781. Постройте прямую, параллельную стороне AC данного треугольника ABC и пересекающую его стороны AB и BC в таких точках D и E соответственно, что AD = BE.

782. Если произведение двух натуральных чисел равна 30 030, то их произведение не делится на 30 030. Докажите это.

783. а) При каком наибольшем n существует такое число x, что его первая степень расположена на интервале (1; 2), вторая — на интервале (2; 3), третья — на интервале (3; 4), ..., n-я — на интервале (n; n + 1)?

б) Для каких n существуют такие две прогрессии — арифметическая a₁, a₂, a₃,..., a_{n + 1} и геометрическая b₁, b₂, b₃,..., b_n, что a₁ < b₁ < a₂ < b₂ < a₃ < ... < a_n < b_n < a_{n + 1}?

784. Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°). Угловая скорость вращения планеты по орбите много меньше угловой скорости вращения планеты вокруг её оси. Найдите зависимость продолжительности Т самого короткого дня в году в данном пункте на поверхности планеты от географической широты φ этого пункта. Нарисуйте эскиз графика функции Т(φ).

785. а) Про возрастающую последовательность положительных чисел a₁, a₂, a₃,... известно, что для любого натурального числа k > 1 существует такое число b_k, что a_kn £ b_ka_n при всех n. Докажите, что существуют положительные числа c и α, для которых a_n £ cn^α при всех n ³ 1. Останется ли верным это утверждение, если в условии

б) слово «любого» заменить на «некоторого»;

в) не требовать, чтобы последовательность a_n была возрастающей?

786. Для любого натурального k и для любого натурального n > 1 число n^k представимо в виде суммы k последовательных нечётных чисел. Докажите это. (Например, 4³ = 13 + 15 + 17 + 19,   7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13,   3⁴ = 25 + 27 + 29.)

787. Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

788. а) На графике функции y = x² отмечены точки A(a;a²) и B(b;b²). Найдите между ними точку, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками АМ и ВМ, наименьшая.

б) На графике дифференцируемой функции y = f (x) отмечены точки А и В. Известно, что график и отрезок АВ ограничивают выпуклую фигуру. Пусть М — точка графика, расположенная между А и В, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками АМ и ВМ, наименьшая. Докажите, что касательная к графику в точке М параллельна хорде АВ.

789. а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, разбили на пары и точки каждой пары соединены друг с другом. Обязательно ли среди полученных пяти хорд найдутся хорды одинаковой длины?

б*) 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуг, разбили на пары и точки каждой пары соединены друг с другом. Докажите, что среди полученных пятидесяти хорд есть хорды одинаковой длины.

790. а) Функция f такова, что если |x – y| = 1, то |f (x) – f (y)| = 1. Верно ли, что для любых x и y выполнено равенство |f (x) – f (y)| = |x – y|?

Пусть про отображение F плоскости в себя известно, что любые точки X и Y, находящиеся на расстоянии 1, оно переводит в точки f (X) и f (Y), также находящиеся на расстоянии 1. Докажите, что тогда отображение F сохраняет расстояния, то есть для любых точек X и Y верно равенство XY = f (X)f (Y). Для этого докажите следующие утверждения: для любых точек X и Y

б) f (X)f (Y) £ XY + 1;

в) если XY² = 3, то f (X)f (Y)² = 3;

г*) XY £ f (X)f (Y);

д*) XY ³ f (X)f (Y).

(Вы можете, конечно, предложить и другой план доказательства теоремы.)

791. Пете подарили микрокалькулятор, на котором он может выполнять следующие операции: по любым данным числам x и y вычислить сумму x + y, разность x – y, сумму x + 1, а также обратную величину 1 : x (если число x не равно 0). Петя умеет с помощью своего микрокалькулятора

а) возвести любое число в квадрат, проделав не более шести операций;

б*) перемножить любые два числа, проделав не более двадцати операций.

А Вы так сможете?

792. Решите в натуральных числах уравнения а) 3^x + 1 = 2^y; б) 3^x – 1 = 2^y.

в) Найдите все натуральные n, при которых оба числа 1/n и 1/(n + 1) выражаются конечными десятичными дробями.

г) Ни при каком простом p > 3 и натуральном m > 1 ни одно из чисел p^m + 1 и p^m – 1 не является степенью двойки.

793. Из вершины P тетраэдра PABC проведём отрезки PA', PB', PC', перпендикулярные соответственно граням PBC, PCA, PAB, а по длине равные площадям этих граней (направления этих векторов выбираем так, что точки A и A', B и B', C и C' лежат по разные стороны от плоскостей соответствующих граней РВС, РСА, РАВ. Докажите, что

а) Повторив это же построение для тетраэдра PA'B'C' (и его вершины Р), мы получим тетраэдр, гомотетичный исходному тетраэдру РАВС с коэффициентом 3V/4, где V равно объёму тетраэдра РАВС.

б) Сумма векторов PA', PB' и PC' перпендикулярна плоскости ABC.

в) Из точки O, взятой внутри тетраэдра ABCD, опустим перпендикуляры на плоскости его граней. На этих перпендикулярах от точки O отложим отрезки, длины которых равны площадям соответствующих граней, и концы этих отрезков примем за вершины нового тетраэдра A'B'C'D'. (Разумеется, с точностью до параллельного переноса, этот тетраэдр не зависит от выбора точки O.) Докажите, что, повторив это построение для тетраэдра A'B'C'D', мы получим, гомотетичный исходному с коэффициентом 3V, где V — объём исходного тетраэдра АВСD. (Если 3V = 1, то последний тетраэдр получается из исходного параллельным переносом.)

794. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку К первой окружности проведём прямые КА и КВ, пересекающие вторую окружность в точках P и Q. Докажите, что хорда РQ второй окружности перпендикулярна диаметру КМ первой окружности.

795. Обозначим через σ(n) сумму всех делителей натурального числа n. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что а) σ(n) > 2n; б) σ(n) > 3n. Докажите для любого натурального числа n неравенства в) σ(n) < (log₂n + 1); г) σ(n) < (ln n + 1).

Вот таблица нескольких первых значений функции σ:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
σ(n)	1	3	4	7	6	12	8	15	13	18	12	28	14	24	24	31	18	39	20	42

796. Точка P расположена внутри квадрата ABCD так, что AP : BP : CP = 1 : 2 : 3. Найдите величину угла APB.

797. Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, то есть что для любого набора из n цифр a₁, a₂, ..., a_n можно найти целое число, квадрат которого оканчивается цифрами a₁a₂...a _n, где b — одна из вышеуказанных цифр?

798. На окружности отметили 4k точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем 2k красных точек произвольным образом разбили на пары и соединили точки каждой пары красным отрезком, так что всего провели k красных отрезков. Аналогично 2k синих точек разбили на пары и соединили синими отрезками, проведя всего k синих отрезков. Никакие три отрезка не пересеклись в одной точке. Докажите, что количество точек пересечения красных отрезков с синими не меньше k.

799. а) Найдите решение уравнения 3^{x + 1} + 100 = 7^{x – 1} и докажите, что у него нет других решений.

б) Найдите два разных решения системы уравнений y = x², 3^x + 3^y = 2^x + 4^y и докажите, что у неё нет других решений.

800*. а) На плоскости отмечены все точки с целочисленными координатами — узлы квадратной решётки. Среди них выделен один «начальный» узел О. Для каждого из остальных узлов Р проведена прямая, относительно которой узлы О и Р симметричны,— серединный перпендикуляр к отрезку ОР. Проведённые прямые разбивают плоскость на мелкие части (треугольники и выпуклые многоугольники). Припишем каждой из них натуральное число — ранг — по следующему правилу: часть, содержащая точку О (она имеет форму квадрата), получает ранг 1, части, граничащие с ней по стороне,— ранг 2, части, граничащие с ними по стороне (и отличные от уже рассмотренных) — ранг 3 и так далее. Докажите, что сумма площадей всех частей ранга r одна и та же при всех натуральных r.

б) Верно ли аналогичное утверждение для произвольной решётки из параллелограммов (например, для решётки из ромбов с углом в 60°)? Для решётки из правильных шестиугольников?

в) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для кубической решётки в пространстве.

801. Для любого натурального n сумма целых частей корней из числа n степеней 2, 3, ..., n равна сумме целых частей логарифмов числа n, основаниями которых служат числа от 2 до n включительно. Докажите это.

802. На сторонах AB и BC треугольника ABC как на гипотенузах построены вне него прямоугольные треугольники APB и BQC с одинаковыми углами величины β при их общей вершине В. Найдите величины углов треугольника PQK, где К — середина стороны АС.

803. Сумма двух рациональных чисел x и y — натуральное число, сумма обратных к ним чисел 1/х и 1/y — тоже натуральное число. Какими могут быть x и y?

804. Точка O — середина оси прямого кругового цилиндра, A и B — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания этого цилиндра, C — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости OAB. Докажите, что сумма двугранных углов трёхгранного угла OABC (с вершиной O) равна 360°.

805. а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC выбраны точки X, Y и Z соответственно так, что отрезки AX, BY и CZ пересекаются в одной точке. Докажите, что площадь треугольника XYZ не превосходит четверти площади треугольника ABC.

б) На гранях BCD, ACD, ABD и ABC тетраэдра ABCD выбраны точки X, Y, Z и T соответственно так, что отрезки AX, BY, CZ и DT пересекаются в одной точке. Докажите, что объём тетраэдра не более чем в 27 раз превосходит объём тетраэдра ABCD.

806. Многочлен a_nx^n–1 + a_n–1x^n–2 + ... + a₁x + a₁ имеет хотя бы один корень на интервале (0; 1), если равна нулю а) сумма чисел a₁, a₂ ⁄ 2, a₃ ⁄ 3, ..., a_n ⁄ n; б) для некоторого положительного числа p сумма чисел a₁ ⁄ (p + 1), a₂ ⁄ (p + 2), a₂ ⁄ (p + 2), a₃ ⁄ (p + 3), ..., a_n ⁄ (p + n). Докажите это.

807. а) Из точки M, расположенной внутри равностороннего треугольника ABC, опущены перпендикуляры MX, MY и MZ на его стороны. Докажите, что сумма векторов MX, MY и MZ в полтора раза больше вектора MO, где O — центр треугольника ABC.

б) Из точки M опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, ..., MK_n на стороны правильного n-угольника (или их продолжения). Докажите, что сумма векторов MK₁ + MK₂ + ... + MK_n равна n векторам MO, где O — центр треугольника многоугольника.

в) Из точки M, расположенной внутри правильного тетраэдра ABCD, опущены перпендикуляры OK₁, OK₂, OK₃ и OK₄ на его грани. Докажите, что сумма векторов MK₁, MK₂, MK₃ и MK₄ равна ⁴⁄₃ вектора MO, где O — центр тетраэдра.

808*. На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и так далее. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки). Сможет ли второй ему помешать, если k равно а) 1; б*) 2; в*) некоторому натуральному числу, не равному 1?

809. Для каждого натурального числа n найдите сумму частных от деления на (k + 1)! числа k, где k = 1, 2, ..., n.

810*. В любой выпуклый многоугольник можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше ¹⁄₄ площади этого многоугольника. Докажите это.

811. Пусть h_a, h_b, h_c — высоты, а m_a, m_b, m_c — медианы остроугольного треугольника (проведённые к сторонам а, b и с), r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей.

812. Сумма любого множества чисел, каждое из которых обратно к произведению числа k + 1 и квадратного корня из числа k, где k — натуральное число, меньше числа 2. Докажите это.

813. Даны отрезки OА, OB и OС одинаковой длины (точка B лежит внутри угла АОС). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади треугольника ABC.

814*. Отметим в натуральном ряду числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например, 72 = 6² + 6², 73 = 8² + 3², 74 = 7² + 5².

а) Объясните, почему не могут встретиться четыре последовательных отмеченных числа.

Докажите, что среди отмеченных чисел встретится бесконечно много б) пар; в) троек последовательных чисел.

815*. На окружности расставлены 4k точек, занумерованных в произвольном порядке числами от 1 до 4k.

а) Докажите, что эти точки можно соединить 2k не пересекающими друг друга отрезками так, что разность чисел в концах каждого отрезка не превосходит 3k – 1.

б) Постройте пример расстановки номеров, показывающий, что число 3k – 1 в пункте а) нельзя заменить меньшим.

816. Натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что а) суммы цифр чисел 2a и 2b равны; б) если а и b чётные, то суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны; в) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

817. Точка K лежит на стороне BС треугольника AВС. Докажите, что равенство AK² = AB × AC – KB× KC выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ÐBАK = ÐСАK.

818. Пусть какие-то k вершин правильного n-угольника белые (остальные вершины — чёрные). Будем называть множество белых вершин равномерным, если при любом m количества белых вершин в любых двух наборах из m последовательных вершин n-угольника совпадают или отличаются на 1 (на рисунке приведён пример равномерного множества для n = 8 и k = 5).

а) Постройте равномерные множества для n = 12 и k = 5, а также для n = 17 и k = 7.

Докажите, что равномерное множество существует и единственно (с точностью до поворотов n-угольника), б) если n делится на k; в*) для любых n и k (k £ n).

819. В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы на разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что, выехав из любого города, в него уже нельзя будет вернуться. Докажите, что

а) волшебник может это сделать;

б) при этом найдётся город, из которого можно добраться до всех других, и найдётся город, из которого нельзя выехать;

в) существует n! = 1 × 2 × ... × n способов осуществить намерение злого волшебника.

820*. а) Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.

б) Правильный 4k-угольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.

в) Найдите сумму площадей прямоугольников из пункта б), если длина стороны 4k-угольника равна 1.

821. Решите уравнение 3x³ + 3x² + 3x = 1.

822. Карточки четырёх цветов — n зелёных, n красных, n синих и n жёлтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, 13-я, ... карточки зелёные, 2-я, 6-я, 7-я, 17-я, ... — красные и так далее.) Несколько карточек сверху сняли, не перекладывая перевернули и произвольным образом вставили между оставшимися. После этого стопу разделили на n маленьких стопок по четыре карточки. Докажите, что в каждой из этих четвёрок встретятся карточки всех четырёх цветов.

823. С фотографии срисован контур дома длиной 60 м и шириной 15 м, причём более длинная стена на фотографии слева (остальные части контура на фотографии загорожены веткой дерева). Требуется:

а) дорисовать контур;

б) нарисовать точную карту (проекцию на горизонтальную плоскость), на которой указать контур дома и точку съёмки;

в) определить высоту дома и высоту, с которой производилась съёмка.

824. В сетке, изображённой на рисунке, каждая ячейка имеет размер 1×1. Можно ли эту сетку представить эту сетку в виде объединения а) 8 ломаных длины 5; б) 5 ломаных длины 8?

825. Множество M состоит из k лежащих на одной прямой отрезков, никакие два из которых не пересекаются. Докажите, что если любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству М, то сумма длин отрезков, составляющих М, не меньше ¹⁄_k.

826. На доске написали три числа. Затем одно из них стёрли и написали сумму двух других чисел, уменьшенную на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967 и 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа а) 2, 2, 2; б) 3, 3, 3?

827. Четыре синих треугольника на рисунке равновелики (то есть их площади равны).

а) Докажите, что три красных четырёхугольника также равновелики.

б) Найдите отношение площади красного четырёхугольника к площади синего треугольника.

828*. Можно ли в клетках бесконечного листа бумаги расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике размером 4×6, стороны которого идут по сторонам сетки, равнялась а) 10; б) 1?

829. Среди любых 2m + 1 различных целых чисел, по модулю не превосходящих 2m – 1, есть три числа, сумма которых равна 0. Докажите это.

830*. Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Выписав какое-то уравнение х² + p₁х + q₁ = 0, он решает его и, убедившись, что оно имеет два корня, составляет второе уравнение х² + p₂х + q₂ = 0, в котором p₂ — это меньший, а q₂ — больший корень первого уравнения. По второму уравнению он составляет третье, если это возможно, и так далее.

а) Докажите, что это упражнение не может продолжаться бесконечно долго.

б) Найдите наибольшую возможную длину такой последовательности квадратных трёхчленов.

831. Точки P и Q — середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N — середины диагоналей AC и BD. Если прямые MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD. Докажите это.

832. Для любого натурального а) n > 6 квадрат можно разрезать на n квадратов; б) n > 100 куб можно разрезать на n кубов. Докажите это.

833*. Последовательность задана формулами x₁ = 2 и x_n+1 = (2 + x_n) / (1 – 2x_n) для любого натурального n. Докажите, что а) x_n не равно 0 ни для какого натурального n; б) последовательность x₁, x₂, x₃, ... непериодическая.

834. Оросительная установка обслуживает круг радиусом 100 метров. Такими установками надо полностью оросить квадратное поле со стороной 1 километр.

а) Бригадир предложил расположить 64 установки в вершинах квадратной сетки со сторонами, параллельными краям поля, как показано на рисунке. В каких пределах может меняться сторона a квадратной сетки?

б) Можно ли оросить поле с помощью 46 таких установок?

835*. На круговой шахматный турнир приехало n шахматистов из страны A и n шахматистов из страны B. Оказалось, что как бы ни разбить шахматистов на пары (чтобы друг с другом играли шахматисты разных стран), найдётся хотя бы одна пара шахматистов, которые ранее встречались друг с другом. Докажите, что можно выбрать a шахматистов из страны A и b шахматистов из страны B так, что каждый из выбранных шахматистов уже встречался с каждым из выбранных b шахматистов, причём a + b > n.

836. Пусть А — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами О₁ и O₂; Р₁Р₂ и Q₁Q₂ — общие касательные, M₁ и M₂ — середины хорд Р₁Q₁ и Р₂Q₂ этих окружностей. Докажите равенство углов О₁АО₂ и M₁АM₂.

837*. a, b, c — натуральные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде хbc + yca + zab, где x, y, z — неотрицательные целые числа, равно 2abc – ab – bc – ca. Докажите это.

838. Множество точек, лежащих на сторонах равностороннего треугольника, разбито на два подмножества. Обязательно ли хотя бы в одном из этих подмножеств найдутся три точки — вершины прямоугольного треугольника?

839*. Можно ли так выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих 100 000, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (то есть ни одной тройки a, b, c, в которой a + c = 2b)?

840*. а) Если a, b, c — длины сторон треугольника, то a²b(a – b) + b²c(b – c) + c²a(c – a) ³ 0. Докажите это неравенство и выясните, в каких случаях оно обращается в равенство.

б) Для любых положительных чисел a, b и c докажите неравенство a³c + b³c + c³a ³ a²bc + b²ca + c²ab.