541. В компании из n человек у каждого ровно трое друзей.

а) Докажите, что n чётно.

б) Всякую ли такую компанию можно разбить на пары так, чтобы люди в каждой паре были друзьями?

542. Дан прямоугольный треугольник A₀A₁A₂ с катетами A₀A₂ = a и A₁A₂ = b. Муравей ползёт по бесконечной ломаной A₂A₃A₄A₅..., где A_nA_n+1 — высота треугольника A_n–2A_n–1A_n. Найдите длину пути (состоящего из бесконечного числа отрезков).

б) Постройте предельную точку L, к которой приближается муравей. На каких расстояниях от катетов она находится?

543. Обозначим через ρ(x;y) частное от деления модуля разности |x – y| чисел x и y на квадратный корень из произведения чисел (1 + x²) и (1 + y²). Докажите для любых вещественных чисел a, b и c неравенство ρ(a;c) £ ρ(a;b) + ρ(b;c).

544. Какое наибольшее число вершин, из которых нельзя провести ни одной диагонали, лежащей целиком внутри многоугольника, может иметь невыпуклый n-угольник? Решите эту задачу сначала для n = 4, 5, 6, 7.

545. На плоскости задано n точек. Нужно разместить в этих точках n прожекторов, каждый из которых освещает угол величиной ^360°⁄_n так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если а) n = 3; б) n = 4; в) n — любое натуральное число.

г) Пусть теперь прожекторы освещают углы, сумма величин которых равна 360°, и составлены в одну точку так, что они освещают всю плоскость. Докажите, что можно параллельно перенести в каждую из данных точек по одному прожектору так, чтобы вся плоскость была по-прежнему освещена.

546. Из произвольной точки М окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры МР и МQ на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежат диагонали прямоугольника.

547. Чтобы уравнение ¹⁄_x – ¹⁄_y = ¹⁄_n, где n — натуральное число, имело единственное решение в натуральных числах x и y, необходимо и достаточно, чтобы n было простым. Докажите это.

548. а) На окружности расположены 4 точки. Для каждой пары этих точек через середину соединяющей их хорды проведём прямую, перпендикулярную хорде, соединяющей две другие точки. Докажите, что все шесть построенных прямых проходят через одну точку.

б) На окружности расположены 5 точек. Через центр тяжести трёх из них (точку пересечения медиан треугольника с вершинами в этих точках) проведём прямую, перпендикулярную хорде, соединяющей остальные точки. Докажите, что все десять построенных прямых проходят через одну точку.

в) Обобщите эти утверждения на случай n точек.

549. Рассмотрим натуральное число. Выпишем все его делители и для каждого из них выясним, сколько делителей оно имеет. С полученными выполним две операции: сложим их кубы и найдём квадрат их суммы. Докажите, что получим равные результаты. Например, число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6; при этом τ(1) = 1, τ(2) = 2, τ(3) = 2, τ(6) = 4 и (1 + 2 + 2 + 4)² = 1³ + 2³ + 2³ + 4³.

550. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно d км, должны добраться n велосипедистов, у которых имеется m велосипедов. Каждый может идти пешком со скоростью u км/ч или ехать на велосипеде со скоростью v км/ч. За какое наименьшее время все n велосипедистов смогут попасть из А в В? (Время считаем по последнему прибывшему. Велосипеды можно оставлять на дороге без присмотра.) Рассмотрите частный случай: m = 2, n = 3.

551*. а) Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого пятиугольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах пятиугольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?

б) Тот же вопрос для выпуклого n-угольника.

552. а) Найдите хотя бы одну пару (p; q) целых чисел, отличных от 0, для которых все корни каждого из трёхчленов x³ + px + q и x³ + qx + p целые.

б) Найдите все такие пары.

553*. Дан треугольник ABC, причём BC < AC < AB. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE так, что BD = CE = BC. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АDЕ, равен расстоянию между центрами окружности, описанной около треугольника АВС, и окружности, вписанной в него.

554. Назовём натуральное число n хорошим, если существуют (не обязательно различные) такие натуральные числа, что их сумма равна n, а сумма обратных величин равна 1. Известно, что все числа между 33 и 73 — хорошие. Докажите, что все числа, большие 73, тоже хорошие.

555. Рассмотрим пересечение а) двух; б) трёх цилиндров одинакового радиуса r, оси которых взаимно перпендикулярны и проходят через одну точку. Сколько плоскостей симметрии имеет это пересечение? Каков его объём?

556. Обязательно ли конгруэнтны два остроугольных равнобедренных треугольника, имеющих равные по длине боковые стороны и равные радиусы вписанных окружностей?

557. Среди любых n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших (2n – 1)², есть хотя бы одно простое число. Докажите это.

558. В круге расположено k > 1 чёрных секторов, угол каждого из которых меньше 180° ⁄ (k² – k + 1). Докажите, что круг можно повернуть вокруг центра O так, что все чёрные секторы перейдут в белую часть круга.

559. Если a, b, c — длины сторон треугольника, то сумма отношений a ⁄ b, b ⁄ c и c ⁄ a отличается от суммы отношений b ⁄ a, c ⁄ b и a ⁄ c менее чем на 1. Докажите это.

560*. В дне ящика есть дырка. Нужно сделать выпуклую заслонку наименьшей площади, при любом положении которой на дне ящика дырка будет закрыта. Решите эту задачу, если

а) дно ящика — квадрат 4×4, а дырка размером 1×1 расположена так, как показано на рисунке;

б) дно ящика — квадрат n×n, где n нечётно, а дырка 1×1 расположена в центре;

в) попробуйте решить аналогичную задачу для каких-либо других случаев, когда дно и дырка — выпуклые фигуры.

561. Треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ площадей S₁ и S₂ расположены так, что лучи A₁B₁ и A₂B₂, B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂ соответственно параллельны, но противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂.

562. На отрезке [0; 1] задано такое множество, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между двумя точками множества M не равно 0,1. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, меньше а) 0,55; б) 0,5.

563. Функция f определена на отрезке [a; b] длиной 4 и имеет на нём непрерывную производную. Докажите, что внутри отрезка [a; b] существует такая точка x, что производная функции f в точке x меньше суммы числа 1 и квадрата значения функции f в точке x.

564. Для каких точек M стороны BC треугольника ABC верно утверждение: треугольник MPQ подобен треугольнику ABC, если точки P и Q являются для треугольников ABM и ACM

а) центрами описанных окружностей;

б) центрами тяжести (то есть точками пересечения медиан);

в) ортоцентрами (точками пересечения высот).

565*. a₁, a₂, ..., a_n — положительные числа; b_k — среднее арифметическое всевозможных произведений по k данных чисел, где 1 £ k £ n. Докажите неравенства

а) b₁² ³ b₂;

б) b_k² ³ b_k–1b_k+1 при 1 < k £ n;

в) b_k^k+1 ³ b_k+1^k при 1 < k £ n.

566. Какое наименьшее значение может иметь отношение площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников, три вершины одного из которых лежат соответственно на трёх сторонах другого?

567. Натуральные числа q и p взаимно просты. Отрезок [0; 1] разбит на p + q одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из p + q – 2 чисел ¹⁄_p, ²⁄_p, ..., ^{(p – 1)}⁄_p, ¹⁄_q, ²⁄_q, ..., ^{(q – 1)}⁄_q.

568*. Диагонали выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что

а) если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СОD и DОА, равны между собой, то АВСD — ромб;

б) если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDА и DАВ, равны между собой, то АВСD — прямоугольник.

569. В тетради написаны несколько чисел. К этим числам разрешено приписать число, равное среднему арифметическому двух или нескольких из них, если оно отлично от всех уже написанных чисел. Докажите, что начав с чисел 0 и 1, таким образом можно получить: а) число ¹⁄₅; б) любое рациональное число, расположенное между 0 и 1.

570*. Задан набор квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что ими можно покрыть квадрат площади 1.

571. Убывающая последовательность положительных чисел такова, что если для каждого натурального n разделить на n её n²-й член, то получим ряд, сумма которого не превосходит 1. Докажите, что а) если для каждого натурального n разделим на n её n-й член, то получаем ряда, сумма членов которого не превосходит 2; б) в условии пункта а) число 2 нельзя заменить ни на какое меньшее число.

572. Кенгуру прыгает по точкам координатной плоскости Охy, обе координаты которых неотрицательны, следующим образом: из точки (x; y) кенгуру может прыгнуть в точку (x + 1; y – 1) или в точку (x – 5; y + 7), причём прыгать в точки, у которой есть отрицательная координата, нельзя. Из каких начальных точек (x; y) кенгуру не может попасть в точку, находящуюся на расстоянии больше 1000 от начала координат? Нарисуйте множество всех таких точек и найдите его площадь.

573. Через точку O а) на плоскости; б) в пространстве проведено 1979 прямых, никакие две из которых не перпендикулярны друг другу. На первой прямой l₁ взята произвольная точка A₁, отличная от O. Докажите, что на остальных прямых l₂, l₃, ..., l₁₉₇₉ можно выбрать точки A₂, A₃, ..., A₁₉₇₉ соответственно так, что прямая l_k перпендикулярна прямой A_k–1A_k+1 для любого k = 2, 3, ..., 1978, прямая l₁₉₇₉ перпендикулярна прямой A₁₉₇₈A₁, а прямая l₁ перпендикулярна прямой A₁₉₇₉A₂.

574*. Конечная последовательность a₁, a₂, ..., a_n состоит из нулей и единиц и удовлетворяет следующему условию: для любого целого k от 0 до n – 1 сумма a₁a_k+1 + a₂a_k+2 + ... + a_n–ka_n нечётна.

а) Придумайте такую последовательность для n = 25.

б) Докажите существование такой последовательности хотя бы для одного n > 1000.

575*. На прямой по порядку расположены точки A₀, A₁, A₂, ..., A_n так, что длины отрезков A₀A₁, A₁A₂, ..., A_n–1A_n не превосходят 1. Требуется отметить k – 1 из точек A₁, A₂, ..., A_n–1 красным цветом так, чтобы длины любых двух из k частей, на которые отрезок A₀A_n разбивается красными точками, отличались не более чем на 1. Докажите, что это можно сделать для а) k = 3; б) любого натурального k < n.

576. На плоскости дано несколько точек. Для некоторых пар (A,B) этих точек взяты векторы AB, причём так, что в каждой точке оканчивается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна нулю.

577. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размерами а) 8×8; б) n×n, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставим в центры полей.)

578. a и b — данные числа. Найдите все такие пары чисел x и y, что произведение числа a и квадратного корня из числа 1 – x² + y² равно разности между числом x и произведением числа y на квадратный корень из числа x² – y², а произведение числа b и квадратного корня из числа 1 – x² + y² равно разности между числом y и произведением числа x на квадратный корень из числа x² – y².

579. Учетверённая сумма квадратов нескольких чисел отрезка [0; 1] не превосходит квадрата суммы числа 1 и суммы этих чисел. Докажите это.

580. В парламенте у каждого его члена не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у любого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считаем, что отношение вражды симметрично: если А — враг В, то В — враг А.)

581. а) Существует ли трёхзначное число, куб которого оканчивается на три семёрки?

б) Для любого ли набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, оканчивающийся этим набором цифр?

582. В окружность с центром О вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки О до любой его стороны равно половине длины противоположной стороны.

583. Рассмотрим набор камней, масса каждого из которых не больше 2 кг, а общая масса набора — 50 кг. Из такого набора выберем несколько камней, сумма масс которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число D. Какое наибольшее значение может принять число D?

584. Можно ли представить всё пространство в виде объединения прямых, каждые две из которых — скрещивающиеся (то есть не лежат в одной плоскости)?

585. На химической конференции присутствовали N учёных — химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. На любой вопрос химики отвечают правдиво, а алхимики иногда говорят правду, иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного должен выяснить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: «Кем является такой–то — химиком или алхимиком?» (В частности: «Кто Вы?») Докажите, что математик может выяснить всё, что требуется, а) за 4N вопросов; б) за 2N – 2 вопроса; в*) постарайтесь придумать способ, позволяющий установить, кто — химик, а кто — алхимик, за меньшее число вопросов. (Авторам известен довольно громоздкий способ, позволяющий сделать это за [^3N⁄₂] вопросов.)

586. Биссектрисы AD и CE треугольника ABC, величина угла B которого равна 60°, пересекаются в точке I. Докажите равенство DI = IE.

587. Дана тройка положительных чисел 2, a, b, где a² = 2 и ab =1. Разрешено любые два из них заменить вот какими: их суммой, делённой на a, и их разностью, также делённой на a. Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел 1, a, 1 + a?

588. а) Через точку, взятую внутри произвольного тетраэдра, параллельно его рёбрам проведены отрезки с концами на гранях тетраэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рёбер равна трём.

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для треугольника (на плоскости).

589*. На плоскости дан набор из n векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор n векторов, длина суммы которых не превосходит квадратного корня из а) n; б) 2.

590. а) Найдите наименьшее значение выражения |cos x| + |cos 2x|.

Докажите, что для любого числа x и любого натурального n сумма |cos x| + |cos 2x| + |cos 4x| + ... + |cos 2ⁿx| не меньше б) ⁿ⁄₄; в) ⁿ⁄₂.

591. Из суммы всевозможных дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — нечётные числа от 1 до 1319, вычтем сумму всевозможных дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — чётные числа от 2 до 1318. Докажите, что числитель полученной дроби делится на 1979. (Число 1979 — простое.)

592. Для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне. Докажите это.

593. Внутри окружности γ расположены n кругов. Докажите, что длина границы объединения этих кругов не превосходит длины окружности γ, если а) n = 2; б) центры всех n кругов лежат на одном диаметре окружности γ; в) все n кругов содержат центр окружности γ.

594. Найдите все действительные числа a, для которых существуют такие действительные неотрицательные числа x₁, x₂, x₃, x₄ и x₅, что x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = a, x₁ + 8x₂ + 27x₃ + 64x₄ + 125x₅ = a² и x₁ + 32x₂ + 243x₃ + 1024x₄ + 3125x₅ = a³.

595. Пусть A и E — противоположные вершины правильного восьмиугольника. В вершине A находится лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, лягушка может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину E, лягушка останавливается и остаётся там. Пусть a_n — количество способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в вершину E ровно за n прыжков. Докажите для любого натурального n, что a_2n–1 = 0 и a_2n равно делённой на корень из числа 2 разности (n – 1)–х степеней следующих двух чисел: два плюс корень из двух и два минус корень из двух.

596. Дана пятиугольная призма с основаниями A₁A₂A₃A₄A₅ и B₁B₂B₃B₄B₅. Каждое ребро оснований и все отрезки A_jB_k, где 1 £ j, k £ 5, окрашены в красный или в зелёный цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах призмы, стороны которого окрашены, есть стороны разного цвета. Докажите, что все десять рёбер оснований окрашены одинаково.

597. Для каждого натурального числа n обозначим через x_n сумму обратных величин первых n натуральных чисел.

а) Докажите существование предела разности x_n – ln n при стремлении n к бесконечности. Обозначим этот предел буквой γ.

б) Для любых натуральных чисел m и n докажите неравенства 0 < x_m + x_n – x_mn £ 1.

в) Найдите γ с точностью до 0,01.

598. Дана плоскость α, точка P на этой плоскости и точка Q вне этой плоскости. Найдите все точки R на плоскости α, для которых частное от деления суммы длин отрезков QP и PR к длине отрезка QR максимально возможно.

599. а) Сколькими нулями оканчивается число 4⁵⁶ + 6⁵⁴?

б) Укажите наибольшую степень числа 1979, на которую делится число 1978^19791980 + 1980^19791978. (Число 1979 — простое.)

600. Два велосипедиста едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной из точек их пересечения и сделав по одному обороту, велосипедисты вновь встретились в этой точке. Докажите, что на плоскости, в которой лежат окружности, существует такая неподвижная точка, расстояния от которой до велосипедистов всё время равны, если они едут а) в одном направлении (против часовой стрелки); б) в разных направлениях.