61. Выписаны числа 0, 1, 2, 3, ..., 1024. Первый мудрец вычёркивает по своему выбору 512 чисел, второй вычёркивает 256 из оставшихся чисел, затем первый вычёркивает 128 чисел, потом второй — ещё 64 числа и так далее. Своим последним пятым ходом второй вычёркивает одно число. Остаются два числа, и второй платит первому разницу между этими числами. Как надо играть первому игроку, чтобы получить как можно больше? Как второму, чтобы проиграть как можно меньше? Сколько уплатит второй первому, если оба будут играть наилучшим образом?

62. Для любого нечётного натурального числа a существует такое натуральное число b, что 2^b – 1 делится на a. Докажите это.

63. Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? (Изображённое на рисунке расположение плиток не годится, поскольку есть красный «шов».)

64. На плоскости даны прямая l и две точки Р и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l точку М, для которой расстояние между основаниями высот треугольника РQМ, опущенных на стороны РМ и QМ, наименьшее.

65. а) Пусть 0 < k < 1. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC отметим точки K, L и M таким образом, что AM : MB = BK : KC = CL : LA = k. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми АK, BL и CM, к площади треугольника АВС.

б) Разрежьте треугольник шестью прямыми на такие части, из которых можно сложить семь конгруэнтных треугольников.

32 + 42 = 52,

362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442,

552 + 562 + 572 + 582 + 592 + 602 = 612 + 622 + 632 + 642 + 652.

66. Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел. Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

67. Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиусом r, ось которого проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в k раз, а ширину h оставить прежней?

68. Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в точке О, прямой l, проходящей через точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).

69. Последние две цифры числа 76² = 5776 — это снова 76.

а) Существуют ли ещё такие двузначные числа?

б) Найдите все такие трёхзначные числа a, что последние три цифры числа a² составляют число a.

в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a₁, a₂, a₃, ..., что для любого натурального n квадрат числа a_na_n–1 ... a₂a₁ оканчивается на эти же n цифр? (Очевидный ответ a₁ = 1 и 0 = a₂ = a₃ = ... мы исключаем.)

70. Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Сформулируйте и докажите аналогичную теорему в пространстве.

71. а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.

б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом — в строках: обязательно ли в результате получится та же самая таблица, что и в первом случае, или может получиться другая?

72. Пусть p — произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.

73. На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (причём все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы ровно 4 клетки? 5 клеток? ... все 8 клеток?

74. Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x). Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – ^a⁄₂)².

Например, если p(x) = x⁵ + (1 – x)⁵, то, очевидно, p(x) = p(1 – x) и, как нетрудно проверить, p(x) = 5y² + 2,5y + 0,0625, где y = (x – 0,5)².

75. Для любого выпуклого многогранника докажите следующие утверждения.

а) Сумма длин рёбер больше утроенного диаметра. (Диаметр многогранника — это наибольшая из длин отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых вершин A и B многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по его рёбрам из А в В и никакие две не проходят по одному ребру.

в) Если разрезать два ребра, то для любых вершин А и В многогранника существует соединяющая их ломаная, идущая по оставшимся рёбрам.

г) В пункте б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, кроме точек А и В.

76. В некоторой компании у каждых двух незнакомых ровно двое общих знакомых, а у любых двоих знакомых нет больше ни одного общего знакомого. Докажите, что в этой компании каждый знаком с одним и тем же числом людей.

77. Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Докажите, что длина биссектрисы угла между ними не больше 12.

78. Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде

где x и y — целые неотрицательные числа. Докажите это.

79. Точки P и Q движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью v. Докажите, что на плоскости существует неподвижная и всё время равноудалённая от точек P и Q точка.

80. В прямоугольной таблице расставлены произвольные числа. Разрешено одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой неотрицательна как сумма чисел любого столбца, так и сумма чисел любой строки.

81. Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята произвольная точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на прямую A₂P, из вершины A₂ — на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

82. На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то она смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

83*. Числа первых n натуральных чисел ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого. Докажите это.

84*. А — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую BC, причём ВA = АС. Через точки В и С проведены секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Р и Q, вторая — в точках M и N. Пусть прямые РM и QN пересекают прямую BC в точках R и S. Докажите равенство AR = AS. (Эту задачу и некоторые её варианты называют «задачей о бабочке»; происхождение названия ясно из рисунка.)

85*. Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма a₁^{1 ⁄ 2} · b₁ + a₂^{1 ⁄ 2} · b₂ + ... + a_m^{1 ⁄ 2} · b_m не равна нулю. Докажите это.

86. Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.

87. Если три окружности одинаковых радиусов проходят через некоторую точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса. Докажите это.

88. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения x³ + ax² + bx + c = 0, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

89. В любом выпуклом многоугольнике, не являющемся параллелограммом, существуют три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.

90. Если x₁ < x₂ < x₃ < ... < x_n — натуральные числа, то сумма n – 1 дробей, k-я из которых, где k < n, равна отношению квадратного корня из разности x_k+1 – x_k к числу x_k+1, меньше суммы чисел 1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ..., ¹⁄_n². Докажите это.

91. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй игрок каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). а) Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик.

б) Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а два или даже только один нолик. Каков здесь будет результат при правильной игре партнёров: удастся ли ноликам «запереть» крестики (и можно ли оценить сверху число ходов, которые могут «продержаться» крестики) или же крестики могут играть бесконечно долго?

Изучите другие варианты этой игры: когда соседними с данной считаем только клетки, имеющие с ней общую сторону; когда плоскость разбита не на квадраты, а на правильные шестиугольники; когда первому разрешено ставить сразу p крестиков, а второму — q ноликов.

92. Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день — решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько «скучных», когда совсем не будет никаких дел?

93. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице или минус единице. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а сами числа после этого стёрли. Сумма оставшихся n произведений оказалась равна нулю. Докажите, что n делится на четыре.

94*. Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней — треугольник. Докажите это.

95. На доске начертили трапецию и её среднюю линию ЕF. Из точки О пересечения диагоналей на большее основание опустили перпендикуляр ОK и стёрли трапецию. Восстановите чертёж по сохранившимся отрезкам EF и KО.

96. Пять положительных чисел таковы, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.

97. В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A₁B₁, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A₂B₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A₁B₁, A₂B₂,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

					1
				1	1	1
			1	2	3	2	1
		1	3	6	7	6	3	1
	...	...	...	...	...	...	...	...	...

98. Верхняя строка таблицы состоит из одного лишь числа 1. Всякое другое её число равно сумме чисел, стоящих над ним непосредственно сверху, слева–сверху или справа–сверху. Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, есть хотя бы одно чётное число.

99. В треугольнике ABC сторона AC — наибольшая. Докажите, что для любой точки M плоскости сумма длин отрезков AM и CM не меньше длины отрезка BM. В каких случаях возможно равенство?

100*. Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

101. Колония состояла из n бактерий. В неё попал вирус, который в первую минуту уничтожил одну бактерию, а затем разделился на два новых вируса. Одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже разделилась на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожили две бактерии, и затем оба вируса и все выжившие бактерии снова разделились, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или вымрет?

102. Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек A и B существует такая точка С этого множества, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

103. Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений