901. Биссектрисы AK и BM треугольника ABC пересекаются в точке I. Докажите, что если IK = IM, то AC = BC или величина угла ACB равна 60°.

902. Натуральный ряд разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.

903. Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей ни через одну вершину, является многоугольником с а) чётным; б) нечётным числом сторон?

904*. Для каждого натурального числа A = a₀ + a₁ · 10 + ... + a_n · 10ⁿ положим D(A) = a_n + a_n–1 · 2 + ... + a₁ · 2^n–1 + a₀ · 2ⁿ. Например, D(1985) = 1 + 9 · 2 + 8 · 4 + 5 · 8 = 91, D(91) = 9 + 1 · 2 = 11 и D(11) = 1 + 1 · 2 = 3.

а) Для любого натурального числа A в последовательности A₁ = D(A), A₂ = D(A₁), A₃ = D(A₂), ... встретится некоторое такое число A* < 20, что D(A*) = A*. Докажите это.

б) Найдите A* для A = 19⁸⁵.

905*. Уравнение 4xⁿ + (x + 1)² = y² относительно натуральных чисел x и y а) не имеет решений при n = 1; б) имеет по крайней мере два решения при n = 2; в*) имеет бесконечно много решений при n = 2; г*) не имеет решений ни для какого натурального n > 2. Докажите эти утверждения.

906. а) Для любого натурального a уравнение xy = a(x + y) имеет по крайней мере три решения в натуральных числах x и y. Докажите это.

б) Найдите количество решений этого уравнения в натуральных числах при a = 1985.

907. Если сумма утроенной величины угла A и удвоенной величины угла B равна 180°, то BC² = AB² – AB · AC. Докажите это.

908. а) На стороне АВ треугольника АВ выбрана точка Р, и через неё проведены прямые, параллельные АВ и АС соответственно, до пересечения со сторонами АС и ВС в точках M и N соответственно. При каком выборе точки Р отрезок MN имеет наименьшую длину?

Решите задачу а) для треугольника с прямым углом С; б*) для произвольного треугольника АВС.

909. а) Докажите существование арифметической прогрессии, состоящей из четырёх различных членов, каждый из которых — более чем первая степень натурального числа.

б) Существует ли сколь угодно длинная такая прогрессия?

в) А бесконечно длинная?

Существует ли бесконечная (не постоянная) арифметическая прогрессия, не содержащая г) ни одной более чем первой степени натурального числа; д) ни одного числа, составленного из одинаковых цифр?

910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки А₁, А₂, ..., А₆. Известно, что три попарно не смежные стороны А₁А₂, А₃А₄ и А₅А₆ шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆ определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продолжениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для трёх других сторон шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

911. На сторонах АВ и СD выпуклого четырёхугольника АВСD выбраны произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек E и F.

912. а) Многочлен x²; б) любой многочлен можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией. Докажите это.

913. Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые в точках А и В, пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая РС

а) пересекает сторону АВ в точке К, делящей её в отношении АС² : ВС²;

б) симметрична медиане, проведённой из С, относительно биссектрисы угла С треугольника.

914. На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и так далее). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

915. Выпишем по окружности четыре положительных числа и вычислим частное от деления каждого из них на сумму двух следующих за ним по часовой стрелке. Докажите, что сумма этих частных не меньше 2.

916. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника.

917. а) Чему равна длина максимальной серии идущих подряд несчастливых билетов? б) Сколько существует таких серий максимальной длины? (Номера билетов меняются от 000 000 до 999 999. Билет называем счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме трёх последних цифр.)

918*. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.

919. а) Сумма интеграла от функции tg x по отрезку [0; ^π⁄₄] и интеграла от функции arctg x по отрезку [0; 1] равна ^π⁄₄. Докажите это.

б) Сумма интеграла от корня четвёртой степени из x⁴ + 1 по отрезку [0; 3] и интеграла от корня четвёртой степени из x⁴ – 1 по отрезку [1; 3] больше 9 и меньше 9,001. Докажите это.

920. а) Найдите хотя бы одно решение уравнения x³ + y³ + z³ = x²y²z² в натуральных числах.

б*) Уравнение x³ + y³ + z³ = nx²y²z² имеет решение в натуральных числах только при n = 1 или 3. Докажите это и найдите все эти решения.

921. Известны величина α угла A и величина β угла B выпуклого четырёхугольника ABCD, а его удвоенная площадь равна AB · CD + BC · AD. Найдите отношения длин сторон AB : BC : CD : DA, если а) α = ^5π⁄₁₂ и β = ^7π⁄₁₂; б) α = ^π⁄₂ и β = ^π⁄₃?

922. Уравнение sin^p x + cos^q x = 1, где p > 0 и q > 0, имеет решение x на интервале (0; ^π⁄₂) тогда и только тогда, когда (p – 2)(q – 2) < 0 или p = q = 2. Докажите это.

923. Площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости. Докажите это.

924. Каждые две из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник АВС с вершинами в данных точках называем ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях АВ, ВС, СА или АС, СВ и ВА (например, на рисунке всего три ориентированных треугольника).

а) Расставьте стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольника.

б*) Каково наибольшее возможное число ориентированных треугольников (для каждого n)? Нарисуйте соответствующие примеры для n = 4, 5 и 6.

925. На белой плоскости расположена синяя фигура К₀. Из неё получается новая синяя фигура К₁ по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам М плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке М занято синим цветом, то точка М становится синей, а если менее половины — то белой. На следующем шагу из полученной синей фигуры К₁ по тому же правилу получается фигура К₁, затем из неё — фигура К₃ и так далее. Докажите, что а) для произвольной ограниченной фигуры К₀, начиная с некоторого шага, вся плоскость станет белой; б) если К₀ — круг радиуса 100, то это случится не позже чем через миллион шагов.

926. Если x² + y² = u² + v² = 1 и xu + yv = 0, то x² + u² = y² + v² = 1 и xy + uv = 0. Докажите это.

927*. На плоскости дано конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти отрезки разрешено менять: если какие-то два из них, АС и ВD, пересекаются, их можно стереть и провести отрезки а) АВ и СD; б) АВ и ВС. (Если «новый» отрезок уже проведён, проводить его во второй раз не нужно.) Можно ли несколькими такими заменами вернуться к исходному набору отрезков?

928. В кинотеатре N + 1 место. Сначала N человек, имеющие билеты с указанием мест (в их числе и Игорь), сели на произвольные N мест, не глядя на свои билеты. Пришедший последним (N + 1)-й зритель хочет занять своё место; если оно занято,— сгоняет сидящего там, тот поступает так же и так далее, пока нужное согнанному место не окажется свободным. Какова вероятность того, что Игорю придётся пересесть? (Другими словами, какую долю среди всех возможных размещений зрителей составляют невыгодные для Игоря?)

929. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴ . Докажите, что по крайней мере а) три из них чётны; б) три делятся на 5; в) два числа делятся на 10.

930*. Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что хотя бы в одном из них есть три числа, одно из которых равно сумме двух других, или два числа, одно из которых вдвое больше другого.

931. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках C', A' и B' соответственно. Если AA' = BB' = CC', докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

932. В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может прострелить её сразу в 6 местах. Не хвастает ли он? (Анаконду можете считать ломаной длины 10, расположенной внутри квадрата 1×1.)

933. 13 рыцарей из k разных кланов, где 1 < k < 13, сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков ровно k штук. Король Артур приказал своим рыцарям одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое ещё раз и так далее. Докажите, что найдутся такой момент времени и такие два рыцаря из одного клана, что в руках у них — золотые кубки.

934*. В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены n² + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют а) хотя бы один треугольник; б) не менее n треугольников.

935*. Внутри правильного 2n-угольника с центром О произвольным образом расположен правильный 2n-угольник с вдвое меньшей стороной. Докажите, что он накрывает точку О, если а) n = 2; б) n = 3; в) n — любое натуральное число, не равное 1.

936. За 3n + 1 взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый лёгкий и самый тяжёлый из 2n + 2 камней, если: а) n = 3; б) n — любое натуральное число. Докажите это.

937. Существует ли такая а) произвольная; б) выпуклая фигура, что ею нельзя накрыть полукруг радиуса 1, а двумя её экземплярами можно накрыть круг радиуса 1?

938*. Радиус круга, центр которого — точка O, равномерно вращается, поворачиваясь каждую секунду на угол величиной ^360°⁄_n, где n — натуральное число, большее 3. В начальный момент он занимал положение ОМ₀, через секунду — положение ОМ₁, ещё через 2 секунды — положение ОМ₂, через 3 секунды после этого — положение ОМ3 и так далее, наконец, ещё через n – 1 секунд — положение ОМ_{n – 1}.

а) Если n — степень числа 2, то радиусы ОМ₀, ОМ₁, ..., ОМ_{n – 1} делят круг на n равных секторов. Докажите это.

б) Возможно ли это при других значениях n?

939. В клетки таблицы размером 10×10 записали каким-либо образом цифры так, что каждая цифра встречается 10 раз.

а) Возможно ли, что в каждой строке и в каждом столбце не более 4 различных цифр?

б*) Докажите, что хотя бы в одной строке или хотя бы в одном столбце не менее 4 различных цифр.

940*. а) Квадрат разбит на прямоугольники. Назовём цепочкой такое множество этих прямоугольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытий (пример изображён на рисунке). Докажите, что любые два прямоугольника входят в некоторую цепочку.

б) Докажите аналогичное утверждение для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро куба).

в) Верно ли, что любые два параллелепипеда в разбиении куба принадлежат одному «слою» — множеству параллелепипедов, проекции которых на некоторую грань заполняют её целиком, не налегая друг на друга?

941. Дан правильный (4k + 2)-угольник А₀А₁...А_{4k + 1} с центром О. Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом А_kOА_{k + 1} на прямых А₁А_2k, А₂А_{2k – 1}, ..., А_kА_{k + 1} (на рисунке проиллюстрирован случай k = 2), равна радиусу ОА₀ описанной окружности (4k + 2)-угольника, если а) k = 2; б) k — любое натуральное число.

942. Первые 2n натуральных чисел разбиты на два множества по n чисел в каждом. Пусть a₁ < a₂ < ... < a_n — числа первого множества, расположенные в порядке возрастания, а b₁ < b₂ < ... < b_n — числа второго множества, расположенные в порядке убывания. Докажите, что сумма модулей разностей a₁ – b₁, a₂ – b₂, ..., a_n – b_n равна n².

943. Последовательность a₁, a₂, a₃, ... задана формулами a_2n = a_n, a_4n–3 = 1 и a_4n–1 = 0 для любого натурального n. Докажите, что эта последовательность непериодическая.

944*. Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения найдутся 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против часовой стрелки.

945*. Рассмотрим строго возрастающую неограниченную последовательность положительных чисел. Для каждого натурального n вычислим сумму частных вида a_k : a_k+1, где 1 £ k £ n. Докажите, что для всех достаточно больших n эта сумма меньше числа а) k – 1; б) k – 1985.

946. Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

947. На доске написаны числа 1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ¹⁄₅, ¹⁄₆, ¹⁄₇, ¹⁄₈, ¹⁄₉, ¹⁄₁₀, ¹⁄₁₁ и ¹⁄₁₂.

а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «–» между этими числами, выражение не будет равно 0.

б) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимо стереть с доски для того, чтобы после некоторой расстановки «+» и «–» между оставшимися числами значение выражения равнялось 0?

948. Если равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными равносторонними треугольниками, то его можно покрыть четырьмя такими треугольниками. Докажите это. (Треугольник рассматриваем вместе с его внутренней областью; треугольники разрешено передвигать.)

949. Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?

950. Двадцать пять коротышек хотят получить по единичному квадратику в квадрате размером 5×5. Каждый коротышка находится в ссоре не более чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки никаких двух поссорившихся коротышек не были бы соседними. (Соседними называем участки, имеющие общую сторону.)

951. Длины всех сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности хотя бы одного из треугольников АСЕ и BDF не меньше 1.

952. а) Приведите пример числа а, удовлетворяющего равенству {а} + {¹⁄_а} = 1.

б) Докажите, что любое такое число а иррационально.

Здесь фигурные скобки обозначают дробную часть данного числа, то есть разность между самим числом и его целой частью. Целая часть данного числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного числа.

953. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?

954. а) В треугольник вписан прямоугольник со сторонами a и b так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть x и y — длины проекций треугольника на прямые, параллельные сторонам длин a и b соответственно. Докажите, что сумма частного от деления числа a на x и частного от деления числа b на y равна 1.

б) В тетраэдр вписан прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и c так, что все его вершины лежат на поверхности тетраэдра. Пусть x, y и z — длины проекций треугольника на прямые, параллельные рёбрам a, b и c соответственно. Докажите, что сумма частных от деления a на x, b на y и с на z равна 1.

955*. За круглым столом сидят n участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в обратном порядке (так, что левые соседи у каждого станут правыми и наоборот)? Решите эту задачу для а) n = 4, 5 или 6; б) любого натурального n > 2.

956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку А и три — через точку В. Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от А и В,— вершины параллелограмма.

957. Из любых 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.

958*. a₁ < a₂ < ... < a_n — неотрицательные целые числа. Докажите, что у многочлена (1 + x)^a₁ + (1 + x)^a₂ + ... + (1 + x)^a_n не меньше нечётных коэффициентов, чем у многочлена (1 + x)^a₁.

959*. В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более чем ¹⁄_{(k – 1)} часть авиалиний таким образом, что среди любых k городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если а) k = 3; б)k — любое натуральное число, k > 1.

960. а) Если разность кубов двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа n, то число n представимо в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел. Докажите это утверждение.

б) Вот пример таких чисел: 8³ – 7³ = (2² + 3²)². Приведите ещё хотя бы один пример.

в) Докажите, что таких примеров бесконечно много.