601. Середина стороны BC любого треугольника ABC лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот треугольника ABC с точкой описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположной вершине A, и делит этот отрезок пополам. Докажите это.

602. В седьмой строке треугольника Паскаля есть три подряд стоящих числа, образующих арифметическую прогрессию. (Седьмая строка состоит из восьми чисел. Самую верхнюю строку треугольника Паскаля, состоящую из одной лишь единицы, принято считать строкой номер 0.)

									1
								1		1
							1		2		1
						1		3		3		1
					1		4		6		4		1
				1		5		10		10		5		1
			1		6		15		20		15		6		1
		1		7		21		35		35		21		7		1
	1		8		28		56		70		56		28		8		1
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.

а) В какой следующей строке это повторится?

б) Какие строки треугольника Паскаля содержат арифметическую прогрессию из трёх подряд идущих чисел?

603. Решите систему уравнений: (3 – x)(x² + y²) = 3x – y и y(x² + y²) = x + 3y.

604. а) Андрей, Виктор и Сергей, плавающие под водой, одновременно вынырнули в точках A₀, B₀ и C₀ и тут же нырнули снова, причём Андрей решил проплыть за минуту треть пути до Виктора, Виктор — треть пути до Сергея, а Сергей — треть пути до Андрея. Через минуту они вынырнули вновь (точки A₁, B₁ и C₁ на рисунке) и повторили манёвр уже за полминуты, потом за четверть минуты и так далее. Где и когда они встретились?

б) Внутри сферы радиусом 1 км расположен миллион точек, занумерованных числами от 1 до миллиона. Каждую секунду одновременно каждая точка двигается к следующей по номеру на ¹⁄₃ расстояния до этой точки; последняя точка точно так же движется к первой. Докажите, что через некоторое время все точки соберутся внутри сферы радиусом 1 мм.

605. На плоскости отмечены 2n + 1 различных точек. Занумеруем их первыми 2n + 1 натуральными числами и рассмотрим следующее преобразование плоскости: сначала выполняем симметрию относительно первой точки, затем — относительно второй, третьей и так далее вплоть до (2n + 1)-й точки.

а) Докажите, что у этого преобразования есть единственная неподвижная точка (то есть точка, которая переходит в себя).

Рассмотрим всевозможные нумерации данных 2n + 1 точек числами от 1 до 2n + 1. Каждой такой нумерации соответствует своя композиция центральных симметрий и своя неподвижная точка. Рассмотрим множество F всех таких неподвижных точек.

б) Найдите множество F для n = 1.

в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество F при каждом данном n = 1, 2, 4, 5, 6, 7, ...?

606. Функция f такова, что для любого действительного числа x сумма чисел f (x + 1) и f (x – 1) в корень квадратный из двух больше числа f (x). Докажите, что f — периодическая функция.

607. На равнобедренные трапеции можно разрезать а) квадрат; б) равнобедренный прямоугольный треугольник; в) любой треугольник. Докажите это.

608. На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован n-угольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечётную длину.

а) Докажите, что n делится на 4.

б) Докажите, что при n = 100 площадь этого n-угольника обязательно нечётна. Выясните, какова чётность площади при других n.

609. а) Площадь многоугольника не превосходит произведения длин его проекций на две взаимно перпендикулярные прямые.

б) Объём многогранника не превосходит произведения длин его проекций на три взаимно перпендикулярные прямые.

в) Квадрат объёма выпуклого многогранника не превосходит произведения площадей его проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости.

Докажите эти утверждения.

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 2 0 1 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 0 0 3 0 1 3 0 2 3 0 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3

610. Фиксируем натуральное число k.

а) Рассмотрим множество всех таких наборов целых неотрицательных чисел a₁, a₂, ..., a_k, что a₁ £ a₂ £ ... £ a_k; обозначим количество таких наборов буквой N. Рассмотрим среди них те наборы, в которых a_k = k; обозначим их количество буквой M. Докажите равенство N = 2M.

б) Наложим на рассматриваемые наборы дополнительное ограничение: сумма a₁ + a₂ + ... + a_k должна делиться на k. Обозначим соответствующие количества буквами n и m. Докажите равенство n = 2m. (Например, при k = 3 имеем M = 9, N = 18, m = 4 и n = 8.)

611. На хорде АВ окружности с центром О берём произвольную точка М. Через точки А, М и О проведём окружность, пересекающую первую окружность в точках А и С. Докажите равенство MB = MC.

612. Возрастающая последовательность натуральных чисел такова, что каждый следующий её член не более чем вдесятеро превосходит предыдущий. Докажите, что если все числа этой последовательности записать подряд без пробелов и запятых, то полученная последовательность цифр не будет периодической.

613. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA (а именно, AD : DB = BE : EC = CF : FA = k; величины углов ADB, BEC и CFA равны α). Докажите, что:

а) середины отрезков АС, DC, ВС и EF — вершины параллелограмма;

б) величины двух углов этого параллелограмма равны α, а отношение длин сторон равно k.

614. Для каждого натурального n через S(n) обозначим сумму цифр натуральных чисел от 1 до n. Например, S(1) = 1, S(2) = 1 + 2 = 3, S(3) = S(2) + 3 = 6, ..., S(9) = 45, S(10) = S(9) + 1 + 0 = 46, S(11) = S(10) + 1 + 1 = 48, S(12) = S(11) + 1 + 2 = 51.

а) Найдите S(100).

б) Докажите равенство S(10^k – 1) = 45k · 10^k–1 для любого натурального k.

в) Для любого двузначного числа 10a + b, где a и b — цифры, величина S(10a + b) равна сумме числа 5a² + ab + 41a и половины числа b(b + 1).

г) Найдите аналогичную формулу для трёхзначных чисел.

д) Вычислите S(1980).

615. Периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней. Докажите это.

616. Можно ли числа 1, 2, ..., 30 разбить на группы по а) пять; б) шесть чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

в) При каких n и k числа 1, 2, ..., nk можно разбить на n групп по k чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

617. Внутри треугольника расположены окружности α, β, γ и δ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей α, β и γ касается двух сторон треугольника и окружности δ. Докажите, что центр окружности δ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данный треугольник окружности и окружности, описанной около него.

618. а) Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что n! делится на n² + 1. Докажите это.

б) Для любого положительного числа α существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что [αn]! делится на n² + 1.

619. Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне СD. Докажите это.

620. Пусть x₁, x₂, ..., x_n — действительные числа, сумма квадратов которых равна 1. Докажите, что сумма 2ⁿ модулей чисел ±x₁ ± x₂ ± ... ± x_n (со всевозможными комбинациями знаков «+» и «–») не превосходит 2n.

621. Вокруг окружности описан n-угольник. Произвольная точка Р внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся 2n треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

622. Количество решений уравнения x² + y² = z² + t² + 1 в натуральных числах, не превосходящих 1 0000 000, меньше количества решений уравнения x² + y² = z² + t² в натуральных числах, не превосходящих 1 0000 000. Докажите это.

623. а) Сколько осей симметрии имеет куб? Правильная треугольная пирамида?

б*) Если некоторый правильный многогранник имеет k осей симметрии, где k > 0, то k нечётно. Докажите это.

624. Найдите последовательность, первый член a₁ которой равен 1, а каждый следующий таков, что для любого натурального числа n сумма чисел (–1)^{n ⁄ d}a_d равна числу –1.

625. На координатной плоскости заданы четыре точки с рациональными координатами, не лежащие в вершинах параллелограмма, причём никакие три из них не принадлежат одной прямой. Разрешено проводить прямую через любые две уже полученные точки и отмечать точку пересечения любых двух проведённых прямых. Докажите, что множество точек, которые можно получить таким образом,— это множество всех точек плоскости с рациональными координатами, если четыре точки — вершины а) трапеции; б) произвольного четырёхугольника.

626. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых клеток.

627. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.

а) Пусть каждое из этих чисел встречается ровно один раз. (Приведите примеры такой расстановки чисел!) Докажите, что для любого заданного m найдутся две соседние (имеющие общую сторону) клетки, разность чисел которых не меньше m.

б) Пусть каждое натуральное число n встречается ровно n раз (то есть 1 — единожды, 2 — дважды и так далее). Укажите наибольшее число k такое, что обязательно найдутся две соседние клетки, разность чисел в которых не меньше k.

628. На сфере построен треугольник, одна «сторона» которого имеет величину 120°. Докажите, что «медиана», опущенная на эту «сторону», делится каждой из двух других «медиан» на две равные части. («Медианы» и «стороны» — дуги больших окружностей.)

629. Докажите следующие утверждения.

а) Число 2^2n–1 – 9n² + 21n – 14 делится на 27 при любом натуральном n.

б) Если a, b, m — натуральные числа, а числа a + b и a² + b² делятся на m, то aⁿ + bⁿ делится на m для любого натурального n.

в) Если a, b₀, b₁, ..., b_k, m — натуральные числа, а число f (n) = a_n + b₀ + b₁n + ... + b_kn^k делится на m при n = 1, 2, ..., k + 1, k + 2, то f (n) делится на m при любом натуральном n.

630. На плоскости даны окружность γ и точка K. Проведём через произвольные точки P, Q окружности γ и точку K окружность. Пусть М — точка пересечения прямой PQ с касательной к этой окружности, проведённой в точке K. Какое множество заполняют точки М?

631. Двузначные числа от 19 до 80 выписали подряд. Делится ли полученное число 1920212223...7980 на 1980?

632. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на орбитальную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза 18 тонн. Имеется семь транспортных кораблей «Прогресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они могут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груз.

633. На диаметре АС некоторой окружности дана точка Е. Проведите через неё хорду ВD так, чтобы площадь четырёхугольника АВСD была наибольшей.

634. Обозначим через S(n) сумму всех цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое натуральное n, что n + S(n) = 1980?

б) Хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представимо в виде n + S(n) для некоторого третьего натурального числа n. Докажите это.

635. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, вдруг стали болеть гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никто не простужался, здоровые коротышки заболевали, навещая своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка болеет гриппом ровно день, причём после этого у него по крайней мере ещё один день есть иммунитет, то есть он здоров и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навещает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки забыли о прививках и не делают их. Докажите, что

а) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь угодно долго;

б) если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится.

636. Множество А состоит из натуральных чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент множества А, кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежащих А. Укажите среди всех множеств А, удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом элементов.

637. Дан равносторонний треугольник АВС. Некоторая прямая, параллельная прямой АС, пересекает прямые АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Точка D — центр треугольника РМВ, точка Е — середина отрезка АР. Определите углы треугольника DЕС.

638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги выкрашены в красный цвет, остальные — в синий, причём так, что каждый прямоугольник из 6 клеток размером 2×3 содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямоугольник из 99 клеток размером 9×11?

639. Рёбра AC и CB тетраэдра ABCD перпендикулярны. Перпендикулярны и рёбра AD и DB. Докажите, что косинус угла между прямыми АС и ВD меньше отношения CD/AB.

640. Число x лежит на отрезке [0; 1] и записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив её первые 5 цифр после запятой, получаем новую бесконечную десятичную дробь, отвечающую некоторому новому числу x₁. Переставив в десятичной записи числа x₁ цифры со второй по шестую (после запятой), получаем десятичную запись числа x₂. Вообще, десятичную запись числа x_k получаем, переставляя в десятичной записи числа x_{k – 1} цифры с k-й по (k + 4)-ю (после запятой).

а) Докажите, что как бы ни переставляли цифры на каждом шаге, получаемая последовательность x₁, x₂, x₃, ... всегда имеет некоторый предел.

б) Выясните, из каких рациональных чисел х можно ли с помощью такого процесса получить иррациональное число. Выясните, из каких рациональных чисел х можно с помощью такого процесса получить иррациональное число.

в) Придумайте такое число x, для которого описанный процесс всегда приводит к иррациональному числу, каковы бы ни были перестановки пятёрок цифр на каждом шаге.

641. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Точки M и N — середины сторон CD и DE. Прямые АМ и BN пересекаются в точке L. Докажите, что

а) площади треугольника АВL и четырёхугольника DMLN равны;

б) величины углов АLO и OLN равны 60°;

в) угол O и OLN равны 60°.

642. Каждое натуральное число представимо в виде a₀ + 2a₁ + ... + 2ⁿa_n, где каждое из чисел a₀, a₁, ..., a_n равно –1, 0 или 1, причём произведение любых двух соседних чисел последовательности a₀, a₁, ..., a_n равно 0. Докажите это и докажите, что такое представление единственно. (Например, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 4 – 1, 5 = 4 + 1, 6 = 8 – 2, 7 = 8 – 1, 9 = 8 + 1, 10 = 8 + 2, 11 = 16 – 4 – 1, 12 = 16 – 4 и 13 = 16 – 4 + 1.)

643. Карточки с числами 1, 2, ..., 31, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешено снять сверху любое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно. Эту операцию назовём перемешиванием. Докажите, что за 5 перемешиваний можно

а) переложить карточки в обратном порядке;

б) разложить карточки в любом порядке.

в) Не всякий порядок карточек можно получить за 4 перемешивания. Докажите это.

644. а) Существует выпуклый 1980-угольник со сторонами длины 1, 2, ..., 1980, величины всех углов которого равны. Докажите это.

б) Существует ли такой 1981-угольник?

645*. В подвале три коридора, все выходы из которых закрыты. OA = OB = OC = 1. В подвале находятся инспектор Варнике и преступник. Варнике замечает преступника, если расстояние между ними не превосходит r. Он знает, что максимальная скорость преступника в два раза меньше его собственной максимальной скорости. В начальный момент инспектор находится в точке O и не видит преступника. Как должен действовать Варнике, чтобы наверняка поймать преступника, если а) r = ^l⁄₃; б) r = ^l⁄₄; в) r > ^l⁄₅; г) r > ^l⁄₇. Шириной коридоров и размерами людей пренебречь. (Варнике должен придумать такой план действий, чтобы, даже если преступник о нём заранее знает, преступник всё равно не мог ускользнуть.)

646. От точки на плоскости отложено чётное число векторов длины 1. Они раскрашены попеременно в красный и синий цвета. Докажите, что длина разности суммы красных векторов и суммы синих векторов не превосходит 2.

647. Для любых a и b, где ¹⁄₂ £ a £ b, квадрат половины разности квадратов чисел b и a не меньше разности квадратного корня из среднего арифметического чисел a² и b² и средним арифметическим чисел a и b. Докажите это.

648. Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности. Докажите это.

649. Обозначим через c_n сумму обратных челичин первых n натуральных чисел. Докажите, что для любого натурального числа n сумма квадратов разностей чисел вида c_n – c_k, где k < n, равна половине разности числа n и квадрата числа c_n.

650. Существует ли такая последовательность

а) натуральных чисел, что любое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

б) натуральных чисел, что число 1 не принадлежит последовательности, а любое другое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

в) целых чисел, что 0 не принадлежит последовательности и не является суммой никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0, единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

г) целых чисел, что ни 0, ни 1 не принадлежат последовательности и не являются суммами никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0 и 1, единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого)?

651. Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько корзина, картина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну, и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если с ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

652. Женя разрезал выпуклый картонный многогранник на грани (по рёбрам) и послал этот набор граней по почте Вите. Витя склеил из всех этих граней выпуклый многогранник. Могло ли случиться, что многогранники Жени и Вити не конгруэнтны?

653. Имеется линейка с двумя делениями. С помощью линейки можно проводить произвольные прямые и откладывать отрезки определённой длины. Постройте с её помощью

а) какой-нибудь прямой угол;

б*) прямую, перпендикулярную данной прямой.

654. Верно ли такое утверждение: из любых шести натуральных чисел можно выбрать три числа, любые два из которых не имеют общих делителей, больших 1, или можно выбрать три числа, имеющие общий делитель, больший 1?

655. На столе у чиновника Министерства околичностей лежат n томов Британской энциклопедии, сложенной в несколько стопок. Каждый день, придя на работу, чиновник берёт из каждой стопки по одному тому и складывает взятые тома в новую стопку, затем располагает стопки по количеству томов (в невозрастающем порядке) и заполняет ведомость, в которой указывает количество томов в каждой стопке. Кроме этого, чиновник никогда ничего не делает.

а) Какая запись будет сделана в ведомости через месяц, если общее количество томов n = 3, 6 или 10? (Начальное расположение произвольно.)

б) Если общее число томов имеет вид k(k + 1) ⁄ 2, где k — натуральное число, то начиная с некоторого дня ведомость будет заполняться одинаковыми записями. Докажите это.

в) Исследуйте, что будет через много дней работы при других значениях величины n.

656. В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Докажите, что среди них найдутся два, величина угла между которыми меньше 45°.

657. В квадратной таблице, заполненной числами, все строки различны. Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различны.

658. В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведённых отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбивается этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

659*. Докажите следующие свойства последовательности Фибоначчи, первые два члена которой равны 1, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих: φ₁ = φ₂ = 1 и φ_n+2 = φ_n+1 + φ_n для любого натурального n.

а) Каждое натуральное число является числом Фибоначчи или суммой двух или более разных чисел Фибоначчи.

б) Количество таких представлений любого данного натурального числа в виде суммы чётного числа слагаемых отличается от количества таких представлений в виде суммы нечётного числа слагаемых не более чем на 1.

в) Если перемножить несколько подряд стоящих двучленов из последовательности 1 – x, 1 – x², 1 – x³, 1 – x⁵, ..., 1 – x^φ_n, ..., то все коэффициенты полученного многочлена равны –1, 0 или 1.

г) Любое натуральное число, начиная с числа 2, можно, причём единственным образом, представить в виде суммы различных чисел Фибоначчи, которая вместе с каждым слагаемым содержит хотя бы одно из двух предшествующих чисел Фибоначчи (если хоть одно такое существует): 2 = φ₂ + φ₁, 3 = φ₃ + φ₁, 4 = φ₃ + φ₂ + φ₁, 5 = φ₄ + φ₂ + φ₁, 6 = φ₄ + φ₃ + φ₁, 7 = φ₄ + φ₃ + φ₂ + φ₁, 8 = φ₅ + φ₃ + φ₁, 9 = φ₅ + φ₃ + φ₂ + φ₁, 10 = φ₅ + φ₄ + φ₂ + φ₁, ... (Известные нам доказательства утверждений б) и в) опираются именно на это утверждение.)

660. На окружности расставлены синие и красные точки. Разрешено добавить одну точку и одновременно поменять цвет обеих её соседних точек, либо убрать красную точку и поменять цвет обеих её бывших соседок. Первоначально было всего две красные точки. Меньше двух точек оставлять нельзя. Можно ли несколькими такими операциями получить на окружности а) две точки — синюю и красную; б) 8 красных точек; в) 8 красных точек; г) одну красную и 6 синих точек?