481. Каждый член последовательности натуральных чисел, кроме первого, равен сумме квадратов цифр десятичной записи предыдущего члена этой последовательности. Докажите, что каким бы ни был первый член, в последовательности обязательно встретится число 1 или число 89. (Например, если первый член равен 1978, то второй равен 1² + 9² + 7² + 8² = 195, третий равен 1² + 9² + 5² = 107, четвёртый — 50, пятый — 25, шестой — 29, седьмой — 85, а восьмой — 89.)

482. Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше 2a, но меньше 3a, где a — длина ребра тетраэдра.

483. а) Отношение квадрата радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведённых из острых углов, не превосходит ¹⁄₂₀. Докажите это.

б) Найдите наибольшее значение, которое может принимать это отношение.

484. При каких n существует выпуклый n-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?

485.* а) Для любого натурального n число e заключено между числами a_n и b_n, где a_n — это число (n + 1)/n, возведённое в n-ю степень, а b_n — это число (n + 1)/n, возведённое в (n + 1)-ю степень. Докажите это. (Число e — это предел последовательности a₁, a₂, a₃, ...)

б) Последовательность с_n = a_n + a_n : (4n) возрастает, а последовательность d_n = a_n + a_n : (2n) монотонно убывает. Докажите это.

в) Разделим отрезок [a_n; b_n] на четыре равных по длине отрезка. В каком из них лежит число e?

г) Разделим отрезок [a_n; b_n] на восемь равных частей. В какой из них лежит e?

д) А если отрезок [a_n; b_n] разделить на 2^k равных частей, где n > 2^k?

486. Какое из чисел больше: а) 2³²³ или 3²³²; б) 2^32... или 3^23..., где в обоих выражениях n «этажей»?

487. На данных окружностях γ₁ и γ₂ постройте по хорде так, чтобы они были гомотетичны с заданным центром A, принадлежащим γ₁, и чтобы длина хорды окружности γ₂ равнялась данной величине a.

488. Рассмотрим последовательность многочленов P₀, P₁, P₂, ..., определённые формулами P₀(x) = 1, P₁(x) = x и P_n+1 = xP_n(x) – P_n–1(x) для любого натурального n. Докажите следующие утверждения.

а) Рассмотрим последовательность, определённую своим первым членом a₁ = x и рекуррентной формулой a_n+1 = x – ¹⁄_an. Для любого натурального числа n верно равенство a_nP_n–1 = P_n.

б) sin (n + 1)x = P_n(cos x) sin x.

в) tⁿ⁺¹ – t^–n–1 = (t – t^–1)P(t + t^–1), если t ≠ 0.

г) P_n(x) — это произведение разностей между числом x и удвоенных косинусов углов вида πk ⁄ (n + 1), где 1 £ k £ n.

д) P_n(x) — это сумма произведений числа сочетаний из n – k по k на (–x)^k, где 0 £ 2k £ n.

е) Произведение удвоенных косинусов углов вида πk ⁄ (2n + 1), где 1 £ k £ n, равно 1.

ж) Придумайте аналогичные равенства для последовательности многочленов, определённой тем же рекуррентным соотношением, но начинающейся не с многочленов 1 и x, а с многочленов 2 и x.

489. Даны три числа a, b и c. Построим последовательности по формулам a₁ = a, b₁ = b, c₁ = c, a_n+1 = (b_n + c_n) ⁄ 2, b_n+1 = (c_n + a_n) ⁄ 2 и с_n+1 = (b_n + a_n) ⁄ 2 для любого натурального n. Докажите, что эти три последовательности имеют общий предел, найдите его.

490. Для любого простого нечётного числа p и любых p – 1 целых чисел, не делящихся на p, можно, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, получить p – 1 чисел, сумма которых делится на p. Докажите это.

491. Рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой — целые числа. (Например, 16, 24, 36, 54, 81.)

а) Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных членов прогрессии делится на сумму этих членов.

б) При каких натуральных n сумма квадратов n последовательных членов прогрессии обязательно делится на сумму этих n членов?

492. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC лежат соответственно точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке P, то прямые, соединяющие середины сторон AB и A'B', BC и B'C', CA и C'A', пересекаются в одной точке, причём эта точка, центр тяжести треугольника ABC и точка P лежат на одной прямой.

493. Для любого натурального числа n сумма квадратных корней из чисел n² – 1, n² – 2, ..., n² – (n – 1)² больше числа 0,785n² – n и меньше числа 0,79n². Докажите это.

494. Внутри квадрата со стороной 1 расположены n² точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая эти точки, длина которой меньше а) 3n; б) 2n.

495*. В космическом пространстве вокруг планеты O по трём круговым орбитам с центром O равномерно вращаются три спутника. Угловые скорости спутников равны соответственно ω₁, ω₂ и ω₃, а их начальные положения могут быть произвольными. Обязательно ли найдётся момент времени, когда все три спутника и точка O лежат в одной плоскости, если а) ω₁ = ω₂ = ω₃ = 1; б) ω₁ = ω₂ = 1 и ω₃ = 2; в) ω₁ = 2, ω₂ = 3 и ω₃ = 4? Попробуйте выяснить, каков ответ при других соотношениях угловых скоростей.

496. Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трёхзначных чисел или не представимых?

497. На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты произвольные точки A', B' и C' соответственно. На отрезках AA', BB' и CC' как на диаметрах построены окружности. Докажите, что три общие хорды пар этих окружностей пересекаются в точке пересечения высот треугольника ABC.

498*. Для каждого натурального n укажите наименьшее k такое, что любые n точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить k прямыми. (Прямые разделяют данные точки, если для любых двух из этих точек найдётся прямая, от которой они лежат по разные стороны.)

499. Назовём число уравновешенным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа 1971, 19219 уравновешены, а число 1415145 — нет). Докажите, что существует число, которое после приписывания к нему любой из 10 цифр становится уравновешенным.

500*. N первоклассников выстроены в одну шеренгу (плечом к плечу). По команде «нале-Во» все одновременно повернулись на 90°, некоторые — налево, а некоторые — направо. Ровно через секунду каждый, оказавшийся лицом к лицу со своим соседом, поворачивается «кру-ГОМ» — на 180°. Ещё через секунду каждый, оказавшийся теперь лицом к лицу с соседом, снова поворачивается на 180°, и так далее.

а) Докажите, что движение когда-нибудь прекратится.

б) Какое наибольшее число раз может повернуться «кру-ГОМ» один человек?

в) Сколь долго может не затихать движение в строю?

г) Пусть шеренга бесконечна в обе стороны, и по команде «нале-ВО» только конечное множество первоклассников повернулись направо, а остальные — налево. Тогда по правилу задачи движение продолжалось бы бесконечно долго. Докажите, однако, что движение прекратится через конечное время, если это правило заменить таким: первоклассник поворачивается на 180°, только если первый (его сосед) и третий из стоящих перед ним обращены к нему лицом.

501*. Выберем из последовательности степеней тройки 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, ..., все числа, начинающиеся с цифры 9; пусть эти числа (по порядку) суть 3^{f (1)}, 3^{f (2)}, 3^{f (3)}, ... (в частности, f (1) = 2, так как первое из этих чисел 3² = 9).

а) Найдите f (2) и f (3) — номера второго и третьего таких чисел.

б) Таких чисел бесконечно много. Докажите это.

в) Если n > 1 и n — натуральное число, то разность f (n) – n нечётна, а число f (n) отличается от отношения числа n – lg 9 к числу 1 – lg 9 меньше чем на единицу; этими двумя условиями функция f определена однозначно. Докажите это.

502. Отрезки AA', BB' и CC' параллельны и не лежат в одной плоскости; M — точка пересечения плоскостей ABC', AB'C и A'BC; N — точка пересечения плоскостей AB'C', A'BC' и A'B'C. Докажите, что отрезок MN параллелен трём первоначальным.

503. Последовательность a₀, a₁, ..., a_2n выпукла вверх, то есть каждый её член, кроме первого и последнего, не меньше среднего арифметического двух соседних. Докажите, что среднее арифметическое её членов с чётными номерами не превышает среднего арифметического её членов, номера которых нечётны; выясните, для каких последовательностей эти средние арифметические равны.

504*. На шахматную доску размером n×n уложены k доминошек — плиток размером 1×2, причём положить (k + 1)-ю доминошку, не перемещая уже имеющиеся доминошки, нельзя. Докажите, что свободных клеток осталось не более чем а) (n² + n + 1) ⁄ 3; б) (n² + 2) ⁄ 3; в) n² ⁄ 3. г) Можно ли для какого-нибудь n получить более точную оценку?

505*. а) На прямой размещены n материальных точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный отрезок длиной 2r, содержащий хотя бы одну из его точек, и найдём центр тяжести O₁ всех попавших в него точек. Рассмотрим отрезок длиной 2r с серединой O₁ и найдём центр тяжести O₂ всех точек, попавших на отрезок. Затем найдём центр тяжести O₃ всех точек, попавших в отрезок длиной 2r с серединой O₂, и так далее. Докажите, что, начиная с некоторого номера, все точки последовательности O₁, O₂, O₃, ... совпадают.

б) На плоскости размещены n материальных точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный круг радиуса r, содержащий хотя бы одну из его точек; обозначим через O₁ центр тяжести всех попавших в него точек и построим последовательность O₁, O₂, O₃, ..., где O_n+1 — центр тяжести точек, попавших в круг радиуса r с центром O_n. Верно ли, что, начиная с некоторого номера, все точки этой последовательности совпадают?

506*. Для любых положительных чисел a, b, c и d сумма a²b² + a²c² + a²d² + b²c² + b²d² + c²d² не превосходит суммы a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ + 2abcd. Докажите это.

507*. Выберем произвольно n, где n > 5, чисел из первых 2n – 1 натуральных чисел. Для каждых двух из них вычислим наибольший общий делитель. Докажите, что хотя бы один из рассматриваемых наибольших общих делителей не меньше ушестерённой суммы числа 1 и целой части половины числа n.

508. Точка С лежит на отрезке АВ. Докажите, что радиус окружности, касающейся трёх полуокружностей с диаметрами АВ, АС и ВС, вдвое меньше расстояния от её центра до прямой АВ.

509*. Решите в натуральных числах уравнения: а) 2^x + 1 = 3^y; б) z^x + 1 = (z + 1)²; в) z^x + 1 = (z + 1)^y.

510. В книге «Венгерские математические олимпиады» есть задача №148: «Для любого положительного α < π докажите неравенство 6sin α + 3sin 2α + 2sin 3α > 0.» Докажите следующее обобщение этого неравенства: для любого положительного α < π и для любого натурального n сумма частных от деления числа sin kα на k, где 1 £ k £ n, положительна.

511. Внутри четырёхугольника ABCD отмечена точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если величина угла CBM равна величине угла CDM, то величина угла ACD равна величине угла BCM.

512. Пусть f (x) = x³ – x + 1. Для любого натурального m > 1 числа m, f (m), f (f (m)), f (f (f (m))), ... попарно взаимно просты. Докажите это.

513*. Существует такое число А, что в график функции y = A sin x можно вписать 1978 попарно неравных квадратов. Докажите это. (Квадрат называем вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)

514*. Существует такая ограниченная бесконечная последовательность x₁, x₂, x₃, ..., что для любых различных натуральных чисел m и n произведение модуля разности чисел m и n на модуль разности чисел x_m и x_n не меньше 1. Докажите это.

515*. Рассмотрим конечное множество K₀. К нему добавим все точки вида Z_A(B), где A, B принадлежат K₀, а Z — центральная симметрия. Полученное множество обозначим K₁. Аналогично из множества K₁ получаем K₂, из K₂ — K₃, и так далее.

а) Пусть множество K₀ состоит из двух точек A и B на расстоянии 1 друг от друга. При каком наименьшем n в множестве K_n найдётся точка, находящаяся на расстоянии 10 000 от точки A?

б) Пусть K₀ состоит из трёх вершин треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего K_n (то есть площадь его выпуклой оболочки).

В следующих пунктах K₀ — множество вершин тетраэдра, объём которого равен 1.

в) Рассмотрим наименьший выпуклый многогранник, содержащий K₁. Сколько граней у этого многогранника и какие они?

г) Чему равен объём этого многогранника?

д) Найдите объём наименьшего выпуклого многогранника, содержащего множество K_n.

516. Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работают следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку (a; b), выдаёт новую карточку (a + 1; b + 1); второй, прочитав карточку (a; b), выдаёт карточку (a/2; b/2) (он работает только когда a и b чётные); третий по двум карточкам (a; b) и (b; c) выдаёт карточку (a; c). Автоматы возвращают все прочитанные карточки.

Пусть первоначально имеется одна карточка с парой чисел (5; 19). Можно ли, используя автоматы в любом порядке, получить карточку а) (1; 50); б) (1; 100)?

в) Пусть первоначально имеется одна карточка (a; b), где a < b, а мы хотим получить карточку (1; n). При каких n это можно сделать?

517. В окружность с радиусом R вписан n-угольник площади S. На каждой стороне n-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр n-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше 2S / R.

518. Для любых n чисел отрезка [a; b], где 0 < a < b, произведение суммы этих чисел на сумму их обратных величин не превосходит частного от деления произведения (a + b)²n² на 2ab. Докажите это.

519. Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке m спичек, в другой — n спичек, причём m > n. Два игрока по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берёт из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке. Выигрывает игрок, взявший последнюю спичку в одной из кучек.

а) Если m > 2n, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш. Докажите это.

б) При каких α верно следующее утверждение: если m > αn, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш?

520. Обозначим буквами a и b квадратные корни из 2 и 3 соответственно. Для каждого натурального числа n пусть q_n, r_n, s_n, t_n — такие целые числа, что число (1 + a + b)ⁿ равно сумме q_n + r_na + s_nb + t_nab. Найдите предел при стремлении n к бесконечности частного от деления r_n на q_n, а также частного от деления s_n на q_n и частного от деления t_n на q_n.

521. Обозначим через a_n целое число, ближайшее к квадратному корню из n. Найдите сумму обратных величин чисел a₁, a₂, ..., a₁₉₈₀.

522. На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим провести ещё несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающуюся ломаную. Всегда ли это можно сделать?

523. Фишка стоит в углу шахматной доски размером n×n. Каждый из двух играющих по очереди передвигает её на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, на котором фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.

а) Если n чётно, то начинающий может добиться выигрыша, а если n нечётно, то выигрывает второй. Докажите это.

б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?

524. Ни при каком натуральном m число 1978^m – 1 не делится на 1000^m – 1. Докажите это.

525*. Для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше квадратного корня из 2.

526. а) Площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и углом φ между диагоналями, отличном от прямого, равна четверти произведения |a² – b² + c² – d²| tg φ. Докажите это.

б) Можно ли выразить S через a, b, c и d, если φ = 90°?

527. x₁, x₂, ..., x_n — действительные числа, лежащие на отрезке [0; 1]. Докажите, что величина x₁ + x₂ + ... + x_n – x₁x₂ – x₂x₃ – ... – x_n–1x_n – x_nx₁ не превосходит а) 1 при n = 3; б) 2 при n = 4; в) [ⁿ⁄₂] при любом n > 2.

528. На каждой клетке шахматной доски стоит по фишке. Фишки нужно переставить так, чтобы расстояние между любыми двумя фишками не уменьшилось по сравнению с расстоянием между ними при первоначальном расположении. Сколькими способами это можно сделать? (Расстоянием между фишками называем расстояние между соответствующими центрами клеток.)

529. а) Многоугольник M' — образ выпуклого многоугольника M при гомотетии с коэффициентом k = –¹⁄₂. Докажите существование такого параллельного переноса T, что T(M') содержится в M.

б) При каких коэффициентах гомотетии k верно аналогичное утверждение?

530. На прямоугольном клетчатом листе бумаги некоторые клетки закрашены. Затем происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: клетка, имевшая чётное число окрашенных соседей, становится неокрашенной, а имевшая нечётное число окрашенных соседей — окрашенной. (Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону.)

а) Докажите, что если множество B окрашенных клеток при перекрашивании не меняется, то количество элементов множества M чётно.

б) Пусть при перекрашивании множество B₁ окрашенных клеток переходит в B₂, B₂ — в B₃, ..., B_r–1 — в B_r, а B_r — в B₁. Докажите, что сумма |B₁| + |B₂| + ... + |B_r| чётна.

531. Из пунктов А и В не одновременно выехали навстречу друг другу автомобилист и велосипедист. Встретившись в точке С, они тотчас развернулись и поехали обратно (с теми же скоростями). Доехав до своих пунктов А и В, они опять развернулись и второй раз встретились в точке D; здесь они вновь развернулись, и так далее. В какой точке отрезка АВ произошла их 1978-я встреча?

532. Для любого натурального n а) целая часть суммы квадратных корней из n и из n + 1 равна целой части числа 4n + 2; б) разность между суммой квадратных корней из n и из n + 1 и квадратным корнем из 4n + 2 положительна, а её квадрат не превосходит частного от деления числа 1 на 256n³. Докажите это.

533*. Назовём выпуклый многоугольник особым, если некоторые три диагонали пересекаются в одной внутренней точке. Докажите, что хотя бы одна вершина A особого семиугольника обладает следующим свойством: для любого положительного ε вершину A можно, не меняя остальных вершин, сдвинуть на расстояние, меньшее ε, получив неособый семиугольник.

534. Три прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника АВС по трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилежащих к сторонам треугольника АВС, равна площади четвёртого.

535*. На плоскости заданы три бесконечные в обе стороны последовательности точек A_k, B_k и C_k, где k — целое число. Назовём такую систему триграммой, если для любых целых k и m точка B_k+m лежит на прямой A_kC_m.

а) Проверьте, что изображённая на рисунке система является триграммой.

б) Для любых трёх различных прямых a, b и c существует такая триграмма, что для любого целого k точка A_k лежат на прямой a, точка B_k — на b, а C_k — на c. Докажите это.

в) Если для любого целого k точка A_k лежит на прямой a, а B_k — на прямой b, то и все точки вида C_k лежат на одной прямой. Докажите это.

Указание. Пункты б) и в) решите сначала для случая a || b.

г) Придумайте ограниченную триграмму (то есть триграмму, все точки которой лежат внутри некоторого круга).

536. а) Любой прямоугольник размером m×2n можно замостить в два слоя костяшками домино таким образом, чтобы каждая плитка верхнего слоя опиралась на две нижние. Докажите это.

б) Пусть прямоугольник размером 2m×2n уже замощён в один слой. Докажите, что можно выложить второй слой доминошек так, чтобы выполнялось то же самое условие (то есть чтобы никакие плитки из разных слоёв не совпадали).

537. Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника АВС, а также равных сторон АВ и АС этого треугольника в точках Р и Q соответственно. Докажите, что середина отрезка РQ является центром окружности, вписанной в треугольник АВС.

538*. Множество всех натуральных чисел представлено в виде объединения непересекающихся возрастающих последовательностей f (1) < f (2) < f (3) < ... и g(1) < g(2) < g(3) < ..., причём g(n) = f (f (n)) + 1 для любого натурального n. Вычислите f (240).

539. Р — данная точка внутри данной сферы, а А, В, С — такие три точки этой сферы, что отрезки РА, РВ и РС взаимно перпендикулярны; Q — диагонально противоположная точке Р вершина параллелепипеда с рёбрами РА, РВ и РС. Найдите множество точек Q.

540. Международное общество состоит из 1978 граждан шести различных стран, занумерованных числами от 1 до 1978. Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равен сумме номеров двух членов из его страны или удвоенному номеру некоторого члена из его страны.