Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища, туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост её весит 1 кг. Сколько весит рыба?

Ответ   Указание   Решение

Ответ. 8 килограммов.

Указание. Обозначьте буквой x массу головы рыбы.

Решение. Пусть голова рыбы весит x килограммов. Тогда половина туловища весит x – 1 килограммов, а всё туловище весит 2x – 2 килограммов. Следовательно, 2x – 2 = x + 1, откуда x = 3. Следовательно, голова весит 3 кмлограмма, туловище — 4 килограмма, хвост — 1 килограмм.

Ученик должен был разделить число на 2 и к результату прибавить 3, а он, по ошибке, умножил число на 2 и от полученного частного отнял 3. Ответ всё равно получился правильный. Какой?

Уравнение   Ответ

Уравнение. Если 2x — начальное число, то x + 3 = 2 · 2x – 3.

Ответ. 5.

Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить прошу я Вас, сапфир ценнее иль топаз?

Ответ   Решение

Ответ. Сапфир и топаз одинаково ценны.

Решение. Обозначим буквами s, t и i, соответственно, цены сапфира, топаза и изумруда. По условию s + 2t = 3i и 7s + t = 8i. Домножая первое из этих уравнений на 8, а второе на 3, получаем 8s + 16t = 24i и 21s + 3t = 24i. Таким образом, 8s + 16t = 21s + 3t, откуда 13t = 13s, то есть t = s. Топаз и сапфир одинаково ценны.

Четверо товарищей покупают лодку. Первый вносит половину суммы, вносимой остальными; второй — треть суммы, вносимой остальными; третий — четверть суммы, вносимой остальными; четвёртый — 130 рублей. Сколько стоит лодка?

Ответ   Указание   Решение

Ответ. 600 рублей.

Указание. Половина суммы, вносимой остальными — это треть всей суммы.

Решение. Итак, первый внёс 1/3 стоимости лодки, второй — 1/4 (треть суммы, вносимой остальными — это четверть всей суммы), третий — 1/5. Таким образом, первые три товарища внесли 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60 стоимости лодки. Значит, на долю четвёртого пришлось 13/60. Если 13/60 стоимости лодки — 130 рублей, то 1/60 — 10 рублей, а вся стоимость лодки — 600 рублей.

Офеня (продавец в разнос, коробейник) купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя офеня получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

Уравнение   Ответ

Уравнение. 5 – x = 10 – 3x.

Ответ. 2 рубля 50 копеек.

Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго числа, умножения третьего числа на 2 и деления четвёртого числа на 2 эти числа становятся равными.

Ответ   Указание   Уравнение

Ответ. 45 = 8 + 12 + 5 + 20.

Указание. Обозначьте буквой x число, которое получится после прибавления 2 к первому числу.

Уравнение. (x – 2) + (x + 2) + x/2 + 2x = 45.

Турист поднялся в лодке вверх по реке на 20 км и спустился обратно, затратив на всё 10 часов. Путь против течения занял в полтора раза больше времени, чем обратный путь. Найдите скорость течения реки.

Ответ

Ответ. 5/6 км/ч.

Артели косцов предстояло скосить два луга, из которых один вдвое больше другого. Полдня артель косила большой луг, а на вторую половину дня разделилась пополам. Одна половина осталась докашивать большой луг, а другая принялась за малый. К вечеру большой луг скосили, а от малого остался участок, который был скошен за другой день одним косцом. Сколько косцов в артели?

Ответ   Решение

Ответ. 8 косцов.

Решение. Обозначим буквой s площадь, которую скашивает один косец за день. Количество косцов артели обозначим буквой n. Тогда площадь первого луга равна ns/2 + ns/4 = 3ns/4 (n косцов работали полдня, а потом n/2 косцов работали полдня, при этом весь луг был скошен). Площадь второго луга по условию вдвое меньше, значит, она равна 3ns/8, из которых ns/4 было скошено в первый день. Таким образом, один косец за день скосил 3ns/8 – ns/4 = ns/8. Вспомнив определение величины s, получаем n = 8.

Два велосипедиста выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Первый из них едет со скоростью 15 км/ч, второй — со скоростью 12 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта выехал третий велосипедист, который через некоторое время догнал второго, а ещё через полтора часа догнал и первого. Найдите скорость третьего велосипедиста.

Ответ

Ответ. 18 км/ч.

Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Пьер открыл сначала горячий кран. Через сколько минут он должен открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

Ответ   Решение

Ответ. Через 7 минут.

Решение. Если горячей воды в ванне в полтора раза больше, чем холодной, то на каждый две части холодной воды приходится три части горячей, то есть ванна на 3/5 заполнена горячей водой и на 2/5 — холодной. За одну минуту вода из горячего крана заполняет 1/23 ванны. Это означает, что кран с горячей водой должен быть открыт в течение 3/5 : 1/23 = 69/5 минуты. Аналогично, кран с холодной водой должен работать 2/5 : 1/17 = 34/5 минуты. Таким образом, холодный кран нужно открыть на 69/5 – 34/5 = 7 минут позднее.

Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 километра, рассчитал, что опоздает к поезду на 40 минут. Поэтому остальной путь он шёл со скоростью 4 км/ч и пришёл на станцию за 45 минут до отправления поезда. Каково расстояние от деревни до станции?

Ответ   Решение

Ответ. 20 км.

Решение. Обозначим буквой s расстояние от деревни до станции в километрах. Если бы турист шёл всё время со скоростью 3 км/ч, то на весь путь он затратил бы s/3 часов. А на самом деле он был в пути 1 + (s – 3) : 4 часов, что на 85 минут (то есть 17/12 часа) меньше, чем s/3. Таким образом, 1 + (s – 3) : 4 = s/3 + 17/12, откуда s = 20.

Истратив половину денег, я заметил, что осталось вдвое меньше рублей, чем было первоначально копеек, и столько же копеек, сколько было первоначально рублей. Сколько денег я истратил? (Подразумевается, что число копеек меньше 100.)

Ответ   Решение

Ответ. 49 рублей 99 копеек.

Решение. Пусть у меня было x рублей и y копеек, то есть 100x + y копеек. А осталось y/2 рублей и x копеек, то есть (100 · y/2) + x копеек. Получаем уравнение 100x + y = 50y + x, откуда 98x = 99y. Поскольку числа 99 и 98 взаимно просты, то x делится на 99. Среди чисел от 0 до 99 таких только два — 0 и 99. Следовательно, у меня было 99 рублей 98 копеек. (Вообще говоря, есть и второй ответ — 0 рублей 0 копеек, но в такой ситуации немногие готовы утверждать, что деньги были.)

Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое, а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?

Ответ   Решение

Ответ. 72 квартиры.

Решение. Пусть в одном подъезде n квартир. Поскольку во втором подъезде находится квартира №105, то 52 < n ≤ 104. Рассмотрим два случая: 1) Если n ≤ 99, то в первом подъезде находятся все квартиры с однозначными номерами (их 9), а все остальные квартиры имеют двузначные номера (их n – 9). Тогда во втором подъезде окажутся все остальные квартиры с двузначными номерами (их 90 – (n – 9) = 99 – n), а остальные квартиры второго подъезда будут иметь трёхзначные номера (и таких квартир n – (99 – n) = 2n – 99). Составляем уравнение 1,4 · (9 + 2(n – 9)) = 2(99 – n) + 3(2n – 99). Решая его, получаем n = 72. 2) Если n ≥ 100, то в первом подъезде находятся все квартиры с однозначными номерами (их 9), все квартиры с двузначными номерами (их 90), а остальные квартиры (которых n – 99) имеют трёхзначные номера. Во втором подъезде в этом случае все номера трёхзначные. Получаем уравнение 1,4 · (9 + 90 · 2 + (n – 99) · 3) = 3n. Решая это уравнение, получаем n = 126, что невозможно, ибо тогда 105-я квартира не была бы во втором подъезде.