Жарко и душно было в зале заседаний в Сорбонне, когда Гильберт заканчивал свой доклад о математических проблемах. Последовавшая после этого дискуссия была «несколько беспорядочной», как передавал корреспондент Американского математического общества.

«... Была высказана претензия, хотя, по-видимому, и без должных оснований, что в отношении уравнения седьмой степени было сделано больше (неким немецким математиком), чем автор доклада допускал. Более чёткое возражение к замечаниям господина Гильберта по поводу аксиом арифметики было предъявлено господином Пеано, который заявил, что система, обладающая желаемыми свойствами, была уже создана одним из его соотечественников...»

Главные новости в мире, как о них сообщалось в специальном выпуске «Нью-Йорк таймс», распространяемом на территории выставки, заключались в том, что Соединённые Штаты, Великобритания, Германия и Япония собирались воевать в Китае до победного конца, не рассчитывая более на военные силы России и Франции, которые были заняты на сибирской границе и в Индокитае. В Италии были беспорядки, вызванные недавним убийством короля. Королева Виктория готовилась обратиться с речью к парламенту. Уильяму Дженнингсу Бриану стало известно, что в ближайшей предвыборной кампании он снова должен будет представлять демократическую партию в борьбе с президентом Маккинли.

Однако в Сорбонне всем участникам продолжавшегося конгресса стало совершенно ясно, что список проблем, составленный Давидом Гильбертом для XX столетия, полностью захватил воображение всего математического мира. Его практический опыт давал основание надеяться, что эти проблемы удовлетворяют сформулированным в его выступлении критериям и что настанет время, когда они будут полностью решены. Его быстро растущая слава, уступавшая теперь лишь славе Пуанкаре, обещала всеобщее признание любому математику, который решит хотя бы одну из парижских проблем.

Сразу же после закрытия конгресса Гильберт отправился на короткий отдых в Раушен. Получив от него короткое письмецо, Минковский вспомнил «прекрасные времена», которые им приходилось проводить на побережье. «Мне приятно также сознавать — впрочем, я это понимал уже давно, — что от общения с тобой можно многое получить не только в области математики, но и в искусстве эпикурейской жизнерадостности».

Первый важный результат в связи с одной из проблем Гильберта был получен уже в том же 1900 году. Его собственный студент, 22-летний Макс Ден, показал (как и предполагал Гильберт), что правильный тетраэдр не может быть разложен на части, из которых можно было бы составить куб того же объема. Этот результат явился частичным решением третьей проблемы. На следующий год Ден дал окончательное решение. Тем самым он стал первым математиком, перешедшим в «почетный разряд», к которому позже стали причислять тех, кто решил или сделал вклад в решение одной из 23 парижских проблем Давида Гильберта.

После Парижа сам Гильберт продолжал заниматься геометрическими исследованиями, однако бóльшую часть времени посвящал анализу. Эта область математики существенно отличается от тех областей, в которых ему приходилось работать раньше. В алгебре и арифметике вычисления обычно затрагивают только конечное число величин и кончаются после конечного числа шагов. Анализ имеет дело с континуумом. При решении задач приходится доказывать, что некоторые бесконечные последовательности сходятся к определённому пределу. Став теперь ярым поборником аксиоматического метода, Гильберт думал, что в анализе он найдёт возможность продемонстрировать впечатляющую силу этого метода «объединять, упорядочивать и прояснять».

«Для меня представляет особый интерес, — заметил он позже, — заняться исследованием условий сходимости, позволяющих построить данную область анализа, положив в её основу ряд простейших фундаментальных утверждений, для доказательства которых требуется лишь специальное условие сходимости. Затем, используя лишь одно это условие, — без привлечения какого-либо другого условия сходимости — можно будет установить всю совокупность теорем, составляющую данную область анализа».

Это несколько напоминало то, что пытался сделать Риман из принципа Дирихле; Гильберт тоже думал, что ему удастся найти «один простой фундаментальный факт», необходимый ему в вариационном исчислении.

И вот однажды зимой 1900–1901 года один студент из Швеции принёс на семинар Гильберта недавно опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его соотечественнику Ивару Фредгольму.

Интегральные уравнения — это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твёрдого тела. Теория таких уравнений развивалась очень медленно. Однако теперь Фредгольм дал красивое и оригинальное решение одного класса таких уравнений (позже названных его именем), которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями.

Гильберт сразу же понял, что в этой работе Фредгольм оказался гораздо ближе к той унифицирующей точке зрения на анализ, которую он сам искал в вариационном исчислении. Он гордился своей способностью не связывать себя какой-либо определённой программой и видеть вещи такими, какие они есть, а не такими, какими ему хотелось бы их видеть. Теперь он без сожалений отбросил свои первоначальные планы и с впечатляющей энергией занялся областью интегральных уравнений. Так навсегда и осталось невыясненным (как заметил Блюменталь), удалось бы Гильберту внести в методы вариационного исчисления гибкость и мощь, способную преобразовать весь анализ. Теперь же Гильберт говорил со своими студентами только об интегральных уравнениях.

Именно в это время один молодой японец по имени Тейжи Такаги прибыл в Гёттинген на субсидию, выданную ему его страной. Ему суждено было стать одним из шести математиков, развивших идеи теории полей классов, намеченные Гильбертом в его последней работе по полям алгебраических чисел. Он уже был автором маленькой книги по Новой арифметике, очень простой по сравнению с недавней работой Гильберта по теории чисел, но намного опережавшей математический уровень его родной страны того времени. Теперь он предвкушал удовольствие поработать с автором Zahlbericht. Но когда Такаги приехал в Гёттинген, Гильберту нечего было ему сказать о теории чисел. Взамен этого в личных беседах и на лекциях он предлагал своим ученикам наброски некоторых идей, которые он со временем использует в своей общей теории интегральных уравнений.

Другим студентом, прибывшим в это время в Гёттинген, был Эрхард Шмидт. Он приехал туда из Берлина, чтобы «разведать» математическую обстановку в Гёттингене и сравнить её с тем, что делалось в столице под руководством грозного трио, состоявшего из Фукса, Г. А. Шварца и Фробениуса. Первый из них был тот самый Фукс, у которого Гильберт учился в Гейдельберге; Шварц, благодаря которому Клейн получил место в Гёттингене, два раза в месяц организовывал коллоквиум, пользовавшийся международной известностью; Фробениус, по слухам, читал самые совершенные лекции по математике в Германии, «единственным недостатком которых», по мнению одного студента, «было то, что в силу их совершенства в них не находилось места даже для намёка о существовании каких-либо нерешённых проблем». Тем не менее математики Гёттингена произвели такое впечатление на Шмидта, что он решил не возвращаться в Берлин.

Математический клуб Гёттингена, 1902 г. Слева направо в первом ряду: Абрахам, Шиллинг, Гильберт, Клейн, Шварцшильд, г-жа Юнг, Диштель, Цермело; во втором ряду: Фанла, Хансен, К. Мюллер, Дони, Э. Шмидт, Иосие, Эпштейн, Флейшер, Ф. Бернштейн; в третьем ряду: Блюменталь, Гамель, Г. Мюллер

Хотя тема разговоров изменилась, еженедельные семинары-прогулки продолжались. Однако теперь тишину сельской местности часто нарушало пыхтенье моторного чудища. Нернст, друг Гильберта, купил один из новых легковых автомобилей; холмы, которые служили препятствием для других автолюбителей, для него не представляли проблемы. Для этого ему достаточно было повернуть кран на цилиндре с N₂0, закреплённом на приборном щите, и, впустив тем самым в горючую смесь веселящий газ, с триумфом овладеть любым холмом.

В зимнем семестре 1901–1902 года Гильберт читал курс по теории потенциала, основываясь на своих первых результатах по интегральным уравнениям. Из-за своей новизны его идеи не всегда воспринимались студентами. Не очень помогали и записки в Lesezimmer, которые готовил его ассистент Альбер Андре. Подчас Андре оставлял на полях карандашные пометки: «Со страницы такой-то по страницу такую-то за правильность не отвечаю». На праздновании рождества в Математическом клубе один подвыпивший слушатель лекций Гильберта по теории потенциала прочитал следующие слегка иронические стишки: «Der eine bleibt erst unverstandlich/Der Andrae macht es klar». (В них обыгрывается сходство между именем Андре и немецким словом «другой»: Один вначале затемняет, другой затем проясняет.)

Весной в Гёттинген приехали несколько берлинских друзей Эрхарда Шмидта, которых ему удалось заразить своим энтузиазмом к местной математике. Одним из них был Константин Каратеодори, потомок влиятельной греческой семьи, который в 26 лет бросил многообещающую карьеру инженера и снова принялся за ученье с тем, чтобы посвятить себя занятиям чистой математикой. В его семье расценивали этот план как глупую романтику: математическую карьеру обычно не начинают в возрасте 26 лет. «Но я не мог избавиться от навязчивой идеи, что неограниченные занятия математикой наполнят смыслом мою жизнь».

К этому времени Гильберт стал настолько знаменит, насколько это вообще возможно для математика. Как заметил Отто Блюменталь, он принял этот успех «с некоторым наивным удовольствием, не впадая при этом в ложную скромность». Вереница побед, начатая двенадцать лет назад, решением проблемы Гордана, напоминала Блюменталю (ставшему к тому времени уже приват-доцентом) итальянскую кампанию Наполеона: работа, явившаяся вершиной теории инвариантов, — Zahlbericht и глубокая, плодотворная программа в теории полей классов — широко читаемая и оказавшая влияние на развитие математики небольшая книга по основаниям геометрии — спасение принципа Дирихле — важные теоремы в вариационном исчислении — парижские проблемы. Иностранные академии избрали Гильберта в свои члены. Германское правительство присвоило ему титул Geheimrat ¹, что-то вроде английского «сэра».

Один человек, пытавшийся в чём-то оказать Гильберту услугу и неоднократно обращавшийся к нему со словами «господин тайный советник», заметив его раздражение, озабоченно спросил: «Я вас чем-то беспокою, господин тайный советник?»

«Вы лично меня ничем не беспокоите, — отпарировал Гильберт, — меня беспокоит только ваше подобострастие».

Клейн, став тайным советником, всегда настаивал на обращении к нему с этим титулом. А какое обращение к себе предпочитал Гильберт?

«Гильберт? — отвечал один его бывший студент. — Ему было безразлично. Он был король. Он был Гильберт».

В то время ещё были живы его родители. Судья Гильберт долго не расставался с «подозрениями» относительно профессии сына и его успеха. Математика была тем, в чём посторонний вряд ли мог оценить достигнутый успех. Однако, по крайней мере, его должны были успокоить почести, оказываемые его сыну.

Приезжая в Гёттинген, Минковский всегда находился под впечатлением математической атмосферы, которая окружала его друга.

«Даже просто пребывание в таком воздухе. — писал он по возвращении в Цюрих, где он до сих пор не был счастлив, — вызывает всё возрастающее желание делать великие вещи... Я уже принялся за одну работу для Annalen». И всё же, отметив 23 января 1902 года своё сорокалетие, Гильберт не был абсолютно счастлив.

Хотя между ним и Клейном было «полное доверие и общность интересов» (его собственные слова), они не были близки друг с другом. После приезда Гильберта в Гёттинген Клейн всё больше и больше посвящал себя деятельности, не имевшей непосредственного отношения к математике.

Кроме преподавательских и административных обязанностей, он являлся главной действующей силой многочисленных проектов: плана 30-томной математической энциклопедии; только что организованной Международной школьной комиссии, которая ставила себе целью изучение развития педагогических методов «во всех цивилизованных странах», начиная с детских садов и кончая средней школой; попытки улучшить и расширить научное образование в немецких средних школах и соединить на университетском уровне техническую и математическую подготовку; лелеемых со времени поездки в Америку замыслов об оплодотворении технических и прикладных наук методами чистой математики.

Гильберт мало интересовался этими проектами Клейна.

Кроме того, с возрастом Клейн становился всё более величественным. Любимая шутка среди студентов была следующая: В Гёттингене есть два сорта математиков — первые делают то, что им нравится, а не то, что нравится Клейну; вторые делают то, что хочет Клейн, а не то, чего они хотят. Клейн не относится ни к тем, ни к другим. Значит, Клейн не математик.

Клейн интересовался своими студентами и тратил много времени на беседы с ними. Тем не менее он всегда оставался недосягаемым для них. Свои идеи он раздавал, по словам одного из его студентов, «с королевской радостью от своего собственного богатства» и «направлял своих учеников с твёрдой уверенностью именно к тому месту, которое больше всего соответствовало его индивидуальности». В своём кругу студенты называли его «великий Феликс». В Гёттингене говорили, что на обеде в доме Клейна студент находился в таком благоговении перед хозяином, что подчас отвечал на его вопросы стоя.

Обед у Клейнов с Паулем Горданом (крайний слева), Клейном (в центре) и Кёте Гильберт (крайняя справа)

Гильберт не чувствовал, однако, никакой личной опасности со стороны Клейна. Несколько лет назад, когда ему была предложена кафедра Софуса Ли в Лейпциге, он советовался с Минковским о целесообразности принятия решения покинуть Гёттинген. Минковский указал на то, что, быть может, если бы Гильберт был «пространственно разделён» с Клейном, «внешний мир» легко распознал бы, что именно он является в настоящее время величайшим математиком в Германии. Однако этот аргумент не подействовал. Гильберт отказался от места в Лейпциге.

Но теперь Гильберт всё больше сознавал, что в их взаимоотношениях с Клейном не хватает чего-то нужного для него и этого Клейн по своей природе никогда не смог бы и дать. Затем, спустя несколько месяцев после его сорокалетия, ему представилась другая возможность покинуть Гёттинген. Умер Лазарус Фукс, и Гильберту было сделано почётное предложение — кафедра Фукса в Берлине.

Когда новость о «вызове» Гильберта стала известна среди доцентов и старшекурсников, все были страшно расстроены. Многие из них приехали в Гёттинген специально из-за Гильберта. А некоторые, как, например, Эрхард Шмидт и его друзья, приехали из самого Берлина. Тем не менее казалось совершенно естественным, что Гильберт, ведущий немецкий математик, захочет получить место в столице. Хотя и не надеясь особо на возможность повлиять на его решение, они направили к нему домой трёх студентов во главе с Вальтером Литцманом, которым было поручено вручить Гильберту петицию с просьбой остаться в Гёттингене. Госпожа Гильберт угощала их пуншем в саду. Гильберт без комментариев выслушал то, что они должны были ему сказать.

Ушли они обескураженными. Срок времени, отпущенный ему для принятия решения, его частые поездки в Берлин, его необычайная нервозность на лекциях — всё заставляло их верить в то, что он собирается принять берлинское приглашение.

Однако на самом деле Гильберт пытался решить личную проблему тем же способом, которым он привык решать проблемы в математике. Он не хотел покидать Гёттинген. Как объяснял он Минковскому ещё во время Лейпцигского приглашения, жизнь в маленьком городке давала ему больше сил в работе, облегчала научные контакты и предоставляла больше возможностей для общения с природой, Он хорошо сознавал также преимущества, которые получал от административного гения Клейна. Он также находил смысл в том, чтобы ведущий немецкий математик оставался в университете Гаусса. Но он знал, что оставаться счастливым в Гёттингене можно было только в компании о коллегой, научные и личные связи с которым могли бы сравниться с теми, которые он имел в Кёнигсберге с Минковским. Решение этой проблемы было очевидным. Существовало лишь одно неписаное правило, когда приглашали в другой университет. Вместо того, чтобы пытаться улучшить своё собственное профессиональное положение, можно было стараться улучшить положение своего родного факультета или своей области науки. Нернст, которому недавно было предложено место в Мюнхене, получил за счет отказа от него самую лучшую физико-химическую лабораторию в Германии. Теперь Гильберт с одобрения и поддержки Клейна предложил Альтхофу учредить ещё одну должность профессора математики в Гёттингене и предложить её Минковскому.

До тех пор, пока новая должность не была утверждена, он не обнадёживал Минковского возможностью вернуться в Германию. Затем он устроил так, чтобы в день объявления решения Минковский приехал в Гёттинген для выступления с докладом на научном обществе.

Дипломатическое искусство, с которым он провёл эту смелую и в конечном счёте успешную операцию, видно и в том, что окончательную заслугу он всегда присваивал Альтхофу: «И снова Альтхоф был тем, кто пересадил Минковского на более подходящую для него почву. С беспрецедентной отвагой в истории управления прусскими университетами Альтхоф учредил у нас в Гёттингене новую должность профессора».

Когда члены Математического клуба услышали новость, «что Гильберт остаётся, а Минковский приезжает», они с восторгом организовали Festkommers. Последнее представляло собой официальную вечеринку с выпивкой и курением. Так было принято выражать уважение к профессору. Другой способ сделать это состоял в организации факельного шествия, представлявшего высшую честь, которая в редких случаях оказывалась профессору и то только по окончании долгой и заслуженной карьеры.

Венцом празднования была речь Клейна, в которой он представил великолепную и исчерпывающую картину научной и педагогической деятельности Гильберта и его влияния на будущее математики. Слышали, как по окончании этой речи Гильберт сказал: «Пожалуйста, подарите мне её запись».

Вернувшись в Цюрих, Минковский с радостью сообщал: «У меня самые прекрасные надежды на мою будущую жизнь и работу!»

С приездом Минковского в Гёттинген осенью 1902 года наконец-то кончилось одиночество Гильберта. «Звонок по телефону или несколько шагов вниз по улице и камешек, подброшенный перед маленьким угловым окном его кабинета, — и вот вам и он, всегда готовый к любым математическим или нематематическим предприятиям».

Вместо Клейна, Гильберт теперь проводил семинары с Минковским.

В воскресные дни оба друга вместе со своими жёнами выезжали с утра на загородные прогулки.

К этому времени Гильберты вышли из Реформированной Протестантской церкви, в которой они были крещены и обвенчаны. В Гёттингене говорили, что Франц при поступлении в школу не мог ответить на вопрос «Какую религию ты исповедуешь?». «Если ты не знаешь, кто ты такой, — говорил ему сын философа Эдмунда Гуссерля — еврей, недавно обращённый в христианство, — то ты, безусловно, еврей».

Позже в воскресные прогулки были вовлечены и дети обоих семейств. Чаще всего их местом служило курортное местечко Мариашпринг, где под открытым небом, под деревьями, была устроена танцплощадка. Здесь Гильберт отыскивал своё очередное «увлечение» — хорошенькую молодую супругу одного из своих коллег — и крутил её по танцевальной площадке к большому смущению маленьких дочерей Минковских, находивших это энергичное круженье чересчур старомодным. «Для него это было спортом!» Ещё более смущало их то, как после окончания музыки он закутывал свою партнершу в свой большой дождевой плащ и притворно обнимал и целовал её.

Частые вечеринки в доме Гильберта начали доставлять Гильберту больше удовольствия из-за одного только присутствия на них Минковского. Здесь тоже были танцы — скатывался ковер, доставался граммофон, который подарил знаменитому профессору математики один промышленник, командовал всем по-французски Гильберт. Стол всегда ломился от изобилия разнообразных яств Но главным всё же были разговоры. Тема возникала сама собой, кто-нибудь мог спросить Гильберта, что он думает о том-то и о том-то. Например, об астрологии. Что он думает об этом? Ни мгновения не колеблясь, он уверенно отвечал со своим ещё неиспорченным восточно-прусским акцентом, который придавал всему, что он ни говорил, забавный и запоминающийся оттенок: «Если вы соберёте 10 мудрейших людей всего мира и попросите их найти самую глупую вещь на свете, то ничего глупее астрологии они не найдут!» Могли гости обсуждать и процесс над Галилеем, и кто-нибудь мог осудить Галилея за его неспособность постоять за свои убеждения, тогда Гильберт мог возразить: «Но он же не был идиотом. Только идиот может считать, что научная истина требует мученичества. Быть может, так обстоит дело в религии, но научные результаты доказывают себя с течением времени». Минковский высказывал своё мнение не так часто, как Гильберт. Когда же он говорил, его замечание — часто в форме подходящей цитаты из «Фауста» — затрагивало существо дела, и Гильберт всегда к нему прислушивался. Но Гильберт был всегда решительней в выражении своих мнений. Какое достижение техники было бы самым важным? «Поймать муху на Луне». Почему? «Потому что это достижение потребовало бы преодоления таких вспомогательных технических трудностей, после которых были бы решены почти все материальные проблемы человечества». Какая самая важная математическая задача? «Проблема нулей дзета-функции, и не только в математике, но и вообще самая важная на свете проблема!»

Иногда за дверью мог остановиться и слушать разговор взрослых маленький сын Гильбертов Франц, который не допускался на эти вечеринки.

В компании Минковский страдал от «Lampenfieber», по-русски — «боязнь сцены». Его до сих пор смущало внимание, направленное к нему со стороны даже совсем молодых людей. В Цюрихе его застенчивая, заикающаяся манера речи окончательно спугнула одного студента, которого звали Альберт Эйнштейн. Однако в Гёттингене (прозванном «храмом чистой мысли») студенты сразу же признали, что в лице Минковского они имели счастье слышать «настоящего математического поэта». Им казалось, что каждая произносимая им фраза впервые рождалась в его устах.

По крайней мере однажды это было так в буквальном смысле. На лекции по топологии Минковский коснулся теоремы о четырёх красках — знаменитой нерешённой проблемы в этой области математики. (Эта теорема утверждает, что четырёх красок всегда достаточно для раскраски любой карты так, чтобы никакие две соседние области не имели одинакового цвета.)

«Эта теорема не была до сих пор доказана лишь потому, что ею занимались только математики третьего сорта, — заявил Минковский с редким для него высокомерием. — Я уверен, что мне удастся её доказать».

Он начал доказывать её прямо на месте. К концу часа доказательство не было закончено. Оно было отложено до следующего занятия. Так продолжалось несколько недель. Наконец, одним дождливым утром Минковский вошёл в лекционный зал, сопровождаемый раскатами грома. Он повернулся к аудитории и с очень серьёзным выражением на круглом добром лице объявил: «Небеса разгневаны моим высокомерием. Моё доказательство теоремы о четырёх красках также неверно».

Затем он продолжил лекцию по топологии с того места, на котором он остановился несколькими неделями раньше. [Теорема о четырёх красках была доказана в 1976 г. См. подробности в книге С. Сингха "Великая теорема Ферма". — E.G.A.]

Тем временем Гильберт начал погружаться в интегральные уравнения, так же всецело отдаваясь этой области, как это было раньше с инвариантами или числовыми полями. Начало его исследований напоминало прежний подход Гильберта к нерешённым задачам. В первой работе, опубликованной в виде сообщения Гёттингенского научного общества, он предложил один простой и оригинальный вариант теории Фредгольма, который раскрывал её основную идею более отчётливо, чем работа самого Фредгольма. В ней также можно было найти намёки на его будущие свежие и плодотворные идеи. Обладая интуитивным пониманием связей, лежащих в основе различных частей математики, а также между математикой и физикой, Гильберт пришёл к выводу, что уравнения Фредгольма смогут приоткрыть завесу над целой серией ранее недоступных проблем анализа и математической физики. Теперь он поставил перед собой цель объединить на единообразной теоретической основе как можно больший круг вопросов, связанных с линейными задачами анализа.

Минковский снова занялся своей любимой теорией чисел. По словам Гильберта, его беспокоило, что многие математики едва ли представляют себе то, что он называл «особой атмосферой» теории чисел. В течение зимы 1903–1904 года он прочитал цикл довольно популярных лекций, позже изданных в виде отдельной книги. В этих лекциях Минковский продемонстрировал в легко усваиваемой форме созданные им методы и некоторые из его самых замечательных результатов. Гильберт, как и Минковский, был заинтересован в привлечении внимания к «проникновенным мелодиям этой величественной музыки» — метафора, принадлежащая Минковскому, — и, когда Ли Рид, один из его бывших американских студентов, написал на эту тему книгу, Гильберт дал о ней восторженный отзыв. Теория чисел служила «образцом для других наук..., неиссякаемым источником всей математической науки, щедрым стимулом к исследованиям во всех других областях ...». Происхождение теоретико-числовых проблем невозможно установить, они «вечны, как истинные произведения искусства». Благодаря Минковскому Германия снова стала мировым центром теории чисел. «Однако каждый поклонник теории чисел желает, чтобы она в равной степени принадлежала всем нациям и развивалась и распространялась за границей, особенно среди молодого поколения, которому принадлежит будущее».

В 1903 году в Гёттинген приехал Герман Вейль. Это был восемнадцатилетний мальчик из сельской местности, казавшийся молчаливым, но с живыми глазами и с большой долей уверенности в своих способностях. Этот университет он выбрал потому, что директор его гимназии приходился кузеном одному из здешних профессоров математики «по имени Давид Гильберт».

Много лет спустя Герман Вейль писал из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси: «По своей душевной простоте и в полном неведении я позволил себе записаться на курс по квадратуре круга и понятию числа, объявленный Гильбертом на этот семестр. Бóльшая его часть была выше моего понимания. Но двери нового мира уже распахнулись передо мною, и я недолго сидел у ног Гильберта, пока в моём молодом сердце не созрело окончательное решение всеми средствами стремиться прочесть и изучить всё, что написал этот человек»,

«Оптимизм Гильберта, его духовная страсть, непоколебимая вера в высшую ценность науки, твёрдая уверенность в способность разума находить простые и ясные ответы на простые и ясные вопросы» были неотразимы. Вейль слышал «мелодичную флейту гамельнского Дудочника в пестром костюме ² ... соблазняющего столь многих крыс следовать за ним в глубокую реку математики». Тем летом он отправился домой с экземпляром Zahlbericht под мышкой и проработал его в течение каникул, не имея никакой предварительной подготовки в этой области.

Этот молодой человек, кроме математики, имел склонность и к литературе. Он нашёл, что редкая манера мышления Гильберта прекрасно отражается в ярком литературном стиле этого математика: «Это напоминает неторопливую прогулку среди открытой солнечной местности, вы свободно оглядываетесь вокруг, демаркационные линии и путевые тропы указаны вам прежде, чем вы решитесь подняться в гору; затем дорога идет резко вверх, никаких препятствий, никаких обходов».

Летние месяцы, проведённые за изучением Zahlbericht, были, как всегда говорил Вейль, самыми счастливыми месяцами его жизни.

В это же время, в первые годы после приезда Минковского в Гёттинген, там появился Макс Борн, сын хорошо известного исследователя в области медицины из Бреслау ³. Его друзья Эрнст Хеллингер и Отто Тёплиц, по совету которых он приехал, сообщили ему, что Гёттинген представляет в настоящее время «мекку немецких математиков».

Мачеха Борна была знакома с Минковским по Кёнигсбергу, и вскоре после приезда новый студент был приглашён на ленч к профессору и там представлен Густе Минковской и двум её маленьким дочерям. После ленча к ним зашли Гильберт и Кёте, и вся компания отправилась на прогулку к Die Plesse, разрушенному замку, смотрящему на долину реки Лейне и красночерепичные крыши Гёттингена.

Этот день Борн запомнил на всю жизнь.

«Беседа двух друзей была похожа на интеллектуальный фейерверк. Она была полна юмора и остроумия и в то же время большой серьёзности. Я сам был воспитан в атмосфере, привычной к интеллектуальным дискуссиям и критике традиционных ценностей жизни; друзья моего отца, большинство из которых были такими же, как и он, исследователями в области медицины, любили живую, свободную беседу; однако медики ближе к повседневной жизни и как человеческие индивидуальности примитивнее математиков, ум которых работает в сфере наивысшей абстракции. Во всяком случае, мне не доводилось слышать такую честную, независимую и свободную от чинопочитания критику всевозможных проявлений науки, искусства, политики».

В глазах Вейля, Борна и других студентов Гильберт и Минковский были «героями», совершающими великие подвиги, в то время как Клейн был «далеким богом», который правил за облаками. Последний всё больше и больше посвящал своё время и направлял свою энергию на реализацию своей мечты — превращения Гёттингена в центр научного мира. В канун нового столетия он привлёк экономических деятелей и научных специалистов к созданию так называемого «Гёттингенского союза развития прикладной математики и механики». В результате деятельности этой группы (известной в узких кругах как Гёттингенское общество) университет постепенно начал обрастать рядом научных и технических институтов — прообраз научно-технических комплексов, выросших позже вокруг различных университетов в Америке.

Иногда Клейн был даже несколько забавен своим серьёзным отношением к собственным многочисленным проектам. Говорили, что у него есть только две шутки — одна для весеннего, другая для осеннего семестра. Он не позволял себе удовольствия простых смертных. Каждый момент его времени был тщательно запланирован. Даже его дочь должна была назначать свидание для разговора со своим отцом.

Не пытаясь спорить, Гильберт и Минковский признали, что сами они никогда не были организованными. Однажды, когда Клейн полностью заполнил очень большую доску цифрами о немецких средних школах (он пытался также перестроить и народное образование) и обратился к коллегам с просьбой задавать вопросы, Минковский тихо спросил: «Не кажется ли вам, господин тайный советник, что среди этих цифр необычно большую долю составляют простые числа?» Другой раз, когда Клейн с заранее составленной повесткой дня в руке пытался превратить добровольные еженедельные прогулки профессоров математики в факультетское собрание, Гильберт просто отказался присоединиться к ним на следующий раз. Но в основном трое математиков, столь различных по характеру, работали вместе с редкой гармонией.

[Вспомнил тут одну историю про Клейна и его работу в комиссии по улучшению преподавания естественных наук в немецких школах. Однажды он присутствовал на уроке астрономии, где учащиеся рассказывали о гелиоцентрической теории Коперника, и, обращаясь к классу, попросил назвать годы жизни Коперника. Не получив ответа, Клейн упростил вопрос: «Назовите хотя бы век, когда жил Коперник» и опять не получил ответа. Тогда он предпринял третью попытку: «Коперник жил до Рождества Христова или после?». На что класс в едином порыве ответил: «Конечно, до!». По окончании урока Клейн, составляя свой отчёт о посещении, записал: «Помимо основных задач образования, которые решает школа, необходимо добиться, чтобы учащиеся, отвечая на этот вопрос, не употребляли слово "конечно"». — E.G.A.]

В 1904 году, после того как освободилось место экстраординарного профессора прикладной математики, Клейн предложил Альтхофу установить в этой области должность полного профессора, первую такую должность по прикладной математике в Германии. Это новое место он предназначал для Карла Рунге, бывшего в то время в Ганновере. Рунге был не только выдающимся физиком-экспериментатором, известным своим измерением спектральных линий, но также и первоклассным математиком, чьё имя связано с полиномиальными приближениями аналитических функций.

Рунге уже около десяти лет знал и почитал Клейна, а недавно познакомился и с Гильбертом. «Гильберт — очаровательный человек, — писал он своей жене. — Его идеализм, дружеское расположение и скромная честность вызывают у всех большую симпатию к нему». Возможность сотрудничества с этими двумя одарёнными математиками была столь привлекательной для Рунге, чувствовавшего себя одиноким в Ганновере, что он отправился в Берлин для разговора с Альтхофом о новом назначении с чувством, что это слишком хорошо, чтобы быть правдой. «Однако, — как писала позже его дочь, — он не сознавал того факта, что к самым широким и обширным планам Клейна Альтхоф всегда питал больше симпатий, чем к личным планам кого бы то ни было». Новое место было его, если он только этого пожелает. Однако жалованье будет несколько меньше того, которое он получал в Ганновере.

«И ты не должен принимать во внимание финансовые соображения, — настойчиво писала ему жена, услышав новости. — Мы обойдемся, даже потеряв тысячу марок, и это не заденет ни меня, ни детей».

В начале зимнего семестра 1904–1905 года Рунге вошёл в педагогический состав факультета. Профессора математики, теперь составляющие квартет, взяли за обычай устраивать еженедельные прогулки по четвергам ровно в 3 часа дня. Клейн перестал готовить повестки дня. Прогулки превратились в приятную непринуждённую беседу, во время которой могло обсуждаться всё что угодно, включая факультетские дела. Как счастливо заметил Гильберт, «наука затрагивалась не очень редко».

Рунге обладал способностью к вычислениям, которые поражали даже его новых коллег. Однажды они пытались составить расписание одной конференции, планируемой за несколько лет вперед; при этом возникла необходимость узнать день пасхи. Так как определение этого дня — дело непростое, надо учитывать, например, такие вещи, как фаза Луны, математики принялись разыскивать календарь. Тогда Рунге, задумавшись на некоторый момент, объявил, что в том году пасха будет с такого-то по такой-то день.

Удивительными для математиков были также способности Рунге к технике. Когда братья Райт совершили свой первый полёт, он построил из клочков бумаги модель их аэроплана и, утяжелив её иголками, дал ей спланировать на землю. Таким способом он довольно точно оценил мощность мотора, детали которого составляли до сих пор тайну.

Ко времени приезда Рунге в Гёттинген научный состав факультета, тесно связанный с математиками, был также впечатляющим. Из физиков были Эдуард Рике и Вольдемар Фогт. Главой Института прикладной электротехники был Х. Т. Симон; Людвиг Прандтль возглавлял Институт прикладной механики, Эмиль Вихерт — Институт геофизики. Карл Шварцшильд был профессором астрономии.

Однако благотворная обстановка в Гёттингене была обязана не только обществу этих великих людей.

Отто Блюменталь, известный до конца своей жизни как «старейший ученик Гильберта», был очень близок к профессорам, хотя и был в то время лишь приват-доцентом. Это был добрый, общительный молодой человек, любивший пошутить, читавший и разговаривавший на многих языках, интересовавшийся литературой, историей и теологией в той же степени, как математикой и физикой. Еврей по происхождению, он со временем стал христианином и часто говорил «мы, протестанты».

Необычно тесное сотрудничество между доцентами и профессорами иллюстрируется тем фактом, что, когда Блюменталь и другой доцент, Эрнст Цермело, решили прочитать несколько пробных лекций по элементарной арифметике, Гильберт и Минковский, чтобы привлечь внимание к ним, регулярно стали их посещать.

Цермело был несколько старше Блюменталя, нервный, любящий уединение человек, который предпочитал виски любой компании. В то время, незадолго до экспедиции Пири, ему нравилось доказывать невозможность достижения Северного полюса. Он утверждал, что количество виски, требуемое для достижения некоторой широты, пропорционально тангенсу этой широты, тем самым оно стремится к бесконечности при приближении к полюсу. Когда приезжавшие в Гёттинген математики задавали ему вопрос о его фамилии, то он отвечал им: «Когда-то она звучала как Walzermelodie ⁴, но затем пришлось убрать первый и последний слоги».

Именно Цермело незадолго до этого указал Гильберту на досадный парадокс в теории множеств, на него же указал Готлобу Фреге молодой английский логик Бертран Рассел, причём как раз тогда, когда Фреге собрался послать в печать свой окончательный труд по основаниям арифметики. Этот парадокс — противоречие, полученное в результате рассуждений, основанных на правилах логики, принятых математиками и всеми людьми с времен Аристотеля, — имел дело с признаваемым всеми фактом, что некоторые множества, в отличие от других, являются элементами самих себя. Например, множество всех множеств, состоящих из более чем трёх элементов, принадлежит самому себе, так как оно содержит больше трёх элементов. С другой стороны, множество всех чисел не является элементом самого себя, так как оно не есть число. Теперь же Цермело и Рассел, независимо друг от друга, подняли вопрос о множестве всех множеств, не являющихся элементами самих себя. Так как элементами этого множества служат множества, которые не содержат себя в качестве своих элементов, то оно является элементом самого себя тогда и только тогда, когда оно не является элементом самого себя.

К 1904 году этот парадокс после его опубликования Расселом произвёл в математике, по мнению Гильберта, «эффект полной катастрофы». Один за другим выдающиеся специалисты в теории множеств — сам Фреге, а также Дедекинд, — признав поражение, бросили свои исследования в этой области. Нависла угроза над самыми простыми и важными дедуктивными методами, самыми обыкновенными и полезными понятиями; всему виною было то, что этот и другие подобные парадоксы возникли исключительно как следствие постоянно используемых в математике самых обычных дедуктивных методов. Даже Гильберту пришлось теперь признать, что, возможно, был прав Кронекер: идеи и методы классической логики на самом деле не соответствовали строгим требованиям теории множеств.

Раньше Гильберт верил, что сомнения Кронекера в законности теории множеств и некоторых частей анализа можно было устранить введением понятия совместности, или непротиворечивости. Это понятие должно было заменить критерий математической истины, основанный на явной конструкции исходя из множества целых чисел. Для этого потребовалось бы получить полное доказательство непротиворечивости арифметики вещественных чисел. До открытия парадоксов он полагал, что требуемое доказательство непротиворечивости можно было довольно просто получить подходящей модификацией известных методов рассуждений в теории иррациональных чисел. Однако после того, как в теории множеств были обнаружены парадоксы, с которыми была связана бóльшая часть его рассуждений, он понял, что ему придётся переменить свою точку зрения. В конце лета 1904 года, когда в Гейдельберге открылся третий международный конгресс математиков, Гильберт бросил на время интегральные уравнения с тем, чтобы поднять вопрос об основаниях математики.

По убеждению Кронекера, целое число лежит в основе арифметики и единственным критерием существования в математике должна служить конструкция, использующая конечное множество таких чисел. Гильберт и теперь, как прежде, резко противился такому ограничению математики и её методов. Как и Кантор, он твёрдо верил, что суть математики в её свободе, и видел в любом ограничении настоящую угрозу науке. Он был убеждён, что существует способ избавиться от парадоксов, не принося тех жертв, которые требовала точка зрения Кронекера. Однако предлагаемое им решение заставляло пойти ещё дальше, чем шёл Кронекер.

Гильберт настаивал теперь на том, что само понятие целого числа «может и должно» иметь обоснование.

«Арифметика часто рассматривается как часть логики, а традиционные фундаментальные логические понятия считаются, как правило, известными, если дело касается обоснования арифметики, — говорил он математикам, собравшимся в Гейдельберге. — Однако если внимательно посмотреть, то мы обнаружим, что в традиционных изложениях законов логики уже используются некоторые фундаментальные арифметические понятия, например понятие множества и даже, в некотором смысле, понятие самого числа. Тем самым мы оказываемся в порочном кругу, и именно поэтому, чтобы избавиться от парадоксов, нужно до некоторой степени одновременно развивать законы логики и арифметики».

Я убеждён, говорил им Гильберт, что на этом пути может быть найдено «строгое и вполне удовлетворительное обоснование» понятия числа — того «числа», частным случаем которого будут не только натуральные числа Кронекера и их отношения (рациональные дроби), но также иррациональные числа, против которых столь резко протестовал Кронекер, но без которых, по мнению Гильберта, «весь анализ был бы осуждён на бесплодие».

Именно в Гейдельберге Гильберт предложил, чтобы впервые в истории математики само доказательство стало объектом математического исследования.

Пуанкаре несколько раз неодобрительно комментировал эту идею. Французский математик был убеждён, что принцип полной, или математической, индукции свойствен интеллекту («на языке Кронекера, — как однажды Гильберт прокомментировал эту точку зрения Пуанкаре, — создан богом») и поэтому этот принцип нельзя доказать, не используя эту же полную индукцию.

Гильберт не взялся выполнять своё пожелание, высказанное в Гейдельберге. Вместо этого он снова принялся за свою теорию интегральных уравнений и одновременно, в компании с Минковским и по его предложению, начал изучать классическую физику.

Минковский был уже хорошо знаком с технической стороной в области физики; Гильберт не имел об этом почти никакого представления и был знаком только с основными положениями теории. Тем не менее он отнесся к этому проекту с энтузиазмом. Во второй раз с момента окончания учебы — первый был связан с Zahlbericht — он взял курс на «изучение литературы», Больше всего это произвело впечатление на Блюменталя, для которого уже сейчас стало делом жизни изучать характер и личность своего учителя. Он помнил случай в свои студенческие годы, когда при чтении литературы он, к своему страху, обнаружил, что красивейшая часть его диссертации уже опубликована в другой работе. Гильберт, как он помнил, лишь пожал плечами и сказал: «Зачем вам потребовалось знать так много литературы?»

Клейн с интересом следил за этими совместными занятиями физикой. В возрасте 17 лет он был ассистентом у Юлиуса Плюккера в Бонне. В то время он решил, что «после приобретения необходимых знаний в математике» он посвятит свою жизнь физике. Затем спустя два года Плюккер умер (аналогично тому, как в период жизни Минковского в Бонне умер Генрих Герц). Переезд в Гёттинген, где математики составляли значительно более энергичную группу, чем физики, сделал из Клейна математика, а не физика.

Занятия физикой продолжались. На Минковского сильное впечатление производили загадки электродинамики, связанные с недавними работами Х. А. Лоренца. Однако это не отвлекало Гильберта от его собственных занятий интегральными уравнениями. В 1904 году он послал второе сообщение научному обществу, в котором существенно развил идею Фредгольма. В своей классической работе Фредгольм открыл аналогию между интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Гильберт пошёл теперь дальше и нашёл аналог приведения квадратичной формы от n переменных к главным осям. Используя связанную с этим комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии, он развил свою теорию собственных функций и собственных значений — эта теория, как выяснилось позже, оказалась тесно связанной с физической теорией собственных колебаний.

Неспециалист лучше всего поймёт дух и значение этой работы в следующей её оценке, которую даст впоследствии один из студентов Гильберта.

«Важность научного достижения часто не ограничивается получением новых результатов вдобавок к уже имеющимся, — отметит Рихард Курант. — Не менее важным для прогресса науки может быть новое понимание, которое вносит порядок, ясность и простоту в уже существующие, но труднодоступные области и тем самым облегчает или даже впервые даёт возможность обозреть, понять и в совершенстве овладеть наукой как единым целым. Мы не должны забывать этой точки зрения в связи с работой Гильберта в области анализа... ибо [всё это] демонстрирует характерное для него стремление найти в решении новой проблемы такие методы, которые помогают преодолеть старые трудности, устанавливают новые связи между уже имеющимися результатами и сливают в единое русло многочисленные потоки индивидуальных исследований».

Именно в этот счастливый, творческий период жизни Гильберта он получил новое приглашение покинуть Гёттинген. Лео Кёнигсбергер оставит свою кафедру в Гейдельберге, если Гильберт согласится её принять.

Хотя Кёте одобряла эту перемену, Гильберт отказался от приглашения.

Однако он не преминул использовать возможность для переговоров о дальнейших выгодах для математики ценою своего отказа покинуть Гёттинген. На одно из его предложений Альтхоф возразил: «Но мы не имеем этого даже в Берлине!»

«Ja ⁵, — радостно заметил Гильберт, — но Берлин ведь не Гёттинген!»

В начале двадцатого столетия студентам-математикам всего мира давался один и тот же совет: «Собирайте свои вещи и отправляйтесь в Гёттинген!»

Иногда казалось, что маленький городок целиком состоит из математиков. Но следует отметить, что были здесь и другие люди и для некоторых из них la grande affaire ⁶ было совсем другим. Один французский журналист, выбравший Гёттинген как лучшее место для наблюдения за немецкими студентами в естественной для них обстановке, больше всего был поражен тюрьмой на третьем этаже Большого зала университета. На Веендерштрассе он увидел не математиков, а молодых людей, которые «прогуливались как лорды», с яркими цветами студенческих общин дуэлянтов, украшавшими козырьки их фуражек, и с лицами, как правило, в повязках. «Они оставляют за собой, — сообщал он, — тошнотворный запах йода, которым насквозь пропитан весь Гёттинген». Однако математики предпочитали пересказывать, как на Веендерштрассе Минковский, увидев молодого человека, размышлявшего над явно серьёзной задачей, похлопал его по плечу и сказал: «Конечно, он должен сходиться» — и молодой человек ответил благодарной улыбкой.

Давно прошли те дни, когда Гильберт читал свои лекции по аналитическим функциям в присутствии одного лишь профессора Франклина. Теперь, чтобы послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда по нескольку сот человек, многие из которых могли найти место только на подоконнике. Ни состав, ни количество слушателей не производили впечатления на Гильберта. «Если бы сам император вошёл в зал, — говорил Гуго Штейнгауз, который приехал в это время в Гёттинген, — Гильберт бы не прореагировал».

Объяснялось ли это его положением ведущего математика Германии? «Нет, Гильберт был бы тем же, если бы он даже не имел ничего, кроме куска хлеба».

Борн стал теперь «личным» ассистентом Гильберта. В немецких университетах того времени, как правило, только профессора в экспериментальных науках имели ассистентов, помогавших им в лабораторной работе. Однако Клейн сразу же после того, как он взял в свои руки математику в Гёттингене, ухитрился раздобыть средства для оплачивания секретаря в Lesezimmer. Первым, кто получил эту должность, был Арнольд Зоммерфельд; естественно, что секретарь Lesezimmer стал ассистентом Клейна. Ассистент же Гильберта был до сих пор без оплаты.

По словам Борна, это была «довольно неопределённая» работа, «но бесценная благодаря тому, что я мог видеть и разговаривать с ним каждый день». По утрам Борн приходил в дом Гильберта, где он обычно уже заставал Минковского. Все вместе они обсуждали тему предстоящей лекции Гильберта, которая часто происходила в то же самое утро.

Гильберт не терпел математических лекций, которые насыщали студентов фактами, но не учили их, как ставить и решать задачи. Он часто говорил им, что «правильная постановка задачи — это уже половина её решения».

«Бóльшую часть часа он посвящал объяснению существа вопроса, — вспоминает Штейнгауз. — Следующее за тем формальное доказательство становилось таким естественным, что оставалось только удивляться, что мы не дошли до него сами». В обсуждениях с Минковским и Борном Гильберт интересовался только общими принципами, на которых он должен был построить свою лекцию. Он отказывался готовиться до такой степени, чтобы, как он презрительно говорил, «студенты могли легко составить прекрасные конспекты». Вместо этого он пытался вовлечь их в сам творческий процесс, осветить трудности и «указать на мост, ведущий к решению конкретных проблем». Детали изложения должны были прийти к нему позже, на кафедре.

«Это было прекрасное время для моего образования, — писал Борн об этих встречах с Гильбертом и Минковским, — не только в научных, но и житейских вопросах. Я обожал и любил их обоих, и они не давали мне повода чувствовать, как велика была разница в знаниях и опыте между ними и мною; они обращались со мною, как с младшим коллегой».

Когда Гильберту подходило время идти на лекцию, Минковский, возвращаясь домой, часто брал с собой Борна. Всего два квартала отделяли дом Гильберта от квартиры Минковского на Планкштрассе; однако часто, глубоко погрузившись в беседу, они «совершали длинную прогулку», прежде чем попадали домой. Маленькие девочки выбегали встречать своего папу; прибежавшая первой усаживалась ему на спину и въезжала в дом, ухватившись за его густые тёмные волосы и визжа от радости. В противоположность Гильберту, чьё дружелюбное отношение к молодёжи не распространялось на маленьких, Минковский понимал и обожал детей. Именно благодаря его поддержке и забавам удалось, наконец, заставить заговорить маленького Франца; его письма к Гильберту всегда содержали какое-нибудь послание Францу. Его собственные дети должны были помнить своего отца, который по нескольку минут в день уделял каждому в отдельности, чтобы они могли иметь возможность поговорить с ним. «Дядю Гильберта» они должны были помнить как человека, «не очень ладившего с детьми».

Готовясь к своим лекциям только в самых общих чертах, Гильберт, случалось, терпел фиаско. Иногда он не мог провести или неправильно проводил детали рассуждений. Тогда лекция прерывалась. Если присутствовал ассистент, то он мог прийти на помощь. «Студенты волнуются, господин профессор, что знак неверен». Но часто ни ассистент, ни слушатели не могли помочь. Тогда он пожимал плечами: «Да, мне надо было лучше подготовиться» — и распускал слушателей. Чаще же он пытался спасти лекцию. И тем не менее, по общему мнению, в Гёттингене не было педагога, даже близко стоящего к Гильберту! Слушателям его лекций математика представлялась «всё ещё в процессе создания», и большинство из них предпочитали их более совершенным, энциклопедическим и «законченным» лекциям Клейна.

Несколько неожиданно Гильберт проявил довольно значительный интерес к педагогике. Не будучи очень высокого мнения о способностях среднего студента, он считал, что ничего нельзя усвоить, пока не услышишь несколько раз. «Пять раз, Герман, пять раз!» — памятный совет, который он давал Вейлю, когда тот начинал свою педагогическую деятельность. «Вычисления проводи не выше, чем на уровне таблицы умножения» и «Начинай с простейших примеров» — другие его любимые заповеди. Сам он старался представлять важные идеи в особо наглядной форме, всегда подыскивая контрастные сравнения, делающие их более поразительными и запоминающимися.

Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям начинались с того, что на доске выписывались два уравнения: y" = 0 и y" + y = 0. «Meine Herren, ⁷ — говорил он, — на них вы можете изучить всю теорию и даже понять разницу в задачах с начальными или с краевыми условиями».

«Предложение «Все девочки по имени Кёте красивы» не является всеобщим законом, — объяснял он перед другой аудиторией. — Действительно, оно зависит от выбранного имени, а последнее произвольно».

Разница между утверждением чистого существования и конкретным построением иллюстрировалась заявлением, всегда вызывавшим смех среди студентов: «Среди сидящих в этой аудитории существует один с наименьшим количеством волос».

Кроме своих собственных лекций, Гильберт регулярно вёл семинар с Минковским. В 1905 году после года изучения физики они решили посвятить свой семинар одной из её областей — электродинамике движущихся сред. Хотя первоначальная инициатива исходила от Минковского, Гильберт играл в нём активную роль и был полноправным партнёром, по мнению Борна, «часто проясняя и постоянно стремясь к ясности».

Для Борна и других студентов семинарские занятия представляли собой волнующие и побуждающие к мысли часы. Сокращение Фицджеральда, местное время по Лоренцу, эксперимент Майкельсона—Морли с интерференцией — всё это обсуждалось подробнейшим образом, и «мы узнавали совершенно фантастические утверждения из электродинамики».

Одним из тех совпадений, которые не так уж редко бывают в истории науки, было то, что именно в этот год похожие идеи появились в серии работ одного служащего бюро патентов в Берне по электродинамике и специальной теории относительности. «Но об этом, — говорил Борн, — в Гёттингене ещё ничего не было известно, а имя Эйнштейна ни разу не упоминалось на семинаре Гильберта — Минковского».

Борн, на которого произвели большое впечатление идеи, обсуждаемые на семинаре, решил взять из этой области тему для своей диссертации. Однако на другом семинаре он впал в немилость у Клейна, а в Гёттингене считалось аксиомой, что тем, к кому великий Феликс не благоволил, приходилось плохо. Поэтому, чтобы не подвергать себя риску на экзамене по геометрии у Клейна, Борн переключился на астрономию. Ему всё равно пришлось бы экзаменоваться по математике, но в этом случае экзаменатором был бы Гильберт.

Перед экзаменом Борн попросил у Гильберта совет по подготовке к вопросам по математике.

«В какой области вы чувствуете себя наименее подготовленным?» — спросил Гильберт.

«В теории идеалов».

Гильберт больше ничего не сказал, и Борн решил, что из этой области ему не будут задавать вопросов. Но в день экзамена все вопросы Гильберта относились к теории идеалов.

«Ja, ja, — говорил позже Гильберт, — мне было просто интересно узнать, что вы знаете о вещах, о которых вы ничего не знаете».

После 1905 года Минковский почти полностью переключился на электродинамику. Работа Эйнштейна стала известной в Гёттингене, и Минковский припомнил своего бывшего студента. «Ach, der Einstein, — разочарованно сказал он, — der schwanzte immer die Vorlesungen — dem hätte ich das gar nicht zugetraut». (Ax, этот Эйнштейн, всегда пропускавший лекции; я бы никогда не поверил, что он способен на такое!)

Гильберт продолжал свои исследования в области интегральных уравнений. Поддерживая тесную связь между этими исследованиями и своей педагогической деятельностью, он часто обсуждал свои результаты на лекциях и семинарах ещё до того, как они принимали законченный вид. Часто случалось, что прогресс в его работе был обязан такого рода сотрудничеству со своими студентами, которые, как он с удовольствием вспоминал позже, «постоянно оказывали помощь в нахождении более точных формулировок, а также иногда и в расширении области исследований». Например, в 1904 году он опубликовал свою теорию собственных функций и собственных значений. В самой важной части она была ещё слишком «тяжеловесной». Затем в 1905 году Эрхард Шмидт заложил в своей диссертации новые основы теории Гильберта, которым из-за их ясности и краткости было суждено сыграть важную роль. Именно в это время, в 1905 году, Венгерская Академия Наук поразила математический мир объявлением об учреждении внушительной премии в 10 000 золотых крон, предназначавшейся математику, чьи достижения за последние 25 лет внесли наибольший вклад в развитие математики. Эта премия стала известной как премия Бояи, названная в честь Яноша Бояи, венгерского математика, одного из создателей неевклидовой геометрии, и его отца Фаркаша Бояи, друга Гаусса со студенческих времён.

Академия назначила комитет в составе Юлиуса Кёнига, Густава Радоша, Гастона Дарбу и Феликса Клейна. Ему было поручено назвать лауреата; однако ещё до заседаний комитета любому математику в мире было ясно, что придётся выбирать только из двух людей. Окончательное решение было единогласным. Премия Бояи должна была быть вручена Анри Пуанкаре, чья математическая карьера началась в 1879 году, в то время, когда Гильберт был ещё учеником гимназии. Тем не менее также единогласно комитет решил, что в знак большого уважения к Давиду Гильберту в отчёте о своём выборе, представленном Академии, его математическая работа будет оценена наравне с работой Пуанкаре.

«Не золото, а почёт», — передавал Гильберту из Будапешта свои сожаления Клейн.

Позже, вернувшись в Гёттинген, Клейн объяснил Блюменталю, что решающим соображением, из-за которого премия досталась Пуанкаре, было то, что французский математик затронул своими достижениями «всю орбиту математической науки».

«Но Гильберт ещё охватит столь же обширную область, как и Пуанкаре!» — предрекал Клейн.

Это было благоприятным временем для пророчества. Гильберт создавал теперь то, чему суждено было стать венцом его занятий анализом — теорию бесконечно многих переменных, ставшую широко известной как теория «гильбертова пространства».

Обобщение алгебраической теории квадратичных форм от двух и трёх переменных на случай любого конечного числа переменных было популярным среди алгебраистов прошлого века; так как пара чисел представляет точку на плоскости, а тройка — в трёхмерном пространстве, то при увеличении числа переменных они сочли удобным перейти в «пространства» более высокой размерности. Как однажды заметил Э. Т. Белл, такое обобщение «почти тривиально для любого компетентного алгебраиста». Однако переход к бесконечному числу переменных требует уже рассмотрения вопросов сходимости, а эта аналитическая проблема «никому не представляется тривиальной». Следующее обобщение состоит в том, что можно, например, рассматривать пространство, точками которого являются непрерывные функции.

Из-за своей крайней общности проблема, которой он теперь занимался, казалась почти недоступной даже для Гильберта. Но он смело принялся за неё.

«Если мы не оробеем под влиянием таких соображений, то мы окажемся в положении Зигфрида, перед которым отступил огонь; манящей же наградой послужит прекрасное вознаграждение — единый методологический подход к алгебре и анализу!»

В удобном и ярком пространственном представлении многие аналитические соотношения могут быть выражены в знакомых терминах; кроме того, в геометрической формулировке бóльшая часть сложных и непонятных на аналитическом языке вещей становится интуитивно почти очевидной. Благодаря этому теория гильбертовых пространств — первоначально названная Гильбертом по техническим причинам «Спектральной теорией» — предлагала чрезвычайно соблазнительный язык для простого и непосредственного выражения очень абстрактных результатов. Хотя из неё следовали многие его собственные результаты и методы, причём более простым способом, не в этом заключалось её главное значение.

«Важнее всего, — писал позже Курант, — является упорядочивающее и проясняющее действие такой общей теории функций на всю методологию и идейное развитие аналитических исследований».

Одновременно с развитием этой очень абстрактной и сложной математической теории Гильберт учил математическому анализу студентов первого курса.

Его курс анализа 1906 года, хотя и обычный с точки зрения его педагогической техники на этом уровне, всё же отличался кое-чем от предыдущих и последующих курсов. Объяснялось это тем, что он читался в период большого лыжного сезона. Под влиянием Рунге, который просто не мог не быть первым спортсменом факультета, ибо его мать была англичанкой, Гильберт и некоторые из более молодых преподавателей решили учиться кататься на лыжах. Необходимые принадлежности были заказаны в Норвегии, так как ничего подобного в Германии ещё не выпускалось. Занятия, которыми руководил Рунге, происходили на небольшом склоне, чуть ниже популярной гостиницы Der Rohns.

«Да, ты знаешь, это очень приятно, но очень трудно», — признался Гильберт Минковскому на еженедельном собрании Математического клуба.

«Сегодня днём я совершенно неожиданно, совсем не подозревая этого, очутился в канаве. Обе мои лыжи повисли в воздухе, в то время как я лежал на спине. Одна из них соскочила и покатилась под гору. В результате мне пришлось снять вторую лыжу и вместе с ней спускаться по глубокому снегу. Ты знаешь, это не так просто».

«Да, — сказал Минковский, не принявший нового вида спорта, — но почему ты не пустил вторую лыжу вдогонку за первой? Ведь она оказалась бы рядом с ней». «О, Рунге никогда о таком не думал», — воскликнул Гильберт.

Между домом Гильберта и Auditorienhaus, где он читал лекции по анализу, был небольшой уклон, и когда было достаточно снега, Гильберт предпочитал идти на лекцию на лыжах. В такие дни он врывался в аудиторию в своих громадных норвежских лыжных ботинках с остриями на носках и пряжками на задниках и, запыхавшись, взбирался на кафедру, уже приступив к чтению лекции.

Он всё ещё сохранил привычку начинать лекцию с аккуратного напоминания материала прошлой лекции. Если на предыдущей требовалось 40 минут для изложения материала, то теперь он тратил на него 20 минут. Только закончив повторение, он приступал к новой теме.

«Прошлый раз мы узнали то-то и то-то. По-видимому, в новой ситуации это вряд ли применимо. С чего бы это? Почему старый метод не работает? В чем дело? Что мы можем сделать? Как нам преодолеть эту трудность?»

В таком духе он мог продолжать некоторое время. Кроме того, он мог затронуть идеи из других областей и упомянуть самые последние работы. Студенты бывали зачарованы мелькнувшими перед ними понятиями и областями математики, о которых при обычном ходе обучения они не знали бы ещё многие годы. Кроме того, в них зажигалось всё возрастающее желание познакомиться с современной наукой. Наконец, после того, как, казалось, уже не было никакой надежды, всплывало нужное понятие — «как мраморная статуя, высвеченная лучом света в тёмном парке».

«Это было замечательно, — говорит Пауль Эвальд, бывший слушателем курса 1906 года. — Когда оно наконец появлялось, у нас возникало чувство, будто мы на самом деле присутствовали при создании Гильбертом нового важного понятия».

К этому времени ассистенты Гильберта стали получать жалованье и иногда даже стало возможным организовывать специальный Ausarbeiter ⁸ для большого числа слушателей. В этот самый год Гильберту удалось добыть некоторые нематематические фонды для математики и Эвальд был нанят для Ausarbeiter с оплатой, как у «работника лесничества» в ближайшей деревне. В его обязанности входила подготовка чистой копии составленного им конспекта лекций Гильберта, который затем должен был быть одобрен ассистентом, должность которого теперь занимал друг Борна Хеллингер.

Даже в таких элементарных курсах, как анализ, часто случалось, что Гильберт путал некоторые вещи. Тогда Хеллингер, печально глядя в конспект Эвальда, говорил: «Да, он снова напутал, и нам придётся сесть и всё исправить». Когда записи, наконец, удовлетворяли Хеллингера, они направлялись в Lesezimmer, где ими могли пользоваться студенты.

Эвальд, ставший со временем известным физиком, всегда говорил, что почти весь нужный ему анализ он узнал из курса Гильберта и послелекционных занятий с Хеллингером.

В весенний семестр этого учебного года Гильберт купил велосипед, только недавно начавший входить в моду как средство передвижения в Гёттингене, и в возрасте почти 45 лет начал учиться кататься на нём.

Лыжи были временным увлечением, но велосипед, как и пешеходные прогулки, а также занятия садоводством стали постоянными спутниками его творческой жизни. До сих пор он предпочитал работать на воздухе. Теперь рядом с ним всегда был велосипед. Некоторое время он мог работать у большой доски, висевшей на соседской стене. Затем он внезапно останавливался, вскакивал на велосипед, делал восьмёрку вокруг двух круглых клумб с розами или какой-нибудь другой трюк. Покатавшись несколько минут, он бросал велосипед на землю и возвращался к доске. В другой раз он мог прервать свои занятия для того, чтобы немного походить по своей крытой дорожке, склонивши голову, с руками за спиной. Иногда он прекращал свою работу, чтобы подрезать дерево, немного покопать или прополоть сорняки. Постоянно приходивших в дом посетителей экономка направляла в сад со словами: «Если вы не увидите профессора, то поищите его на деревьях». Как правило, уже первое слово, которое произносил Гильберт, показывало, что несмотря на внешнее проявление, он был всецело поглощён решением какой-нибудь конкретной математической задачи. Он мог продолжить ход своей мысли, но теперь уже вслух, если, разумеется, посетитель не пришёл со своей собственной проблемой. Тогда с энтузиазмом и интересом он переходил на эту тему.

Рихард Курант, недавно присоединившийся к компании из Бреслау, включавшей Борна, Хеллингера и Тёплица, часто наблюдал за деятельностью Гильберта в саду с балкона своей комнаты, находившейся неподалеку. Ему казалось это «фантастической способностью сохранять равновесие между крайним сосредоточением и полнейшим отдыхом».

На следующий год Гильберт предоставил научному обществу свою теорию бесконечно многих переменных. Эрхард Шмидт, к тому времени приват-доцент в Берлине, опубликовал свой собственный, очень простой и красивый метод решения, который, как и его диссертация, развивал работу его учителя.

Таким образом, научная жизнь в Гёттингене продолжалась, оставляя о себе незабываемую память в сердцах тех, кто жил наукой, и оставаясь незамеченной для приезжавших журналистов.

Это было спокойное время. Гёттинген казался полузабытым царством прошлого. Государство Ганновер, частью которого он был, было разбито и аннексировано Пруссией в 1866 году; однако сорок лет спустя остатки ганноверской аристократии продолжали упорно сопротивляться господству победителя. Герб страны, взятой под свою опеку Георгом II, всё ещё держался на германском университете так же твёрдо, как и гортанный акцент в английском языке её бывшего повелителя. Дома, выстроившиеся по Принценштрассе, принадлежали герцогам и князьям ганноверским, правда, их титулы были большей частью английского, а не немецкого происхождения. Научное общество Гёттингена официально именовалось на английский манер как «die Königliche Gesellschaft der Wissenschaften» — Королевское научное общество. Британский военный министр постоянно проводил свои летние месяцы в Гёттингене. Молодым людям, съехавшимся сюда со всех концов земли из-за своей любви к математике, казалось, что у них «всё ещё впереди». Эту точку зрения не всегда разделяли их старшие коллеги.

В 1908 году Гильберт и Минковский отметили четверть века своей дружбы. Гильберту было 46 лет, Минковскому 44.

В это юбилейное лето замечательное здоровье и естественный оптимизм Гильберта на время покинули его. Он стал очень нервным и подавленным.

По-видимому, этот упадок сил не был вызван каким-нибудь особенным обстоятельством. Некоторые, например Блюменталь, рассматривали это как следствие его безрассудного физического и умственного напряжения последних нескольких лет. Другие считали это обычным явлением для творческого работника.

«Почти каждый великий учёный, которого я знал, был подвержен таким глубоким депрессиям, — говорил Курант. — Безусловно, это было у Клейна, но также и у многих других. В жизни любой творческой личности бывают такие периоды, когда кажется, а бывает, что так и есть на самом деле, что ты теряешь свои способности. Это действует подобно шоку».

Во всяком случае, Гильберт подошёл к своей болезни с большой рассудительностью, решив сделать всё необходимое для того, чтобы выздороветь. Отдохнув несколько месяцев в санатории в горной местности Гарц, он снова, как обычно, начал с осени читать лекции.

В отличие от Гильберта, летом 1908 года Минковский был на вершине своей творческой активности. В сентябре он представил некоторые из своих новых результатов по электродинамике на ежегодном собрании Общества германских учёных и врачей в Кёльне. Названием его доклада было «Пространство и время».

«Воззрения на пространство и время, которые я хочу изложить перед вами, — начал он своим тихим, колеблющимся голосом, — возникли на экспериментально-физической основе, и в этом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены на превращение в фикции, и лишь некое единение обоих сохранит объективную реальность».

Он часто говорил своим студентам в Гёттингене: «Эйнштейн излагает свою глубокую теорию с математической точки зрения неуклюже — я имею право так говорить, поскольку своё математическое образование он получил в Цюрихе у меня».

В своей специальной теории относительности Эйнштейн показал, что описание механических явлений с помощью часов и эталонов мер зависит от движения лаборатории, в которой производятся измерения. При этом он установил математические соотношения, связывающие различные описания одного и того же физического явления.

Доклад Минковского в Кёльне явился «великим моментом геометризации». За несколько минут Минковский внёс в теорию относительности свою собственную, простую и красивую математическую идею о пространстве-времени, дающую очень прозрачное математическое представление различных описаний заданного явления.

«Трёхмерная геометрия становится главной в четырёхмерной физике».

«Теперь вы знаете, — сказал он своим слушателям, — почему я заявил вначале, что пространство и время должны обратиться в фикции, уступив своё место единому миру».

Среди слушателей был Макс Борн, который снова начал проявлять интерес к теории относительности из-за недавних работ Эйнштейна. Минковскйй уговаривал Борна вернуться в Гёттинген и стать его сотрудником. Ему нужен был специалист со знанием оптики, как у Борна. Однако сначала он хотел, чтобы его бывший ученик более близко познакомился с его собственными новыми идеями в этой области. Он отослал Борна обратно в Бреслау, снабдив его своей последней работой по электродинамике.

В работе Минковского этот молодой человек нашёл уже готовым «весь математический арсенал теории относительности... в том виде, в каком с того времени его повседневно использует каждый физик-теоретик». Только к началу декабря он счёл возможным для себя вернуться в Гёттинген.

«Затем последовали несколько недель, в течение которых я видел Минковского и беседовал с ним каждый день. Это было счастливое время, полное научной активности, а также богатое опытом личного характера, началом истинной дружбы, насколько разница в возрасте и опыте позволяет употребить это слово».

Закончив обсуждение проблем теории относительности, они перешли к теории чисел. «Для Минковского, как и для Гильберта, теория чисел была самым удивительным созданием человеческого разума и духа, равным образом наука и величайшее из искусств».

Именно в это время, когда Минковский покинул теорию чисел ради электродинамики, Гильберт, оправившись после своего летнего упадка сил, увлёкся одной знаменитой проблемой в классической теории чисел. В 1770 году Эдвард Варинг, ничем другим особенно не прославившийся английский математик, утверждал, по-видимому, без всяких доказательств, что каждое целое число может быть представлено в виде суммы четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвёртых степеней и так далее — в общем случае конечным числом любых n-х степеней. Приблизительно в это время в связи с другой теоремой было доказано, что каждое целое число представимо в виде суммы четырёх квадратов. Однако это не доказывало, что Варинг, оказавшись правым в случае квадратов, был прав и в других случаях. Не ясно даже было, что каждое целое число могло быть представлено некоторым конечным числом кубов, четвёртых степеней и так далее. Количество некоторых таких степеней, бóльших 2, могло неограниченно возрастать с ростом самих чисел. С 1770 года прогресс в направлении доказательства этого утверждения Варинга был незначительным. В последнее же время математики начали проявлять новый интерес к этой проблеме, надеясь на успешное применение к ней некоторых аналитических методов. В этом направлении работал Гурвиц, но так же, как и другие математики, пытавшиеся до него доказать теорему Варинга, он бросил свои попытки, признав поражение. Тем не менее работа Гурвица вызвала у Гильберта интерес к этой проблеме. На некоторое время он оставил свои интегральные уравнения. Гильберт начал с того места, на котором остановился Гурвиц, даже взяв за основу одно тождество, аналогичное тому, которое было установлено Гурвицем. В конце 1908 года, ровно через 138 лет после того, как Варинг впервые сформулировал свою гипотезу, Гильберт получил доказательство теоремы Варинга.

Как было типично для Гильберта, его доказательство скорее давало лишь существование, а не явную конструкцию нужного представления. Однако хотя в действительности в нём и не давалось количества необходимых n-х степеней, но, в отличие от его доказательства теоремы Гордана, в доказательстве теоремы Варинга содержался метод, позволявший, по крайней мере в принципе, получить в каждом отдельном случае оценку этого числа.

Это доказательство ни в коей мере нельзя было считать простым. На самом деле, как отмечал русский теоретико-числовик Хинчин, оно было «не только тяжеловесным в своём формальном оформлении, основанном на сложных аналитических теориях..., но также не обладало прозрачностью в идейном отношении».

Однако, учитывая длительную недоступность проблемы, это можно было считать замечательным достижением.

«Мне трудно выразить то восхищение, которое я испытывал от решения этой исторической проблемы, — писал Г. Г. Харди, когда позже вместе с Дж. И. Литлвудом они получили другое доказательство этой теоремы. — В поставленных перед собой границах оно представляло абсолютный и триумфальный успех... одну из вех в современной теории чисел».

Сам Гильберт испытывал огромную радость и гордость. «Он сражался с таким мастером высшей категории, каким был Гурвиц, — заметил Блюменталь, — и одержал победу его собственным оружием, причём в том самом месте, где Гурвиц не видел возможности успеха». Он с радостью думал о том, что сообщит этот результат в своём следующем письме к старому другу. Но прежде ему надо было изложить доказательство теоремы Варинга Минковскому и участникам их объединённого семинара, который должен был возобновиться с нового года.

Во время рождественских праздников Минковский отсутствовал в Гёттингене. Вернулся сюда он в среду 6 января. На следующий день, в четверг, четверо профессоров математики ровно в 3 часа вышли на свою еженедельную прогулку до Керотеля на Хайнберге. Несмотря на окружающие их снежные холмы и голые деревья, это была приятная прогулка. Холодный воздух был наполнен громкими радостными голосами и смехом. «С особой оживлённостью» Минковский рассказывал о своих последних результатах в электродинамике. Гильберт поразил всех сообщением о том, что на следующем занятии семинара он изложит доказательство теоремы Варинга.

В пятницу Минковский прочитал свою обычную лекцию. После этого он принимал докторский экзамен.

Затем в воскресенье днём, за обедом, он внезапно почувствовал сильный приступ аппендицита. Ночью было решено произвести трудную операцию по удалению разорвавшегося органа.

За понедельник состояние Минковского ухудшилось. Он был в сознании и вполне сознавал безнадёжность своего положения. На больничной койке он изучал корректуру одной из своих последних работ и решал, удастся ли довести ещё не оконченную часть работы до хорошего состояния.

Позже Гильберт вспоминал: «Он выражал сожаление по поводу своей судьбы, так как он ещё так много мог бы сделать; но он решил, что было бы хорошо выправить корректуру, чтобы облегчить понимание и чтение его последних работ по электродинамике». Он сказал, что, возможно, после его смерти будет легче преодолеть сопротивление его новым идеям.

«Даже на больничной койке, в ожидании смерти, он был расстроен тем обстоятельством, что не сможет присутствовать на следующем занятии семинара, на котором я должен был выступить с моим решением проблемы Варинга».

В полдень во вторник, 12 января 1909 года, Минковский выразил желание снова увидеть свою семью и Гильберта. Гильберт отправился сразу же, как только получил известие; однако, когда он добрался до больницы, Минковский уже скончался. Не достигнув сорока пяти лет, он ушёл «в полном расцвете своей жизненной энергии, в середине своего самого счастливого периода работы, на высоте своего научного творчества».

Позже, днём, Гильберт писал письмо Гурвицу. «Мой Дорогой Старый Друг, — начал он. — Теперь ты один, кого я могу так называть...»

Почерк, крупнее, чем обычно, становился всё более расплывчатым по мере продвижения этой короткой записки. Я намеревался, писал Гильберт, сообщить об «одной хорошей идее» для решения проблемы Варинга, взятой «из твоей прекрасной работы» в гёттингенских Nachrichten, «но вместо этого ты получаешь это печальное письмо». Подписался он «Твой Старый Друг». Затем, как будто чтобы убедить их обоих в том, что случилось, он повторил в постскриптуме все события в жизни Минковского за прошедшую неделю: возвращение из Берлина в среду, счастливую прогулку до Керотеля днём в четверг, лекцию в пятницу и приём докторского экзамена, приступ в воскресенье и операцию в ту же ночь.

«Даже врачи стояли вокруг постели со слезами на глазах».

Утром в среду было сделано сообщение студентам.

«Я был в аудитории, когда Гильберт сказал нам о смерти Минковского и когда он плакал, — вспоминает один его бывший студент. — Из-за высокого положения, которое занимал в те дни профессор, и разницы в положении между ним и студентами для нас было большим потрясением видеть, что Гильберт плачет, чем слышать, что умер Минковский».

В четверг днём не было математической прогулки. Вместо неё профессора математики провожали Минковского в последний путь. Снова, заметил Гильберт, было ровно три часа дня.

«Сильные математики были похожи на растерянных людей, — писал один студент родителям после похорон. — По всему было видно, что даже самому Клейну было трудно спокойно говорить. Гильберт и Рунге казались обезображенными, с глазами, красными от слёз».

Решение проблемы Варинга — «корректуры которого его уверенный глаз уже не пробегал» — было опубликовано вскоре после этого с надписью автора:

«В память о Германе Минковском».

Никакие переговоры в министерстве в Берлине, как бы долго и с каким бы искусством они ни велись, не могли помочь восполнить ту дружбу и то стимулирующее научное влияние, которые получал Гильберт от Минковского. Но жизнь должна была продолжаться.

Душевное напряжение, с которым работал Гильберт, передается одним случаем, происшедшим во время лекции вскоре после смерти Минковского. Среди слушателей был молодой человек, который, несмотря на то что профессор был явно не в себе, не переставал прерывать его вопросами. Наконец Гильберт огрызнулся:

«Мы здесь не за тем, чтобы снабжать вас информацией».

«Но именно за это вам и платят, господин тайный советник!»

В последовавшем за этим молчании шокированной и смущённой аудитории Гильберт, явно потрясённый и рассерженный, ждал, пока обидчик покинет лекционный зал. Молодой человек упорно оставался на своём месте. Тогда сам профессор, побледнев, повернулся и вышел. «Такой случай никогда бы не произошёл, — говорит очевидец, — если бы Гильберт был в своём обычном состоянии».

Но большей частью Гильберту удавалось принимать эту потерю с тем же философским спокойствием, с каким встречал свою смерть его друг. Никаких новых приступов глубокой депрессии прошлого лета не наблюдалось.

Гильберт принял активное участие в выборе преемника Минковского. Вместе с Клейном они пришли к решению, что будут искать молодого человека, у которого все достижения ещё впереди. Тем самым они исключили Гурвица. Рассматривались кандидатуры многих молодых математиков. Наконец остановились на выборе между Оскаром Перроном и Эдмундом Ландау. Члены математического факультета тщательно обсудили заслуги обоих.

«О, Перрон — такой замечательный человек, — сказал наконец Клейн. — Его все любят. Ландау очень неприветлив, с очень тяжёлым характером. Но нам, представляющим здесь такой коллектив, лучше иметь трудного человека».

Это было окончательное решение.

В первую же весну после смерти Минковского 32-летний Ландау приехал в Гёттинген в качестве профессора математики.

Специальностью Ландау было приложение аналитических методов к теории чисел. Будучи приват-доцентом в Берлине, он уже доказал одну очень общую теорему о распределении простых идеалов в произвольных полях алгебраических чисел, аналогичную классической теореме о простых числах. Он сделал также важную работу по теории функций, получив такое неожиданное обобщение знаменитой теоремы Пикара, что вначале сам отказывался верить в его справедливость и отложил публикацию этого результата более чем на год.

Книга Ландау о распределении простых чисел, центральной проблеме в аналитической теории чисел, появилась в тот год, когда он приехал в Гёттинген. «В ней впервые, — писал Харди много лет спустя, — аналитическая теория чисел излагается не как собрание некоторых красивых разрозненных теорем, а как систематическая наука». Из «места охоты для отдельных отважных героев» она превратилась в одну из наиболее плодовитых областей математических исследований.

В то время большинство немецких профессоров являлись выходцами из крупной буржуазии и были весьма прилично устроены, Ландау же был просто очень богат. Когда его спрашивали, как найти его дом в Гёттингене, он отвечал: «Это самый лучший дом в городе».

Вскоре после его приезда в университет анекдоты о Ландау не уступали в своём числе анекдотам о Гильберте.

Один студент посоветовался с Ландау о качестве кусочка янтаря, по-немецки Bernstein. В ответ Ландау одновременно высказал своё мнение о достоинстве двух математиков Бернштейнов, находившихся в то время в Гёттингене. Он ответил «Феликс». Если бы он сказал «Сергей», то это бы значило, что янтарь наивысшего качества. (Это утверждение не было столь резким, как оно звучит. Феликс Бернштейн был очень хорошим математиком, известным своими работами в теории страхования и статистике; однако Сергей Бернштейн был одним из величайших русских математиков того времени.)

В отличие от Минковского, у Ландау не было интереса ни к геометрии, ни к математической физике и он абсолютно презирал прикладную математику.

Однажды Штейнгауз описал Ландау свой докторский экзамен. Его должен был экзаменовать астроном. Было видно, что на Ландау произвело большое впечатление то обстоятельство, что изучающий чистую математику мог успешно ответить на вопросы математика-прикладника. «Что же он спросил вас?» Польщённый интересом профессора к его делам, Штейнгауз объяснил, что астроном спросил его о дифференциальных уравнениях движения трёх небесных тел.

«Ах, так он знает это! — воскликнул Ландау. — Так он знает это».

Таким был Ландау.

Коллеги и студенты не любили его высокомерия и боялись его остроумия и безжалостной прямоты. Однако они отдавали дань уважения и были преданы ему за фантастическое трудолюбие и неожиданную беспристрастность в его привязанности к математике. «Большинство из нас подсознательно немного завидует успехам других, — однажды заметил Харди, — [но] Ландау, казалось, был начисто лишён таких недостойных эмоций».

Едва устроившись в Гёттингене, Ландау предложил молодому датчанину Гаральду Бору, решившему одну поставленную им проблему, чтобы тот приехал и стал его сотрудником.

Бор был необычным математиком. В 1908 году он входил в состав датской Олимпийской футбольной команды, занявшей второе место. По-видимому, он был единственным учёным в истории математики, о докторском экзамене которого сообщалось на спортивной странице газеты. В будущем он неразрывно соединил своё имя с так называемыми «почти периодическими функциями». Но он никогда не мог спокойно пройти мимо мяча, чтобы не поддеть его ногой.

Когда спустя несколько месяцев после смерти Минковского Бор приехал в Гёттинген, ему показалось, что среди молодых математиков этого города царит дух подлинного международного братства. Обмен иностранной валюты был настолько лёгким, насколько это возможно. Никто никогда не интересовался паспортом. Немецкие студенты, особенно более старшего возраста, заботились о молодых иностранных студентах «с трогательным вниманием».

«Великим стариком... был Феликс Клейн. Его импозантная и мощная фигура внушала всем, старым и молодым, громадное уважение и, можно сказать, почти благоговение... Но над всей жизнью Гёттингена сиял выдающийся гений Давида Гильберта, который как бы связывал нас всех воедино... Почти каждое произнесённое им слово, будь то о проблемах нашей науки или просто о жизни, казалось нам свежим и обогащающим».

Весной 1909 года Гильберт не послал ни одного сообщения по интегральным уравнениям в Гёттингенское научное общество. Вместе с Кёте они проводили много времени с Густой Минковской и маленькими девочками. Гильберт взял на себя общее редактирование работ Минковского и начал готовиться к мемориальному выступлению. Для этого он перечитал более девяноста писем, полученных им от Минковского, ещё со времени их университетской жизни. «Это всё равно что прожить всю жизнь заново, — писал он Гурвицу, — и я вижу, какую важную роль играл ты в этой жизни».

Почти одновременно со смертью Минковского появилась возможность приглашать в Гёттинген для личных научных контактов крупнейших специалистов, что было так необходимо для творчества самого Гильберта, имевшего раньше такой контакт в лице Минковского. Профессор математики из Дармштадта Пауль Вольфскель оставил по своему завещанию 100 000 марок премии за первое полное доказательство последней теоремы Ферма. До тех пор, пока этот приз не будет вручён, проценты с этой суммы должны были тратиться по усмотрению комитета при Гёттингенском научном обществе. Гильберт стал председателем этого комитета и в апреле того года, когда умер Минковский, ему удалось выделить 2500 марок для приглашения в Гёттинген Анри Пуанкаре.

С общественной и математической точки зрения ситуация была деликатной. Депрессия, изменившая всё направление карьеры Клейна, была вызвана его соперничеством с молодым Пуанкаре. Теперь ведущими мировыми математиками были Гильберт и Пуанкаре, но премия Бояи была присуждена именно последнему. Для многих обитателей Гёттингена присутствие французского математика было нежелательным напоминанием того, что математический мир представлял собой не сферу с центром в Гёттингене, а лишь эллипсоид.

Не улучшил ситуацию и выбор темы лекций Пуанкаре. Он решил говорить об интегральных уравнениях и теории относительности, вероятно, считая, что выбор этих областей, в которых ему принадлежали значительные достижения, будет интересен гёттингенским математикам. Однако иностранный математик, присутствовавший на лекциях, был удивлён тем холодком, с которым был встречен знаменитый гость. «Мы были удивлены, — объяснял один из гёттингенских доцентов, — что Пуанкаре приедет за тем, чтобы рассказывать нам об интегральных уравнениях!»

Тем не менее Гильберт всегда обращался в Пуанкаре «мой дорогой друг» и отзывался о нём в своих лекциях и статьях как о «самом блестящем математике его поколения». Он и Кёте устроили большой приём в честь французского математика и Клейна, чьё шестидесятилетие пришлось на время визита.

Минковский также испытывал высшее восхищение перед Пуанкаре, а одна из его маленьких дочерей, увидев великого человека на ступенях дома на Вильгельм Веберштрассе, сделала перед ним реверанс, который полагается маленькой девочке при виде короля.

«Какое счастье быть в наше время математиком! — говорил Гильберт, выступая с маленькой речью перед гостями. — Повсюду математика разрастается, пуская новые побеги. Всё более важное значение приобретают её приложения к естественным наукам и её связи с философией, благодаря чему она готовится занять своё прежнее центральное место!»

Однако в письме к Гурвицу, в котором он благодарил его за дружескую оценку своего доказательства теоремы Варинга, он писал, что она была «лучом света в темноте».

Первого мая он выступил с речью в память о Минковском на специальном собрании Гёттингенского научного общества.

Он с любовью рассказал о работе друга, перечислил его достижения и оценки, которые ему дали такие математики, как Эрмит и Дедекинд. «Несмотря на тот факт, что он был чрезвычайно скромен и нарочно держался на заднем плане, у него было внутреннее убеждение, что многие из принадлежащих ему работ переживут работы других современных авторов и получат в конце концов общее признание. Он ценил открытую им теорему о разрешимости линейных неравенств в целых числах, своё доказательство существования разветвлений в числовых полях и сведение кубического неравенства, выражающего свойство максимальности сферы, к квадратичному неравенству наравне с самыми лучшими достижениями великих классиков в области геометрической теории чисел».

За короткое время ему удалось совершить многое. «Каким трудолюбивым он должен был быть!» Его наука сопровождала его повсюду. «В любое время она интересовала его и нисколько не утомляла, будь он на экскурсии или во время летних каникул, в картинной галерее, в вагоне поезда или на тротуаре большого города».

С ученических лет, рассказывал Гильберт своим коллегам, Минковский был его самым лучшим и преданным другом.

«Наша наука, которую мы больше всего любили, связала нас вместе. Она казалась нам цветущим садом. В этом саду были протоптанные тропинки, по которым в часы досуга можно было прогуливаться, спокойно наслаждаясь окрестными видами, получая особое удовольствие, если это происходило в обществе подходящего собеседника. Однако нам также нравилось выискивать скрытые тропы и обнаруживать неожиданный пейзаж, приятный нашим взорам; и когда один из нас показывал его другому, мы наслаждались им вместе и радость наша была безграничной».

Гильберт сравнивал характер своего друга со звуком колокола; «такой ясный от счастья, получаемого от своей работы, и своего веселого нрава, такой полный в постоянстве и преданности, такой чистый в своих идеалистических устремлениях и восприятии жизни».

«Для меня он был даром божьим — таким, который редко выпадает на долю человека, — и я должен быть благодарен судьбе, что так долго владел им».

В ближайшие месяцы и годы Гильберт старался найти для себя подходящую компанию среди успевающих студентов и доцентов Гёттингена. Ему была совершенно ясна необходимость контакта с молодёжью для пользы своей собственной работы.

«Моё место — среди молодежи, — объявил он на одном научном собрании, — от неё ещё можно что-то получить».

Одним из его давнишних молодых друзей был Леонард Нельсон, доцент философии, бывший на 20 лет моложе Гильберта. Они познакомились несколько лет назад, когда Нельсон, получив докторскую степень в Берлине, пытался защитить хабилитацию в Гёттингене. Это был молодой человек, большой любитель споров на личные, философские и политические темы. Он навлёк на себя неприязнь Гуссерля, профессора философии, в результате чего его хабилитация была отклонена большинством философского факультета, к которому также относились и математики. Позже, когда Нельсон, получив плохие известия, расстроенный сидел в своей комнате, послышался стук в дверь. «И к моему удивлению, — писал он своим родителям, — я увидел Гильберта собственной персоной. Он пригласил меня к себе на ужин...» В следующем письме он сообщал, что «Гильберт ломает себе голову, как бы сделать, чтобы моя диссертация была принята». Как оказалось, даже Гильберту пришлось потратить на это несколько лет; но теперь Нельсон был доцентом и вместе с профессором их часто можно было увидеть «прогуливающимися вдоль стены» и глубоко погружёнными в обсуждение той области знаний, которая лежала на стыке логики, философии и математики.

Другим из молодых друзей Гильберта, также не математиком, был Теодор фон Карман, ассистент в Институте прикладной механики Прандтля. Фон Карман работал над проектом цеппелина, который правительство намеревалось испытывать при различных атмосферных условиях. Много лет спустя, когда он стал влиятельной фигурой в авиации и космических исследованиях в Соединённых Штатах, он отзывался о Гильберте как о «величайшем математике в истории науки... ибо он превратил теорию интегральных уравнений в орудие, позволившее учёным овладеть областями, в которых царила полная неразбериха».

После смерти Минковского Гильберт возобновил обычай отправляться с группой молодых людей на длительную прогулку после еженедельных собраний Математического клуба.

«Он не был молодым... но всё ещё был полон сил и юношеского задора, — казалось в то время 22-летнему Гаральду Бору, — [и] его большая оригинальность, полное отсутствие предрассудков и даже, можно сказать, условностей надолго делали каждую из встреч с ним целым событием».

Некоторые из бывших талантливых студентов в последние несколько лет начали делать первые шаги по лестнице академической карьеры.

По предложению Гильберта Макс Борн стал доверенным лицом госпожи Минковской в деле издания физических работ её мужа. Одну из них Борн должен был восстановить лишь по немногим оставшимся заметкам. Он также продолжил дело своего учителя своей собственной работой, посвящённой новому и строгому методу измерения электромагнитной энергии электрона. Доклад, представленный по этой работе, произвёл такое впечатление на Фогта, что тот предложил Борну место приват-доцента в Институте теоретической физики.

Приблизительно в это же время приват-доцентом стал также и Герман Вейль. Хотя он и проявил уже свои математические способности, он был всё ещё слишком скромен, чтобы стать полноправным «членом семьи» математиков. Тем более удивительным для всех было то, что вскоре он завоевал руку девушки, чьей руки добивались многие и чьё очарование было столь велико, что, когда её отец пригрозил забрать её из университета, петиция, просившая его не делать это, была подписана даже профессорами.

В это время началась также и дружба между Гильбертом и Рихардом Курантом.

Уже было ясно, что этот человек должен пойти далеко не только в математике. В возрасте 14 лет он сбежал из дома, зарабатывая себе на жизнь частными уроками, которые он давал ученицам женской школы. В конце концов он добился почти невозможного, поступив в университет, не имея даже диплома об окончании гимназии. В отличие от большинства студентов университета того времени, он должен был поддерживать своё существование, рассчитывая только на свои силы.

Однажды после лекции Гильберта Курант, к своему удивлению, был приглашён на чай к профессору. Когда он пришёл, то узнал, что Гильберты имели к нему просьбу. Школьные дела Франца Гильберта, ставшего уже подростком, были не совсем в порядке.

(«Способности к математике мой сын унаследовал от матери, всё остальное — от меня».)

Госпожа Гильберт полагала, что Францу, возможно, было бы лучше перейти в другую школу. Чтобы быть уверенным, что его туда примут, молодого Куранта попросили позаниматься с ним.

«Так получилось, что мне пришлось довольно много времени проводить с Францем Гильбертом. Он не то чтобы был несмышлёный или неталантливый мальчик. Это был восприимчивый ребёнок. Он подучился немного и был принят в новую известную загородную школу. Однако я всё время находился под впечатлением, что передо мной был мальчик, чья голова подобна фотопластинке, после проявления которой получается что-то прекрасное, но затем спустя некоторое время изображение затягивается вуалью, становится темнее и наконец и вовсе пропадает».

К этому времени «маленький Курант», как его любя называли, уже проникся глубоким чувством к широкой научной традиции Гёттингена. Он был вместе с тем склонен к драматическим эффектам. Когда в феврале 1910 года он получил докторскую степень, его не устроил традиционный поцелуй маленькой пастушке в фонтане на площади Ратхаус. Вместо этого двое его друзей наняли дрожки и, кружа по городу, возвещали жителям, что Рихард Курант является доктором философии summa cum laude ⁹!

В течение 1910 года Курант был ассистентом Гильберта.

В том же году впервые с 1906 года Гильберт послал в Гёттингенское научное общество сообщение по интегральным уравнениям, шестое и последнее.

«Можно без преувеличения сказать, что именно благодаря исследованиям Гильберта впервые выявилось истинное значение теории интегральных уравнений, — писал позже Курант. — Многие её связи с совершенно различными областями математики, разносторонность приложений, внутренняя гармония и простота её структуры, её объединяющая сила по отношению к ряду ранее разрозненных исследований впервые проявились в работе Гильберта».

Начиная с Фредгольма, математики всего мира, а особенно в Германии и Соединённых Штатах, вели исследования в области интегральных уравнений.

Однако настоящее безусловно принадлежало Гильберту.

Жизнь в Гёттингене продолжалась.