961. На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD — точка F, причём 2AE = BE и CF = CD. Подобны ли треугольники AKE и CFL?

962. Ни для какого многочлена P с целыми коэффициентами не существуют такие не равные одно другому целые числа x₁, x₂, ..., x_n, что n > 2 и x₂ = P(x₁), x₃ = P(x₂), ..., x_n = P(x_n–1) и x₁ = P(x_n). Докажите это.

963. Каждая сторона шестиугольника параллельна противоположной его стороне. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

964. В любой последовательности a₁, a₂, a₃, ... различных натуральных чисел, удовлетворяющей для любого натурального n неравенству а_n < 100n, есть число, в десятичной записи которого встречается а) цифра 1; б) 1986 единиц подряд. Докажите это.

965. Дано шесть чисел а₁, а₂, ..., а₆. Чтобы подсчитать «в лоб» сумму их попарных произведений а₁а₂ + а₁а₃ + ... + а₅а₆, нужно затратить 15 умножений и 14 сложений. Покажите, как можно найти сразу сумму этих чисел, а также суммы их произведений по два, по три, по четыре и по пять, затратив всего 15 сложений и 14 умножений.

966. Любой треугольник можно разрезать отрезками на четыре части, из которых можно составить два подобных ему треугольника. Докажите это.

967. Обозначим через σ(n) сумму всех натуральных делителей числа n (включая 1 и n), а через φ(n) — количество чисел, не превосходящих числа n и взаимно простых с n. Докажите для любого натурального n неравенство σ(n) + φ(n) ³ 2n.

968. Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке О.

а) Существует плоскость, площади проекций на которую этих трёх многоугольников равны. Докажите это.

б) Сколько существует таких плоскостей, проходящих через точку О?

969. Для любых положительных чисел a, b и c сумма чисел a³⁄(b² + bc + c²), b³⁄(c² + ca + a²) и c³⁄(a² + ab + b²) не меньше среднего арифметического чисел a, b и c. Докажите это.

970. На начальной остановке в автобус вошли 32 пассажира, которым нужно ехать до 32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель решил провести голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он называет остановки в некотором порядке. Пассажир голосует за отмену остановки, если он собирается ехать дальше, против, если он собирается выходить на этой остановке, и воздерживается, если — раньше (не учитывая, что при дальнейшем голосовании могут отменить и его остановку). Если за отмену подано больше голосов, чем против, остановку отменяют, а те, кто хотел на ней выходить, решают ехать до ближайшей к ней из ещё не отменённых (если таких две — до первой из них). Какое а) наименьшее; б) наибольшее число остановок может сохраниться в зависимости от порядка, в котором их называет водитель?

971. Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D, команда B выиграла у C и D, а C выиграла у D.

972. Последовательность x₁, x₂, x₃, ... задана условиями x₁ = ¹⁄₂ и x_n+1 = x_n² + x_n для любого натурального n. Найдите целую часть суммы обратных величин чисел 1 + x₁, 1 + x₂, ..., 1 + x₁₀₀.

973. AH — высота, а BE — биссектриса треугольника ABC. Если величина угла BEA равна 45°, то и величина угла EHC равна 45°. Докажите это.

974. Двое играют в шахматы с часами. После того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показывали 2 часа 30 минут.

а) Докажите, что в партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого более, чем на 1 минуту 50 секунд.

б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была не менее 2 минут?

975. На «шахматной доске» размером n×n стоят 20 разных фигур, каждая из которых с любого поля бьёт не более 20 полей.

а) Докажите, что при n = 100 эти фигуры можно передвинуть так, чтобы они не били друг друга.

б) Пусть дополнительно известно, что если фигуру сдвинуть, то множество полей, которые она бьёт, тоже параллельно сдвинется (на тот же вектор). Докажите, что при n = 30 эти 20 фигур можно передвинуть так, чтобы они не били друг друга.

976. Из вершины A квадрата ABCD проведены два луча, образующие между собой угол величиной 45°. Один пересекает сторону ВС в точке Е, а диагональ ВD — в точке Р, другой — сторону СD в точке F, а диагональ ВD — в точке Q. Докажите, что площадь треугольника АЕF вдвое больше площади треугольника АРQ.

977. Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов f и g получить x, если а) f = x² + x и g = x² + 2; б) f = x² + x и g = x² – 2; в) f = 2x² + x и g = 2x; г) f = 2x² + x и g = x²?

978. Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два непересекающихся равносторонних треугольника, стороны которых больше квадратного корня из ²⁄₃?

979. Пусть k и n — натуральные числа, 1 < k £ n. Назовём набор k положительных чисел a₁, a₂, ..., a_k, меньших 1, исключительным, если для любого разбиения n = n₁ + n₂ + ... + n_k числа n на неотрицательные слагаемые хотя бы одно из чисел a_jn_j, где 1 £ j £ n,— целое.

а) Для каких k и n существует исключительный набор?

б) Каковы исключительные наборы?

980*. Внутри выпуклого а) многоугольника; б) многогранника A₁A₂...A_n взята точка O. Докажите, что среди углов A_jOA_k, где 1 £ j < k £ n, не менее чем n – 1 имеют величину от 90° до 180°.

981. Число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере а) 8; б) 28 различных делителей. Докажите это.

982. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС построены во внешнюю сторону квадраты АВВ₁А₂, ВСC₁B₂ и САА₁С₂. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

983. В турнире с участием 16 теннисистов каждые двое играют одну партию.

а) Приведите пример такого турнира, 10 любых участников которого можно расставить так, чтобы каждый выиграл у своего левого соседа.

б) Докажите, что если условие пункта а) выполнено, то и любых 11 участников можно расставить по кругу таким образом.

984. Через произвольную точку К квадрата АВСD проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны АВ и СD в точках Р и Q. Докажите, что отличная от К точка пересечения окружностей, проходящей через точки К, В и Q, с окружностью, проходящей через точки К, D и P, лежит на диагонали ВD.

985. Углом между двумя прямыми, пересекающимися в точке O, называем угол между их лучами с вершиной O, не превосходящий 90°. Сколькими способами через точку O в пространстве можно провести прямые l₁, l₂ и l₃ так, чтобы углы между l₂ и l₃, l₃ и l₁, l₁ и l₂ соответственно равнялись данным величинам α₁, α₂ и α₃? (Две тройки прямых не различаем, если они конгруэнтны, то есть если поворотами вокруг осей и симметриями относительно плоскостей можно одну тройку перевести в другую.) Предостережение. Ответ зависит от величин α₁, α₂ и α₃. Например, для α₁ = α₂ = α₃ = 30° он не такой, как для α₁ = α₂ = α₃ = 70°.

986. Для любых положительных чисел a и b сумма удвоенного квадратного корня из a и утроенного кубического корня из b не меньше пяти корней пятой степени из произведения ab. Докажите это.

987. В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором — другие m пар. Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.

988*. Из точки O на плоскости проведены n векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого натурального числа k, где 2k < n, по обе стороны от каждой прямой, проходящей через O, лежит не менее k векторов, то длина суммы всех векторов не превосходит n – 2k.

989. Найдите все такие натуральные числа a, для которых число a – 1 является суммой а) двух; б) трёх делителей числа a (не обязательно различных; множеству делителей принадлежит и 1).

в*) Для любого n существует лишь конечное число таких натуральных a, что a – 1 является суммой n натуральных делителей числа a (не обязательно различных).

990. В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти прямые

а) проходят по рёбрам?

б) проходят по рёбрам и диагоналям граней?

в) содержат 6 вершин параллелепипеда?

991. CH — высота, а CK — медиана треугольника ABC. На стороне AB выбраны точки E и F так, что величина угла ACE равна величине угла BCF; на лучи CE и CF опущены перпендикуляры AM и BN. Докажите, что точки M, H, K и N лежат на одной окружности.

992. Среди 90 выпускников одной математической гимназии у каждого не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трёх других так, что среди четырёх собравшихся у каждого будет не менее двух друзей.

993. а) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.

б*) При 2 < n < 11 не существует n последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат. Докажите это.

994. При каком наибольшем k неравенство a⁴ + b⁴ + c⁴ + abc(a + b + c) ³ k(ab + bc + ca)² верно при всех значениях a, b и c?

995. Функция f определена и непрерывна на всём множестве вещественных чисел и удовлетворяет равенству f (f (x)) = f (x) + x для любого x. а) Найдите две такие функции f. б) Других таких функций нет. Докажите это.

996. Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата синие, другого — красные. Докажите равенство суммы длин синих сторон восьмиугольника сумме длин его красных сторон.

997. Рассмотрим всевозможные произведения mn, где 1 £ m < n £ 1996. Сумма обратных величин всех этих произведений не является целым числом. Докажите это.

998*. Рассмотрим все тетраэдры AXBY, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках A и B сумма углов пространственного четырёхугольника ABCD, то есть сумма величин углов AXB, XBY, BYA и YAX, не зависит от выбора точек X и Y.

999*. Для любого натурального числа n рассмотрим последовательность, состоящую из n положительных чисел. Для каждого натурального числа k £ n разделим k на сумму первых k чисел рассматриваемой последовательности. Разделим сумму таких частных на сумму обратных величин чисел рассматриваемой последовательности. Докажите, что частное а) меньше 4; б) меньше 2; в) может быть сколь угодно близко к 2.

1000. В дугу AВ вписана ломаная АМВ, состоящая из двух отрезков, причём АМ > МВ. Докажите, что основание перпендикуляра КН, опущенного из середины К дуги АВ на отрезок АМ, делит ломаную пополам: AН = HM + MB.

1001. В куче 1001 камень. Её произвольно делим на две кучи, подсчитываем количества камней в них и записываем произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в которой больше одного камня) проделываем ту же операцию: делим на две и записываем произведение чисел камней в двух вновь образованных кучах. Затем ту же операцию повторяем с одной из трёх полученных куч и так далее, пока во всех кучах не станет по одному камню. Чему равна сумма 1000 записанных произведений?

1002. а*) Рассеянный математик, забыв трёхзначный код своего подъезда, нажимает кнопки с цифрами 0, 1, 2, ..., 8, 9 по одной в секунду. Дверь откроется, если три цифры кода в нужном порядке будут набраны подряд. Математик уверен, что даже в случае «крайнего невезения» (если нужная комбинация встретится последней) он сможет войти в подъезд не позже чем через 1002 секунды (то есть 16 минут 42 секунды). Прав ли он? Как действовать, чтобы попасть в дом за наименьшее время?

Ответьте на аналогичный вопрос, если б) исправны только кнопки с цифрами 1, 2 и 3, а никакие другие цифры в код не входят; в*) исправны все кнопки, но математик помнит, что все три цифры кода различны.

1003. В треугольнике ABC проведены высоты AA', BB' и CC'. Докажите равенство произведений AB' · BC' · CA', AC' · BA' · CB' и A'B' · B'C' · C'A'.

1004. Через вершину A треугольника ABC, в котором AB ≠ AC, проведём всевозможные прямые. Докажите, что

а) на каждой из них лежит не более чем одна точка M, отличная от вершины треугольника и такая, что величины углов ABM и ACM равны;

б) существует не более пяти таких прямых, на которых нет ни одной такой точки M.

1005. Клетки квадратной таблицы размером n×n, где n > 2, заполняем числами ±1 по следующим правилам:

• во все граничные клетки таблицы пишем числа –1;
• число, помещаемое в очередную незаполненную клетку таблицы, равно произведению ближайших к этой клетке чисел, расположенных по разные стороны от неё и лежащих или в одной строке, или в одном столбце с ней. Так делаем до тех пор, пока все клетки таблицы не будут заполнены.

а) Какое наибольшее количество +1 может получиться в таблице?

б) Какое наименьшее число +1 может получиться в таблице?

1006. Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.

а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?

б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?

1007. Треугольник со сторонами a₁, b₁ и c₁ подобен треугольнику со сторонами a₂, b₂ и c₂ тогда и только тогда, когда сумма квадратных корней из произведений a₁b₁, a₂b₂ и a₃b₃ равна квадратному корню из произведения периметров этих треугольников. Докажите это.

1008. Лестница состоит из 2n + 1 ступеней. На n нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель первого — положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли второй ему помешать?

1009. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает прямые ВС и СD в точках К и L соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки С, К и L, лежит на окружности, проведённой через точки В, С и D.

1010. Последовательность r₁, r₂, r₃, ... определена условиями r₁ = 2 и r_n+1 = r₁r₂...r_n +1. (Например, r₂ = 3, r₃ = 7, r₄ = 43 и r₅ = 1807.)

а) Сумма обратных величин любых нескольких членов этой последовательности меньше 1. Докажите это.

б) Пусть n натуральных чисел таковы, что сумма их обратных величин меньше 1. Докажите, что эта сумма не превышает суммы обратных величин чисел r₁, r₂, ..., r_n.

в) Известные нам доказательства опираются на следующую лемму. Если среди всех невозрастающих последовательностей α₁, α₂, ..., α_n неотрицательных вещественных чисел, сумма которых равна 1, а при любом натуральном k < n произведение первых k из них не превосходит суммы остальных n – k из них, выбрать ту, для которого величина α_n наименьшая, то α_kr_k = 1 при 1 £ k < n и α_n(r_n – 1) = 1.

1011. Для любой невозрастающей последовательности n положительных чисел a₁ ³ a₂ ³ ... ³ a_n докажите следующие неравенства:

а) a₁² – a₂² + a₃² ³ (a₁ – a₂ + a₃)²;

б) a₁² – a₂² + a₃² – a₄² ³ (a₁ – a₂ + a₃ – a₄)²;

в) a₁² – a₂² + ... + (–1)ⁿa_n–1² + (–1)ⁿ⁺¹a_n² ³ (a₁ – a₂ + ... + (–1)ⁿa_n–1 + (–1)ⁿ⁺¹a_n)².

1012. а) На плоскости можно расположить несколько непересекающихся кругов так, чтобы каждый касался ровно 5 других. Докажите это.

б) Число 5 в предыдущем пункте нельзя заменить на 6. Докажите это.

1013. На сторонах AВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Три параллельные прямые, проходящие через точки M, B и N, пересекают основание АС в точках К, D и L. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма) KLMN не больше площади хотя бы одного из треугольников ABD и DBC.

1014. Пусть а₁, а₂, ..., а_n — попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных b, что числа а₁ + b, а₂ + b, ..., а_n + b тоже попарно взаимно просты.

1015. Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен х⁴ + х³ + х² + х + 12 = 0?

1016. Многоугольник описан около окружности с центром O. Пусть Р — центр масс многоугольника, K — центр масс его контура. Докажите, что точки Р, О и К лежат на одной прямой, причём РО = 2РК. (При определении точки Р мы рассматриваем многоугольник как однородную пластину, а при определении точки К — как контур из однородной проволоки.)

1017*. Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число. Сумма всех пяти чисел положительна. Если трём последовательным вершинам приписаны числа х, y, z, причём y < 0, то эти числа заменяем соответственно на х + y, –y и z + y. Такие операции выполняются, пока хотя бы одно из пяти чисел отрицательно. Обязательно ли этот процесс закончится через конечное число шагов?

1018. Пусть A и В — соседние вершины правильного n-угольника с центром О. Треугольник ХYZ конгруэнтен треугольнику ОАВ и вначале совпадает с ним, а затем движется в плоскости n-угольника так, что точки Y и Z остаются на контуре, а X — внутри n-угольника. Какую фигуру опишет точка X, когда Y и Z совершат полный оборот по границе n-угольника?

1019. На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки этого множества в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки количество белых узлов отличалось от количества красных узлов не более чем на 1.

1020*. На сфере радиуса 1 проведена а) кривая, длина которой меньше π; б) замкнутая кривая, длина которой меньше 2π. Докажите существование плоскости, проходящей через центр сферы и не пересекающей проведённой кривой. (Можете считать, что кривая на сфере — это «ломаная», состоящая из дуг больших кругов.)