1081. Предпоследняя цифра десятичной записи числа 3ⁿ для любого натурального n > 2 чётна. Докажите это.

1082. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что сумма AB² + BС² + CD² + DA² вдвое превышает сумму AO² + BO² + CO² + DO² тогда и только тогда, когда диагонали АС и ВD перпендикулярны или одна из них делится точкой О пополам.

1083. Наибольшее из неотрицательных чисел a₁, a₂, ..., a_n равно a. а) Докажите, что среднее арифметическое квадратов чисел a₁, a₂, ..., a_n не превосходит квадрата суммы этих чисел, к которому прибавлена четверть квадрата числа a.

б) Когда достигается равенство?

1084. Две окружности на плоскости пересекаются в точках A и B. Докажите существование такой точки C, отличной от точки B, что любая окружность с хордой AC будет пересекать данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удалённых от C.

1085*. Несколько попарно скрещивающихся прямых, расположенных в пространстве, спроецировали на горизонтальную плоскость. Их проекции изображены так, чтобы в точках пересечения было видно, какая точка расположена выше, а какая ниже. Могла ли получиться проекция, изображённая на рисунке?

1086. С числом разрешено производить две операции: «увеличить вдвое» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить а) 100; б) n, если сумма цифр двоичной записи числа n равна s?

1087. Рассмотрим треугольник АВС, точку М в плоскости этого треугольника и проекции А₁, В₁ и С₁ точки М на высоты, проведённые из вершин А, В и С соответственно. Докажите, что

а) существует одна и только одна точка М, для которой отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ равны;

б) для такой точки М длины отрезков АА₁, ВВ₁ и СС₁ равны диаметру вписанной в треугольник окружности.

1088. Если pq + qr + pr = 1, причём числа p, q и r рациональные, то число (1 + p²)(1 + q²)(1 + r²) — квадрат рационального числа. Докажите это.

1089. Диагонали выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Пусть K, L, M и N — центры окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СОD и DOA. Докажите, что произведение периметров четырёхугольников АВСD и KLMN не меньше учетверённой площади четырёхугольника АВСD.

1090. Для любых положительных чисел a, b и c сумма квадратных корней из чисел a² –ab + b² и b² –bc + c² не меньше квадратного корня из числа a² +aс + с². Докажите это.

1091. Назовём натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разбить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.

а) Найдите наименьшее такое число a, что числа a и (a + 1) — удачные.

б) Существует ли такое a, что числа a, a + 1 и (a + 2) — удачные?

1092. Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник 10 раз сложили, перегибая каждый раз по какой-нибудь прямой, и затем разрезали по некоторой прямой. Какое наибольшее число кусков могло получиться?

1093. На окружности в n точках расставлены числа 1, 2 и 3. Затем одновременно во всех точках производится следующее преобразование: каждое число 2 заменяем на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляем 1. Пусть вначале на окружности k двоек, где k > 1.

а) Через какое количество преобразований заведомо не останется ни одной двойки?

б) Пусть, кроме того, в n – k остальных точках вначале стояли единицы. Докажите, что в конце концов останется k единиц и n – k нулей.

1094. a, b и c — неотрицательные числа.

а) Из неравенства a⁴ + b⁴ + c⁴ £ 2(a²b² + b²c² + c²a²) следует неравенство a² + b² + c² £ 2(ab + bc + ca). Докажите это.

б) Верно ли обратное, то есть следует ли из второго неравенства первое?

1095. На плоскости задана окружность с центром в точке O и две точки A и B (отличные от O) такие, что прямая AB проходит через точку O. Постройте хорду MN этой окружности, видную из точки A под углом α и а) параллельную прямой AB; б) проходящую через точку B (если B лежит вне окружности, то через B должно проходить продолжение хорды MN).

1096. Диаметр d окружности разбит на k равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перпендикулярная диаметру. Докажите, что сумма длин всех проведённых хорд не меньше 0,5 · kd и не больше 0,8 · kd.

1097. Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат длины основания — чётное число.

1098. На окружности расставлены n точек, занумерованных подряд числами 1, 2, ..., n. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорду, соединяющую две точки с номерами одной чётности. Никакая хорда не должна иметь общих точек (даже концов) с проведёнными ранее. Побеждает тот, кто делает последний ход. При каждом n = 4, 5, 6, ... выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию: начинающий или его партнёр.

1099*. В отряде, ведущем подготовку к полёту на Марс, 6783 космонавта. Среди любых четырёх из них можно выбрать троих, составляющих слаженный экипаж для посадочного модуля. Докажите, что можно выбрать 5 космонавтов, любые трое из которых составляют слаженный экипаж.

1100. На берегу прямолинейной реки лежат брёвна (не пересекающие друг друга отрезки; их конечное число). Каждое бревно составляет с линией берега угол, величина которого меньше 45°. Докажите, что для любого расположения брёвен существует бревно, которое можно закатить в реку, не задевая остальных. Поворачивать бревно при качении нельзя.

1101. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC нашлись такие точки D и E соответственно, что AD = BC = EC и треугольник ADE равнобедренный. Каким может быть угол при вершине A?

1102. Существуют n различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если а) n = 3; б) n = 4; в) n — любое натуральное число, большее 2. Докажите это.

1103. а) На бесконечной плоскости, разбитой на квадратные клетки, некоторые — быть может бесконечное — количество прямоугольников размером 1×2 закрашены в чёрный цвет так, что никакие два чёрных прямоугольника не имеют общих точек (даже вершин). Докажите, что оставшуюся часть плоскости можно замостить этими прямоугольниками.

б*) Пусть на клетчатой плоскости закрашены несколько прямоугольников размером m×n, не имеющих общих точек. Докажите, что если mn чётно, то оставшуюся часть плоскости можно замостить прямоугольниками размером 1×2, а если m и n нечётны, то это не всегда возможно.

1104. Грани ABC и BCD тетраэдра ABCD перпендикулярны, а угол BAC прямой. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.

1105. После нескольких прямолинейных разрезов поверхность выпуклого многогранника развернули на плоскости. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», то есть отвечают одной и той же точке на поверхности многогранника. Каким был исходный многогранник, если при разрезании получился а) прямоугольник со сторонами 1 и квадратный корень из 3; б) равнобедренный треугольник с углом величиной 120°, причём в обоих случаях склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно её середины?

1106. Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

1107. a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что удвоенная сумма частных ^a⁄_b, ^b⁄_c и ^c⁄_a не меньше суммы числа 3 и суммы частных ^b⁄_a, ^c⁄_b и ^a⁄_c.

1108. В выпуклом n-угольнике, где n > 3, никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наибольшее число диагоналей в нём можно провести так, чтобы все части, на которые они разобьют n-угольник, были треугольниками?

1109. В одном старом задачнике по геометрии есть такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу y = x². В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина стороны правильного треугольника, вписанного в эту параболу, быть равной а) 3; б) 1988?

1110. Для каждого натурального n > 1 выпишем наибольшие общие делители всевозможных пар различных чисел от 1 до n. Докажите, что а) среднее арифметическое всех n(n – 1)/2 выписанных чисел неограниченно растёт с ростом n, но не превосходит 1 + ln n; б) их среднее геометрическое не превосходит 10 ни при каком n.

1111. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к ней, проведённые в точках A и C, пересекают касательную, проведённую в точке B, в точках M и N соответственно. В треугольнике ABC из вершины P на сторону AC опущена высота BP. Докажите, что прямая BP делит угол MNP пополам.

1112. На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа a и b, то можно написать ещё и число ab + a + b. Можно ли так получить число а) 13 121; б) 12 131?

Существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде в) x + y + xy; г) x + y + 2xy с натуральными x и y. Докажите это.

1113*. В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолеты нескольких компаний). Каждые два города связаны по крайней мере одной беспосадочной авиалинией. При каком наименьшем количестве авиакомпаний это возможно?

1114. Произведение диаметра вписанного шара любого тетраэдра на сумму длин любых двух его скрещивающихся рёбер меньше произведения длин этих двух рёбер. Докажите это.

1115*. а) В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превосходящих 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превосходящих 19. Назовём отрезком одно или несколько подряд написанных чисел одной строки. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку так, что суммы чисел в них равны.

б) Пусть n, m, k — натуральные числа. Докажите, что если 1 + 2 + ... + n = mk, то числа 1, 2, ..., n можно разбить на k групп так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равны m.

1116. Какое наибольшее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямоугольник площадью а) 36; б) S, стороны которого идут по линиям сетки? (Считаем узлы, лежащие внутри и на границе прямоугольника. Площадь клетки считайте равной 1.)

1117. а) Для произвольного треугольника существуют три окружности с центрами в его вершинах, попарно касающиеся друг друга.

б) Обозначим точки касания буквами K, L и M, как показано на рисунке. Если через середины дуг KL, LM и MK, лежащие внутри треугольника, провести касательные, то образуются четыре треугольника, площадь одного из которых (центрального) равна сумме площадей трёх других. Докажите это.

1118. а) Уравнение (x + y + z)² = x² + y² + z² имеет бесконечно много решений в целых числах. Докажите это.

б) Сколько имеется решений, где z = 1988?

1119. При каких k > 2 верно следующее утверждение: для любых k точек плоскости общего положения (никакие три из которых не лежат на одной прямой) существует k-звезда, в каждом из k углов которой содержится ровно одна из этих k точек?

1120. а) P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, причём для любого неотрицательного x величина P(x) положительна. Последовательность a₁, a₂, a₃,... задана соотношениями a₁ = P(0) и a_n+1 = P(a_n) для каждого натурального n. Докажите для любых натуральных чисел m и k равенство НОД(a_m, a_k) = a_{НОД(m, k)}.

б) Докажите аналогичное утверждение для последовательности Фибоначчи, заданной двумя первыми членами φ₁ = 1, φ₂ = 1 и формулой φ_n+2 = φ_n+1 + φ_n, где n — любое натуральное число.

1121. Дан треугольник ABC. Прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке К. Докажите, что прямая BK проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

1122. Решите систему уравнений (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁, (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂, (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃, (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄, (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

1123. Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы как каждый вертикальный, так и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

1124. Боковые стороны, диагонали и продолжения оснований трапеции пересекают некоторую прямую в шести точках, то есть высекают на ней пять отрезков.

а) Докажите, что если крайние (первый и пятый) отрезки равны, то соседние с ними (второй и четвёртый) также равны.

б) При каком отношении оснований трапеции можно провести прямую так, чтобы все пять отрезков были равны?

1125. Рассмотрим последовательность слов, состоящую из букв A и В. Первое слово в последовательности — А; k-е слово получается из (k – 1)-го с помощью следующей операции: каждую букву А заменяем на ААВ, каждую букву В — на А:

А,

ААВ,

ААВААВА,

ААВААВАААВААВАААВ,

ААВААВАААВААВАААВААВААВАААВААВАААВААВААВА,

.........................................................................................................................

а) Докажите, что каждое слово является началом следующего и тем самым определена бесконечная последовательность букв ААВААВАААВААВАААВ...

б*) На каком месте в этой последовательности встретится 1988-я буква А?

в*) Эта последовательность непериодическая. Докажите это.

1126. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD выбраны точки K и M. Докажите, что если РBAM = РCDK, то РBMA = РCKD.

1127. Микрокалькулятор «Чебурашка» умеет складывать, вычитать и находить по данному числу x обратное число ¹⁄_x. Можно ли с помощью этого микрокалькулятора получить единицу, имея исходным числом а) сумму числа 88 и квадратного корня из 19; б) корень 19-й степени из 88; в) сумму квадратных корней из 19 и 88? (Вводить в микрокалькулятор числа, отличные от исходного или полученных в результате вычислений на нём, запрещено.)

1128. На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побывала на всех полях ровно по одному разу и вернулась на исходное поле. Докажите, что был момент, когда ни одна фишка не стояла на своём исходном поле.

1129*. В лесу барона Мюнхгаузена растут ёлки и берёзы. Барон утверждает, что на расстоянии ровно 1 км от каждой ёлки растёт в точности 10 берёз, причём ёлок в его лесу больше, чем берёз. Может ли это быть?

1130. Длину каждой стороны выпуклого многоугольника разделим на длину его проекции на прямую, которой принадлежит эта сторона. Докажите, что сумма полученных частных не меньше числа 2 и не больше числа 4.

1131. Пусть n — натуральное число, A₁, A₂, ..., A_2n+1 — подмножества некоторого множества B, каждое из которых состоит из 2n элементов. Пусть пересечение любых двух из множеств A₁, A₂, ..., A_2n+1 состоит ровно из одного элемента, причём каждый элемент множества B принадлежит не менее чем двум из этих подмножеств. Для каких n можно утверждать, что некоторые элементы множества B можно пометить так, чтобы каждое из подмножеств A₁, A₂, ..., A_2n+1 содержало ровно n помеченных элементов?

1132. Функция f определена на множестве натуральных чисел и удовлетворяет следующим условиям: f (1) = 1, f (3) = 3, f (2n) = f (n), f (4n + 1) = 2f (2n + 1) – f (2n), f (4n + 3) = 3f (2n + 1) – 2f (2n) для любого натурального n. Сколько среди первых 1988 натуральных чисел n таких, что f (n) = n?

1133. Множество таких чисел x, для которых сумма 70 выражений, k-е из которых, где k = 1, 2, 3, ..., 69, 70, получена делением числа k на число x – k, является объединением непересекающихся промежутков, сумма длин которых равна 1988. Докажите это.

1134. Пусть CD — высота прямоугольного треугольника ABC, угол C которого прямой. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, пересекает стороны AC и BC в точках K и L соответственно. Докажите, что площадь треугольника KLC не превышает половину площади треугольника ABC.

1135. a и b — такие натуральные числа, что a² + b² делится на ab + 1. Докажите, что частное — квадрат целого числа.

1136. Для любых положительных чисел A, M, S сумма числа 3, чисел A, M, S и чисел, обратных к числам A, M, S, не меньше утроенного частного от деления произведения (A + 1)(B + 1)(C + 1) на сумму AMS + 1. Докажите это.

1137. В выпуклом n-угольнике все углы равны; из некоторой точки, расположенной внутри этого n-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что n-угольник — правильный.

1138*. Для любого натурального n между числами n² и n² + n + 3n^{1 ⁄ 2} есть три натуральных числа, произведение двух из которых делится на третье. Докажите это.

1139. а) Поверхность выпуклого многогранника можно разрезать на несколько квадратов. Докажите, что у этого многогранника не больше 8 вершин.

б) Какое наибольшее число вершин может иметь выпуклый многогранник, поверхность которого можно разрезать на правильные треугольники?

1140. Нарисуем на плоскости одну или несколько пересекающихся кривых (эти кривые могут иметь точки самопересечения, как показано на рисунке). В каждой точке пересечения можно двумя способами выполнить «перестройку». Если проделать перестройку во всех точках пересечения, то получится несколько непересекающихся кривых.

а) Докажите, что число непересекающихся кривых, которые могут получиться, не больше числа областей, на которые делили плоскость исходные кривые (на рисунке 7 таких областей).

б) Всегда ли можно сделать перестройки так, чтобы в результате получалась одна кривая?

в) Выберем на каждой кривой направление обхода и будем производить перестройки в соответствии с этими направлениями так, чтобы стрелки «отталкивались» друг от друга. Может ли в результате получиться одна кривая?