Ниже Г. Вейль пишет, что с лёгкой руки Гильберта готический шрифт стал общеупотребительным для идеалов, что привело в ужас американских издателей математической литературы. В стандартный набор шрифтов для Windows готический не входит, а сам Вейль в данной статье им часто пользуется. Скачайте его и, если надо, зарегистрируйте в Windows. После этого символы статьи, которые в отсутствие готического шрифта отображаются шрифтом Arial, преобразятся и примут желаемый «средневековый» вид.
0. Литература 2. Алгебраические числовые поля 3. Аксиоматика 5. Физика |
14 февраля 1943 года в Гёттингене в возрасте 81 года ушёл из жизни Давид Гильберт. С его смертью математика потеряла одного из своих великих мастеров. Оглядываясь в прошлое, мы видим, что та эпоха математики, на которую он наложил отпечаток своего духа и которая сейчас скрылась далеко за горизонтом, более чем какая-нибудь другая находилась в совершенном равновесии между исследованиями отдельных конкретных проблем и разработкой общих абстрактных понятий. Работы самого Гильберта немало послужили этой счастливой гармонии, а направление, в котором с тех пор развивалась математика, также во многом обязано его импульсам. Ни одного математика нашего поколения нельзя поставить рядом с ним.
Америка ему обязана многим. Большое количество молодых математиков из этой страны, которым было суждено сыграть значительную роль в развитии американской математики, переселились в Гёттинген в период с 1900 по 1914 год, чтобы учиться у Гильберта. Однако его взгляды, методы и постановки задач оказали влияние далеко за пределами круга лиц, черпавших своё вдохновение, обучаясь непосредственно под его руководством.
Гильберт сам помог автору настоящего обзора увидеть, что его работы довольно строго делятся на различные периоды, в каждый из которых он был всецело поглощен проблемами из одной конкретной области. Если он занимался интегральными уравнениями, то они означали для него всё; бросив
Названия этих периодов несколько более конкретны, чем им следовало бы быть. Не все алгебраические достижения Гильберта связаны с инвариантами. Его работы по вариационному исчислению отнесены к интегральным уравнениям. Есть, конечно, и некоторые частичные смешения периодов, и несколько заблудших детей, нарушающих законы времени, самый поразительный из них его доказательство теоремы Варинга в 1909 году.
Его парижское выступление «Математические проблемы» охватывает все области нашей науки. Пытаясь приподнять завесу над ожидающим нас будущим, он поставил и обсудил двадцать три нерешённые проблемы, которые, как мы видим теперь, на самом деле играли важную роль все последующие сорок с лишним лет. Математик, решивший одну из них, занимал тем самым почётное место в математической общине.
Gesammelte Abhandlungen Гильберта были изданы в трёх томах Ю. Шпрингером в Берлине,
Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig, 1930;
Grudzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralglelchungen, Leipzig und Berlin, 1912.
Гильберт является соавтором следующих работ:
R.Courant und D.Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Berlin, Bd. 1, 2. Aufl., 1931; Bd. 2, 1937;
D.Hilbert, W.Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin, 1928;
D.Hilbert und S.Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, Berlin, 1932;
D.Hilbert und Р.Bernays, Grundlagen der Mathematik, Berlin, Bd. 1, 1934; Bd. 2, 1939.
Собрание его трудов содержит статьи Б. Л. ван дер Вардена, X. Хассе. А. Шмидта, П. Бернайса и Э. Хеллингера о работе Гильберта в области алгебры, теории чисел, оснований геометрии и арифметики, интегральных уравнений. В них прослеживается дальнейшее развитие этих областей и даются подробные библиографические ссылки. Читатель может также обратиться к номеру Die Naturwissenchaften 10 (1922), 65104, посвящённому Гильберту. В нём содержится обзор его работ до 1922 года. Кроме того, укажем на статью Бибербаха (L.Bieberbach), Ueber den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag über «Mathematische Probleme» auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreissig Jahren, Die Naturwissenschaften 18 (1930), 11011111. О. Блюменталь описал жизнь Гильберта (Собрание трудов, т. 3,
Я опускаю все ссылки на литературу, указанную в этих статьях.
Классическая теория инвариантов имеет дело с многочленами Первая из них утверждает, что инварианты имеют конечный целый базис. Это означает, что можно найти среди них конечное число таких инвариантов Вторая основная теорема утверждает, что идеал соотношений имеет конечный базис. Это означает, что можно выбрать среди них конечное число соотношений где Qi многочлены от переменных Я возьму на себя смелость предположить, что Гильберту удалось сначала доказать вторую теорему. Соотношения образуют подмножество в кольце (А) Каждое подмножество Σ кольца многочленов Будет ли это плохой метафизикой, если добавить, что его доказательство оказалось таким простым потому, что предложение справедливо в столь общей форме? Это доказательство проводится при помощи последовательного присоединения переменных zi и использования на каждом шаге следующего утверждения. Пусть кольцо r удовлетворяет условию (Р): каждый идеал в r обладает конечным базисом; тогда кольцо многочленов r[z] от одной переменной с коэффициентами в r также удовлетворяет условию (Р). После того как установлено это утверждение, мы получаем не только теорему (А), но и её арифметическое обобщение, предложенное Гильбертом, в котором поле k рациональных чисел заменяется на кольцо целых рациональных чисел.
Подмножество Σ соотношений, к которому Гильберт применяет свою теорему (А), само является идеалом, и тем самым идеал Построение полного набора соотношений Все эти утверждения повисают в воздухе, пока мы не установим первую основную теорему. Последняя имеет совершенно особый характер, поскольку она относится к конечности базиса области целостности, а не идеала. Рассматривая инварианты, мы имеем дело с кольцом где Суммируя по s и деля полученную сумму на N, мы получаем соотношение где N Оно похоже на (2), но важно то, что по его построению новые коэффициенты Lr* являются уже инвариантами 1.
Фактически Гильберту приходилось иметь дело не с конечной группой, а с классическим случаем, в котором группа Γ состоит из всех линейных преобразований s переменных Теорема (A) Гильберта служит краеугольным камнем оснований общей теории алгебраических многообразий. Предположим, далее, что k поле комплексных чисел. Алгебраическое многообразие, В действительности же Гильберт использовал эту теорему как вспомогательное средство для своих исследований по инвариантам. Так как нам приходится иметь дело только с полной линейной группой, мы будем рассматривать только однородные инварианты, не оговаривая этого особо. Отбросим константы (инварианты степени 0). Предположим, что мы нашли μ непостоянных инвариантов Когда Гильберт опубликовал своё доказательство конечности базиса идеала, формалист Гордан, считавшийся в то время королём инвариантов, воскликнул: «Это не математика, это теология!» Гильберт всю жизнь протестовал против недооценки доказательств существования, составляющих «теологию». Однако мы видели, как более детальное исследование позволило ему удовлетворить конструктивистским требованиям Гордана. Применяя процесс Кэли и свою Nullstellensatz, ему удалось показать, кроме того, что каждый инвариант J является целой алгебраической (но не всегда рациональной) функцией от инвариантов где G полиномы от После формальных исследований, идущих от Кэли и Сильвестра к Гордану, Гильберт открыл новую эпоху в теории инвариантов. Действительно, его новые идеи и мощные методы не только позволили этой области идти в ногу с новейшими алгебраическими достижениями, обязанными Кронекеру и Дедекинду, но и внесли в неё такой вклад, который позволил почти полностью решить все проблемы, во всяком случае относящиеся к случаю полной линейной группы. С вполне оправданной гордостью он завершает свою работу Ueber die vollen Invariantensysteme словами: «Таким образом, я верю, что важнейшие цели теории функциональных полей, образованных инвариантами, достигнуты», после чего покидает сцену 4.
Среди исследований, ведущихся с тем пор, как Гильберт ушёл из этой области, следующие два направления представляются самыми важными: Хотя первая основная теорема была доказана для широкого класса групп Γ, мы до сих пор не знаем, верна ли она для любой группы. Вскоре обнаружилось, что все попытки доказать её в такой общности не приводят к успеху. Многообещающий алгебраический подход к этой проблеме указан под номером 14 в списке математических проблем, поставленных Гильбертом в Париже.
Остановившись столь подробно на теории инвариантов Гильберта, мы можем только вкратце упомянуть про его другие, более разрозненные алгебраические достижения. Первая работа, в которой проявился настоящий характер молодого алгебраиста, относилась к выяснению условий, при которых вещественная форма представляется в виде суммы квадратов таких форм. В частности, в ней исследовался вопрос о том, является ли очевидное необходимое условие положительной определённости также и достаточным. С помощью изобретательных рассуждений, основанных на использовании непрерывности, а также алгебраических конструкций, Гильберт нашёл три специальных случая, в которых ответ на этот вопрос положителен, среди них, разумеется, случай положительно определённой квадратичной формы. Во всех остальных случаях Гильберт построил контрпримеры. Похожие методы встречаются в двух работах, посвящённых привлекательной проблеме нахождения максимального числа и расположения вещественных овалов алгебраической кривой и поверхности. Гильберт высказал гипотезу, что для любого числа переменных каждая рациональная функция с вещественными (или рациональными) коэффициентами является суммой квадратов таких функций при условии,что все её значения при положительных значениях аргументов являются положительными. В своих Grundlagen der Geometrie он отметил значение этого факта для геометрических построений с помощью линейки и «Eichmass» 6. Позднее О. Веблен предложил в качестве основы для различения положительных и отрицательных элементов в любом поле аксиому, гласящую, что никакая сумма квадратов не равна нулю. Независимо от него Э. Артин и О. Шрайер развили подробную теорию таких «вещественных полей», с помощью которой первому из них удалось доказать гипотезу Гильберта 7.
В заключение я упомяну про теорему Гильберта о неприводимости, утверждающую, что после подстановки некоторых целочисленных значений во все переменные, кроме одной, неприводимый многочлен определяет неприводимый многочлен от одной переменной.
Кроме того, стоит упомянуть его работу о решении уравнения девятой степени с помощью функций от минимального числа переменных. Эти работы послужили началом многих современных алгебраических работ (Э. Нётер, Н. Чеботарёв Когда Гильберт, покончив с инвариантами, обратился к теории алгебраических числовых полей, эта теория покоилась в основном на доказанной более сорока лет назад теореме Дирихле о единицах и идеальных дивизорах, введенных Куммером, Дедекиндом и Кронекером. Основным объектом её изучения являются алгебраические поля k над полем рациональных чисел Q. Один из самых важных общих фактов, относящихся к основаниям, был открыт Дедекиндом. Он показал, что простые делители дискриминанта это в точности те простые числа, разложение которых в произведение простых идеалов в поле k содержит кратные сомножители (разветвлённые простые числа). Если l простое рациональное число, то добавление к k корня Его первым важным собственным достижением явилась теория относительных полей Галуа K данного алгебраического числового поля k. В основном он интересовался связью группы Галуа Γ поля справедливыми для любого целого числа A. Здесь P обозначает число вычетов в k по модулю p и, тем самым, Pf совпадает с числом вычетов в K по модулю B. Сегодня мы называем элемент p В 1893 году Deutsche Mathematiker-Vereinigung 8 обратилось к Гильберту и Минковскому с просьбой подготовить в течение двух лет обзор по теории чисел. Спустя некоторое время Минковский выбыл из участия в этом проекте. Монументальный обзор Гильберта Die Theorie der algebraischen Zahlkörper появился в Jahresbericht 9 в 1896 году (предисловие датировано апрелем 1897 года). Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил всё то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину математической литературы. Даже сегодня, спустя почти пятьдесят лет, изучение этой книги необходимо для любого, кто пожелает стать специалистом в теории алгебраических чисел. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму. Доказательства всех известных теорем были тщательно проанализированы, прежде чем он остановился на тех из них, «принципы которых поддаются обобщению и более всего пригодны для дальнейших исследований». Но прежде чем сделать такой выбор, нужно было провести сами эти «дальнейшие исследования»! Особое внимание было уделено обозначениям, благодаря чему впоследствии они стали общеупотребительными (включая, к ужасу американских издателей, готические буквы для идеалов). Ему удалось существенно упростить теорию Куммера, основанную на очень сложных вычислениях, а также ввести те понятия и доказать большинство из тех теорем, которые составляют сегодня основания общей теории относительных абелевых полей. Наиболее важными в ней являются понятие символа норменного вычета, центральная теорема об относительных циклических полях, знаменитая Satz 10 90 (Собрание трудов, т. 1, стр. 149). Позвольте мне привести один абзац из предисловия, в котором он описывает общий характер теории чисел и, в частности, те темы, которые затрагиваются в его обзоре.
«Теория числовых полей представляет собой здание редкой красоты и гармонии. Самая же богатая идеями часть этого здания, как мне кажется, есть теория абелевых полей, возникшая из работы Куммера о высших законах взаимности и исследований Кронекера по комплексному умножению эллиптических функций. Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают работы этих двух математиков, показывает в то же время, что несметные сокровища всё ещё лежат сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего своё искусство, чтобы овладеть ими».
Сам Гильберт был рудокопом, который в течение следующих двух лет добыл бóльшую часть скрытой под землей руды. Руководящим принципом в это время для него служила аналогия с соответствующими проблемами для алгебраических функций от одной переменной, где доступны мощные методы топологии и абелевых интегралов, введённые Риманом (ср. его замечания в разделе 12 Парижских проблем). Доставляет большое удовольствие наблюдать, как шаг за шагом, поднимаясь от частного к общему, Гильберт вводит адекватные понятия и методы и делает важные заключения. Я упомяну о его выдающейся работе по относительным квадратичным полям, а также о его последней и самой важной работе Ueber die Theorie der relativ Abelschen Zahlkörper. Подробно разбирая примеры, ему удалось предсказать и сформулировать основные факты о так называемых полях классов. В то время как работы Гильберта по теории инвариантов служили завершением теории, его работы по алгебраическим числам были только началом. Бóльшая часть усилий таких теоретико-числовиков последних десятилетий, как Фуртвенглер, Такаги, Хассе, Артин, Шевалле, была направлена на доказательство результатов, предсказанных Гильбертом. Используя Разработанная Гильбертом теория норменных символов основана на следующих его собственных открытиях: Как хорошо известно, целое число a, не делящееся на простое число p равный +1 или 1 в зависимости от того, является ли a квадратичным вычетом или невычетом по mod p. Он же заметил, что тот является характером, p p p Действительно, p вычетов по mod p, в качестве представителей которых можно взять числа 0, p и показывает, что этот имеет Каждое Характер
p обозначается также через Мы подходим ко второму открытию Гильберта; он пришёл к заключению, что нельзя получить простые законы, пока мы не добавим к «конечным простым точкам» p одну бесконечную простую точку q. По определению Таким образом, вещественное число является Тем самым, Тот факт, что норменный символ является характером, для бесконечной простой точки проверяется, тем самым, намного легче, чем для конечных точек.
Третье замечание Гильберта состоит в том, что закон взаимности Гаусса вместе с двумя его дополнениями может быть записан следующей изящной формулой: p где произведение берётся по всем конечным и бесконечным простым точкам p. Это произведение вполне определено, так как почти все множители (т.е. все, за исключением конечного числа) равны 1. Действительно, если p не входит в дискриминант поля K, то
F = Q1F1 + ... + QhFh,
(1)
J = c + L1i1 + ... + Lmim, (LrÎkx),
(2)
Lr* =
1
∑
Lrs .
s
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОЛЯ
(
K
)
.
(
a
)
,
(
a
)
·
(
a'
)
=
(
aa'
)
.
(
a, K
)
=
ì
+1, если a является
í
î
1 в противном случае
(
a, K
)
(aq, K) =
ì
1, если K вещественное,
í
î
sgn aq, если K мнимое.
∏
( Ip(a), K) =
∏
(
a, K
)
= 1,
p
p
(3)
Каждое рациональное число a определяет для каждой простой точки p
( | a, K p |
) |
вместо
|
(4) |
определяет характер φK, норменный характер на группе Jk всех иделей. Закон взаимности в форме Гильберта (3) утверждает, что для главных иделей a
(a, K) = 1. | (5) |
По самому определению норменного символа
Теперь мы достигли такого уровня, когда наш опыт обращения с квадратичным полем K над основным рациональным полем Q позволяет нам перейти к произвольному относительному абелеву полю K над заданным алгебраическим числовым полем
Тем самым, мы говорим об r вещественных бесконечных простых точках
Конечные простые точки это простые идеалы B поля k. При изучении полей Галуа
|
(6) |
если порядок αp в p равен i. Теперь для любого иделя α мы можем образовать произведение
∏ | (αp, K) = | ∏ | ( | α, K p |
) | = (α, K), |
p | p |
распространённое по всем конечным и бесконечным (вещественным) простым точкам p, и сформулировать закон взаимности, утверждающий, что
(α, K) = | ∏ | ′ | (αp, K) ; |
p |
штрих здесь означает, что произведение берется только по неисключительным простым точкам, где мы знаем определение
(α, K) = 1, если α главный, | (7) |
и замечаем, что, по определению,
(α*, K) = | ∏ | ′ | (αp*, K) |
p |
принимает одинаковое значение для всех таких α*. Именно это значение мы и возьмём за определение
Если значение
I. (αp, K) = 1 тогда и только тогда, когда αp является
II. Для данного простого идеала p
Выше уже были установлены условия достаточности из
(I0) если αp норма, то
(II0) если p неразветвлён, то
Обратное утверждение к (I0) тривиально для неисключительных точек, но для исключительных точек
III. Если главный идель α является идельной нормой в поле K, то число α есть норма в K.
Это верно для циклических полей
Обозначим снова через Nm JK подгруппу группы Jk, состоящую из иделей, эквивалентных нормам. Тогда норменный символ
IV. Отображение норменного символа устанавливает изоморфизм факторгруппы
Утверждения I, II, IIIc (индекс c означает ограничение циклическими полями) и IV составляют основные предложения того, что можно назвать норменной теорией относительных абелевых полей. Они справедливы для каждого такого поля Имеется другая часть этой теории, собственно теория полей классов, которая относится к вопросу о связи множества всевозможных относительных абелевых полей K над k со структурой группы Каждый главный идель принадлежит Существует такое натуральное число n, что каждая Существует такое конечное множество точек S, что Основная теорема теории полей классов утверждает, что эти условия являются также и достаточными.
V. Для любой подгруппы Разобьём множество иделей на классы, относя два иделя к одному классу, если их частное принадлежит группе Как уже говорилось выше, сам Гильберт не смог доказать эти теоремы в полной общности. Однако, отправляясь от гауссовской теории родов в квадратичных полях и исследований Куммера, он начал постепенно двигаться, разбирая простейшие примеры, создавая на своём пути необходимый запас новых понятий и предложений, до тех пор, пока ему не открылся весь ландшафт полей классов. Мы не можем даже пытаться дать здесь идею высокотехнических доказательств всех результатов. Завершение своей работы он оставил своим последователям. Вероятно, ещё далёк тот день, когда мы будем располагать сравнительно полной теорией относительных числовых полей Галуа.
Кронекер показал, а Гильберт упростил его доказательство, что абелевы поля над основным рациональным полем являются подполями круговых полей и тем самым получаются из трансцендентной функции e2πix подстановкой рациональных значений в её аргумент x. Для абелевых полей над мнимым квадратичным полем аналогичную роль играет так называемое комплексное умножение эллиптических и модулярных функций («Jugendtraum 13 Кронекера»). В то время как Генрих Вебер вслед за Кронекером и Р. Фютер под руководством Гильберта воплотили эту мечту в реальность, сам Гильберт обратился к модулярным функциям нескольких переменных, определяемых числовыми полями, и исследовал их связь с арифметикой. Этих своих исследований он никогда не публиковал, однако его идеи на основе его заметок были развиты О. Блюменталем, а позже Э. Гекке. Полученные результаты многообещающи, но всё ещё далеки от полноты. Характерным признаком богатства мысли Гильберта является то, что в этот самый продуктивный период своей жизни он передал своим ученикам целый комплекс проблем, столь привлекательных, как связи между теорией чисел и модулярными функциями 14.
Остаётся отметить особенно простое доказательство трансцендентности чисел e и π, которым Гильберт открыл серию своих работ по арифметике, и работу 1909 года с доказательством гипотезы Варинга столетней давности. Последнюю работу я бы отнёс к числу его самых оригинальных, но мы не будем на ней более подробно останавливаться, так как десять лет спустя Харди и Литлвуд нашли другой подход, дающий асимптотические формулы для числа искомых представлений. «Круговой метод» ХардиЛитлвуда породил в последнее время значительную литературу на эту и смежную с ней тему 15. Трудно придумать бóльшую пропасть, чем та, которая отделяла последнюю работу Гильберта по теории числовых полей от его классической книги Основания геометрии, опубликованной в 1899 году. Единственным предвестником последней служила одна заметка 1895 года о прямой как кратчайшей линии. Однако О. Блюменталь сообщает, что уже в 1891 году Гильберт, обсуждая работу Г. Винера о роли теорем Дезарга и Паппа, о которой тот докладывал на одном из математических собраний, сделал замечание, в двух словах передающее суть аксиоматического метода: «Следует добиться того, чтобы во всех геометрических утверждениях слова точка, прямая, плоскость можно было заменить словами стол, стул, кружка».
Греки представляли себе геометрию как дедуктивную науку, которая занимается чисто логическими выводами из небольшого количества заранее установленных аксиом. Этой программы придерживались как Евклид, так и Гильберт. Однако список аксиом Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон и его рассуждения не содержат логических пробелов. Евклид пытался дать описательное определение основных пространственных объектов и соотношений, участвующих в его аксиомах; Гильберт же отказался от такого подхода. Всё, что нам надо знать об этих основных понятиях, содержится в аксиомах. Аксиомы, каковы они есть, являются, по сути дела, их неявными (и по необходимости неполными) определениями. Евклид считал аксиомы очевидными, его интересовало реальное пространство физического мира. Однако в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истинность аксиом несущественны; они служат лишь предположениями, из которых выводятся логические следствия. В самом деле, существует много различных материальных интерпретаций основных понятий, для которых аксиомы становятся верными. Например, аксиомы Во всем этом Гильберт не был одинок, однако в его исполнении чувствуется рука мастера. Выдающейся фигурой среди его предшественников является М. Паш, который прошел длинный путь от Евклида, выявив скрытые аксиомы порядка и с методической ясностью построив дедуктивную систему проективной геометрии (1882 год). Другими из них были Ф. Шур из Германии и представители блистательной школы итальянских геометров (Пеано, Веронезе), которые также принялись за разработку этих вопросов. В выборе основных понятий Гильберт более консервативен, чем итальянцы: вполне сознательно он придерживается традиций Евклида с его тремя классами неопределяемых элементов точек, прямых, плоскостей и его отношениями инцидентности, порядка и конгруэнтности сегментов и углов. Это придает особую прелесть книге Гильберта, как будто вы глядите в лицо, хорошо знакомое и в то же время величественно преображенное.
Одно дело построить геометрию на прочном основании, и совсем другое исследовать логическую структуру построенного сооружения. Если я не ошибаюсь, Гильберт был первым, кто мог свободно переходить на этот более высокий, «метагеометрический» уровень; он систематически изучает взаимную независимость своих аксиом и устанавливает независимость некоторых из самых фундаментальных геометрических теорем от той или иной ограниченной группы аксиом. Его метод основан на построении моделей: показывается, что модель противоречит одной из аксиом и удовлетворяет требованиям всех остальных аксиом, из чего следует, что первая не может быть следствием остальных. Одним из выдающихся примеров этого метода, известным с давних пор, служит модель неевклидовой геометрии При построении своих моделей Гильберт демонстрирует поразительную по разнообразию изобретательность.
Самыми интересными примерами мне кажутся, Из чего строятся модели? Клейнова модель неевклидовой геометрии может пониматься как демонстрация того, что любой, кто признает евклидову геометрию с её точками, прямыми и т.п., может равным образом получить и неевклидову геометрию простой сменой терминологии. Сам Клейн предпочитал другую интерпретацию в терминах проективного пространства. Однако аналитическая геометрия Декарта давно предлагала более общий и удовлетворительный путь, безусловно известный Риману, Клейну и многим другим: всё, что нам нужно для наших конструкций, это поле вещественных чисел. Поэтому любое противоречие в евклидовой геометрии должно обязательно проявиться как противоречие в аксиомах арифметики, на которых основаны наши действия с вещественными числами. Никто до Гильберта так ясно этого не высказал. Он формулирует полный и простой список аксиом для вещественных чисел. Система арифметических аксиом обладает такими же заменяемыми частями, как и система геометрических аксиом. С чисто алгебраической точки зрения самыми важными аксиомами являются аксиомы (коммутативного или некоммутативного) поля. Любое такое абстрактное числовое поле может служить основой для построения соответствующих геометрий. Vice versa 16 можно определять числа и операции над ними, исходя из некоторого пространства, удовлетворяющего определенным аксиомам. Дезаргово Streckenrechnung 17, которым пользовался Гильберт, служило тому прекрасным примером. В общем случае этот обратный процесс намного сложнее. Чикагская школа Э. Г. Мура продолжила исследования Гильберта, а О. Веблен, в частности, много сделал для того, чтобы вскрыть полное соответствие между проективными пространствами, удовлетворяющими некоторым простым аксиомам инцидентности (без аксиом порядка), и абстрактно определяемыми числовыми полями 18.
Буквально, вопрос о независимости есть вопрос о доказательстве невозможности вывода одного утверждения из других. При этом объектом исследования становятся сами утверждения, а не те объекты, к которым они относятся; предварительно же мы тщательно анализируем логический механизм дедукции. Метод моделей представляет собой удивительный трюк, позволяющий избавиться от такого рода логических исследований. Однако за этот отход от основной проблемы приходится дорого платить: мы сводим всё к вопросу непротиворечивости арифметических аксиом, который остается открытым. Аналогичным образом утверждение о полноте, буквально означающее, что каждое общее утверждение об объектах, участвующих в аксиомах, может быть выведено из них, заменяется на категоричность (по Веблену). Последнее означает, что любая возможная модель изоморфна Подход к основаниям геометрии, совершенно отличный от того, который был изложен в его книге, был предложен Гильбертом в одной работе, являющейся одним из самых ранних документов теоретико-множественной топологии. С точки зрения механики главной задачей для геометрии является возможность описания движения твердого тела. Такова была точка зрения Гельмгольца, охарактеризовавшего группы движения евклидова пространства с помощью нескольких простых аксиом. Эту проблему продолжал разрабатывать и Софус Ли в связи со своей общей теорией непрерывных групп. Теория Ли зависит от некоторых предположений дифференцируемости; в одной из своих Парижских проблем Гильберт предложил избавиться от них. В упомянутой работе ему это удалось в случае проблемы Гельмгольца для плоскости. Доказательство трудное и утомительное; вполне естественно, что теперь условие непрерывности кладётся в основу определения и не играет той решающей роли, как это было в его «Основаниях». Другие авторы, Р. Л. Мур, Н. Дж. Леннес, В. Зюс, Б. фон Керекьярто, значительно разработали проблему, следуя этим топологическим соображениям. Быть может, будет интересно добавить немного личных воспоминаний. Гильберт определяет двумерное многообразие с помощью окрестностей, требуя выделения некоторого класса «допустимых» взаимно однозначных отображений каждой окрестности на некоторую жорданову область в декартовой плоскости, связанных друг с другом непрерывными преобразованиями. Когда в 1912 году я читал в Гёттингене курс по римановым поверхностям, я обратился к работе Гильберта и заметил, что сами эти окрестности могут служить определением этого класса отображений. Окончательное определение было дано затем Ф. Хаусдорфом; аксиомы Хаусдорфа определили лицо топологии 19. (Однако, когда нам приходится определять дифференцируемое многообразие, мы до сего дня придерживаемся косвенного определения Гильберта; ср. О.Веблен и А.Н.Уайтхед, Основания дифференциальной геометрии, Фундаментальный вопрос об абсолютном доказательстве непротиворечивости аксиом, который должен был лечь в основу всего математического анализа и даже канторовской теории множеств во всей её безумной общности, постоянно находился в воображении Гильберта, о чем свидетельствует его доклад на международном конгрессе в Гейдельберге 1904 году. Из него видно, что он уже был на этом пути, хотя и далеко от цели. Затем наступило время, когда его всецело захватили интегральные уравнения, а позже физика. Спустя некоторое время, в 1917 году, послышался его громкий голос о старой проблеме в цюрихской речи Axiomatisches Denken 20. К тому времени трудности, связанные с основаниями математики, достигли критического состояния и положение дел взывало о помощи. Под влиянием неотразимых парадоксов в теории множеств Дедекинд и Фреге отказались от своей работы по природе чисел и арифметических утверждений: Бертран Рассел указал на иерархию типов, которые, не будучи «ограничены» грубой силой, подрывали арифметическую теорию континуума. Наконец, Л. Э. Я. Брауэр своим интуиционизмом открыл нам глаза и заставил увидеть, насколько общепринятая математика идет дальше таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на очевидности. Мне жаль, что в своей оппозиции Брауэру Гильберт никогда открыто не признал того большого долга, который он, равно как и другие математики, имел перед Брауэром за это открытие.
Гильберт не хотел приносить тяжелые жертвы, которых требовала точка зрения Брауэра. Он увидел, по крайней мере в общих чертах, тот путь, который позволит избежать этого жестокого увечья. В то же время он был обеспокоен признаками колебания в среде математиков, ряд которых открыто встал на сторону Брауэра. Моя собственная статья о Grundlagenkrise 21 в Math. Z. 10 (1921), написанная в первые беспокойные послевоенные годы в Европе, характерна для тех настроений. В результате всего этого Гильберт всерьёз возвращается к проблемам оснований. Он уверен, что абсолютная строгость может быть восстановлена без «совершения предательства нашей науки». В его голосе, произносящем «die Grundlagenfragen einfürallemal aus der Welt zn schaffen» 22, слышится гнев и решимость. «Запретить математику использовать принцип исключенного третьего, говорит он, всё равно что запретить астроному пользоваться телескопом или боксеру кулаками». Гильберт сознавал, что сами математические утверждения не могут стать объектами математического исследования, предназначенного доказать их непротиворечивость в первоначальном смысле, пока они не будут сведены к простым формулам. Алгебраические формулы типа Но как можно убедиться в том, что «дедуктивная игра» никогда не приведет к противоречию? Не придется ли нам это доказывать с помощью дедукции из аксиом, т.е. тем же математическим методом, справедливость которого мы подвергаем сомнению? Ясно, что это привело бы к регрессу По-видимому, стоит кратко объяснить, каким образом формализм Гильберта позволяет восстановить принцип исключенного третьего, служивший главным объектом критики Брауэра. Рассмотрим бесконечную последовательность чисел 0, 1, либо Принимая его, мы сможем найти некоторого «представителя» r для свойства A, т.е. такое число, что для любого числа b При этом не обязательно выбирать представителя однозначным способом; наше конкретное правило действует лишь в случае, когда x пробегает множество чисел 0, 1, В формализме пропозициональные функции заменяются формулами, обращение с которыми должно быть описано без ссылок на их значение. В общем случае переменные x, Здесь A(b) обозначает формулу, полученную из A подстановкой всей формулы b на место переменной x всюду, где она входит свободно.
Таким образом, в соответствии с определенными правилами формулы могут быть получены как аксиомы. Дедукция основывается на правиле силлогизма: из двух формул a и Каким образом предлагает Гильберт убедиться в том, что дедуктивная игра никогда не приведет к формуле Предположим, кроме того, что формулы Теперь мы видим, как нужно выбирать r: если мы последовательно просматриваем конечные формулы Немного более сложным, будет случай, когда мы разрешим, чтобы формулы Такая редукция вполне пригодна, если только Однако это только самые первые трудности, которые нас ожидают. Кванторы ρx , Символизм для формализации математики, а также общий подход и первые попытки доказательства непротиворечивости принадлежат Гильберту. Своей дальнейшей разработкой эта программа обязана его молодым сотрудникам П. Бернайсу, В. Аккерману и Дж. фон Нейману. Последние два доказали непротиворечивость «арифметики», вернее, той её части, которая ещё обходится без опасной аксиомы о превращении предикатов в множества. Одно время казалось, что этот пробел незначителен, и уже разрабатывались подробные планы для проникновения в анализ. Затем произошла катастрофа: допуская, что непротиворечивость уже установлена, К. Гёдель указал способ построения арифметических утверждений, истинность которых очевидна, но которые тем не менее не выводятся в рамках формализма. Его метод применим как к гильбертову, так и к любому другому, не слишком ограничительному формализму. Из двух совокупностей, первая из которых состоит из всех формул, получаемых в формализме Гильберта, а вторая из всех реальных утверждений, истинность которых очевидна, ни одна не содержит другую (при условии, что непротиворечивость формализма может быть установлена). Очевидно, что вопрос о полноте формализма в том абсолютном смысле, в котором его видел Гильберт, был тем самым снят. Когда позже Г. Генцен восполнил пробел в доказательстве непротиворечивости арифметики, существенность которого была обнаружена открытием Гёделя, ему пришлось это сделать с помощью значительного снижения требований Гильберта к очевидности 26. Границы того, что заслуживало доверия с интуитивной точки зрения, вновь стали неопределенными. Так как защита В таком положении эта проблема находится в настоящее время; никакого окончательного решения не видно. Но независимо от того, что принесет будущее, нет никакого сомнения в том, что Брауэр и Гильберт подняли проблему оснований математики на новый уровень. О возвращении на позиции Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда не может быть и речи.
Гильберт поборник аксиоматического метода. Он.считал, что этот метод имеет универсальное значение не только в математике, но и во всех науках. Его исследования в области физики пронизаны аксиоматическим духом. В своих лекциях он любил иллюстрировать этот метод примерами из биологии, экономики Современная эпистемологическая интерпретация науки испытала большое влияние его идей. Временами, когда он восхвалял аксиоматический метод, казалось, будто он хочет сказать, что этот метод полностью вытеснит конструктивный или генетический метод. Я уверен, что, по крайней мере в поздние его годы, это не было его настоящим мнением. Хотя исходные математические объекты он вводит с помощью аксиом своей символической системы, формулы строятся им в самом явном и конечном виде. В последнее время аксиоматический метод распространился на все ветви математического дерева. Одна из них, алгебра, насквозь пронизана аксиоматическим духом. Аксиомы играют здесь, можно сказать, служебную роль, являясь средством для определения области изменения переменных, участвующих в явных конструкциях. Однако нетрудно представлять себе картину и Между двумя периодами, в течение которых усилия Гильберта были направлены на основания, сперва геометрии, а затем всей математики в целом, лежат двадцать долгих лет, посвящённых анализу и физике.
Зимой 19001901 года шведский математик Э. Хольмгрен докладывал на семинаре Гильберта о первых работах Фредгольма по интегральным уравнениям, и, Тем не менее надо отметить, что простота результатов Фредгольма обязана специальному виду его уравнения, на который трудно было бы напасть, если бы он не руководствовался проблемами математической физики, к которым он его применил: Здесь линейный оператор, стоящий в левой части, действует на неизвестную функцию x и принимает данное значение f , Однородное уравнение Неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда заданная функция f удовлетворяет h линейным уравнениям Используя один искусственный приём Пуанкаре, Фредгольм вводит параметр λ, заменяя K на λK, и получает решение в знакомом из линейной алгебры виде, т.е. как отношение двух определителей типа X. фон Коха, каждый из которых является целой функцией λ.
Гильберт увидел две вещи:
Если другие и понимали это, то Гильберт, по крайней мере, осознал это настолько чётко, что направил всю свою энергию на доказательство этого предложения. И это ему удалось сделать с помощью такого же прямого метода, который около 1730 года применил Бернулли к задаче о колебании струны: переход к пределу, исходя из алгебраической задачи. При этом ему пришлось использовать определитель КохаФредгольма. Он находит последовательность собственных значений λ1, таких, что
λn где
Из этой теории следует, что каждая функция вида может быть разложена в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям φn: Предельный переход, который применил Гильберт, довольно сложный. Вскоре после этого Э. Шмидт в своей гёттингенской диссертации нашёл более простое и конструктивное доказательство этих результатов. При этом он применил один метод Г. А. Шварца, изобретённый тем двадцать лет назад для нужд интегральных уравнений.
От конечных форм дорога ведёт либо к интегралам, либо к бесконечным рядам. Поэтому Гильберт рассмотрел аналогичную проблему ортогональных преобразований заданной квадратичной формы в форму специального вида от бесконечного числа (действительных) переменных они образуют то, что мы сейчас называем гильбертовым пространством. Преимущество этого гильбертова пространства перед «пространством» всех непрерывных функций Как подсказывает теорема об интегральной квадратичной форме, связь между пространством функций Неравенство Бесселя утверждает, что сумма квадратов коэффициентов Фурье xn не превосходит интеграла от квадрата функции Гильберт решает этот вопрос, составляя равномерно сходящийся ряд который представляет на самом деле непрерывную функцию И таким образом он получает собственную функцию для Быть может, самым великим достижением Гильберта в области интегральных уравнений является его обобщение теории спектрального разложения с вполне непрерывных на так называемые ограниченные квадратичные формы. Он находит, что в этом случае спектр будет содержать точки накопления и, кроме того, будет присутствовать и непрерывная часть. И снова Гильберт использует непосредственный переход к пределу, увеличивая число переменных ad infinitum 27. И как прежде, вскоре после этого были найдены простые доказательства его результатов.
Расширяя таким образом границы этой общей теории, он не упускает из виду обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, которые дали ей начало. Одновременно с молодым итальянским математиком Эудженио Элиа Леви он развил метод параметрикса, перебрасывающий мост между дифференциальными и интегральными уравнениями. Для заданного эллиптического дифференциального оператора второго порядка Δ* параметрикс сводится к интегральному уравнению Сказанного вполне достаточно, чтобы стало ясным, что на территории анализа была открыта золотая жила, которая сравнительно легко поддавалась разработке и которая не скоро должна была истощиться. Линейные уравнения с бесконечным числом неизвестных явились предметом дальнейших исследований (Э. Шмидт, Ф. Рисс, О. Тёплиц, Э. Хеллингер и другие); непрерывный спектр и его появление в интегральных уравнениях с «особыми» ядрами требовали более тщательного анализа (Э. Хеллингер, Т. Карлеман); на обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка с регулярными и особыми граничными условиями также обратили должное внимание (А. Кнезер, Э. Хильб, Дж. Д. Биркгоф, М. Бохер, Я. Д. Тамаркин и многие другие) 28. Стало возможным установить асимптотические законы распределения собственных значений, что было важно для вопросов термодинамики излучения (Г. Вейль, Р. Курант). Разложения по ортогональным функциям изучались независимо от их применений к дифференциальным и интегральным уравнениям. Замечательны приложения интегральных уравнений вне тех областей, для которых они были изобретены. Среди них я упомяну следующие три:
Проблема Римана определения n аналитических функций Доказательство полноты неприводимых представлений компактной непрерывной группы. Оно является необходимым средством для подхода к общей теории инвариантов на основе метода усреднения Гурвица, а уточнение и обобщение этого метода играет важную роль в современных теоретико-групповых исследованиях, включая разработанную Г. Бором теорию почти периодических функций 29. Таким образом, здесь мы снова встречаемся со старым другом Гильберта теорией инвариантов. Совсем недавно гильбертов метод параметрикса помог установить центральную теорему существования в разработанной У. В. Д. Ходжем теории гармонических интегралов на компактных римановых пространствах 30. Рассказ получился бы достаточно драматичным, даже если бы мы остановились на этом месте. Однако спустя некоторое время произошло удивительное событие: спектральная теория в гильбертовом пространстве оказалась подходящим математическим аппаратом для новой квантовой физики, начало которой было положено Гейзенбергом и Шрёдингером в 1925 году. Это последнее развитие привело к пересмотру всего предмета в целом при помощи более тонких средств (Дж. фон Нейман, А. Винтнер, М. Г. Стоун, К. Фридрихс). Так как Дж. фон Нейман был сотрудником Гильберта в период окончания той эпохи, когда его интересы делились между квантовой физикой и основаниями, историческая связь с собственными достижениями Гильберта не прекращается даже в этой последней фазе развития. Обзор того, что стало с теорией абстрактных пространств и линейных операторов в наше время, лежит вне рамок настоящей статьи.
Картина «аналитического периода» Гильберта будет неполной, если мы не упомянем второй мотив, вариационное исчисление, который пересёкся с его доминирующим интересом интегральными уравнениями. «Теорема о независимости», которой он окончил свой парижский обзор математических проблем (1900), внесла важный вклад в формальный аппарат этого исчисления. Но гораздо более важную роль сыграл его смелый и решительный подход к проблемам функциональных максимумов и минимумов. Весь хорошо отработанный аппарат вариационного исчисления здесь был сознательно отброшен в сторону. Вместо него он предложил строить минимизирующую функцию как предел последовательности функций, для которых значение рассматриваемого интеграла стремится к своему минимуму. Классический пример даёт интеграл Дирихле в двумерной области ∂x ∂y Допустимыми здесь являются все функции u с непрерывными производными, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Пусть d нижняя грань значений открытому С. Зарембой, последнего можно и не делать. Метод Гильберта ещё лучше приспособлен для задач, в которых граница области не имеет столь большого значения, как в краевой задаче. После небольшого видоизменения его можно применять к случаю точечных особенностей, и таким образом Гильберт решает фундаментальную проблему для потоков на римановых поверхностях. Это позволяет получить необходимую основу для подхода самого Римана к теории абелевых интегралов, а также показывает, что таким же образом можно получить фундаментальные теоремы Пуанкаре и Кёбе об униформизации. Насколько бы далеко мы продвинулись в теории чисел, если бы располагали столь же мощными методами для конструкции абелевых и произвольных расширений Галуа полей алгебраических чисел, какими оказались трансцендентные методы РиманаГильберта в применении к аналогичным проблемам в полях алгебраических функций! Широкие их приложения к теории конформных отображений и минимальных поверхностей были открыты работами Рихарда Куранта человека, много лет являвшегося главным сотрудником Гильберта во всех математических делах в Гёттингене 31. Также значительным, но не таким непосредственным является влияние идей Гильберта на целое направление в современном развитии вариационного исчисления; в Европе среди многих других можно упомянуть имена Каратеодори, Лебега, Тонелли, в Америке цепочка тянется от О. Больца до совсем недавней работы М. Морса. Ещё до смерти Минковского, в 1909 году, Гильберт начал систематическое изучение теоретической физики в тесном сотрудничестве со своим старым другом, который всегда находился в курсе достижений соседней науки. Работа Минковского по теории относительности стала первым плодом этих совместных занятий. Гильберт продолжал их в течение многих лет и в период между 1910 и 1930 годами часто читал лекции и вёл семинары на физические темы. Он с большой радостью расширял свой кругозор и свой контакт с физиками, с которыми он мог встречаться на их собственной территории. Тем не менее урожай, собранный им на этой почве, вряд ли может сравниться с его достижениями в чистой математике. Многообразие экспериментальных фактов, которые приходится принимать во внимание физику, является огромным, их увеличение происходит слишком быстро, а их значение и относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический метод смог найти здесь себе достаточно твёрдую опору, разве что это возможно в каких-нибудь прочно установившихся областях нашей физической науки. Люди, подобные Эйнштейну или Нильсу Бору, в темноте прокладывают свой путь к своим концепциям об общей теории относительности или структуре атома, руководствуясь опытом и воображением, отличными от тех, которыми пользуются математики, хотя, без сомнения, и для них математика играет важную роль. В результате, обширным планам Гильберта в области физики так и не суждено было свершиться.
Однако применение им интегральных уравнений к кинетической теории газов и элементарной теории излучения представляет собой значительное достижение. В частности, его асимптотическое решение фундаментального уравнения МаксвеллаБольцмана в кинетической теории газов, интегрального уравнения второго порядка, чётко разделило два слоя экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория. Более подробно это решение было рассмотрено физиками, которые применили его к ряду конкретных проблем. В своих исследованиях по общей теории относительности Гильберт соединил теорию гравитации Эйнштейна с программой единой теории поля Г. Ми. Более трезвый подход Эйнштейна, не связанный с весьма спекулятивной программой Ми, оказался более полезным. Работа Гильберта может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и электромагнетизма. Однако в гамильтониане Гильберта остаётся ещё слишком много произвольности; последующие попытки избавиться от неё (Вейль, Эддингтон, сам Эйнштейн и другие) не достигли окончательной цели.
В то время в кружке Гильберта царило очень радужное настроение; мечта о некотором универсальном законе, управляющем как космосом в целом, так и всеми атомными ядрами, казалась почти воплощённой. Однако проблема создания единой теории поля остается нерешённой и поныне; почти наверняка, помимо гравитации и электромагнетизма, удовлетворительное решение должно будет включать и материальные волны (функцию Ψ ШрёдингераДирака для электрона и аналогичные характеристики поля для других ядерных частиц), а математическое оформление теории не ограничится простым обобщением ставшей уже классической теории гравитации Эйнштейна.
Гильберт был не только великим учёным, но и великим учителем. Свидетелями этого являются его многочисленные ученики и ассистенты, которых он учил математическому ремеслу, вовлекая их в свою собственную работу, в изобилии делясь своими идеями, а также с помощью своих лекций, многие записи которых нашли свою дорогу из Гёттингена в публичные и личные математические библиотеки. Эти лекции охватывают чрезвычайно разнообразные разделы математики. Опубликованная в соавторстве с Hermann Weyl, David Hilbert and His Mathematical Work, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 612654; Bol. Soc. Mat. São Paolo 1 (1946), 76104; 2 (1947), 3760. назад к тексту Пример конечной группы используется здесь только как иллюстрация. На самом деле непосредственное элементарное доказательство первой основной теоремы для конечной группы, не использующее теорему (А) Гильберта, было дано Э.Нётер (E.Noether), Math. Ann. 77 (1910), 89. Деля на N, мы предполагаем, что характеристика поля k равна 0. Прим. авт. назад к тексту Теорема о нулях (нем.). Прим. ред. назад к тексту Книга Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра», т. 2, (Гостехиздат, 1947) даёт на стр. 787 прекрасное изложение затронутых здесь общих алгебраических понятий и фактов (см. также новое издание этой книги: Я рекомендую вниманию читателя краткое резюме его работы по теории инвариантов, которое было написано самим Гильбертом для Международного математического конгресса в Чикаго в связи с Международной выставкой в 1893 году; Собрание трудов, т. 2, п. 23. Прим. авт. назад к тексту Тем самым (лат.). Прим. ред. назад к тексту Эталон меры (нем.). Прим. ред. назад к тексту O.Veblen, Trans. Amer. Math. Soc. 7 (1906), 197199; E.Artin, O.Schreier, Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 5 (1926), 8599; E.Artin, там же, 100115. Прим. авт. назад к тексту Общество немецких математиков (нем.). Прим. ред. назад к тексту Ежегодник (нем.). Прим. ред. назад к тексту Теорема (нем.). Прим. ред. назад к тексту Последний обзор этой теории содержится в работе Шевалле (C.Chevalley), La théorie du corps de classes, Ann. of Math. 41 (1940), 394418. Прим. авт. назад к тексту В бесконечных (вещественных) точках единицами считаются положительные числа. Прим. авт. назад к тексту Мечта юности (нем.). Прим. ред. назад к тексту R.Fueter, Singuläre Moduln und complexe Multiplication, Bd. 2, Leipzig, 1924, 1927; см. также H.Hasse, J. reine angew. Math. 157 (1927), 115139; O.Blumenthal, Math. Ann. 56 (1903), 509548, 58 (1904), 497527; E.Hecke, Math. Ann. 71 (1912), 137, 74 (1913), 465510. Прим. авт. назад к тексту Здесь достаточно сослаться на первую работу из этой серии: G.H.Hardy, J.E.Littlewood, Quart. J. Math. 48 (1919), 272293, а также последнюю продолжающую её работу, в которой теорема Варинга обобщается на произвольные алгебраические поля: Зигель (C.L.Siegel), Amer. J. Math. 66 (1944), 122136. Прим. авт. назад к тексту Наоборот (лат.). Прим. ред. назад к тексту Исчисление отрезков (нем.). Прим. ред. назад к тексту Среди более поздних достижений в этих вопросах я упомяну работу: Шван (W.Schwan), Streckenrechnung und Gruppentheorie, Math. Z. 3 (1919), 1128. Полная библиография работ по аксиоматике геометрии после Гильберта заняла бы, Параллельное развитие, во главе которого стоял Э. Г. Мур, происходило в Америке. Так как мне приходится писать главным образом по памяти, мой рассказ неизбежно окрашивается местными гёттингенскими традициями. Прим. авт. назад к тексту Аксиоматическое мышление (нем.). Прим. ред. назад к тексту Кризис оснований (нем.). Прим. ред. назад к тексту Избавиться от вопросов оснований раз и навсегда (нем.). Прим. ред. назад к тексту До бесконечности (лат.). Прим. ред. назад к тексту Теория доказательства (нем.). Прим. ред. назад к тексту Если мы хотим во всём дальнейшем буквально понимать правило «ρx связывает x», мы должны a В этом случае формулы выглядели бы как генеалогические деревья. Прим. авт. назад к тексту G.Gentzen, Math. Ann. 112 (1936), 493565. [Русский перевод: Г.Генцен, Непротиворечивость чистой теории чисел, сб. «Математическая теория логического вывода», М., «Наука», 1967, 77153.] Прим. авт. назад к тексту До бесконечности (лат.). Прим. ред. назад к тексту По поводу более поздних работ, затрагивающих также системы дифференциальных уравнений, см. Шур (Axel Schur), Math. Ann. 82 (1921), 213239; Блисс (G.A.Вliss), Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926), 561584; Рид (W.T.Reid), там же 44 (1938), 508521. Прим. авт. назад к тексту Вейль, Петер (H.Weyl, F.Peter), Math. Ann. 97 (1927), 737755; Хаар (A.Haar), Ann. Math. 34 (1933), 147169; фон Нейман (J.von Neumann), Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 445492. [См. также Л.С.Понтрягин, Непрерывные группы, Xодж (W.V.D.Hodge), The theory and applications of harmonic integrals, Cambridge, 1941; Вейль (H.Weyl), Ann. Math. 44 (1943), 16. Прим. авт. назад к тексту R.Courant, Dirichlet's principle, conformal mapping, and minimal surfaces, Interscience Publishers Inc., New York, 1950 (русский перевод: Р.Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, М., ИЛ, 1953). Прим. авт. назад к тексту
1)
2)
3)
АКСИОМАТИКА
A(b) → A(ρx A(x)).
(8)
A(b) → A(ρx A).
(9)
A(b1) → A(ρxA), ..., A(bh) → A(ρxA).
(10)
A(b1) → A(r), ..., A(bh) → A(r).
(11)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1
x(s)
∫
K(s, t) x(t) dt = f (s) (0 ≤ s ≤ 1).
0
1)
2)
1
∫
f (s) ψi(s) ds = 0 (i = 1, ..., h).
0
1 1
φn(s) λn
∫
K(s, t) φn(t) dt = 0,
∫
φm(s) φn(s) ds = δmn,
0 0
1 1
∫
∫
K(s, t) x(s) x(t) ds dt =
∑
ξn2
,
0 0
1
ξn =
∫
x(s) φn(s) ds коэффициент Фурье.
0
1
y(s) =
∫
K(s, t) x(t) dt
0
1
y(s) =
∑
η nφn(s), η n =
∫
y(s) φn(s) ds.
n 0
∑
Kmn xm xn
m, n (13)
c1ξ12 + c2ξ22 + ... (cn = 1/λn → 0)
(14)
1
xn =
∫
x(s) un(s) ds.
0
xn = λ
∑
Kmn xm,
m
1
λ
∑
xm
∫
K(s, t) um(t) dt,
m 0
λ
∑
Kmn xm = xn.
m
u = Kρ, u(s) =
∫
K(s, t) ρ(t) dt
(1)
(2)
(3)
D [u] =
∫ ∫
{(
∂u
)
2
+
(
∂u
)
2
}
dx dy.
G
√
D [um un]
≤
√
D [um] d
+
√
D [un] d
,
ФИЗИКА
* 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. → { b . 26. 27. 28. 29. 30. 31.