Теперь, используя язык полей алгебраических чисел, можно будет добиться определённого и неуклонного развития этой теории.

После утренних семинаров по средам вместе со студентами он шёл в популярный ресторан на Хайнберге, где за ленчем продолжались разговоры о математике. Здесь, по словам Блюменталя, он непринуждённо разговаривал со студентами, как «с равными», однако темой бесед в то время были «только поля алгебраических чисел».

К началу 1896 года, в отличие от Минковского, Гильберт почти закончил свою часть Zahlbericht. В феврале Гильберт предложил либо публиковать вместе обе части в том виде, в котором они сейчас есть, либо на следующий год издать только часть Минковского.

«Я принимаю твой второй план, — писал с благодарностью Минковский. — Это решение тяготит меня только тем, что весь год у меня будет чувство вины за то, что я не оправдал ожиданий Общества и, в некоторой степени, твоих. Правда, ты не сделал на этот счёт никаких замечаний, но... Быть может, упреки несколько потеряют свою силу, если основная часть моей книги теперь начнёт выходить в свет, а остальная часть последует за ней в скором времени. Наконец, я смею надеяться, что моя деятельность приносит пользу нашему проекту. Я прошу тебя не думать, что я покинул тебя в беде».

Спустя месяц после получения этого письма Гильберт закончил свой обзор по полям алгебраических чисел. Исполнился ровно год после его приезда в Гёттинген. Рукопись, составившая почти 400 страниц печатного текста, была тщательно переписана ровным, круглым почерком Кёте Гильберт и послана в типографию.

Корректура отправлялась Минковскому в Кёнигсберг по мере появления. Его письма этого периода свидетельствуют о доброжелательной, но в то же время тщательной и безжалостной критике, с которой он читал корректуру.

«Еще одно замечание, кажется, надо сделать на странице 204». «Я прочитал до того места, откуда начинаются длинные выкладки. Они по-прежнему выглядят довольно запутанными». «Это уж не такая простая мысль, чтобы её можно было молчаливо опускать».

Минковскому недавно было предложено место в Цюрихе. Такое предложение, известное как «вызов», как правило, было объектом сложных переговоров и церемоний, вызванных тем, что оно оставляло единственную возможность полному профессору продвинуться дальше. Минковский не обладал способностью отражать удары в такой полемике. Судя по письмам к Гильберту, Альтхоф не стремился задерживать его в Кёнигсберге. С некоторым сожалением он наконец принял приглашение в Цюрих на осенний семестр 1896 года.

Однако в Цюрихе он снова оказался в компании с Гурвицем («всё тот же, кроме нескольких седых волос»); оба друга вместе начали читать оставшуюся часть корректур Гильберта. Исправления и предложения продолжали поступать в Гёттинген. Гильберт начал терять терпение.

Успокаивая его, Минковский писал: «Я понимаю, что тебе хотелось бы поскорее разделаться с обзором... однако пока встречается так много мест, нуждающихся в замечаниях, что я не могу тебе обещать особенно большой скорости...» «Целесообразнее быть более внимательным...» «Успокаивай себя мыслью, что обзор будет скоро закончен и заслужит высокую оценку».

Внимательное чтение корректур продолжалось.

К этому времени Гильберт начинал привыкать к Гёттингену. В лице Вальтера Нернста он нашёл близкого себе по духу коллегу. Последний был профессором физики и химии и, как Гильберт, сыном прусского судьи. Кроме того, Гильберта тянуло к более молодым людям, и он с радостью отбросил все условности в выборе своих друзей. Среди них был Зоммерфельд, приехавший в Гёттинген для продолжения своих занятий и ставший первым ассистентом Клейна. Среди наиболее ярких и интересных участников своего семинара Зоммерфельд выбирал компаньонов для продолжительных прогулок. Он называл их «своими» Wunderkinder ⁸.

В то время как даже старшекурсники и доценты испытывали благоговейный трепет перед Клейном, с Гильбертом они легко устанавливали товарищеские отношения. Его кёнигсбергский акцент с его отличительным ритмом и интонацией придавал неповторимый оттенок всему, что бы он ни говорил. Они с удовольствием подражали его манерам и мнениям и быстро взяли на вооружение его «Aber nein!» — Да нет же!, — которым он выражал своё полное несогласие с какой-нибудь идеей, будь она в математике, экономике, философии, общественных отношениях или просто в университетских делах. («Было очень характерно, как он это произносил, но по-английски это не передать даже с помощью двадцати слов».)

На своём семинаре он был всегда удивительно внимательным к докладам студентов. Как правило, он делал лишь небольшие исправления и всегда хвалил их за старания. Однако, если что-нибудь казалось ему слишком очевидным, он резко прерывал доклад словами: «Aber das ist doch ganz einfach!») — Но ведь это же совсем просто! Если же доклад студента был совершенно никуда не годным, он мог строго отчитать докладчика с характерными словами, ставшими позже легендарными: «Ja, Fräulein S... ⁹, у вас был очень интересный доклад об очень интересной работе, но когда я задаю себе вопрос, что же вы на самом деле сказали, то представляю себе мел, мел, ничего, кроме мела!» Иногда он мог быть даже жестоким. «Вы должны были дважды подумать, прежде чем сказать ему неправду или бессмыслицу, — вспоминал позже один студент. — Нужно было остерегаться его прямоты».

Прожив год в Гёттингене, Гильберты решили строить дом на Вильгельм Веберштрассе, широком проспекте, обсаженном липами, на котором предпочитали селиться профессора. «Этим, наверное, — писал Минковский, — ты сделаешь вызов судьбе, которая в ответ с помощью всевозможных заманчивых предложений попытается вытащить тебя из Гёттингена». Дом представлял собой простое по архитектуре строение из желтого кирпича, без всяких «новомодных» витиеватостей, которые предпочитали соседи. Он был достаточно просторен, чтобы четырёхлетний Франц не мешал отцу, как это было в прежней квартире. Участок сзади дома был также большим. Гильберты приобрели собаку, первого из многократно сменявших друг друга терьеров, с неизменной кличкой Петер. Гильберт, предпочитавший работать «под открытым небом», повесил пятиметровую доску на соседской стене и соорудил крытую дорожку, позволявшую заниматься во дворе даже в плохую погоду. Дом был уже почти закончен, когда Гильберт сел писать введение к Zahlbericht. По мнению одного студента более позднего времени, питавшего, не в пример большинству математиков, склонность к языку, это введение было одним из лучших достояний немецкой прозы, «его литературный стиль был точной копией его образа мышления». В этом введении Гильберт подчёркивал то уважение, которое всегда питали к теории чисел величайшие математики. Даже Кронекер упоминался с похвалой, как «выразивший чувство своего сердца высказыванием, что бог создал натуральные числа...».

«У меня всё ещё есть много претензий к твоему обзору, — терпеливо писал Минковский. — Может быть, ты не будешь упоминать в предисловии, что я читал последние три раздела рукописи?»

Учтя эту просьбу, Гильберт выразил во введении благодарность Минковскому за всё, что тот для него сделал. Однако Минковский всё ещё не был удовлетворён.

«То, что ты не выразил благодарность госпоже Гильберт, является, по нашему с Гурвицем мнению, просто безобразием, и это надо немедленно исправить».

Это последнее добавление было сделано уже в кабинете нового дома на Вильгельм Веберштрассе, 29. Последней датой в конце введения к Zahlbericht было 10 апреля 1897 года.

«Я хочу поздравить тебя с наступлением того времени, когда после столь многих лет работы наконец-то твой обзор станет общим достоянием всех математиков, — писал Минковский после получения своего специально переплетённого экземпляра. — Я не сомневаюсь, что в ближайшем будущем тебя самого будут считать одним из великих классиков теории чисел... Кроме того, я поздравляю твою жену с тем примером, который она подала жёнам всех математиков и оставила своё имя в памяти на все времена».

Обзор по полям алгебраических чисел во всех отношениях превзошёл ожидания членов Математического общества. Заказав обзор о текущем состоянии теории, они получили великолепный труд, где труднейшие результаты недавних лет нашли своё логическое место в ясно и просто изложенной теории. В рецензии того времени о Zahlbericht отзывались как о вдохновенном произведении искусства; позже его называли истинной жемчужиной математической литературы.

Творческий подход Гильберта к обзору отражается в содержащейся в нём теореме, до сих пор называемой «теорема 90». Развитие идей, заключающихся в ней, послужило одним из источников возникновения гомологической алгебры, которая играет важную роль в алгебраической геометрии и топологии. Как заметил один математик, «Гильберт был не только очень многогранным, но и очень плодотворным для других математиков».

Для Гильберта весна 1897 года была памятной: была закончена постройка нового дома, наконец-то вышел в свет Zahlbericht. Затем пришли печальные известия. Умерла при родах его единственная сестра Элиза Френцель, бывшая замужем за судьей из Восточной Пруссии. По словам одной из их двоюродных сестёр, отношения между братом и сестрой считались в семье «прохладными». Тем не менее Минковский, который в это время писал Гильберту, казалось, не мог найти подходящие слова:

«Всякий, кто знал твою сестру, не мог не полюбить её за всегда приветливое и приятное расположение и не увлечься её радостным отношением к жизни. Я живо помню... как весела она была в Мюнхене и Раушене. Невозможно представить себе, что ей суждено было покинуть тебя такой молодой. Как близка должна была она быть твоему сердцу: ведь у тебя нет больше ни братьев, ни сестер и вы так много времени провели вместе в детские годы! Иногда кажется, что, занимаясь наукой, мы более трезво подходим к превратностям жизни и встречаем их с большим спокойствием, однако на самом деле мы просто пользуемся возможностью укрыться от наших печалей».

Однако следующее письмо Минковского содержало счастливые новости в личной жизни. Состоялась его помолвка с Августой Адлер, дочерью владельца кожевенной фабрики близ Страсбурга. «Я уверен, что сделал счастливый выбор и определённо надеюсь... что он будет способствовать моей научной работе». Постскриптум содержал небольшую информацию для Гильбертов о его невесте: «Ей 21 год, она очень симпатичная, и не только по моему мнению, но и по мнению всех, кто её знает. Она росла в окружении шести братьев и сестер, очень домовитая и в необычайной мере интеллектуальна».

По планам Минковского свадьба должна была произойти в сентябре, а до этого предстояло важное событие. В августе должен был состояться международный конгресс математиков. Местом его проведения был выбран Цюрих, который, находясь в Швейцарии, представлял удобную для всех нейтральную территорию. Клейн был приглашён возглавлять делегацию из Германии. «Это повлечёт за собой, — заметил Минковский, — то, что из Берлина никто не приедет».

Хотя по какой-то причине Гильберт не участвовал в этом первом конгрессе, он познакомился с представленными докладами, из которых наибольшее впечатление на него произвели два доклада, резко выделявшихся среди других. Одним из них был доклад Гурвица о современном состоянии общей теории функций. Другим было неофициальное выступление Пуанкаре о взаимоотношениях между чистым анализом и математической физикой.

Вскоре после конгресса в Страсбурге состоялась свадьба Минковского.

До конца ноября от него не было писем.

«После моего долгого молчания ты мог бы подумать, что моя женитьба полностью меня переменила. Однако для моих друзей и для моей науки я остаюсь всё тем же. Просто на некоторое время был перерыв в моих обычных интересах».

Закончив Zahlbericht, Гильберт занялся давно задуманными собственными исследованиями. Главным его интересом было обобщение закона взаимности на поля алгебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный ещё Лежандру, был вновь открыт и впервые строго доказан Гауссом, когда ему было 18 лет. Гаусс всю жизнь считал его «жемчужиной» теории чисел и возвращался к нему несколько раз, дав ему пять различных доказательств. Этот закон описывает замечательные соотношения между парой простых чисел, и остатками от деления квадратов целых чисел на них.

Для того чтобы подойти к закону взаимности с той общностью, которую он имел в виду, Гильберту требовался прочный фундамент, и таковым ему послужил Zahlbericht. Во введении к нему он заметил, что «по моему мнению, самая богатая идеями часть теории чисел есть теория абелевых и относительно абелевых полей, открытая для нас Куммером в работе о высшем законе взаимности и Кронекером в исследованиях о комплексном умножении эллиптических функций. Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают работы этих двух математиков, показывает в то же время... что несметные сокровища всё ещё лежат сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего своё искусство, чтобы овладеть ими».

Гильберт принялся за розыски этих сокровищ. Работа над Zahlbericht принесла ему знание территории, бывшей одновременно «тесной и обширной». Он двигался осторожно, но уверенно.

«Доставляет огромное удовольствие наблюдать, — писал позже один математик, — как в серии работ шаг за шагом, поднимаясь от частного к общему, развиваются адекватные понятия и методы и начинают проясняться существенные связи».

Изучая классический квадратичный закон взаимности Гаусса, Гильберту удалось переформулировать его в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему с необычайной ясностью угадать формулировку закона взаимности для степеней, бóльших 2, хотя он и не смог доказать его во всех случаях. Венцом его работы в этой области была статья «О теории относительно абелевых полей», вышедшая спустя год после Zahlbericht. В этой работе, по существу программной по своему характеру, он дал набросок обширной теории, получившей известность как «теория полей классов», и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось «божественным откровением» — нигде в других его работах не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция. В отличие от работы по теории инвариантов, положившей конец развитию теории, работе по полям алгебраических чисел было суждено стать началом исследований. Но для других математиков.

Сам Гильберт неожиданно перешёл в другую область.

Сообщение о том, что в зимнем семестре 1898–1899 года Гильберт будет читать курс по геометрии, было неожиданным для студентов, за все эти три года в Гёттингене слышавших от него про одни только «числовые поля». Однако новое увлечение Гильберта не было совершенно неожиданным.

Ещё доцентом Гильберт прослушал в Галле лекцию Ганса Винера об основаниях и структуре геометрии. Находясь под влиянием абстрактной точки зрения Винера на геометрические объекты, по дороге в Кёнигсберг на вокзале в Берлине он глубокомысленно заметил своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках». В этом шутливом замечании содержалась суть курса лекций, которые он намеревался прочесть.

Чтобы понять подход Гильберта к геометрии, надо помнить, что на начальном этапе своего развития математика представляла собой, в основном, беспорядочный набор утверждений, которые казались очевидными или логически вытекали из других кажущихся очевидными утверждений. Критерий очевидности применялся в это время без всяких ограничений, для того чтобы овладеть новыми математическими знаниями. Наконец, в III веке до нашей эры некий учитель по имени Евклид собрал часть современных ему знаний в том виде, который стал общепринятым в последующие времена. Вначале он определил используемые им термины — точки, прямые, плоскости и т.д. Затем он свёл большое число очевидных утверждений примерно к десятку утверждений, верность которых не вызывала никаких сомнений и потому принималась без доказательства. Из этих определений и аксиом (как позже были названы эти утверждения) ему удалось вывести почти пятьсот геометрических предложений, или теорем. Во многих случаях последние теоремы были совсем не очевидными, однако их истинность гарантировалась тем фактом, что все они выводились в строгом соответствии с принятыми правилами логики из уже принятых на веру определений и теорем.

Хотя Евклид не был самым изобретательным греческим геометром, а аксиоматический метод был известен и до него, его изложение геометрии вызывало всеобщее восхищение. Однако вскоре математики начали сознавать, что, несмотря на свою красоту и совершенство, работа Евклида содержала некоторые пробелы. Например, принятых аксиом было недостаточно для вывода всех теорем. Иногда попадались другие, несформулированные предположения, особенно связанные с наглядным представлением о невозможности пересечения определённых прямых линий. Кроме того, одна из евклидовых аксиом — постулат о параллельных прямых — казалась уж не такой очевидной и не могла быть принята на веру без доказательства. Один из многочисленных вариантов этой аксиомы, по существу, эквивалентен утверждению, что через любую точку вне данной прямой можно провести ровно одну прямую, не пересекающую данную прямую. Как правило, однако, этот и другие пробелы в евклидовой геометрии были не особенно серьёзными — их можно было легко устранить введением дополнительных аксиом, призванных восполнить явно не сформулированные предположения, либо доказательством сомнительной аксиомы в качестве теоремы или заменой её на более очевидную аксиому, либо, наконец, приведением отрицания этой аксиомы к противоречию. Последний, наиболее хитроумный способ решения проблемы постулата о параллельных прямых впервые ввёл в математику понятие совместности, или непротиворечивости.

По-видимому, Гаусс был первым математиком, который примерно в 1800 году пришёл к мысли, что отрицание евклидова постулата о параллельных прямых не приводит к противоречию и, тем самым, возможны геометрии, отличные от евклидовой. Так как эта идея уж слишком сильно попахивала метафизической спекуляцией, он никогда не публиковал этих исследований и лишь по секрету сообщил о них своим ближайшим друзьям.

В 1830 году два самобытных математика почти одновременно и независимо друг от друга вывели всевозможные следствия из евклидовых аксиом с измененной аксиомой о параллельных прямых. Их новая аксиома утверждала, по существу, что через данную точку вне данной прямой можно провести бесконечное число прямых, не пересекающих данную прямую. Так как полученные утверждения противоречили обычным представлениям, оба они — русский Лобачевский и венгр Я. Бояи — надеялись, что применение аксиоматического метода приведёт в конце концов к противоречивым теоремам. Однако ни одного противоречия в новой геометрии не было найдено, хотя теоремы, полученные из новой системы аксиом, и находились в резком противоречии с повседневной практикой (например, сумма углов треугольника была, в отличие от евклидовой геометрии, меньше двух прямых углов). Тем самым они обнаружили, что можно построить непротиворечивую геометрию, исходя из аксиом, не кажущихся очевидными (в отличие от евклидовых) и даже производящих впечатление неверных.

Однако удивительно, что открытие неевклидовых геометрий не вызвало «крика беотийцев», опасаясь которых, Гаусс (из письма к Бесселю от 27 января 1829 года) отказался от публикации своих исследований на эту тему. Больше того, это открытие даже не очень заинтересовало математиков. Для большинства из них оно было уж слишком абстрактным.

Только в 1870 году идея неевклидовых геометрий получила общее признание. Это произошло после того, как 21-летний Феликс Клейн обнаружил в одной работе Кэли «модель», позволяющую отождествить исходные объекты и соотношения неевклидовой геометрии с некоторыми объектами и соотношениями евклидовой геометрии. Этим он доказал, что неевклидова геометрия непротиворечива в той же мере, что и евклидова, — противоречие в одной из них необходимо влечёт противоречие в другой.

Невозможность доказательства постулата о параллельных прямых стала, наконец, «столь же истинной, как и любой другой математический факт». Однако опять всё значение этого открытия было оценено не сразу и не всеми. Хотя большинство математиков и признали, что можно строить различные неевклидовы геометрии путём изменения постулата о параллельных прямых, они так и не могли понять того очевидного факта, что другие аксиомы Евклида также являются произвольными предположениями и, заменяя их другими, можно строить новые неевклидовы геометрии.

Только несколько математиков пытались всё же найти подход к геометрии, учитывающий всё значение открытия неевклидовых геометрий, и в то же время исключить все скрытые предположения, нарушающие логическую красоту труда Евклида. Первым такой подход предпринял Морис Паш, которому удалось полностью исключить все оплошности, основанные на наглядности, и свести геометрию к сплошному упражнению в логическом синтаксисе. Джузеппе Пеано пошёл ещё дальше. По существу, он перевёл работу Паша на изобретённый им язык символической логики. Подход Пеано к геометрии был абсолютно абстрактным — исчисление соотношений между логическими переменными.

Трудно было понять, каким образом Гильберт надеялся продвинуться в этой области математической мысли. В своих лекциях он стремился сократить расстояние между абсолютно абстрактной символизацией геометрии и её естественной геометрической наглядностью. Он снова обратился к евклидовым точкам, прямым линиям, плоскостям и старым отношениям инцидентности, порядка и конгруэнтности знакомых фигур — сегментов и углов. Однако этот возврат к прошлому не означал возвращения к старому обману евклидовой геометрии, претендующей на описание фактов об окружающем нас мире. Вместо этого он пытался представить в классических рамках современную точку зрения с ещё большей ясностью, чем Паш или Пеано.

Кратчайшим путем прямой линии на плоскости он довёл до логического конца своё замечание, сделанное шесть лет назад на берлинском вокзале. Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.

В своих лекциях Гильберт предпочитал использовать традиционный язык Евклида:

«Рассмотрим объекты трёх различных сортов, — говорил он. — Объекты первого сорта будем называть точками и обозначать их буквами A, B, C, ...». «Объекты» остальных двух сортов он назвал прямыми и плоскостями. Между этими «объектами» могут выполняться некоторые соотношения, которые он снова предпочёл называть такими знакомыми терминами, как инцидентны, между, параллельны, конгруэнтны, непрерывны и т.д. Однако, как и сами объекты, соотношения между ними не определяются привычными представлениями о них. Например, первоначальные термины могут обозначать любые объекты с единственным условием, что каждой паре объектов, называемых точками, должен соответствовать один и только один объект, называемый прямой линией, и аналогично для других аксиом.

Результатом такого подхода был тот факт, что теоремы такой геометрии справедливы для любой интерпретации первоначальных объектов и основных соотношений, для которой выполняются аксиомы. (Много лет спустя Гильберт был в высшей мере восхищён, когда обнаружил, что с помощью применения некоторого определённого набора аксиом можно получить законы, управляющие наследственностью дрозофилы: «Так просто и точно и в то же время так таинственно, что никакая смелая фантазия не могла бы этого предсказать!».)

В своих лекциях Гильберт предложил теперь положить в основание геометрии простой и полный список независимых аксиом, позволяющий доказать давно известные теоремы классической геометрии Евклида. Его подход — оригинальное сочетание абстрактной точки зрения и конкретного традиционного языка — был особенно эффективным. «Это было похоже на яркое солнце, внезапно засиявшее над долиной, сквозь мрачные сумерки которой до этого могли найти путь только люди с особым чувством ориентации», — писал позже один из его студентов. Выбрав систему аксиом евклидовой геометрии, немногим отличавшуюся по духу от аксиом самого Евклида, Гильберт смог менее формально и с большей убедительностью и ясностью, чем Пеано или Паш, продемонстрировать существо аксиоматического метода. Его подход был понятен слушателям его лекций, знакомых только с самими Началами Евклида. Для специалистов, которым Начала, несомненно, послужили введением в настоящую математику, этот подход был особенно привлекательным, «как будто смотришь в лицо, хорошо знакомое и в то же время величественно преображенное».

В период этих лекций по геометрии в Гёттингене велись приготовления к церемонии открытия памятника Гауссу и Вильгельму Веберу; им обоим — одному в математике, другому в физике — университет был обязан своей двусторонней научной традицией. Для Клейна эта церемония представляла случай ещё раз подчеркнуть органическую связь математических и физических наук. Обсерватория Гаусса не была башней из слоновой кости. Кроме открытий в математике, ему принадлежат почти равные по важности достижения в физике, астрономии, геодезии, электромагнетизме и механике. Широте своих интересов он был во многом обязан сотрудничеству с Вильгельмом Вебером. Вместе они изобрели электромагнитный телеграф, передававший сигналы на расстояние более трёх километров. Памятник изображал их обоих, рассматривающих своё изобретение. Продолжение и укрепление в Гёттингене традиций сочетания абстрактной математики с глубоким интересом к физическим проблемам было главной мечтой Клейна. Теперь он предложил Эмилю Вихерту подготовить для юбилейного издания свои недавние лекции по основаниям электродинамики, то же самое он предложил Гильберту относительно его лекций по основаниям геометрии. (Это был тот самый Вихерт, который был официальным оппонентом Гильберта на его выпускных экзаменах в Кёнигсберге, а теперь так же, как и он, профессор в Гёттингене.) Эпиграфом к своей работе Гильберт выбрал цитату из Канта, отдавая тем самым должное своему согражданину, чей априорный взгляд на природу геометрических аксиом был поколеблен новым аксиоматическим методом: «Любое человеческое знание начинается с интуиции, затем переходит к понятиям и завершается идеями».

Хотя времени было в обрез, он успел отослать корректуру этой работы в Цюрих, чтобы Минковский смог её просмотреть. Как всегда, оценка Минковского была высокой и пророческой. По его мнению, работа должна была стать классической и оказать большое влияние на мышление современных и будущих математиков.

«Совсем незаметно, что в конце работы тебе пришлось так сильно спешить, — уверял он Гильберта. — Быть может, если бы у тебя было больше времени, работа утратила бы впечатление свежести».

Минковский не был слишком счастлив в Швейцарии. «Откровенно говоря, принимай эту новость легче, я с радостью готов вернуться в Германию». Его образ мышления и манера чтения лекций не были популярны в Цюрихе, «где студенты, даже наиболее способные из них... привыкли получать всё в разжёванном виде». Однако он не решался сделать это признание достоянием гласности в Германии. «Я чувствую, что, даже если бы у меня и была какая-нибудь надежда на новое назначение, в глазах многих я бы выглядел смешным».

Гильберт пытался подбодрить Минковского, пригласив его на церемонию открытия памятника Гауссу и Веберу в Гёттингене. Дни, проведённые в Гёттингене, показались Минковскому «похожими на сон», когда в конце недели он должен был вернуться к «суровой действительности» Цюриха. «Однако существование этих дней так же верно, как твоя аксиома арифметики 18 = 17 + 1... Каждый, кто в последнее время побывал в Гёттингене, не может не поразиться тому стимулирующему влиянию, которое оказывает тамошнее общество».

Сразу же, как только лекции Гильберта вышли из печати под названием Основания геометрии, они стали объектом внимания всего математического мира.

Один рецензент из Германии нашёл книгу столь красивой и простой, что поспешил предсказать ей стать в ближайшем будущем учебником по элементарной математике.

По мнению Пуанкаре, эта работа была классической: «Современные геометры, считающие, что они достигли предела в признании неевклидовой геометрии, основанной на отрицании постулата о параллельных прямых, расстанутся с этой иллюзией после ознакомления с работой профессора Гильберта. В ней они найдут разрушенными всё те тесные рамки, в которые они нас хотели заключить».

По мнению Пуанкаре, в работе был один-единственный пробел. «По-видимому, профессора Гильберта интересует только логическая сторона дела, — замечает он. — Имея ряд предложений, он находит, что все они следуют из первого. Его не интересует происхождение этого первого предложения с психологической точки зрения... Аксиомы постулируются, мы не знаем их происхождения; при таком подходе столь же легко постулировать A равным C... С этой стороны его работа несовершенна, но за это её не стоит осуждать. В действительности надо смириться с тем, что никто не может достигнуть совершенства. Достаточно того, что он помог философии математики сделать важный шаг вперёд...»

Американский рецензент пророчески писал: «Широкое распространение принципов этой работы принесёт много пользы для логического метода в любой науке и для ясного мышления и выражения мысли вообще».

По мнению Макса Дена, бывшего в то время слушателем его лекций, решающим фактором, определившим влияние работы Гильберта, был «характерный гильбертов дух... соединяющий в себе логическую мощь с крайним чувством реальности, презирающий условности и традиции, почти с кантианским удовольствием преобразующий любую существенную идею в свою противоположность, полностью использующий преимущества свободы математического мышления!».

В большой мере успех Гильберта, как и самого Евклида, обязан стилю и логическому совершенству изложения работы, а не её оригинальности. Однако, кроме привлекательного и легко воспринимаемого изложения современной точки зрения, он сделал ещё кое-что, оказавшееся чрезвычайно важным. Установив образец современного строгого мышления в виде традиционной лестницы — первичные понятия, аксиомы, теоремы, — он пошёл значительно дальше. Став в последующие годы общепринятым, его подход получил название «метаматематика» — буквально: «за пределами математики». В отличие от Евклида Гильберт требовал, чтобы его система аксиом удовлетворяла некоторым логическим требованиям:

Она должна быть полной, т.е. такой, чтобы из неё можно было вывести любую теорему.

Она должна быть независимой, т.е. отсутствие одной из аксиом системы делает невозможным доказательство, по крайней мере, одной теоремы.

Она должна быть непротиворечивой, т.е. не позволяющей получать противоречащих друг другу теорем.

Наиболее значительной стороной этой части работы Гильберта была предпринятая им попытка доказать последнее требование — что аксиомы непротиворечивы. Это эквивалентно доказательству того, что обращение с ними никогда не приведёт к противоречию; короче, что, исходя из данных аксиом, невозможно получить как саму теорему, так и её отрицание. При новом понимании математической теории как системы теорем, выводимых дедуктивным путём из множества произвольно выбранных аксиом, понятие непротиворечивости теории было единственной заменой интуитивной истины.

Как мы видели, один метод доказательства непротиворечивости уже был. Этим методом было доказано, что любое противоречие в неевклидовой геометрии влечёт некоторое противоречие в евклидовой геометрии. Таким образом, было показано, что неевклидова геометрия столь же непротиворечива, как и евклидова геометрия.

Следующий шаг, предпринятый Гильбертом, был явно беспрецедентным, хотя и довольно очевидным. Используя методы аналитической геометрии, он показал, что любое противоречие в евклидовой геометрии должно повлечь противоречие в арифметике вещественных чисел. Тем самым вопрос о непротиворечивости евклидовой и неевклидовой геометрии был сведён к аналогичному вопросу об арифметике вещественных чисел, которая, по мнению всех математиков, считалась непротиворечивой.

Спустя несколько месяцев после выхода из печати небольшая книжка Гильберта об основаниях геометрии стала бестселлером в математической литературе. Были запланированы переводы её на французский и английский языки, позже она была переведена и на другие языки ¹⁰. Студенты Гильберта, только год назад слышавшие, что он говорил «только о полях алгебраических чисел», с изумлением наблюдали за успехом этой книги. Каким образом Гильберту снова удалось вторгнуться в новую область математики и создать в ней выдающееся зрелое произведение? Однако в тот момент, когда они задавали себе этот вопрос, Гильберт начал публиковать работы в ещё одной, совершенно новой области математики.

«Чистая математика развивается, когда к решению старых проблем привлекаются новые методы, — любил говорить своим ученикам Клейн. — Приобретаемое таким образом лучшее понимание старых вопросов приводит к возникновению новых проблем».

По-видимому, лучшей иллюстрацией к этому утверждению Клейна был проект, за который взялся Гильберт. Летом 1899 года, сразу же после издания Оснований геометрии, он обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. С этой проблемой были связаны имена всех крупнейших представителей математической школы Гёттингена.

Суть этой проблемы составляла одна логическая трудность, на которую стали обращать внимание только со времен Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман и другие предполагали, что всегда существует решение так называемой краевой задачи для уравнения Лапласа. Это предположение было основано на физической интуиции, позволяющей всегда считать, что в соответствующей реальной ситуации, описываемой этой математической задачей, должен был быть определённый физический результат, или решение. Кроме того, с чисто математической стороны Гаусс заметил, что краевая задача для этого же уравнения может быть сведена к задаче минимизации некоторого двойного интеграла от функций с непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные значения. В силу положительности этого двойного интеграла, очевидно, должна была существовать наибольшая нижняя грань для его значений, из чего делался вывод, что для одной из рассматриваемых функций этот интеграл принимал значение этой грани.

Рассуждение такого рода стало известно под названием принципа Дирихле после того, как Бернгард Риман весьма свободно пользовался им в докторской диссертации 1851 года для обоснования своей геометрической теории функций и присвоил ему имя своего учителя Лежёна Дирихле. Последний затрагивал в своих лекциях частный случай этого принципа.

Сейчас, оглядываясь в прошлое, мы считаем диссертацию Римана одним из самых крупных событий в истории современной математики. В те же времена, однако, доверие к ней было подорвано, когда Вейерштрасс подверг критике принцип Дирихле. Как указывал Вейерштрасс, предположение о том, что среди допустимых функций должна существовать та, на которой интеграл принимает своё наименьшее значение, не является обоснованным с математической точки зрения.

Для нематематика может показаться бессмысленным выдвинутое Вейерштрассом требование математического обоснования принципа, безусловно применимого в физических ситуациях. Но в действительности это не так, что и признал сам Риман после критики Вейерштрасса. Только строгое математическое доказательство может установить окончательную истинность математического утверждения и гарантировать, что оно всегда дает адекватное математическое описание физического явления.

Сам Риман, однако, не был серьёзно обеспокоен критикой Вейерштрасса. Ему принадлежало не одно открытие в теории функций, основанное на аналогичных физических ситуациях, связанных, в частности, с распространением электричества в проводнике. Он верил, что задача, которая «разумна физически», будет «разумна математически». Риман был убеждён, что, если потребуется, можно будет получить и математическое доказательство существования искомого минимума. Однако он умер молодым, не дожив до сорока лет; спустя же несколько лет после его смерти Вейерштрасс смог с уверенностью показать, что принцип Дирихле не всегда выполняется. Для этого он построил пример, в котором нельзя было найти функции, минимизирующей интеграл при заданных граничных условиях.

Это могло бы означать конец принципа Дирихле, но этого не случилось. Хотя на некоторое время математики и отвернулись от теории Римана, она была слишком важна в математической физике, чтобы сбрасывать её со счетов. Так как сам принцип оказался в общем случае неверным, математикам пришлось изобретать различные искусные ad hoc ¹¹ методы доказательства теорем существования, которые Риман получал на основе принципа Дирихле. Таким образом им удалось, хотя и не с тем изяществом, получить, по существу, такие же конечные результаты, что и Риману.

К тому времени, когда Гильберт обратился к принципу Дирихле, математики потеряли всякую надежду на его спасение. Совсем незадолго до этого Карл Нейман (сын Франца Неймана), которому принадлежали одни из важнейших работ в этой области, посетовал на то, что принцип Дирихле, «такой красивый и имеющий такие важные приложения в будущем, навечно исчез из поля зрения».

В отличие от многих своих современников, для которых требование строгости было обузой, Гильберт был твёрдо убеждён, что строгость ведёт к упрощению. Он испытывал чувство глубокого восхищения перед тем, как Вейерштрасс смог преобразовать интуитивный анализ непрерывности в строгую и логическую систему. Однако он не позволил дать себя увлечь вейерштрассовской критикой принципа Дирихле. Для него, как он говорил, «заманчивая простота и несомненное богатство возможных приложений» принципа сочетались с «убеждённостью в заложенной в нём истине».

Характерной чертой для подхода Гильберта к математике являлось рассмотрение заложенных в ней понятий с простейших, исходных точек зрения. Так поступил он и теперь «со всей наивностью и свободой от традиций и предубеждений, характерными только для истинно великих исследователей», как заметил один из его более поздних учеников. В сентябре 1899 года, спустя почти пятьдесят лет после диссертации Римана, он смог представить Германскому математическому обществу первую попытку того, что в ответ на замечание Неймана он назвал «воскрешением принципа Дирихле».

За несколько минут — вся работа, включая введение, занимала всего около пяти страниц — он показал, как, накладывая некоторые ограничения на кривые и граничные условия, можно устранить возражения Вейерштрасса и вернуть теории Римана её первоначальную красоту и простоту. Согласно одному американскому математику, присутствовавшему на этом собрании, этот подход к знаменитой проблеме вызвал «всеобщий восторг и удивление». Само рассуждение было простым, однако вовсе не интуитивным. Клейн отметил с восхищением: «Гильберт прижал волосы на поверхностях» ¹².

(Спустя шесть лет, по случаю столетия Гёттингенского научного общества, Гильберт снова вернулся к принципу Дирихле и привёл второе доказательство.)

«Работы Гильберта в этой области принадлежат к его наиболее глубоким и выдающимся достижениям. Они знаменуют больше, чем завершение целого этапа, — писал один из его более поздних учеников, которому также принадлежит важная заслуга в этой области. — Доказательство существования Гильберта не только было существенно упрощено и обобщено усилиями многих математиков, но ему был также придан важный конструктивный характер. Физик Вальтер Ритц создал под влиянием Гильберта из реабилитированного принципа Дирихле мощный метод для численного решения краевых задач, пользуясь дифференциальными уравнениями в частных производных, метод, который уже в наше время превратил вычислительные машины в становящееся всё более эффективным средство численной математики...»

После своего успеха с принципом Дирихле Гильберт впервые в своей научной деятельности решил прочитать в зимнем семестре 1899–1900 года курс вариационного исчисления. Последнее представляет собой область анализа, имеющую дело с задачами на нахождение экстремума, в которых (как и в случае проблемы Дирихле) минимизируемая или максимизируемая величина зависит не от одного численного аргумента и даже не от конечного их числа, а от целой переменной кривой, или функции, или даже от системы переменных кривых.

Гильберту уже не раз удавалось убеждаться на опыте, что отдельные знаменитые задачи составляют жизненную силу математики. По этой причине вариационное исчисление его особенно привлекало. Это была математическая теория, выросшая из решения одной конкретной задачи.

Проблема «линии скорейшего спуска» была предложена Иоганном Бернулли в конце XVII века как вызов математикам того времени, а особенно своему старшему брату Якобу, которого он публично осмеивал за его некомпетентность. Несколько математиков (включая Ньютона) предъявили решения; однако презираемый старший брат превзошёл всех своим «довольно неизящным» решением. В нём удалось выявить факт, кроме него никем не замеченный, что задача отыскания в бесконечном множестве возможных кривых одной, обладающей заданным свойством минимальности или максимальности, представляет существенно новый тип задач, требующих для своего решения создания новых методов.

Одним из студентов, посещавших в то время лекции Гильберта по вариационному исчислению, был Макс фон Лауэ.

«...Убедительным впечатлением, — писал фон Лауэ о своих студенческих днях, — было моё удивление, когда я осознал, как много информации о природе можно получить математическими методами. Глубокое благоговение к теории охватывало меня, когда она бросала неожиданный свет на неясные до того факты. Чистая математика также не могла не произвести на меня впечатления, особенно в блестящих курсах Давида Гильберта».

«Этот человек, — добавлял будущий Нобелевский лауреат, — живёт в моей памяти как, быть может, самый великий гений, которого мне довелось увидеть».

Хотя Вейерштрассу и удалось сделать вариационное исчисление значительно более строгим, оно по-прежнему представляло собой относительно заброшенную ветвь математики. В период своих зимних лекций Гильберту удалось получить несколько важных результатов. Среди них была теорема, в которой формулировались и доказывались условия дифференцируемости минимизирующей кривой, на которой во многих случаях достигается минимум.

Однако в действительности математические интересы Гильберта в то время были более разнообразны, чем когда-либо после его доцентских дней в Кёнигсберге. Исследования в геометрии продолжались в ряде публиковавшихся работ. Кроме того, он написал работу под названием «Понятие числа», в которой, проникшись вновь обретённой страстью к аксиоматическому методу, он предлагая заменить им обычный «генетический» (как он его назвал) подход к действительным числам. В ней он ввёл понятие максимальной (или нерасширяемой) модели с принадлежащей ему аксиомой полноты. Именно в период этой необычайно разнообразной деятельности к нему прибыло приглашение выступить с одним из основных докладов на втором международном конгрессе математиков в Париже летом 1900 года.

Открывающееся перед ним новое столетие манило его, как чистый лист бумаги с остро отточенным карандашом. Ему хотелось произнести речь, которая соответствовала бы важности этого события. В своём новогоднем письме Минковскому он упомянул о получении приглашения и вспомнил два столь поразивших его выступления на первом международном конгрессе — блистательную, но специальную лекцию Гурвица по истории современной теории функций и популярную беседу Пуанкаре о взаимосвязи между анализом и физикой. Он всегда хотел ответить Пуанкаре, выступив в защиту развития математики ради её собственных целей. Была также и другая мысль. Он часто размышлял о важности конкретных проблем в развитии математики. Быть может, ему стоило обсудить направление математики в грядущем столетии в терминах некоторых важных проблем, на которых математики могли бы сконцентрировать свои усилия. Каково было мнение Минковского? Минковский написал, что ему надо несколько обдумать этот вопрос.

5 января 1900 года он снова написал: «Я перечитал лекцию Пуанкаре... и нашёл, что все его утверждения высказаны в такой неопределённой форме, что на них нельзя возразить... Так как ты будешь говорить перед специалистами, я думаю, что лекция в стиле Гурвица предпочтительнее, чем сплошная болтовня, как у Пуанкаре... В действительности это зависит не столько от самого предмета, сколько от способа его изложения. Однако ограничение темы доклада позволит тебе увеличить аудиторию вдвое...»

«Наиболее соблазнительной была бы попытка заглянуть в будущее и перечислить проблемы, на которых математики могли бы попробовать себя в грядущем столетии. С такой темой ты смог бы заставить говорить о твоем докладе спустя десятилетия».

Минковский, однако, не упустил возможности указать также на существование возражений против выбора этой темы. Гильберт вряд ли захочет поделиться своими собственными идеями по поводу решения некоторых проблем. Международная аудитория, в отличив от немецкой, не будет столь приветствовать философские обсуждения. Пророчество не выйдет легким.

Ответа от Гильберта не последовало.

25 февраля Минковский писал жалобное письмо в Гёттинген. «Как могло случиться, что от тебя ничего не слышно? Моё последнее письмо содержало лишь мнение, что, если ты выступишь с прекрасным докладом, это будет превосходно. Хорошие советы ведь нелегко давать».

Но Гильберт ещё не сделал выбора относительно темы своего выступления на конгрессе.

29 марта он советовался с Гурвицем. «Мне надо начинать готовиться к основному докладу в Париже, а я ещё всё колеблюсь в выборе темы... Лучшим был бы взгляд в будущее. Что ты думаешь о возможном направлении развития математики в следующем столетии? Было бы очень интересно и поучительно услышать твоё мнение об этом». Об ответе Гурвица ничего не известно. Гильберт продолжал размышлять о будущем математики в XX столетии. К июню он всё ещё не приготовил доклада, и программа конгресса была разослана без упоминания о нём.

Минковский был страшно огорчён. «Моё желание приехать на конгресс теперь почти пропало».

Наконец, в середине июля от Гильберта прибыл пакет с корректурой. Это был долгожданный текст доклада. Под скромным названием Математические проблемы он должен был быть прочитан в Париже и почти одновременно с этим опубликован в Nachrichten Гёттингенского научного общества.

Об отказе Минковского приехать в Париж больше не могло идти и речи.

Он читал корректуру внимательно и с интересом. В ней Гильберт подчеркнул важность проблем в формировании направлений развития науки, выявил черты великих плодотворных проблем и перечислил требования к их «решению». Затем он сформулировал и обсудил 23 отдельные проблемы, решения которых, по его убеждению, сыграют важную роль в прогрессе математики в наступающем столетии.

Первые шесть проблем относились к основаниям математики, к тому, что, по его мнению, явилось великим достижением только что кончившегося столетия: открытие неевклидовой геометрии и прояснение понятия арифметического континуума, или системы вещественных чисел. В них сильно сказывалось влияние недавней работы по основаниям геометрии и его энтузиазма по поводу возможностей аксиоматического метода. Другие проблемы были более специальны и индивидуальны, частью старые и хорошо известные, частью новые, однако все они затрагивали прошлые, настоящие или будущие интересы Гильберта. Последняя, двадцать третья проблема фактически представляла скорее некоторое предложение на будущее, чем проблему, — призыв к математикам грядущего столетия обращать больше внимания на, по его мнению, несправедливо заброшенный предмет — вариационное исчисление.

С особым энтузиазмом Минковский отнёсся ко второй проблеме из списка Гильберта. В ней впервые встречается утверждение, ставшее известным в математике XX столетия как «проблема непротиворечивости».

Надо помнить, что в работе Гильберта по основаниям геометрии непротиворечивость геометрических аксиом была установлена сведением к утверждению о непротиворечивости арифметики вещественных чисел, которое принималось всеми математиками. Но всё же как обстоит дело с арифметикой? Действительно ли она непротиворечива? Если строить арифметику как аксиоматическую теорию, как это было предложено Гильбертом в недавней работе «О понятии числа», то этот вопрос требовал ответа.

Адвокат может быть удовлетворен тем, что «преобладание улик» свидетельствует «без всякого сомнения», что арифметика в самом деле свободна от противоречий. Однако Гильберт не захотел стать адвокатом. Для него, как математика, непротиворечивость арифметики должна была быть установлена с той степенью определённости, которая непостижима ни в юриспруденции, ни в других сферах человеческой деятельности, отличных от математики. В своей второй проблеме он ставил вопрос о математическом доказательстве непротиворечивости аксиом арифметики вещественных чисел. Для того чтобы подчеркнуть значение этой проблемы, он добавил следующее:

«Если какому-нибудь понятию приписаны противоречащие друг другу признаки, то я скажу, что это понятие математически не существует... В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия полной системы вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования полной системы вещественных чисел, становятся полностью необоснованными».

Наконец-то, чувствовал Гильберт, это даст ответ Кронекеру.

«Чрезвычайно оригинально, — заметил Минковский, — высказывать в качестве проблемы на будущее то, что математика давно считала своим достоянием — арифметические аксиомы. Что скажут на это большое число дилетантов в аудитории? Увеличится ли их уважение к нам? Тебе придется вступить в бой также и с философами!»

В следующие несколько недель Минковский и Гурвиц изучали корректуру лекции Гильберта и давали советы по поводу изложения её на конгрессе. Оба они были озабочены её чрезмерной длиной. Обширное введение к своим проблемам Гильберт заключил волнующим высказыванием, в котором он повторил своё убеждение («разделяемое, несомненно, каждым математиком, но которое никто не подтвердил доказательством»), что каждая конкретная математическая проблема, несомненно, должна быть доступна строгому решению или в форме действительного ответа на поставленный вопрос, или с помощью доказательства невозможности её решения и тем самым неизбежной неудачи всех попыток её решить. Затем он воспользовался случаем, чтобы со всей настойчивостью публично отрицать «Ignoramus et ignorabimus» — мы не знаем и не будем знать — высказывание Эмиля Дюбуа-Реймонда, бывшее популярным в прошедшем столетии:

«Мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи её решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».

Как Минковский, так и Гурвиц считали, что это будет эффектной концовкой выступления. Затем можно было бы, наверное, распространить список проблем среди делегатов.

«Будет лучше, — увещевал Минковский, — если ты не используешь полностью всё отпущенное время».

28 июля Минковский отправил правку корректуры обратно: «На самом деле, я верю, что эта лекция, которая, несомненно, будет прочитана всеми математиками без исключения, повысит, насколько это ещё возможно, твою популярность среди молодых математиков!»

В воскресенье, 5 августа, два друга встретились в Париже.

Тысяча математиков заявили ранее о своём намерении приехать на конгресс; вместе с ними должны были приехать почти семьсот членов их семей, желающих увидеть Всемирную выставку века. Однако слухи о толпах, высоких ценах и жаркой погоде отпугнули многих из них. Утром 6 августа, когда Пуанкаре открывал вступительное заседание, вся аудитория едва превышала 250 человек.

На следующий день после дня открытия математики покинули чуждую им территорию выставки и отправились на левобережный холм, где École Polytechnique и École Normale Supérieure ¹³ с двух сторон граничат с Пантеоном Наполеона и где узкая улочка ведёт вниз к потемневшим зданиям Сорбонны.

Хотя в прошедшем столетии наблюдалось развитие многих новых областей математики, разделение конгресса на секции осталось традиционным. Чистая математика была представлена секциями арифметики, алгебры, геометрии и анализа, а прикладная математика — одной секцией механики. Общие секции включали библиографию и историю в одной из них и педагогику и методику в другой и расценивались более низко, чем математические секции; лекции на них хотя и представляли интерес для более широкого круга, но «не были такими ценными с математической точки зрения», как писал один присутствовавший американец. Первоначально доклад Гильберта планировался на пленарное заседание в день открытия, но из-за опоздания его перенесли на совместное заседание двух общих секций, на утро 8 августа.

Человеку, взошедшему в то утро на трибуну, не было ещё сорока лет, он был среднего роста и гибкого телосложения, быстрый, с выделяющимся высоким лбом, лысый, за исключением нескольких тонких пучков ещё красноватых волос. На крупном носу устойчиво сидели очки. Маленькая бородка и несколько беспорядочные усы скрывали рот, удивительно широкий и благородный для такого хрупкого подбородка. Ясные голубые глаза за блестящими стеклами очков смотрели невинно, но твёрдо. Несмотря на внешне непритязательный вид докладчика, вокруг него создавалась поразительная атмосфера энергии и интеллекта.

Ему уже удалось распространить на французском языке часть своей речи. В то время это было необычным делом, и его слушатели были удивлены и благодарны.

Медленно и отчётливо для тех, кто плохо понимал по-немецки, он начал свою речь.

«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашей науки и тайны её развития в предстоящие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят перед собой ведущие математические умы грядущих поколений? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новых столетиях на широком и богатом поле математической мысли?

История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону, как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые ещё остаются нерешёнными, обозреть проблемы, которые ставит современная наука и решения которых мы ждём от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным. Ведь завершение великой эпохи не только заставляет нас оглянуться на прошедшее, но и направляет нашу мысль в неизвестное будущее.

Нельзя отрицать глубокое значение, какое имеют определённые проблемы для продвижения математической науки вообще, и важную роль, которую они играют в работе отдельного исследователя. Всякая научная область жизнеспособна, пока в ней имеется избыток новых проблем; отсутствие проблем предвещает отмирание или прекращение самостоятельного развития. Как вообще каждое человеческое начинание преследует определённые цели, так и математическое творчество требует своих проблем. В решении проблем исследователь укрепляет свои силы, находит новые методы и новые точки зрения, открывает более широкие и свободные горизонты.

Трудно, а часто и невозможно заранее правильно оценить значение отдельной задачи; ведь в конечном счёте её ценность определится пользой, которую она принесёт науке. Тем не менее мы можем спросить, существуют ли общие признаки, которые характеризуют хорошую математическую проблему. Один старый французский математик сказал: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному». Это требование ясности и лёгкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил ещё резче в отношении математической проблемы, если она претендует на совершенство; ведь ясность и легкая доступность нас привлекают, а сложное отпугивает.

Математическая проблема, кроме того, должна быть настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не сделать безнадёжными наши усилия. Она должна быть путеводным знаком на извилистых тропах, ведущих к сокрытым истинам, награждая в конце концов нас радостью найденного решения.

Математики прошлых столетий привыкли со страстным рвением отдаваться решению отдельных трудных задач. Они знали цену трудной задаче. Я напомню только поставленную Иоганном Бернулли задачу о линии быстрейшего спуска. Как показывает опыт, объяснял Бернулли, публично оповещая о своей задаче, ничто с такой силой не побуждает высокие умы к работе над обогащением знания, как постановка трудной и в то же время полезной задачи. Поэтому он надеется заслужить благодарность математического мира, если он, следуя примеру таких мужей, как Мерсенн, Паскаль, Ферма, Вивиани и другие, подобно им в своё время, предложит задачу выдающимся аналитикам своего времени, чтобы они могли на ней, как на пробном камне, испытать достоинства своих методов и измерить свои силы. Этой задаче Бернулли и другим аналогичным задачам обязано своим зарождением вариационное исчисление.

Известно утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение

неразрешимо в целых числах, если не считать некоторых очевидных решений. Проблема доказательства этой неразрешимости даёт поразительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и, на первый взгляд, малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию закона об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая благодаря её обобщению на произвольные поля алгебраических чисел, полученному Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

Если касаться совершенно другой области исследований, то я напомню вам о задаче трёх тел. То обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение и почти приблизился к решению этой трудной задачи, привело к плодотворным методам и далеко идущим принципам, введённым этим учёным в небесную механику, методам и принципам, которые сейчас признаются и применяются также и в практической астрономии.

Обе упомянутые проблемы — проблема Ферма и проблема трёх тел — кажутся нам как бы противоположными полюсами: первая представляет собой свободное достижение чистого разума, принадлежащее области абстрактной теории чисел, вторая выдвинута астрономией и необходима для познания простейших основных явлений природы.

Часто, однако, случается, что одна и та же специальная проблема находит приложение и весьма различных областях математического знания. Так, проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых и поверхностей, в механике и в вариационном исчислении. А как убедительно продемонстрировал Ф. Клейн в своей книге об икосаэдре значение проблемы правильных многогранников в элементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и линейных дифференциальных уравнений.

Чтобы осветить важность отдельных проблем, я позволю себе ещё сослаться на Вейерштрасса, считавшего для себя большой удачей то стечение обстоятельств, которое позволило ему в начале своей научной деятельности заняться такой значительной проблемой, как проблема обращения Якоби.

После того как мы рассмотрели общее значение проблем в математике, обратимся к вопросу о том, из какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы в каждой области математики возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений. Даже правила счёта с целыми числами были открыты на этом пути ещё на ранней ступени человеческого развития так же, как и теперь ребёнок познаёт применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым задачам геометрии, пришедшим с античных времен, таким, как например, удвоение куба, квадратура круга, а также к старейшим задачам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, не говоря уже о всём богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.

При дальнейшем развитии какой-либо области математики человеческий ум, обнадёженный удачами, проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления, обобщения, специализирования, удачного расчленения и группировки понятий и выступает затем сам на первый план как постановщик задач. Так возникли задача о простых числах и другие задачи теории чисел, теория Галуа, теория алгебраических инвариантов, теория абелевых и автоморфных функций и на самом деле почти все тонкие вопросы современной теории чисел и теории функций.

А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова вступает в действие: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математики. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистого мышления мы часто находим ответы на старые нерешённые проблемы и таким путём наиболее успешно продвигаем вперёд старые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленной гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей его науки.

Остается кратко обсудить, какие общие требования могут быть предъявлены к решению математической проблемы. Прежде всего я хотел бы сказать о требованиях, благодаря которым удаётся убедиться в правильности ответа с помощью конечного числа заключений и притом на основании конечного числа предпосылок, которые кладутся в основу каждой проблемы и которые должны быть в каждом случае точно сформулированы. Это требование логической дедукции с помощью конечного числа заключений есть не что иное, как требование строгости в рассуждениях. Действительно, требование строгости, которое в математике уже вошло в поговорку, соответствует общей философской потребности нашего разума; с другой стороны, только выполнение этого требования приводит к выявлению полного значения существа проблемы и её плодотворности. Новая проблема, особенно если она вызвана к жизни явлениями внешнего мира, подобна молодому побегу, который может расти и приносить плоды, только если он будет заботливо и по строгим правилам садоводства взращиваться на старом стволе — твёрдой основе нашей математической науки.

Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость в доказательстве есть враг простоты. Наоборот, многочисленные примеры убеждают нас в том, что строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Именно стремление к строгости и заставляет искать нас простейшие доказательства. Это же стремление часто прокладывает путь к методам, которые оказываются более плодотворными, чем старые, менее строгие методы. Так, теория алгебраических кривых благодаря более строгим теоретико-функциональным методам и последовательному применению трансцендентных методов значительно упростилась и приобрела большую цельность. Далее, доказательство законности применения четырех элементарных арифметических действий к степенным рядам, а также почленного дифференцирования и интегрирования этих рядов и основанное на этом признание полезности степенных рядов, несомненно, способствовало упрощению всего анализа, в особенности теории исключения и теории дифференциальных уравнений, а также доказательству теорем существования в этих теориях. Но особенно разительным примером, иллюстрирующим мою мысль, является вариационное исчисление. Исследование первой и второй вариаций определённого интеграла приводило к крайне сложным вычислениям, а соответствующие приёмы, применяемые старыми математиками, не были достаточно строгими. Вейерштрасс указал нам путь к новому и вполне надёжному обоснованию вариационного исчисления. На примерах простого и двойного интегралов я вкратце намечу в конце моего доклада, как этот путь немедленно даёт поразительное упрощение вариационного исчисления. Именно, для установления необходимых и достаточных критериев максимума и минимума становится излишним вычисление второй вариации и даже частично отпадает необходимость в утомительных рассуждениях, связанных с первой вариацией. Я уже не говорю о тех преимуществах, которые возникают оттого, что исчезает потребность в рассмотрении тех вариаций, для которых значения производных функций меняются лишь незначительно.

Предъявляя к полному решению проблемы требование строгости в доказательстве, я хотел бы, с другой стороны, опровергнуть мнение о том, что совершенно строгие рассуждения применимы только к понятиям анализа или даже лишь одной арифметики. Такое мнение, поддерживаемое иногда и выдающимися математиками, я считаю совершенно ложным. Такое одностороннее толкование требования строгости быстро приводит к игнорированию всех понятий, возникших из геометрии, механики, физики, приостанавливает приток нового материала из внешнего мира и в конце концов приводит даже к отбрасыванию понятий континуума и иррационального числа. А сколь жизненно важный нерв был бы отрезан от математики, если бы из неё пришлось изъять геометрию и математическую физику! Наоборот, я считаю, что всякий раз, когда математические понятия зарождаются из теории познания, или в геометрии, или в естественнонаучных теориях, перед математикой возникает задача исследовать принципы, лежащие в основе этих понятий, и так обосновать эти понятия с помощью полной и простой системы аксиом, чтобы строгость новых понятий и их применимость к дедукции ни в какой мере не уступали старым арифметическим понятиям.

Новые понятия с необходимостью влекут и новые обозначения. Мы выбираем их таким образом, чтобы они напоминали те явления, которые послужили поводом для образования этих понятий. Так, геометрические фигуры являются образами для напоминания пространственных представлений и в качестве таковых используются всеми математиками. Кто не связывает с двумя неравенствами a > b > c картинку трёх следующих друг за другом точек на прямой, которые геометрически выражают понятие «между»? Кто не пользуется образом вложенных друг в друга отрезков и прямоугольников, если нужно провести полное и строгое доказательство трудной теоремы о непрерывности функции или существования предельной точки? Кто может обойтись без фигуры треугольника, окружности с заданным центром или без тройки взаимно перпендикулярных осей? Или кто мог бы отказаться от образа векторного поля или картины семейства кривых или поверхностей с их огибающей — понятий, играющих столь важную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основах вариационного исчисления и в других чисто математических областях знаний?

Арифметические знаки — это записанные фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы; никакой математик не мог бы обойтись без этих нарисованных формул, так же как и не мог бы отказаться при счёте от заключения в скобки или их раскрытия или применения других аналитических знаков.

Применение геометрических символов в качестве строгого средства доказательства предполагает точное знание и полное владение теми аксиомами, которые лежат в основе теории этих фигур, и поэтому для того, чтобы эти геометрические фигуры можно было включить в общую сокровищницу математических символов, необходимо строгое аксиоматическое исследование их понятийного содержания. Точно так же как при сложении двух чисел нужно подписывать цифры слагаемых в строгом порядке друг под другом, если мы хотим воспользоваться правилами вычислений, т.е. аксиомами арифметики, которые определяют правильные действия с цифрами, так и операции над геометрическими образами определяются теми аксиомами, которые лежат в основе геометрических понятий и связей между ними.

Сходство между геометрическим и арифметическим мышлением проявляется также в том, что в арифметических исследованиях мы так же мало, как и при геометрических рассмотрениях, прослеживаем до конца цепь логических рассуждений, вплоть до аксиом. Напротив, особенно при первом подходе к проблеме, мы и в арифметике, как и в геометрии, сначала пользуемся некоторым мимолётным, бессознательным, не вполне отчётливым комбинированием, опирающимся на доверие к некоторому арифметическому чутью, к действенности арифметических знаков, без чего мы не могли бы продвигаться в арифметике, точно так же как мы не можем продвигаться в геометрии, не опираясь на геометрическое воображение. В качестве примера арифметической теории, оперирующей строгим образом с геометрическими понятиями и знаками, может служить работа Минковского Геометрия чисел.

Сделаем ещё несколько замечаний относительно трудностей, которые могут представлять математические проблемы, и о преодолении этих трудностей.

Если нам не удаётся найти решение математической проблемы, то часто причина этого заключается в том, что мы ещё не овладели достаточно общей точкой зрения, с которой рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным звеном в цени родственных проблем. Отыскав эту точку зрения, мы часто не только делаем более доступной для исследования данную проблему, но и овладеваем методом, применимым и к родственным проблемам. Примерами могут служить введённое Коши интегрирование по путям на комплексной плоскости и понятие идеала, введённое Куммером в теории чисел. Этот способ нахождения общих методов наиболее удобный и надежный, ибо если ищут общие методы, не имея в виду какую-нибудь определённую задачу, то эти поиски по большей части напрасны.

При исследовании математических проблем специализация играет, как я полагаю, ещё более важную роль, чем обобщение. Возможно, что в большинстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что ещё не разрешены или полностью не решены более простые и лёгкие проблемы, чем данная. Тогда всё зависит от того, сумеем ли мы найти эти более лёгкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, используя понятия, поддающиеся обобщению. Это правило является одним из самых мощных рычагов для преодоления математических трудностей, и мне кажется, что в большинстве случаев этот рычаг и приводят в действие, подчас бессознательно.

Бывает и так, что мы ищем решение при недостаточных предпосылках или идя в неправильном направлении, вследствие чего и не достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость данной проблемы при данных предположениях и выбранном направлении. Такие доказательства невозможности проводились ещё математиками древности, например, когда они показывали, что отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число. В новейшей математике вопрос о невозможности решений определённых проблем имеет выдающееся значение; таким образом, мы приходим к тому, что такие старые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах, получают, наконец, строгое и вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось. Возможно, именно этот удивительный факт, наряду с другими философскими основаниями, создает уверенность (которую разделяет каждый математик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством) в том, что каждая определённая математическая проблема непременно должна быть доступна точному решению либо в форме действительного ответа на поставленный вопрос, либо в форме доказательства невозможности её решения и вместе с тем неизбежной неудачи всех попыток её решить. Возьмите какую-нибудь определённую нерешённую проблему, скажем вопрос об иррациональности постоянной Эйлера γ или вопрос о существовании бесконечного количества простых чисел вида 2ⁿ + 1. Сколь недоступными нам ни кажутся эти проблемы сейчас и как ни беспомощно мы стоим сейчас перед ними, мы тем не менее твёрдо убеждены, что с помощью конечного числа логических заключений мы всё же получим их решение.

Является ли эта аксиома разрешимости каждой проблемы характерной особенностью только математического мышления или, быть может, имеет место общий, внутренне присущий нашему разуму закон, по которому все вопросы, которые он ставит, могут быть им разрешены? Ведь и в других науках также встречаются старые проблемы, которые были самым удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки разрешены путем доказательства невозможности их решения. Я сошлюсь на проблему вечного движения. После безуспешных попыток конструирования вечного двигателя учёные стали исследовать соотношения, которые должны существовать между силами природы, в предположении, что такой двигатель невозможен. И эта обратная задача привела к открытию закона сохранения энергии, из которого и вытекает невозможность вечного движения в первоначальном понимании его смысла.

Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас мощным стимулом в работе. Мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи её решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».

В этом месте, пытаясь последовать совету Минковского и Гурвица и сократить свою речь, Гильберт перечислил только 10 проблем из полного списка, насчитывающего 23 проблемы. (Однако, так как позже эти проблемы стали известны под своими номерами в полном списке, мы приводим их в том же порядке.)

Первые три проблемы относятся к основаниям математики:

«Мы до сих пор занимались только вопросами об основаниях математических наук. Действительно, занятия основами науки имеют особую привлекательность и изучение этих основ всегда принадлежит к наиболее почётным задачам исследователя. Вейерштрасс говорил: «Конечная цель, которую всегда нужно иметь в виду, состоит в том, чтобы достичь правильной точки зрения на основания... Но чтобы добиться какого-нибудь прогресса в науках, безусловно необходимо заниматься отдельными проблемами». В самом деле, для плодотворного исследования основ науки необходимо глубокое понимание её специальных теорий. Только тот строитель в состоянии заложить надёжный фундамент здания, который глубоко и во всех деталях понимает назначение этого здания».

Следующие четыре проблемы были взяты из арифметики и алгебры:

Последние три проблемы возникли из теории функций:

«Названные проблемы, — сказал своим слушателям Гильберт, — представляют собой только образцы проблем; но их достаточно, чтобы показать, как богата, многообразна и широка математическая наука уже сейчас; перед нами встаёт вопрос, ожидает ли математику когда-нибудь то же, что с другими науками происходит с давних пор, не распадётся ли она на отдельные частные науки, представители которых будут едва понимать друг друга и связь между которыми будет становиться всё меньше. Я не верю в это и не хочу этого. Математическая наука, на мой взгляд, представляет собой неделимое целое, организм, жизнеспособность которого обусловливается связностью его частей. Ведь при всём разнообразии математического знания мы всё же ясно видим сходство логических вспомогательных средств, связь математических идей и многочисленные аналогии в различных областях математики. Мы также замечаем, что чем дальше развивается математическая теория, тем гармоничнее и более цельно оформляется её сооружение и между разделёнными в прошлом областями открываются неожиданные связи. Так оказывается, что при развитии математики её единый характер не теряется, а становится всё более отчетливым.

Но, — спросим мы, — не становится ли при расширении математического знания в конце концов невозможным для отдельного исследователя охватить все его части? Отвечая на это, я хочу сослаться на то, что существо математической науки таково, что каждый действительный успех в ней идет рука об руку с нахождением более сильных вспомогательных средств и более простых методов, которые одновременно облегчают понимание более ранних теорий и устраняют старые, более сложные рассуждения. Поэтому отдельному исследователю, если он усвоит эти более сильные и простые вспомогательные средства и методы, удастся легче ориентироваться в различных областях математики, чем это возможно в каких-либо других науках.

Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки, ибо математика — основа всего точного естествознания. А для того, чтобы в совершенстве выполнить это высокое назначение, пусть в грядущем столетии она обретёт гениальных мастеров и многочисленных, пылающих благородным рвением приверженцев!»