Избранные задачи домашних олимпиад

295.  

Замените буквы в слове ТРАНСПОРТИРОВКА цифрами (разные буквы — разными цифрами, одинаковые — одинаковыми) так, чтобы выполнялись неравенства


296.  

Разрежьте фигуру на 9 конгруэнтных (то есть равных и по форме, и по площади) частей.

Указание   Подсказка Ответ

297.  

Каждый зритель, пришедший на спектакль «Королевский жираф», принёс с собой либо одну дохлую кошку, либо два кочана гнилой капусты, либо три тухлых яйца. Стоявший у входа Гекльберри Финн подсчитал, что кошек было 64 штуки. После спектакля оба артиста — король и герцог — были с ног до головы закиданы припасами, причём на долю каждого досталось поровну предметов (а промахов жители Арканзаса не делают). Правда, король принял на себя лишь пятую часть всех яиц и седьмую часть капусты, но все дохлые кошки полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?
Ответ   Указание   Решение

298.  

В каждой клетке доски 4×4 лежит слива. Уберите 6 слив так, чтобы в каждом горизонтальном, равно как и в каждом вертикальном ряду осталось чётное число слив.
 

299.  

Решите ребус: А + АБ + АБВ = БВБ.
 

300.  

а) На доске размером 6×6 расставьте 8 ферзей так, чтобы каждый из них бил ровно одного ферзя.
Ответ
б) Можно ли так расставить 9 ферзей?
Ответ   Решение

301.  

В трамвае ехали 60 человек: контролёры, кондукторы, лжекондукторы (граждане, выдававшие себя за кондукторов), лжеконтролёры (граждане, выдававшие себя за контролёров), и, возможно, обычные пассажиры. Общее количество лжеконтролёров и лжекондукторов в 4 раза меньше числа настоящих кондукторов и контролёров. Общее число контролёров и лжеконтролёров в 7 раз больше общего числа кондукторов и лжекондукторов. Сколько в трамвае было обычных пассажиров?
Ответ   Решение

302.  

Расставьте в кружочках числа 1, 2, 3,..., 8 так, чтобы ни в каких двух соединённых отрезком кружочках не оказались бы соседние (то есть отличающиеся на 1) натуральные числа.


 

303.  

Для постройки дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. Количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в исходном проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей, на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)
Ответ   Решение

304.  

В озере плавает яблоко: 2/3 его под водой и 1/3 над водой. К нему подплывает рыбка и подлетает птичка, которые одновременно начинают кушать, причём птичка в два раза быстрее, чем рыбка. Какую часть яблока скушает птичка и какую — рыбка?
 

305.  

Пять братьев делили наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Поскольку дома пилить нельзя, их взяли три старших брата, а меньшим выделили деньги: каждый из трёх старших братьев заплатил по 800 рублей, а меньшие братья разделили эти деньги между собой. Сколько стоил один дом?
 

306.  

Фигура на рисунке составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего, если сторона самого маленького равна 1.
 

307.  

Хозяин обещал работнику за 30 дней 9 рублей и кафтан. Через три дня работник уволился и получил кафтан. Сколько стоил кафтан?
Ответ   Решение

308.  

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?
 

309.  

В скачках участвуют три лошади. Игрок может поставить некоторые (не обязательно одинаковые) суммы денег на каждую из них. Ставку на первую лошадь принимают в отношении 1 : 4. Это означает, что если первой прибежит первая лошадь, то игрок теряет деньги, поставленные на вторую и третью, но ему возвращают деньги, поставленные на первую, и ещё четыре раза по столько же. На вторую лошадь ставки принимают в отношении 1 : 3, а на третью — 1 : 1. Можно ли поставить деньги так, чтобы выиграть при любом исходе скачек? (Разумеется, считайте, что хотя бы одна лошадь прибегает первой: ситуация, когда ни одна из лошадей не достигает финиша, очевидно проигрышная для игрока и поэтому её не надо рассматривать.)
Ответ   Решение

310.  

Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника?
Ответ   Указание I   Указание II   Решение

311.  

а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
б) Из шахматной доски выпилено угловое поле. Может ли конь обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на исходное поле?
в) Может ли конь пройти из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?
 

312.  

Крест составлен из пяти равных квадратов. Разрежьте его на такие части, из которых можно (без дыр и перекрытий) составить квадрат.
 

313.  

Если от некоторого двузначного числа отнять 2, то результат разделится нацело на 3, а если отнять не 2, а 3, то разделится не на 3, а на 2. Если к этому числу прибавить 4, то результат разделится нацело на 5, а если от него отнять 5, то разделится на 4. Более того, если от этого числа отнять 5, то разделится нацело на 6, а если же от нашего числа отнять 6, то разделится на 5. И это ещё не всё: если к этому замечательному числу прибавить 7, то результат разделится на 8, а если прибавить 8, то разделится на 7. Что же это за число?
 

314.  

Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.
Намёк   Указание   Ответ

315.  

а) Когда комиссия приехала в больницу, там находились 3 врача и 1996 пациентов. Комиссия попросила каждого указать двух врачей. Каждый врач назвал двух других врачей, а пациенты называли кого угодно. Докажите, что комиссия смогла выявить хотя бы одного пациента.
Подсказка   Решение
б) В Конторе работают 200 психически здоровых и 1999 сумасшедших сотрудников. Однажды каждый сотрудник написал докладную записку, в которой перечислил 1999 своих коллег, по его мнению, сумасшедших. Каждый психически здоровый сотрудник верно указал всех сумасшедших, а каждый сумасшедший мог указать на кого угодно, кроме себя. Докажите, что на основании этих данных можно выявить по крайней мере 199 сумасшедших.
Указание   Решение

316.  

По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на 1/5?
 

317.  

В одной из трёх комнат сидит принцесса, в другой — тигр, а в третьей нет никого. На двери левой комнаты написано: «Тигр в правой комнате», на двери средней: «Левая комната пуста», на двери правой: «Принцесса в средней комнате». Известно, что надпись на двери комнаты, где сидит принцесса, истинна, надпись на двери комнаты, где сидит тигр — ложна, а надпись на двери пустой комнаты может быть как истинной, так и ложной. Где сидит принцесса, а где — тигр?
 

318.  

Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на а) четыре; б) пять одинаковых частей. (Резать можно не только по сторонам и диагоналям клеток.)

а) Первый способ   Второй способ   б) Ответ

319.  

Представьте число 203 в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 203.
Указание   Ответ

320.  

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 26?
Ответ   Указание

321.  

У Тани и Димы денег поровну. Какую часть своих денег должна Таня отдать Диме, чтобы у неё стало в два раза меньше денег, чем у него?
Ответ

322.  

Несколько учащихся ушли из лицея и несколько пришли. В результате число учащихся уменьшилось на 10%, а доля мальчиков в лицее увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось число мальчиков?
Ответ   Указание

323.  

Сумма двух натуральных чисел равна 474. Одно из них оканчивается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.
Ответ

324.  

а) Закрасьте несколько клеток квадрата 4×4 так, чтобы любая закрашенная клетка имела общую сторону ровно с трем незакрашенными, а любая незакрашенная — ровно с одной закрашенной.
Ответ
б) Раскрасьте клетки квадрата 4×4 так, чтобы для любой клетки ровно одна соседняя с ней по стороне клетка была противоположного цвета.
Ответ

325.  

В полдень самолёт вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14 часов местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 6 часов утра. Сколько времени длился полёт?
 

326.  

Найдите величину угла между минутной и часовой стрелками часов в 9 часов 20 минут.
 

327.  

За 11 тугриков дают 14 динаров, за 22 рупии — 21 динар, за 5 крон — 2 талера, а за 10 рупий — 3 талера. Сколько тугриков можно выручить за 13 крон?
Ответ   Указание

328.  

Покрасьте клетки доски 5×5 в пять цветов так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждом выделенном блоке все цвета встречались бы по одному разу.
 

329.  

Какое четырёхзначное число в 83 раза больше своей суммы цифр?
 

330.  

Числа 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512 расставьте в клетках таблицы 3×3 так, чтобы произведения по всем вертикалям, горизонталям и обеим главным диагоналям были равны.
 

331.  

В одной куче 18 конфет, в другой — 23. Двое по очереди съедают одну из куч, а другую делят на две кучи. Кто не может поделить (если в куче одна конфета), проигрывает. Есть ли у начинающего выигрышная стратегия?
 

332.  

Поля клетчатой доски размером 8×8 будем по очереди закрашивать так, чтобы после окраски каждой очередной клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно закрасить 28 клеток, соблюдая это условие. (В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.)
Ответ   Комментарий

333.  

Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб кроме центрального кубика (именно там, в центральном кубике, спрятан крючок мышеловки)? А если бы куб имел размеры 333×333×333?