Задачник «Кванта» по математике
Условия задач
1974 год
241. Сумма 31974 + 51974 делится на 13. Докажите это.
242. Пусть AkHk и AkMk, где k = 1, 2 или 3,— соответственно, высота и медиана, проведённые из вершины Ak остроугольного треугольника A1A2A3. а) Докажите, что одно из трёх произведений H1M1 · A2A3, H2M2 · A3A1 и H3M3 · A1A2 равно сумме двух других. б) Верно ли это утверждение для прямоугольного и тупоугольного треугольников?
243. Отрезки A1B1, A2B2, ..., AnBn расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой и проходит через точку G, не лежащую на данных двух прямых и являющуюся центром тяжести единичных масс, помещённых в точки A1, A1, ..., An. Докажите, что сумма частных от деления длин отрезков A1G, A2G, ..., AnG соответственно на длины отрезков B1G, B2G, ..., BnG равна n.
244. Произведение (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn) не превосходит умноженной на число n суммы a1b1 + a2b2 + ... + anan, если а) для любых j и k из неравенства aj < ak следует неравенство bj < bk; б) для любых j и k из того, что число aj меньше среднего арифметического чисел a1, a2, ..., an, а оно в свою очередь меньше числа ak, следует неравенство bj < bk. Докажите это.
245*. Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам.
а) Можно ли провести построение, если расстояния заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?
б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?
в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N точек?
246. На плоскости даны две прямые m и n и точка О. Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых m и n, а центр описанной окружности находится в точке О.
247. Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k — трёхклеточные уголки, а остальные (12 – k) — трёхклеточные прямоугольники. При каких k это возможно?
248. В выпуклый n-угольник A1A2...An вписан n-угольник B1B2...Bn площади P. (Вершина Bk лежит на стороне AkAk+1 для любого k = 1, 2, ..., n – 1, а вершина Bn — на стороне AnA1.) Около того же n-угольника A1A2...An описан n-угольник C1C2...Cn площади Q. (Вершина Ak лежит на стороне CkCk+1 для любого k = 1, 2, ..., n – 1, а вершина An — на стороне CnC1.) Если соответствующие стороны n-угольников B1B2...Bn и C1C2...Cn параллельны, чему может равняться площадь n-угольника A1A2...An?
249*. На рёбрах A'D' и C'D' куба ABCDA'B'C'D' выбирают две точки K и M так, что плоскость KDM касается вписанного в куб шара. Докажите, что величина φ двугранного угла при ребре B'D тетраэдра B'DKM не зависит от выбора точек K и M. Найдите величину φ.
250*. а) При дворе короля Артура собрались n рыцарей. Некоторые из них враждуют друг с другом, но у каждого рыцаря не менее n ⁄ 2 друзей среди собравшихся. Докажите, что Мерлин — советник короля Артура — может усадить рыцарей за круглым столом так, чтобы рядом с каждым сидели его друзья.
б) Если у каждого рыцаря одинаковое чётное (и, конечно, положительное) количество друзей, то Мерлин может рассадить рыцарей за несколько круглых столов так, чтобы никто не сидел рядом со своим врагом. Докажите это. (У Артура есть столики на двоих, на троих и так далее.)
251. Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n ⁄ 2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
252. а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено «перекатывать» по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. (Другими словами, для любой точки M и любого положительного числа ε можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что центр его окажется от точки M на расстоянии меньше ε.)
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
253. На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. По этим данным восстановите треугольник.
(Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.)
254. Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111 (100 единиц) с точностью до а) 100; б) 101; в*) 200 знаков после запятой.
255. АВ и CD — две различные касательные к двум данным шарам (А и С принадлежат поверхности одного шара, В и D — другого). Докажите, что проекции отрезков АС и ВD на прямую, проходящую через центры шаров, равны.
256. Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки М окружности до сторон одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон второго.
(Расстоянием от точки до стороны здесь называем расстояние до прямой, на которой лежит эта сторона.)
257. При каких натуральных n > 1 неравенство x12 + x22 + . . . + xn2 ³ p (x1x2 + x2x3 + ... + xn–1xn) выполнено для любых действительных чисел x1, x2, ..., xn, если а) p = 1; б) p = 4⁄3; в) p = 6 ⁄ 5?
258. На плоскости даны три точки K, L, N. Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках K, L, N. Найдите множества точек, в которые может попасть: а) середина четвёртой стороны; б) вершина этого четырёхугольника.
259. Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в а) квадрате 5×5; б) прямоугольнике m×n клеток?
260*. Окружность разбита точками A1, A2,..., An на n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги A2A6 и A6A10 одинаково окрашены.) Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.
261. Обруч радиусом R, висевший на неподвижном круге радиусом r < R, начинают катить по этому кругу. Докажите, что точка обруча описывает ту же траекторию, которую описывала бы точка колеса радиусом R – r, катящегося снаружи по тому же кругу радиуса r.
(Качение происходит без скольжения — так, что длины прокатившихся друг по другу дуг равны.)
262. Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?
263. Даны числа p и q, большие 1. На сторонах BC и CD прямоугольника ABCD возьмём точки P и Q так, что BC = p · BP> и CD = q · DQ. При каком отношении длин сторон AB и AD угол PAQ будет иметь наибольшую величину? Какова эта наибольшая величина в частном случае p = 2 и q = 3⁄2?
264. В городе одна синяя площадь и n зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2n улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой — уехать. Докажите, что с любой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных.
265. Диагональ AC1 прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами AB, AD и AA1 углы BAC1, DAC1 и A1AC1. Докажите, что сумма величин этих углов меньше 180°.
266. Дан выпуклый n-угольник. Докажите следующие утверждения.
а) Если для каждой тройки последовательных вершин n-угольника построить окружность, проходящую через эти вершины, и из n полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наибольший, то эта окружность содержит внутри себя весь данный n-угольник.
б) Если для каждой тройки последовательных сторон n-угольника построить окружность, касающуюся этих сторон, и из n полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наименьший, то она будет содержаться внутри данного n-угольника.
267. В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), ... каждая следующая тройка получена из предыдущей таким образом: первое число умножили на второе, второе — на третье, а третье — на первое, и из полученных произведений образовали новую тройку. Докажите, что среди чисел, получаемых таким образом, не окажется ни квадрата, ни куба, ни вообще никакой (отличной от первой) степени натурального числа.
268. В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй — ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски — n×n, где n > 3)?
269. Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,
T2(4) = 1 · 2 + 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 4.
а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).
б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.
в) Укажите метод нахождения многочленов Tk при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T3 и T4.
270. Пусть АВ и СD — две хорды окружности, а точки K и H построены так, что все четыре угла KAB, KCD, HBA и HDC прямые. Докажите, что прямая KH проходит через центр окружности и точку пересечения прямых AD и BC.
271. Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?
272. Даны две касающиеся внешним образом окружности с радиусами r и R. Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны трапеции, обе боковые стороны которой касаются обеих окружностей, а каждое из оснований касается одной из них.
273. На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f (1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f (x1) и f (x2).
а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f (x) £ 2x.
б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f (x) £ 1,9x?
274. Найдите наименьшее число вида а) ½11k – 5n½; б) ½36k – 5n½;
в) ½53k – 37n½, где k и n — натуральные числа.
275*. а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.
б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.
в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
276. Дан квадрат ABCD. Точки Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, причём BP = BQ. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на отрезок РС. Докажите, что угол DНQ прямой.
277. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
278. а) Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника больше 1. Обязательно ли длина хотя бы одна из диагоналей больше 2?
б) В выпуклом шестиугольнике АВСDЕF длины диагоналей АD, ВЕ и СF больше 2. Обязательно ли длина хотя бы одной из сторон больше 1?
279. На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или –1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на а) любых трёх карточках; б) любых трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь n — натуральное число, большее 3).
280*. Точки A', B' и C' — соответственно, середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, площадь которого равна 1. Точки K, L и M лежат на отрезках AB', CA' и BC' соответственно. Какую максимальную площадь может иметь пересечение треугольников A'B'C' и KLM?
281. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?
282. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешено удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равны нулю.
283. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.
284*. Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
285*. Прямоугольный лист бумаги разрезан на прямоугольные полоски, у каждой из которых длина одной из сторон равна 1. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон листа бумаги — целое число.
286. На плоскости расположены N точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точек плоскости могут оказаться отмеченными?
287. Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным образом?
288. На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.
289. N гирь, масса каждой из которых — целое число граммов, разложены на K равных по массе куч. Докажите, что можно не менее чем K разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся (N – 1) гири уже нельзя будет разложить на K равных по массе куч.
290. Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
291. На сторонах A2A3, A3A1 и A1A2 треугольника A1A2A3 во внешнюю сторону построены квадраты с центрами O1, O2 и O3 соответственно. Докажите, что
а) отрезки O1O2 и A3O3 равны по длине и взаимно перпендикулярны;
б) середины отрезков A3A1, O1O2, A3A2 и A3O3 являются вершинами квадрата;
б) площадь этого квадрата в 8 раз меньше площади квадрата с центром O3.
292. На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?
293. Рассмотрим треугольник OC1C2 . Проведём в нём биссектрису C2C3, затем в треугольнике OC2C3 проведём биссектрису C3C4 , и так далее. Докажите, что последовательность величин углов OCnCn+1 стремится к некоторому пределу и найдите этот предел, если величина угла C1OC2 равна α.
294. Если a, b, c, d, x, y, z, t — вещественные числа, причём abcd > 0, то произведение (ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) не меньше произведения (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy). Докажите это.
295*. Сечения выпуклого многогранника тремя параллельными плоскостями p0, p1 и p2, где p1 расположена между p0 и p2 на одинаковом расстоянии h от той и другой, имеют площади S0, S1 и S2 соответственно. Между p0 и p1 нет ни одной вершины многогранника.
а) Докажите, что квадратный корень из S1 не меньше среднего арифметического квадратных корней из S0 и S2.
б) Когда неравенство пункта а) обращается в равенство?
в) Найдите площадь St сечения многогранника плоскостью, параллельной плоскости p0 и расположенной на расстоянии th от p0 и на расстоянии (2 – t)h от p2. (Разумеется, 0 £ t £ 2.)
г) Найдите объём части многогранника, заключённой между плоскостями p0 и p0.
296. В таблицу n×n записаны n2 чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.
297. На плоскости заданы 12 точек, являющихся вершинами квадратов A1B1A2C1, A2C2A3B2, A3B3A4C3 и A4C4A1B4 (вершины каждого квадрата перечислены по часовой стрелке). Докажите, что B1B2B3B4 и C1C2C3C4 — конгруэнтные параллелограммы, один из которых получается из другого поворотом на 90° (эти параллелограммы могут быть вырожденными: четыре вершины каждого из них в этом случае лежат на одной прямой).
298. Запишем все несократимые дроби p⁄q, где 0 £ p £ q £ m, в порядке возрастания (m — данное натуральное число). Например, при m = 5 получим последовательность 0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1.
Докажите для любых двух соседних дробей p⁄q < r⁄s такой последовательности равенство qr – ps = 1.
299. При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
300*. Алфавит состоит из трёх букв: a, b, c. Назовём словом последовательность любой длины, состоящую из этих букв. При образовании слов некоторые буквосочетания (из двух и более букв) запрещены. Докажите, что если в списке запрещённых буквосочетаний все слова разной длины, то существует сколь угодно длинное слово, не содержащее запрещённых буквосочетаний.
| 
