181. Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)

182. Докажите, что если

а) a, b и c — положительные числа, то сумма чисел ^a ⁄ _{(b + c)}, ^b ⁄ _{(a + c)} и ^c ⁄ _{(a + b)} не меньше ³ ⁄ ₂;

б) a, b, c и d — положительные числа, то сумма чисел ^a ⁄ _{(b + c + d)}, ^b ⁄ _{(a + c + d)}, ^c ⁄ _{(a + b + d)} и ^d ⁄ _{(a + b + c)} не меньше ⁴⁄₃;

в) для любых n положительных чисел, где n > 1, сумма n чисел, k-е из которых, где k — натуральное число, не превосходящее n, равно частному от деления k-го из данных чисел на сумму остальных данных чисел, не меньше числа ⁿ⁄_{(n – 1)}.

183. Найдите высоту трапеции, длины оснований которой равны a и b, где a < b, величина угла между диагоналями равна 90°, а величина угла между продолжениями боковых сторон — 45°.

184*. Для любого натурального числа n и для любого числа x, отличного от –1, –2, ..., –n, дробь ^n!⁄_{x(x + 1)(x + 2)...(x + n)} равна сумме n + 1 дробей, k-я из которых, где k — целое неотрицательное число, не превосходящее n, равна отношению числа сочетаний из n по k, умноженного на (–1)^k, к числу x + k. Докажите это.

185*. На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше ¹⁄₂. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше ¹⁄₅.

186. Найдите все решения уравнения ¹⁄_x + ¹⁄_y + ¹⁄_z = 1 в целых числах, отличных от 1.

187. На плоскости заданы две точки А и В. Найдите геометрическое место третьих вершин С треугольника АВС, у которого:

а) высота AA' равна стороне ВС;

б) медиана AA₁ равна стороне АС;

в) медиана AA₁ равна стороне BС;

г) высота CC' равна медиане BB₁;

д) высота BB' равна медиане СC₁.

188. Между некоторыми из 2n городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с n другими. Докажите, что если отменить любые n – 1 рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками). Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене n рейсов.

189. Три отрезка АВ, ЕF и СD проходят через одну точку О, причём точка Е лежит на отрезке АС, а точка F — на отрезке ВD. Докажите, что отрезок ЕF короче хотя бы одного из отрезков АВ или СD.

190*. На плоскости даны две прямые a и b. В точке A₁, находящейся на прямой a на расстоянии меньше 1 от прямой b, сидит блоха. Затем блоха последовательно прыгает в точки B₁, A₂, B₂, A₃, B₃, ..., руководствуясь следующими правилами. Во-первых, точки A₁, A₂, A₃,... лежат на прямой a, точки B₁, B₂, B₃,... — на прямой b. Во-вторых, 1 = A₁B₁ = B₁A₂ = A₂B₂ = B₂A₃ = A₃B₃ = ... В-третьих, наконец, точка A_n не совпадает с A_n+1, кроме случая A_nB_n^a (и, аналогично, B_n совпадает с B_n+1, только если B_nA_n+1^b). Нетрудно видеть, что этими тремя условиями последовательность прыжков определена однозначно.

Докажите, что если угол между прямыми a и b измеряется рациональным числом градусом, то путь блохи будет периодическим, то есть в некоторый момент она попадёт в начальную точку A₁ и затем будет последовательно проходить те же самые точки B₁, A₂, B₂, A₃, B₃,..., как в начале пути, а если иррациональным числом, то блоха не попадёт ни в какую точку более двух раз.

191. На плоскости даны две точки А и В и прямая l, проходящая через точку А и не проходящая через точку В. Через точки А и В проводится произвольная окружность. Пусть О — её центр, С — точка её пересечения с прямой l, отличная от А. Найдите геометрическое место середин отрезков ОС.

192. Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее число m, обладающее таким свойством: какие бы m из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся 1000 – m чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

193*. Сумма площадей пяти треугольников, образуемых парами сторон и диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника. Докажите это.

194. Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y — целые неотрицательные числа.

а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?

б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n — любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.

Известна следующая теорема: для любых взаимно простых натуральных чисел a и b всякое целое число можно представить в виде ax + by, где х и y — целые.

Для а = 3 и b = 7 синим цветом напишем числа, принадлежащие множеству М, оранжевым — не принадлежащие, выделив число 5,5:

..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5¹⁄₂ 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...

Как видите, при симметрии относительно числа 5,5 оранжевые числа переходят в синие, а синие — в оранжевые. То же самое явление видим для а = 4 и b = 9:

..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 11¹⁄₂ 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...

195*. Дан треугольник АВС. Сколько существует таких точек D, что периметры четырёхугольников АDВС, АВСD и AВDС одинаковы?

196. В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше πk.

197. В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для а) m = n = 2; б) m = 2 и произвольного n; в*) любых натуральных m и n.

Вот пример для m = 3 и n = 4. Для таблицы

1	5	6	2
4	3	7	2
1	2	1	2

произведения равны 1 · 4 · 1 = 4, 5 · 3 · 2 = 30, 6 · 7 · 1 = 42 и 2 · 2 · 2 = 8. Сумма этих произведений равна 4 + 30 + 42 + 8 = 84. А если переставим числа в строках в порядке возрастания, то получим таблицу

1	2	5	6
2	3	4	7
1	1	2	2

Сумма произведений 1 · 2 · 1 = 2, 2 · 3 · 1 = 6, 5 · 4 · 2 = 40 и 6 · 7 · 2 = 84 равна 126 > 84.

198. Дан параллелограмм АBCD. На прямых АB и BC выбраны точки Н и K соответственно так, что треугольники KАB и НCB равнобедренные (KА = АB и НС = СB). Докажите, что треугольник KDН тоже равнобедренный.

199. Для любого натурального n докажите, что если для каждого целого неотрицательного числа k, не превосходящего половины числа n, вычислить число сочетаний из n – k по k, умножить его на (–1)^kp^kq^k и найти сумму этих чисел, то сумма окажется равна а) (n + 1) ⁄ 2ⁿ при p = q = 1 ⁄ 2; б) (pⁿ⁺¹ – qⁿ⁺¹) ⁄ (p – q) при p + q = 1 и p ≠ q.

200. а) На первом рисунке изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На втором рисунке девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую «конфигурацию Паскаля». Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на третьем рисунке.

201. Прямая l₁ пересекает стороны a, b и с треугольника (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно; прямая l₂ пересекает их в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если точки A₁ и A₂ симметричны относительно середины стороны a, а точки B₁ и B₂ симметричны относительно середины стороны b, то точки C₁ и C₂ симметричны относительно середины стороны c.

202. Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a⁄_d рационально. Докажите это.

203. а) Если проекции точки пересечения диагоналей AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD на прямые АВ, ВС, СD и DА соединить последовательно четырьмя прямыми, то получим прямые, касающиеся одной окружности. Докажите это.

б) Сформулируйте и докажите обратную теорему.

204. Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9, 7, 3, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, а 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число n, что среди всех n-значных чисел (от 10^n–1 до 10ⁿ – 1) больше хороших, чем плохих.

205*. 24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

а) можно отметить некоторые задачи «галочкой» так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) из отмеченных задач;

б) можно отметить некоторые из задач знаком «+», а некоторые из остальных — знаком «–» и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками «+» и «–».

Замечание. Эти утверждения верны всегда, если количество задач больше количества студентов.

206. Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

207. Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. Опишите вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (при этом вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ — на прямой A₁A₃, вершина A₃ — на прямой A₁A₂).

208. Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x₁, x₂, x₃, ..., x₉, x₁₀ равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x₁,  (x₁ + x₂) : 2,  (x₁ + x₂ + x₃) : 3, ...,  (x₁ + x₂ + ... + x₁₀) : 10?

Каков ответ, если чисел не 10, а n?

209. Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма а) меньше двух для любого остроугольного треугольника; б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна двух арктангенсов числа ⁴⁄₃; в) среди треугольников с тупым углом, меньшим двух арктангенсов ⁴⁄₃, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше двух, и такие треугольники, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше двух.

210*. Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешено поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует неэквивалентных последовательностей?

211. Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

212. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?

213. Дан угол с вершиной О и окружность, касающаяся его сторон в точках А и В. Из точки А параллельно ОВ проведён луч, пересекающий окружность в точке С. Отрезок ОС пересекает окружность в точке Е, а прямые АЕ и ОВ пересекаются в точке K. Докажите равенство ОK = KВ.

214. Квадратный трёхчлен f (x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f (x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f (f (x)) = x также не имеет вещественных корней.

215*. На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени t = 1, 2, 3, ... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были чёрными — чёрной).

а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.

б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.

216. N человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом N.

217. Дан выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Докажите, что через эту точку нельзя провести больше n прямых, каждая из которых делит площадь многоугольника пополам.

218. Если x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ — положительные числа, то квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x₁x₂, x₂x₃, x₃x₄, x₄x₅ и x₅x₁.

219. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

220. Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

221. На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее расстояние до границы кляксы, а также наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выберем наибольшее, а среди наибольших — наименьшее. Какую форму имеет клякса, если эти две величины равны?

222. У любого выпуклого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон. Докажите это.

223. Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 — совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что никакое совершенное число не является квадратом.

224. Углы между биссектрисами плоских углов трёхгранного угла либо все тупые, либо все острые, либо все прямые. Докажите это.

225. Грани кубика занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма номеров на противоположных гранях равна 7. Кубик катят из левого нижнего в правый верхний угол шахматной доски размером 50×50 клеток (каждая клетка доски равна грани кубика) так, что он каждый раз переваливается через своё ребро на соседнюю клетку; при этом разрешено двигаться только вправо или вверх. На каждой из клеток по пути кубика пишется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может иметь сумма всех 99 выписанных чисел? Какое наименьшее?

226. В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик А прыгает через кузнечика В, то после прыжка он оказывается от В на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой). Может ли после нескольких прыжков один из кузнечиков попасть в четвёртую вершину исходного квадрата?

227. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

228. Лист клетчатой бумаги размером n×n раскрасили в n цветов (каждую клетку покрасили в один из этих цветов или не закрасили вообще). Правильной называют раскраску, при которой ни в одной строке и ни в одном столбце нет клеток одного цвета. Всегда ли можно «докрасить» весь лист правильным образом, если первоначально были правильно закрашены а) n² – 1; б) n² – 2; в) n клеток?

229*. В центре квадрата находится полицейский, а в одной из вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по сторонам. Максимальная скорость полицейского равна u, а гангстера — v. Цель полицейского — оказаться с гангстером на одной стороне квадрата. Докажите, что если

а) 3u > v, то он может добиться своей цели;

б) 3u < v, то гангстер может помешать ему это сделать.

230. Из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятиугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятиугольника. Докажите это.

231. Решите в натуральных числах уравнение n^x + n^y = n^z.

232*. а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

233*. В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

234. Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1 ⁄ 3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1 ⁄ 3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

235. По арене круглого цирка радиусом 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма величин всех углов, на которые он поворачивал, не меньше 2998 радиан.

236. а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел, так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

237. Величины углов остроугольного треугольника равны α, β и γ. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трёх масс попал в а) ортоцентр (точку пересечения высот); б) центр описанной окружности?

Длины сторон треугольника равны a, b и c. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал в в) точку пересечения отрезков, соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью; г) центр вписанной окружности?

238. Для любого натурального числа n сумма чисел сочетаний из n по 1, по 3, по 5, ..., умноженных соответственно на 1, на 1973, на 1973², ..., делится на 2^n–1. Докажите это.

239. На плоскости даны две точки A и B. Пусть C — некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек C₁ = C, C₂, C₃, ..., C_n, C_n+1, ..., где C_n+1 — центр описанной окружности треугольника ABC_n. а) При каком положении точки C точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)? б) При каком положении точки C точка C_n совпадает с C?

240*. По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁵. Докажите, что

а) x¹⁰⁰⁰ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.