841. Произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной окружности, равна площади этого треугольника. Докажите это.

842. Докажите следующие утверждения.

а) Если сумма трёх чисел равна нулю, то сумма их синусов равна умноженному на –4 произведению синусов половин этих чисел.

б) Если сумма синусов углов треугольника в корень из трёх раз больше суммы косинусов углов этого треугольника, то величина хотя бы одного из углов равна 60°.

843. К плоскости треугольника ABC восставлены перпендикуляры AA', BB' и CC', длины которых равны длинам соответствующих высот треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей ABC', BCA' и CAB' на плоскость ABC, попадает в центр вписанной в треугольник ABC окружности, а его длина равна её радиусу.

844*. а) Любое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы (быть может, состоящей из единственного слагаемого) произведений чисел вида a_n · n!, где 0 < a_n £ n. Докажите это.

б) Любое рациональное число, лежащее на интервале (0; 1), единственным образом представимо в виде суммы (быть может, состоящей из единственного слагаемого) дробей вида b_n ⁄ (n + 1)!, где 0 < a_n £ n. Докажите это.

в) Представьте в виде пункта а) число 1984 и в виде пункта б) — число 19 ⁄ 84.

845*. Для каких n из n уголков, состоящих из четырёх клеток 1×1, и нескольких прямоугольников 1×4 можно составить центрально-симметричную фигуру?

846. Среднее арифметическое длин сторон любого выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей. Докажите это.

847. Дан квадрат размером n×n клеток. Двое игроков обводят по очереди по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если а) побеждает игрок, первым построивший замкнутую линию; б) проигрывает игрок, который вынужден первым построить замкнутую линию?

848*. а) Постройте график функции f₀(x) = ||x – 1|– 2||x| – 3||.

б) На рисунке изображены графики трёх кусочно-линейных функций f₁, f₂ и f₃. Запишите формулы для них в виде y = kx + b + c₁|x – a₁| + c₂|x – a₂| + ... + c_m|x – a_m|, где m — количество точек излома, a₁, a₂, ..., a_m — абсциссы точек излома, k, b, c₁, c₂, ..., c_m — некоторые числа.

в) Запишите в таком же виде функцию f₀ из пункта а).

г*) Некоторая функция является линейной комбинацией линейных функций, «абсолютных величин» («модулей») и операций сложения, причём знак сложения модуля использован в её записи n раз (в формуле пункта а) n = 4). Какое наибольшее число изломов может иметь её график?

849. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.

850*. Через точку пeрeсечения биссектрисы угла А треугольника АВС с отрезком, соединяющим основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне ВС. Докажите, что длина меньшего основания образовавшейся трапеции равна полусумме длин её боковых сторон.

851. На сторонах AB и AD квадрата ABCD выбраны точки P и Q так, что периметр треугольника APQ вдвое больше длины стороны квадрата. Докажите, что величина угла PCQ равна 45°.

852. Если a, b, c — длины сторон треугольника, то сумма чисел (a – b) / (a + b), (b – c) / (b + c) и (c – a) / (c + a) меньше а) 1; б*) 1 ⁄ 8.

853. Квадрат АВСD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка PQ, где Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

854. На переговорном пункте установлены автоматы для размена серебряных монет достоинством 10, 15 и 20 копеек, действующие так, как показано ниже:

20 копеек → 15 копеек, 2 копейки, 2 копейки и 1 копейка;

У Пети был 1 рубль 25 копеек серебряными монетами, и он все их разменял в автоматах на медь. Вася, посчитав сколько каких монет стало у Пети, сказал:

— А я знаю, какие у тебя были серебряные монеты!

Узнайте это и Вы.

855*. Можно ли жёсткий правильный тетраэдр с ребром 1 протащить сквозь обруч диаметра а) 1; б) 0,95; в) 0,9; г) 0,85?

856. а) Постройте четырёхугольник, зная длины его сторон и длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

б) При каких условиях задача имеет решение?

857. Среди 1984 первых натуральных чисел (от 1 до 1984) отметим те, которые можно представить в виде суммы пяти целых неотрицательных степеней двойки (то есть пяти не обязательно различных чисел 1, 2, 4, 8, ...). Каких чисел окажется больше: отмеченных или неотмеченных?

858. Для величин α, β и γ углов некоторого треугольника выполнено равенство sin²α + sin β = sin γ.

а) Найдите α, β и γ, если треугольник равнобедренный (рассмотрите все случаи).

б) Может ли треугольник быть остроугольным?

в*) Какие значения может принимать наибольший угол треугольника?

859. Найдите наименьшее такое положительное число a, что для любого квадратичного трёхчлена f, удовлетворяющего для любого числа x отрезка [0; 1] неравенству |f (x)| £ 1, выполнено неравенство |f'(1)| £ a.

860*. а) Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, а I и r — центр и радиус его вписанной окружности, K — центр тяжести треугольника, вершины которого — точки касания вписанной окружности треугольника ABC с его сторонами. Докажите, что точка K лежит на отрезке OI, причём OI : IK = 3R : r.

б) Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, а n_a, n_b и n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам треугольника и направленные во внешнюю сторону. Докажите равенство a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S · MO, где S — площадь треугольника АВС, M — точка пересечения медиан, О — центр вписанной окружности.

861. Из любых n чисел можно выбрать несколько (быть может, одно) так, что сумма выбранных чисел отличается от ближайшего к ней целого числа не более, чем на ¹⁄_{(n + 1)}. Докажите это.

862. а) Внутри данного равностороннего треугольника укажите множество всех таких точек М, что расстояния от М до его сторон сами служат длинами сторон некоторого треугольника.

б) Внутри данного правильного тетраэдра укажите множество всех таких точек М, что расстояния от М до граней тетраэдра служат длинами сторон некоторого четырёхугольника.

863. На каждой клетке доски n×n стоит по фишке. Можно ли переставить их так, чтобы любые две фишки, угрожавшие одна другой ходом коня, после перестановки стали угрожать друг другу ходом короля, если n равно а) 3; б) 6; в) 4?

864. Назовём красивым разбиение треугольника на подобные ему треугольники, никакие два из которых не равны по размерам.

а) Для всякого прямоугольного треугольника существует красивое разбиение. Докажите это.

б*) Существует ли красивое разбиение равностороннего треугольника?

в) Для каких неравносторонних треугольников существует красивое разбиение?

865*. Рассмотрим возрастающую последовательность n + 1 натуральных чисел; для любых двух её соседних чисел вычислим их наименьшее общее кратное. Сложим числа, обратные этим n наименьшим общим кратным. Докажите, что сумма вычисленных обратных величин не превосходит разности между числом 1 и числом, обратным n–й степени числа 2, если а) n = 2; б) n = 3; в) n — любое натуральное число.

866. а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоит по одному солдатику. Для какого наибольшего d можно переставить солдатиков в другие клетки так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d? (Расстояние измеряем по прямой между центрами старой и новой клеток; сторона клетки равна 1.)

Решите эту же задачу для б) квадрата размером 21×21; в) прямоугольника размером m×n клеток.

867. На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными рядами так, что образовалось 17 пар. При этом в каждой паре рост мальчика отличается от роста девочки не более чем на дециметр. Докажите, что если в каждом ряду перестроить мальчиков и девочек по росту, то по-прежнему в каждой паре мальчик и девочка будут отличаться не более чем на дециметр.

868. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды не прямые. Из вершин основания в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие между собой основания высот каждой грани, параллельны одной плоскости.

869*. Пары последовательных натуральных чисел (8; 9) и (288; 289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит каждый свой простой множитель не менее чем во второй степени.

а) Найдите ещё одну такую пару последовательных чисел.

б) Докажите, что существует бесконечно много таких пар.

870. По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живёт несколько (конечное число!) пианистов. В одной комнате может жить и несколько пианистов. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах — k-й и (k + 1)-й — приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются в (k – 1)-ю и (k + 2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней переселения прекратятся.

871. В каждую клетку таблицы размером 3×3 записаны числа 1 или –1. Затем одновременно число в каждой клетке заменяют на произведение чисел, расположенных во всех соседних клетках (соседними считаем клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что после нескольких таких операций во всех клетках будут только единицы.

872. На плоскости расположены три окружности ω₁, ω₂ и ω₃ радиусов r₁, r₂ и r₃ — каждая вне двух других, причём r₁ > r₂ и r₁ > r₃. Из точки пересечения внешних касательных к окружностям ω₁ и ω₂ проведены касательные к окружности ω₃, а из точки пересечения внешних касательных к ω₁ и ω₃ — касательные к ω₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

873. Учитель написал на доске квадратный трёхчлен x² + 10x + 20. Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при x или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен x² + 20x + 10. Можно ли утверждать, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

874*. При каких целых m и n а) m-я степень числа, являющегося суммой числа 5 и утроенного квадратного корня из 2, равна n-й степени числа, являющегося суммой числа 3 и упятерённого квадратного корня из 2; б) m-я степень числа, являющегося суммой числа a и умноженного на число b квадратного корня из d, равна n-й степени числа, являющегося суммой числа b и умноженного на число a квадратного корня из d, где a и b — взаимно простые натуральные числа, d — натуральное число, d > 1, а среди делителей числа d нет ни одного квадрата простого числа?

875*. По кругу написано n натуральных чисел, причём n > 2, причем отношение суммы двух соседей любого из этих чисел к нему самому является натуральным числом. Докажите, что сумма всех n таких отношений а) не меньше 2n; б*) меньше 3n.

876. На окружности, касающейся сторон угла с вершиной О, выбраны две диаметрально противоположные точки А и В, отличные от точек касания. Прямая, касающаяся окружности в точке В, пересекает стороны угла в точках C и D, а прямую ОА — в точке Е. Докажите равенство длин отрезков ВC и DE.

877. Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 вырезали 99 квадратиков размера 2×2 каждый. Докажите, что из этого листа можно вырезать ещё один такой квадратик.

878. Если сумма величин плоских углов при вершине пирамиды больше 180°, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра её основания. Докажите это.

879. Если a, b, c, d, e — целые числа, причём a + b + c + d + e и a² + b² + c² + d² + e² делятся на нечётное простое число p, то a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + e⁵ – 5abcde делится на p. Докажите это.

880*. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 5, 0, 9, 8, 5, ... каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встретятся подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.

881. Сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой вершины. Докажите это.

882. Если сумма трёх целых чисел равна нулю, то сумма их четвёртых степеней — удвоенный квадрат целого числа. Докажите это.

883. В какое наименьшее число цветов нужно раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы

а) любые две клетки на расстоянии 6 были покрашены в разные цвета? (Расстояние между клетками — наименьшее число линий сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должна пересечь ладья на пути из одной клетки в другую.)

б) любые четыре клетки, образующие фигуру формы буквы Г, были покрашены в четыре разных цвета?

884. Непрерывная и монотонная функция f определена на отрезке [0; 1] и принимает значения также на отрезке [0; 1]. Докажите, что её график можно покрыть n прямоугольниками площади ¹⁄_n² каждый, стороны которых параллельны осям координат.

885*. Для каждого натурального числа n обозначим через p(n) количество разбиений числа n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаем одинаковыми). Количество различных чисел в разбиении назовём его разбросом.

а) Докажите, что сумма q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + p(1) + p(2) + ... + p(n – 1).

б) Докажите, что эта сумма не превосходит произведения числа p(n) на квадратный корень из 2n.

886. Можно ли в 4n – 4 клеток, расположенных по периметру квадрата размером n×n, расставить 4n – 4 последовательных целых чисел (не обязательно положительных) так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата, а также суммы чисел в концах каждой диагонали равнялись одному и тому же числу s? Решите задачу для n, равного а) 3; б) 4; в) 5; г) 1985. Если расстановка возможна, найдите допустимые значения s.

887. Из точки C к окружности проведены две касательные CA и CB, где A и B — точки касания. Вторая окружность проходит через точку C, касается прямой AB в точке B и пересекает первую окружность в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

888. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a¹⁹⁸⁴ + b¹⁹⁸⁴ + c¹⁹⁸⁴ + d¹⁹⁸⁴ составное.

889. Существуют ли на плоскости такие три точки А, В и С, что для любой точки P плоскости длина хотя бы одного из отрезков РА, РВ и РС иррациональна?

890. На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки 11 000 км шоссейных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссейных дорог все свои города?

891. Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

892. а) Среди чисел вида 2^m + 2^k, а также среди чисел вида 3^m + 3^k бесконечно много квадратов, а среди чисел вида 4^m + 4^k, 5^m + 5^k или 6^m + 6^k нет ни одного квадрата целого числа (здесь m и k — натуральные числа, не равные друг другу).

б*) Есть ли квадраты среди чисел вида 7^m + 7^k?

893. Каждые два из n блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый из этих проводов покрасить в один из n – 1 цветов так, чтобы от каждого блока отходило n – 1 проводов разного цвета, если а) n = 6; б) n = 13?

894. а) Сумма пяти неотрицательных чисел равна 1. Докажите, что их можно расставить по кругу так, чтобы сумма пяти попарных произведений соседних чисел не превосходила ¹⁄₅.

б*) По кругу расставлено n ³ 4 неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что сумма всех n попарных произведений соседних чисел не превосходит ¹⁄₄.

895*. Площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади грани куба. Докажите это, когда сечение — а) треугольник; б) четырёхугольник.

в) В случае а) площадь полной поверхности отсекаемого от куба тетраэдра меньше площади грани куба. Докажите это.

896. Четырёхугольник АВСD выпуклый. Окружность с диаметром АВ не касается прямой СD. Докажите, что окружность с диаметром СD касается прямой АВ тогда и только тогда, когда прямые ВС и АD параллельны.

897. Найдите хотя бы одну такую пару (x; y) целых чисел, что (x + y)⁷ – x⁷ – y⁷ делится на 7, а xy(x + y) не делится на 7.

898*. Для нечётных натуральных чисел a < b < c < d выполнены равенства ad = bc, a + d = 2^k и b + c = 2^m, где k и m — некоторые натуральные числа. Докажите, что а) a = 1; б) для каждого m > 2 существует и единственен набор чисел a, b, c, d и k, удовлетворяющий этим условиям.

899. Назовём округлением числа х замену его на одно из двух чисел [x] или –[–x]. (Таким образом, при округлении целое число не меняем, а нецелое заменяем на одно из двух целых чисел, между которыми оно расположено.)

а) Докажите, что в любом равенстве вида x₁ + x₂ + ... + x_m = y₁ + y₂ + ... + y_n все слагаемые можно округлить так, что равенство останется верным.

б) В прямоугольную таблицу записаны некоторые числа, причём суммы по строкам и суммы по столбцам — целые числа. Докажите, что все числа таблицы можно округлить так, что суммы ни по строкам, ни по столбцам не изменятся.

в) Пусть теперь суммы по строкам и суммы по столбцам не обязательно целые. Докажите, что все числа таблицы можно округлить так, что как суммы по строкам, так и суммы по столбцам будут округлениями соответствующих «бывших» сумм.

900. Может ли проекция выпуклого шестигранника на плоскость быть а) 8-угольником; б) 9-угольником?

в*) Какое наибольшее число сторон может иметь проекция выпуклого многогранника с n гранями?