1141. Трапеция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из её диагоналей образует с основанием угол, величина которого не больше 45°.

1142. Таблица m×n заполнена числами так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют арифметическую прогрессию. Сумма четырёх чисел, стоящих в углах таблицы, равна s. Чему равна сумма всех чисел таблицы?

1143. Масса каждой из 101 гирьки, расположенных по окружности — натуральное число, а сумма их масс равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну гирьку или несколько гирек, расположенных подряд, сумма масс которых равна 200 г.

1144. Дано несколько неотрицательных чисел, не все из которых равны друг другу. Что больше: корень 1988-й степени из суммы их 1988-х степеней или корень 1989-й степени из суммы их 1989-х степеней?

1145*. Из точки P проведены две касательные PB и PC к окружности, причём угол BPC тупой. На меньшей дуге BC взята точка A. Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла BPC касательной к окружности, проведённой в точке A, не превосходит площади треугольника ABC.

1146. Точка K — середина стороны AB равностороннего треугольника ABC. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так, что величина угла MKN равна 60°. Докажите, что периметр треугольника MCN равен половине периметра треугольника ABC.

1147. Задано несколько точек, соединённых отрезками двух цветов: некоторые пары точек — голубыми отрезками, некоторые другие — красными. В любом замкнутом пути, состоящем из нескольких отрезков, число красных отрезков чётно. Докажите, что все точки можно разбить на два множества так, что каждый красный отрезок соединяет точки из разных множеств, а каждый голубой — точки из одного и того же множества.

1148. Для любого натурального n и любого числа a > 1, ни для каких натуральных чисел s и r не равного корню s-й степени из r, обозначим k = [log_a n]. Докажите, что сумма суммы логарифмов по основанию a первых n натуральных чисел и суммы целых частей чисел a, a², ..., a^k равна kn.

1149. На плоскости заданы два луча p и q с вершинами в точках P и Q соответственно. Две окружности — одна с центром на луче p, проходящая через точку P, и другая — с центром на луче q, проходящая через Q,— касаются друг друга в точке M внешним образом. Найдите множество точек M.

1150. По кругу выписано несколько положительных чисел. Докажите, что частное от деления квадрата их суммы на удвоенную сумму их квадратов не больше суммы частных от деления каждого из них на сумму двух следующих за ним по часовой стрелке.

1151. Для каждого натурального числа n а) докажите, что сумма частных от деления произведения (k + 1)! · k на 2^k, где 0 < k £ n, равна разности между частным от деления числа (n + 2)! на 2ⁿ и числом 2; б) вычислите сумму частных от деления произведения (k + 2)! · k на 3^k, где 0 < k £ n.

1152. h и l — длины высоты и биссектрисы треугольника, проведённых из одной вершины треугольника, R и r — радиусы его описанной и вписанной окружностей. Докажите, что h²R не меньше числа 2l²r.

1153. Какое наибольшее число поворотов может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящей по одному все клетки шахматной доски размером 8×8?

1154*. Если четырёхугольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то прямая, проведённая через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите это.

1155. Точка движется внутри треугольника, отражаясь от его сторон по закону «угол падения равен углу отражения».

а) Докажите, что ни в одном треугольнике нет четырёхзвенной периодической траектории. На рисунке показаны синяя траектория периода 3 и зелёная — периода 6. Периодической траекторией называем замкнутую ломаную, которая не проходит ни через одну из вершин треугольника и является траекторией периодического движения некоторой точки.

Существует ли остроугольный треугольник, внутри которого есть периодическая траектория из б) 5; в) 7 звеньев?

1156. Восемь хоккейных команд соревнуются между собой за выход в финальную четвёрку. Каждые две команды встречаются один раз, за выигрыш дают два очка, за ничью — одно, за проигрыш — 0 очков. Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четвёрку?

1157. Три треугольника — белый, красный и зелёный — имеют общую внутреннюю точку М. Докажите, что можно выбрать по одной вершине каждого треугольника так, чтобы точка М находилась внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трёх разных цветов.

1158. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z), если x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

1159. С помощью двусторонней линейки постройте угол величиной 30°. Разрешены следующие операции:

• проведение прямой через две точки,
• проведение прямой, параллельной данной, на расстоянии, равном ширине линейки.

1160. У одного конца A прямолинейной дороги АВ собрались 10 кенгуру и начали играть в чехарду. Они прыгают по очереди: первый каждый раз прыгает, куда хочет; второй прыгает через первого так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концом прыжка, третий точно так же прыгает через второго и так далее, десятый прыгает через девятого, затем начинается новая серия прыжков по тем же правилам.

а) Могут ли через 10 серий прыжков все кенгуру собраться в точке B?

б) Могут ли они собраться там раньше?

1161. В бильярдном треугольнике вплотную помещается 10 шаров. Докажите, что если в нём поместить 9 шаров, то обязательно останется место для десятого (то есть центры 9 шаров расположатся по треугольной сетке).

1162. Решите в целых числах уравнение x³ – 13xy + y³ = 13.

1163. Черепаха вышла из точка A и пришла в точку В, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки A вышла вторая черепаха, которая в каждый момент двигалась в направлении первой (с произвольной скоростью) и в конце концов также пришла в точку B. Докажите, что путь, пройденный второй черепахой (к моменту прихода обеих в В), не превосходит пути первой.

1164. Натуральное число n называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, меньших n (например, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Докажите, что нечётное совершенное число (если такое существует) не может одновременно делиться на 3, 5 и 7.

1165. Квадрат со стороной длины n, расположенный произвольным образом на листе клетчатой бумаги с клетками размера 1×1, не может покрыть более (n + 1)² узлов сетки. Докажите это.

1166. Если a, b, c — стороны треугольника и p + q + r = 0, то a²pq + b²qr + c²rp £ 0. Докажите это.

1167. Сколько существует перестановок чисел 1, 2, ..., n, в которых для любого числа k, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел k – 1 и k + 1 находится левее k?

1168*. В стране 1 989 городов и 4 000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите существование кольцевого маршрута, проходящего не более чем через 20 городов.

1169. Точка M лежит внутри прямоугольника ABCD. Докажите, что площадь этого прямоугольника не превосходит величины AM · CM + BM · DM.

1170. Рассмотрим разбиения данного выпуклого n-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Назовем перестройкой следующее преобразование: вместо некоторой диагонали BC, служащей общей стороной двух треугольников ABC и BCD разбиения, проводится диагональ AD. Обозначим через P(n) наименьшее число перестроек, за которое можно любое разбиение перевести в любое другое. Докажите оценки: а) P(n) > n – 4; б) P(n) < 2n – 6; в*) P(n) < 2n – 9 при n > 12.

1171. Число 2 больше суммы любых нескольких чисел, обратных к числам вида nH_n², где H_n — сумма чисел, обратных первым n натуральным числам. Докажите это.

1172. Какой наибольший угол могут составлять между собой отрезки OA и OB, выходящие из начала O прямоугольной системы координат в пространстве, если точка A имеет координаты (x; y; z), а точка B — координаты (y; z; x),?

1173. Через точку, расположенную внутри треугольника площади S, проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекают две из них. Докажите, что площади S₁, S₂ и S₃ трёх образовавшихся при этом треугольников таковы, что сумма их обратных величин не превосходит удевятерённой обратной величины числа S.

1174. Рассмотрим последовательность, заданную тремя первыми членами a₁ = 1, a₂ = 12, a₃ = 20 и формулой a_n+3 = 2a_n+2 + 2a_n+1 – a_n, где n — натуральное число. Докажите для любого натурального n, что 1 + 4a_na_n+1 — квадрат натурального числа.

1175*. При каких натуральных n верно следующее утверждение: как бы ни были разложены на плоскости несколько непересекающихся правильных n-угольников, один из них можно выдвинуть по некоторому направлению, не задевая остальных? (Поворачивать n-угольник нельзя: лучи, выходящие из точек выбранного n-угольника в нужном направлении, не должны задевать остальных n-угольников.)

1176. Квадраты AKBM и CNDL расположены на плоскости так, что ABCD — выпуклый четырёхугольник, внутри которого лежат точки K и L. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD равна (MN² – KL²) ⁄ 4.

1177. Для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, не превосходящих 1, произведение (1 + x₁)^x₂(1 + x₂)^x₃ ... (1 + x_n)^x₁ не меньше числа 2ⁿ. Докажите это.

1178. а) Удвоенная сумма радиусов вписанной и описанной окружностей нетупоугольного треугольника не превосходит квадратного корня из суммы квадратов его сторон. Докажите это.

б) Для каких треугольников неравенство обращается в равенство?

1179. Найдите a₁₀₀₀, если a₁ = 0 и а) a_n+1(n + 1) = n(a_n + 1); б) a_n+1(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(a_n + 1); в) a_n+1(n + 3)(n + 4)(n + 5) = n(n + 1)(n + 2)(a_n + 1).

1180. На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой — C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.

1181. На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре. Докажите, что на чёрных клетках шахматной доски стоит чётное число фигур.

1182. В некоторой роще было s скворечников, причём все расстояния между скворечниками различны. В каждом из них жило по скворцу. В какой-то момент некоторые из них покинули свои скворечники и перелетели в другие, так что снова в каждом скворечнике оказалось по скворцу. При этом, если расстояние между какой-то парой скворцов было меньше расстояния между другой парой (один скворец может засчитываться в разных парах), то после перелёта расстояние между первой парой скворцов оказалось больше расстояния между второй парой. При каких s это возможно?

1183. Каждый из семи мальчиков в воскресенье 3 раза подходил к киоску мороженого. Каждые два из них встретились около киоска. Докажите, что в некоторый момент там встретились одновременно трое мальчиков.

1184. На всех шести рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах, выходящих из одной вершины, проведём плоскость. Докажите, что если три из них касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость тоже касается вписанного шара.

1185. Придумайте положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, удовлетворяющие для любого k = 1, 2, ..., n равенству (x₁ + ... + x_k)(x_k + ... + x_n) = 1, если а) n = 3; б) n = 4; в*) n = 10.

г*) Докажите, что эта система уравнений при любом натуральном n имеет единственное решение в положительных числах.

1186. Будем говорить, что два четырёхугольника — бумажный и картонный — подходят друг к другу, если картонный можно наложить на бумажный так, что все его вершины попадут на стороны бумажного (по одной на каждую) и при этом, если перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный четырёхугольник, то они закроют весь его в один слой. Докажите, что если

а) четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны, либо диагонали перпендикулярны.

б) бумажный четырёхугольник — параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный.

1187. Для любого чётного m первые (m – 1) натуральных чисел можно выписать в таком порядке, чтобы никакая сумма нескольких подряд чисел не делилась на m. Докажите это.

1188. а) Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превосходящими 100. Докажите, что среди них существуют три прямоугольника, первый из которых можно поместить во второй, а второй — в третий.

б) Среди 1989 прямоугольников с целыми сторонами, не превосходящими 100, есть 40 таких прямоугольников, что первый можно поместить во второй, второй — в третий, ..., 39-й — в 40-й.

1189*. На плоскости дано n прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю n, что по любую сторону от любой из этих прямых сумма чисел равна 0.

1190*. а) Если в таблице размером n×n клеток стоят 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n строк и n столбцов так, что все звёздочки будут вычеркнуты. Докажите это.

б) Расставьте в этой таблице 3n + 1 звёздочку так, что после вычёркивания любых n строк и n столбцов останется по крайней мере одна звёздочка.

1191. Пусть A₀, A₁, A₂, ... — последовательность точек плоскости. Начав с некоторой точки T₀, построим последовательность T₁, T₂, T₃, ..., где T_n — точка, симметричная T_n–1 относительно точки A_n. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять последовательность A₀, A₁, A₂, ..., чтобы при любом выборе точки T₀ последовательность T₁, T₂, T₃, ... была периодической?

1192. Все рёбра многогранника равны между собой по длине и касаются некоторого шара.

а) Пусть одна из его граней имеет нечётное число сторон. Докажите, что существует описанный вокруг этого многогранника шар.

б) Обязательно ли при условиях пункта а) существует вписанный в этот многогранник шар?

в) Пусть все грани этого многогранника имеют одинаковое число сторон. Докажите, что существует вписанный в него шар.

г) Обязательно ли при условиях пункта в) существует описанный шар?

1193. Сумма квадратного корня из числа (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) и суммы ax + by + cz не меньше двух третьих произведения (a + b + c)(x + y + z). Докажите это.

1194. Из точки M, расположенной внутри прямоугольника ABCD, проведены биссектрисы ME, MF, MG и MH треугольников AMB, BMC, CMD и DMA соответственно.

а) Докажите, что отношение площади четырёхугольника EFGH к площади прямоугольника ABCD не меньше ³⁄₈ и не больше ¹⁄₂.

б) Для каких точек M верно равенство S_ABCD = 2S_EFGH?

1195. Последовательность x₁, x₂, x₃, ... такова, что для любых натуральных чисел m и n число x_m+n отличается от суммы чисел x_m и x_n не более чем на число, обратное сумме m + n. Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.

1196. Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешено стереть любые два числа a и b и записать вместо них числа a + ^b⁄₂ и b – ^a⁄₂. Докажите, что сколько бы таких операций ни сделать, исходный набор чисел не получим.

1197. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AB и BC треугольника ABC. Отрезки CM и AN пересекаются в точке O. Докажите, что если AM + AN = CM + CN, то AO + AB = CO + CB.

1198. Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова считаем синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркиваем несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываем те же цифры, но в обратном порядке. Каково максимальное число слов, среди которых нет синонимов?

1199*. Если многочлен ax² + (c – b)x + e – d имеет хотя бы один корень x > 1, то многочлен ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e имеет хотя бы один корень. Докажите это.

1200*. Для каких k можно расположить на окружности а) 10; б) 100; в) n дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с k другими?