Делимость

Целое число a делится на целое число b,
если существует такое целое число k,
что a = kb.

 
201.  

а) К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

б) К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
 

202.  

Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно делится на 24?
 

203.  

Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу.
 

205.  

Замените звёздочки в записи числа 72*3* цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45.
 

206.  

В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?
 

207.  

а) Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.
б) Решите ребус АБ - БА = А.
 

208.  

Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого целого числа, то разность исходного и нового чисел будет делиться на 9?
 

209.  

Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется после умножения ни на 2, ни на 3,..., ни на 8, ни на 9.
 

210.  

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528?
 

211.  

Сколько цифр в числе 11...11, если оно делится без остатка на 999 999 999?
 

212.  

В числе переставили цифры и получили число, в 3 раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делится на 27.
 

213.  

К числу прибавили сумму его цифр. К полученному числу прибавили сумму его цифр, и так далее. Когда в седьмой раз к числу прибавили сумму его цифр, получили 1000. С какого числа начали?
 

214.  

а) Незнайка перемножил все числа от 1 до 100. Посчитал сумму цифр произведения. У полученного числа он снова посчитал сумму цифр, и так далее. В конце концов Незнайка получил однозначное число. Какое?
 

б) У каждого из чисел от 1 до 1 000 000 000 подсчитали сумму его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитали сумму цифр, и так до тех пор, пока не получили миллиард однозначных чисел. Каких чисел получили больше всего?

 
215.  

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске?
 

216.  

Петя заменил в примере на умножение одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными: АБ · ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он ошибся.
 

217.  

а) Докажите, что числа вида aa, abcabc, abcdeabcde делятся на 11. (И вообще, докажите, что если к произвольному числу, в котором нечётное количество цифр, приписать его же, то получим число, делящееся на 11.)
б) Если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то полученное число без остатка разделится на 11: например, числа вида aa, abba, abccba кратны 11. Докажите это.