1021. Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере у подножия скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 метров в час, а после холодной ночёвки на скале — 30 метров в час. По готовой верёвке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он может достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъём по верёвке) 6 часов в день? (Временем спуска и других операций пренебрегите.)

1 4 6 7 8 5 3 2

1022. Первые 8 натуральных чисел можно расставить в виде таблицы из двух строк и четырёх столбцов так, что сумма чисел верхней строки равна сумме чисел нижней строки, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом первые а) десять; б) двенадцать натуральных чисел?

в) При каких натуральных n можно расставить таким образом числа от 1 до 2n?

1023. Среди любых ли 100 треугольников найдётся такой, который можно целиком покрыть остальными 99?

1024*. Для любых двух треугольников, вершины каждого из которых занумерованы числами от 1 до 3, разделим косинус каждого из углов первого треугольника на синус соответствующего угла второго треугольника. Докажите, что сумма этих частных не превосходит сумму котангенсов углов первого треугольника, причём равенство выполнено тогда и только тогда, когда соответствующие углы треугольников равны.

1025*. Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.

1026. а) Пять равных дуг AB, BC, CD, DE и EA расположены так, что каждая делится соседними на три равные части, как изображено на рисунке. Найдите величины дуг (в градусах). б) Тот же вопрос для «розетки» из m равных дуг, каждая из которых делится соседними на три равные части.

1027. Число 1985!! + 1986!! делится на 1987. Докажите это. (Через n!! обозначаем произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих ту же чётность, то есть n!! = n(n – 2)(n – 4) ...)

1028. а) На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D и E). Постройте треугольник ABC, биссектрисы CD и AE которого лежат на данных прямых, а их основания — данные точки D и E.

б*) Если РCDE = 30°, то величина хотя бы одного из углов треугольника ABC равна 60° или 120°. Докажите это.

1029. Среди n членов арифметической прогрессии удалось выбрать k членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что число n не меньше числа 2^k–1.

1030. Для выпуклого многогранника M обозначим через S(M) сумму площадей его граней, через P(M) — сумму произведений длин его рёбер на величины соответствующих им внешних углов многранника. (Внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к граням, примыкающим к ребру, направленными во внешнюю область многогранника; сумма внешнего угла в сумме с величиной соответствующего двугранного угла равна 180°.) Если выпуклый многогранник M₁ лежит внутри выпуклого многогранника M₂, то а) S(M₁) < S(M₂); б) P(M₁) < P(M₂). Докажите эти утверждения.

1031. На плоскости дана прямая l и две точки А и В по одну сторону от неё. На прямой l выбраны точка М, сумма расстояний от которой до точек А и B минимальная, и такая точка N, что АN = ВN. Докажите, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности.

1032. Выписаны n чисел 2, 3, ..., n + 1, их всевозможные произведения по два, по три, и так далее до произведения всех n этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна ⁿ⁄₂. (Например, ¹⁄₂ + ¹⁄₃ + ¹⁄₆ = 1 и ¹⁄₂ + ¹⁄₃ + ¹⁄₄ + ¹⁄₆ + ¹⁄₈ + ¹⁄₁₂ + ¹⁄₂₄ = 2.)

1033. Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два других — в красный. Докажите, что

а) суммы длин красных и голубых дуг равны;

б) суммы периметров красных и голубых криволинейных треугольников равны.

1034. Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений), а) проигрывает; б) выигрывает. Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?

1035. На отрезке [0; 1] отмечаем сначала точку x₀, а затем x₁, ..., x_n. Для каждой очередной точки x_k, где 1 £ k £ n, измеряем расстояние d_k до ближайшей к ней из ранее поставленных точек. Докажите, что сумма d₁ + d₂ + ... + d_n не превосходит суммы числа 1 и половины двоичного логарифма числа n.

1036. Существует ли невыпуклый пятиугольник, который можно разрезать на два конгруэнтных пятиугольника?

1037. Решите в натуральных числах уравнение x^y – y^x = x + y.

1038. а) Если произведение mn натуральных чисел m и n делится на 6, то прямоугольник размером m×n можно разрезать на трёхклеточные уголки. Докажите это.

При каких m и n это можно сделать так, чтобы линии раздела не вырезали ни одного прямоугольника б) размером 2×3; в) площади меньше mn?

1039. Точки A, B, C и D — вершины тетраэдра. Докажите, что а) если DA · BC = DB · CA = DC · AB, то все эти скалярные произведения равны 0;

б) если три угла между противоположными рёбрами тетраэдра равны, то они прямые.

1040*. Числа 1, 2, 3, ..., 3n произвольным образом разбиты на три группы по n чисел в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, чтобы одно из них равнялось сумме двух других.

1041. На плоскости заданы а) четыре; б) три вершины правильного пятиугольника. С помощью двусторонней линейки восстановите его остальные вершины. (Двусторонней линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также проводить прямую, параллельную данной, на расстоянии, равном ширине линейки.)

1042. В классе организуют турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учеников этого класса (из одного, двух, трёх и так далее человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая команда будет соревноваться с командой, состоящей из всех остальных учеников класса.

1043. Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого n числа n, n – 50 и n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

1044. Из любых четырёх чисел всегда можно выбрать два таких числа x и y, что отношение числа x – y к числу 1 + xy принадлежит отрезку [0; 1].

1045*. В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решил созвать всех подданных к 7 часам вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень послал с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передавать любое указание любому другому жителю, и так далее. Каждый житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и может передвигаться со скоростью 3 км/час в любом направлении. Докажите, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.

1046. Величина угла A остроугольного треугольника ABC равна 60°. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин В и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

1047. В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее ³⁄₄ всех сыгранных к этому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент некоторые два участника набрали одинаковое число очков.

1048*. Один из двух играющих («начинающий») ставит коня на некоторую клетку шахматной доски размером а) 8×8; б) m×n, где m ³ n > 2. Затем игроки по очереди передвигают коня по обычным правилам (буквой «Г»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. У кого из игроков есть выигрышная стратегия — у начинающего или у его партнёра?

1049. Будем говорить, что в цилиндр Ц₁ вписан боком другой цилиндр Ц₂, если две образующие второго лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого. Взяв цилиндр Ц₁, у которого отношение диаметра к высоте равно k, впишем в него боком (если это возможно), цилиндр Ц₂, в него впишем Ц₃, в Ц₃ — Ц₄ и так далее. При каких значениях k

а) можно вписать Ц₂, но нельзя вписать Ц₃;

б*) можно вписать Ц₁₀, но нельзя Ц₁₁;

в*) можно вписать бесконечную последовательность Ц₁, Ц₂, Ц₃, ...?

1050*. На отрезке [–1; 1] выбрано k различных точек, для каждой из которых посчитано произведение расстояний до остальных k – 1 точек и через S обозначена сумма обратных величин этих k произведений. Докажите, что а) S ³ 2 при k = 3; б) S ³ 4 при k = 4.

1051. В левый нижний угол шахматной доски поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в виде квадрата 3×3 в а) левом; б) правом верхнем углу доски?

1052. Из n четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого n-угольника диагоналями, не более ⁿ⁄₂ могут оказаться описанными около окружности. Докажите это. Приведите пример восьмиугольника, у которого таких четырёхугольников четыре.

1053. В последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., где каждое число равно сумме двух предыдущих, для любого m > 3 не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел. Докажите это.

1054. Шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или в одной плоскости. Докажите это.

1055. На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих 120°.

1056. В каждой клетке квадратной таблицы 1987×1987 написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате размером 2×2 сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел таблицы не превосходит 1987.

1057. Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие p. Правилами игры запрещено писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.

а) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 10, и укажите её.

б) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 1000.

1058. На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных узлов бесконечно много.

1059. График функции y = f (x), определённой на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на 90° вокруг начала координат.

а) Уравнение f (x) = x имеет ровно одно решение. Докажите это.

б) Приведите пример такой функции.

1060*. На плоскости даны две замкнутые ломаные, каждая с нечётным числом звеньев. Все прямые, содержащие звенья этих ломаных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что из каждой ломаной можно выбрать по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами некоторого выпуклого четырёхугольника.

1061. В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены непересекающимися дорогами. Для любых трёх городов А, В и C по этой сети дорог можно проехать из А в B, не заезжая в C. Докажите, что на всех дорогах можно установить одностороннее движение так, что из каждого города можно будет проехать в любой другой, двигаясь по установленным направлениям.

1062. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки D и E. Прямые BD и CE пересекаются в точке M, AM и BC — в точке P, AM и DE — в точке N. Докажите равенство PN · MA = 2 · PM · NA.

б) На рёбрах SA, SB и SC тетраэдра ABCS взяты точки D, E и F соответственно. Плоскости ABE, BCD и CAF пересекаются в точке M; прямая SM пересекает плоскости ABC и DEF в точках P и N соответственно. Докажите равенство PN · MS = 2 · PM · NS.

1063. Сколько существует целых чисел, представимых в виде разности a – a*, где a — число, записываемое в десятичной системе счисления n цифрами, а a* — число, получаемое при записи цифр числа a в обратном порядке? (Например, если a = 1917, то a – a* = 1917 – 7191 = –5724.) Найдите ответ для а) n = 4; б) n = 5; в) любого натурального n.

1064. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая n-звенная плоская ломаная, если число n а) нечётно; б) чётно? (Предполагаем, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие три звена не пересекаются в одной точке.)

1065*. Рассмотрим векторы (x; y) с целыми неотрицательными координатами. Назовём такой вектор образующим, если |x – y| =1.

а) Рассматриваемый вектор (x; y) представим в виде суммы нескольких различных образующих (или сам является образующим) тогда и только тогда, когда величина k(x, y) = x + y – (x – y)² неотрицательна. Докажите это.

б) Количество n(x, y) различных (с точностью до порядка слагаемых) представлений вектора (x; y) в виде суммы образующих (быть может, состоящей из единственного слагаемого) зависит только от k(x, y). Докажите это; найдите n(13, 18).

1066. Шесть точек расположены на плоскости так, что все пятнадцать расстояний между ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, все расстояния между которыми строго меньше 1.

1067.Для любых неотрицательных чисел x, y и z, сумма квадратов которых равна 1, сумма частного от деления числа x на 1 – x², частного от деления y на 1 – y² и частного от деления z на 1 – z² не меньше полтора квадратных корней из 3. Докажите это.

1068. Дан угол АОВ (А и В — точки на сторонах угла). Постройте прямую l, проходящую через вершину О так, чтобы площади треугольников АОС и ВОD, где С и D — основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на прямую l, были равны.

1069. В некотором городе разрешены только парные обмены квартирами. Если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах. Докажите, что любой сложный обмен квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагаем, что и до, и после обмена каждая семья живёт в отдельной квартире.)

1070. Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.

1071. На доске нарисовано поле для игры «в цифры»: (((((((((_*_)*_)*_)*_)*_)*_)*_)*_)*_). Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела (_) какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного пробела и заменить стоящую слева звёздочку (*) на знак сложения или умножения. При этом ни одна цифра не должна встретиться дважды. В конце игры вычисляют значение полученного выражения. Если это число чётное, то выигрывает первый игрок, нечётное — второй. Кто выигрывает при правильной игре?

1072. Разложите на простые множители число 989 · 1001 · 1007 + 320.

1073. Из точки O все стороны шестиугольника A₁A₂A₃A₄A₅A₅ видны под углом 60°, причём OA₁ > OA₃ > OA₅ и OA₂ > OA₄ > OA₆. Докажите неравенство A₁A₂ + A₃A₄ + A₅A₆ < A₂A₃ + A₄A₅ + A₆A₁.

1074. Дана стопка из 2n + 1 карточек, с которой разрешено производить следующие две операции:

• сверху снимаем часть карточек и перекладываем вниз с сохранением порядка;
• верхние n карточек с сохранением порядка выкладываем в n промежутков между нижними n + 1 карточками.

Докажите, что с помощью указанных операций из исходного расположения карточек в стопке нельзя получить более 2n(2n + 1) расположений карточек.

1075. Найдите наибольшее натуральное число, в десятичной записи которого каждая некрайняя цифра меньше полусуммы двух соседних с ней цифр.

1076. Биссектриса угла А остроугольного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке L, а описанную окружность треугольника — в точке N, отличной от А. Точки К и М — основания перпендикуляров, опущенных из L на стороны АВ и AС. Докажите равенство площадей четырёхугольника АКNМ и треугольника АВС.

1077. Обозначим через p_k(n) количество перестановок n–элементного множества, имеющих ровно k неподвижных точек. Докажите, что n! равно сумме произведений вида а) k · p_k(n) = n!; б) (k – 1)² · p_k(n) = n!, где 0 £ k £ n.

1078. Функция f определена на множестве всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство f (f (n)) = n + 1987 не выполнено хотя бы для одного неотрицательного целого числа n.

1079. При каких n > 2 можно расположить на плоскости n точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражалось иррациональным число, а площадь треугольника с вершинами в любых трёх — рациональным числом (отличным от нуля)?

1080. q — натуральное число. Докажите, что если число k² + k + q простое для любого целого неотрицательного k, утроенный квадрат которого не превосходит числа q, то число k² + k + q простое для любого целого неотрицательного k, меньшего числа q – 1.