1201. В парламент Анчурии нужно избрать по одному депутату от каждого из 999 округов с одинаковым числом избирателей. В Анчурии созданы три партии A, B, C, выдвигающие своих кандидатов. Партию A поддерживает всего 15% избирателей, B — 30%, C — 55%. Если на первом туре выборов в округе ни один из кандидатов не набирает 50% голосов, то во второй тур проходят двое, набравшие наибольшее число голосов. Во втором туре партии A и B договорились поддерживать друг друга, а сторонники партии C голосуют за кандидата партии A. Какое наибольшее и какое наименьшее число кандидатов от каждой из партий может попасть в парламент?

1202. Из вершины A квадрата ABCD внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры BK, BL, DM и DN из вершин B и D. Докажите, что отрезки KL и MN равны и перпендикулярны друг другу.

1203. Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 км на а) 31; б) 30 квадратов так, чтобы один из них имел сторону не более 1 м?

1204*. На плоскости заданы точки A, B, C — центры трёх кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью). Как только два круга касаются друг друга, они «лопаются» — их радиусы уменьшаются до 0 — и начинают расти снова. Верно ли, что если длины AB, BC, CA — целые числа, то этот процесс периодический?

Изучите, как может развиваться этот процесс, если треугольник ABC а) равносторонний; б) равнобедренный; в) прямоугольный со сторонами 3, 4, 5. Начальное состояние может быть произвольным (не только «нулевым»).

1205. Мальчик и девочка играют в такую игру: мальчик рисует на плоскости не налегающие друг на друга многоугольники, а девочка их раскрашивает. Если два многоугольника имеют общий отрезок стороны, то их следует раскрашивать в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит девочке, чтобы следовать этим правилам, если мальчик рисует только а) равносторонние треугольники; б) равнобедренные прямоугольные треугольники; в) одинаковые квадраты?

1206. В круге проведены перпендикулярные диаметры AE и BF. На дуге EF взята точка C. Хорды CA и CB пересекают диаметры BF и AE соответственно в точках P и Q. Докажите, что площадь четырёхугольника APQB равна квадрату радиуса круга.

1207. Для любых чисел x, y и для любого натурального n докажите, что m-я степень числа x² + y² больше или равна суммы 2^mx^my^m + (x^m – y^m)².

1208. Первый член последовательности равен ¹⁄₂, а любой другой равен квадратному корню из половины разности между числом 1 и квадратного корня из разности числа 1 и квадрата предыдущего члена последовательности. Докажите, что сумма никакого количества членов такой последовательности не превосходит числа 1,03.

1209. Числовой треугольник, первая строка которого состоит из n единиц, а вторая — из n – 1 целых чисел, обладает следующим свойством: ac – bd = 1 для любых четырёх чисел a, b, c и d, расположенных в вершинах ромба, точнее говоря, таких чисел, что a и c соседние в одной строке, причём c левее a, а числа b и d расположены соответственно строкой выше и строкой ниже, соседствуя по диагонали с числами a и c. Докажите, что а) если все числа в треугольнике не равны 0, то все они целые; б) если все числа в треугольнике положительные, то в нём присутствует не менее n ⁄ 4 различных чисел.

1210*. Имеется кучка из M спичек и лист бумаги, на котором написано число M. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок берёт из кучки или возвращает в кучку от 1 до k спичек и записывает на листе, сколько спичек стало в кучке. (Вначале все имеющиеся спички лежат в кучке — у игроков спичек нет.) Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход или вынужден записать число, уже имевшееся на листе ранее. Кто из игроков выигрывает при правильной игре, если а) k = 2; б) k = 5?

1211. Можно ли расположить в пространстве тетраэдр, шар и плоскость таким образом, чтобы площади сечений тетраэдра и сферы любой плоскостью, параллельной выбранной, были равны?

1212. Множество всех целых чисел разбито на не пересекающиеся одна с другой арифметические прогрессии с положительными разностями d₁, d₂, d₃, ... Может ли случиться, что сумма обратных величин этих разностей меньше числа 0,9, если множество прогрессий а) конечно; б) бесконечно?

1213. а) Если выпуклый шестиугольник можно разрезать на параллелограммы, то он имеет центр симметрии. Докажите это.

б) Если выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая две противоположные его вершины, параллельна двум его сторонам, можно разрезать на n параллелограммов равной площади, то n делится на 3. Докажите это.

1214*. В некоторых клетках прямоугольной таблицы из n строк и m > n столбцов расставлены звёздочки так, что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что найдётся такая звёздочка, что в её строке звёздочек больше, чем в её столбце.

1215. Число 15 можно тремя способами разложить в сумму трёх натуральных чисел так, что все 9 чисел различны: 15 = 1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9 = 3 + 5 + 7. Для каждого натурального n обозначим через k(n) наибольшее число троек натуральных чисел, дающих в сумме n и состоящих из различных чисел. Докажите, что а) 6k(n) > n – 6; б) 9k(n) < 2n; в) k(100) = 21; г) k(500) = 110.

1216. Найдите величины углов остроугольного треугольника ABC, если его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

1217. Обозначим через H_n сумму обратных величин первых n натуральных чисел. Докажите, что для любого натурального n сумма квадратов чисел вида H_n – H_k, где k < n, равна 2n – H_n.

1218. На отрезке AC взята точка B и построены лежащие в одной полуплоскости от прямой AC дуги AB и BС, сумма величин α и β которых равна 360°. Произвольная дуга AB пересекает их в точках K и L. Докажите, что всевозможные прямые KL пересекают прямую AC в одной и той же точке.

1219. Для любых положительных чисел x₁, x₂, x₃, ..., x_n, где n > 1, докажите неравенство(s – x₁)^x₁ + (s – x₂)^x₂ + ... + (s – x_n)^x_n ³ n – 1, где s = x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n.

1220*. Определим последовательность условиями b₁ = 0, b₂ = 2, b₃ = 3, b_n+1 = b_n–1 + b_n–2 при n > 2. Докажите, что для любого простого p число b_p делится на p.

1221. Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении 1 : 2.

1222. Пусть m — натуральное число, m > 1, а s — наибольшее целое число, для которого 2^s £ m. Докажите, что а) из любых s + 1 целых чисел можно выбрать несколько чисел и так расставить между ними знаки, каждый из которых — плюс или минус, что значение полученного выражения будет делиться на m; б) оценка в пункте а) неулучшаема, то есть существуют такие s целых чисел, что никакая сумма нескольких из них ни при какой расстановке знаков не делится на m.

1223. На квадратный лист бумаги со стороной a посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Никакая прямая, параллельная сторонам листа, не пересекает более одной кляксы. Докажите, что сумма площадей клякс не больше a.

1224. Из вершины треугольника проведён отрезок в точку противоположной стороны, разделённый вписанной окружностью на три равные части. Может ли этот отрезок быть а) высотой; б) медианой; в) биссектрисой треугольника?

1225. а) Если x, y и z = (x² + y²) ⁄ (xy + 1) — натуральные числа, то z = 5. Докажите это.

б) Уравнение x² + y² = 5xy + 5 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Докажите это.

1226. Если квадрат повернуть вокруг его центра на 45°, то полученный квадрат разделит стороны первоначального в некотором отношении. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник, разделим его стороны в том же отношении и через точки деления проведём прямые, образующие новый четырёхугольник. Докажите, что площади этих четырёхугольников равны.

1227. Назовём шахматный круговой турнир логичным, если для любых двух его участников выполнено следующее условие: тот, кто набрал не больше очков, тот не выиграл и в личной встрече. Докажите, что каким бы ни был турнир, то же самое распределение очков между участниками можно получить и в некотором логичном турнире. (За победу в шахматной партии дают 1 очко, за ничью — ¹⁄₂, а за поражение — 0 очков.)

1228. Для любых положительных чисел a, b и c, не превосходящих 1, докажите, что сумма дробей a ⁄ (bc + 1), b ⁄ (ca + 1) и c ⁄ (ab + 1) не превосходит числа 2.

1229. Ни для какого натурального n не является квадратом число а) 4ⁿ + 5; б) 8ⁿ + 9; в*) aⁿ + a + 1, где a — целое число, не кратное 8. Докажите это.

1230. В некоторых клетках квадратных таблицы размером 50×50 расставлены числа 1 и –1 таким образом, что абсолютная величина суммы всех чисел таблицы не превосходит 100. Докажите, что хотя бы для одного квадрата размером 25×25 абсолютная величина его чисел не превосходит 5.

1231. На какое наибольшее число частей могут разбить координатную плоскость графики n квадратных трёхчленов? (Квадратный трёхчлен — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа, a a не равно 0.)

1232. Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q. На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну? Рассмотрите следующие случаи: а) p и q — взаимно простые числа; б) p и q имеют наибольший общий делитель d.

1233. Длина боковой стороны BC трапеции ABCD равна длине её диагонали AC. Точка H — середина основания AB. Прямая l проходит через точку H и пересекает прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что углы ACP и QCB равны или составляют в сумме развёрнутый угол.

1234. Любой ли треугольник можно разбить на а) 7; б) 5 подобных между собой треугольников?

1235*. Пусть число p = 2q + 1 простое. Докажите, что число 2^3qq! – (–1)^q(2q – 1)!! делится на а) p; б) p²; в) p³, если p > 3. (Здесь (2q – 1)!! — произведение первых q нечётных натуральных чисел.)

1236. Найдите множество точек O внутри данного квадрата на плоскости, для которых существует окружность с центром O, пересекающая стороны квадрата в 8 точках.

1237. Точка O расположена внутри треугольника ABC и такова, что сумма векторов OK, OM и ON равна нулю, где K, M, N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны треугольника. Докажите, что произведение двух корней из трёх на сумму длин отрезков OK, OM и ON не превышает суммы длин сторон треугольника ABC.

1238. Множество натуральных чисел разбито на два подмножества. В одном из них нет ни одной трёхчленной арифметической прогрессии. Обязательно ли в другом есть бесконечная арифметическая прогрессия?

1239. Даны две пересекающиеся окружности и точка P. Проведите через точку пересечения окружностей их общую секущую AB так, чтобы угол APB имел заданную величину.

1240*. На клетчатой бумаге со стороной клетки длины 1 выделен квадрат размером n×n клеток. Из одной его вершины в противоположную по линиям сетки проведём случайную ломаную длины 2n. В n клетках квадрата, случайно расположенных в разных строках и разных столбцах, расставим n звёздочек. С какой вероятностью все звёздочки оказались по одну сторону от ломаной? (Другими словами, какую долю среди всевозможных расположений ломаных и звёздочек составляют такие, что звёздочки лежат по одну сторону от ломаной?)

1241. Имеется 1990 кучек, состоящих соответственно из 1, 2, 3, ...., 1990 камней. За один шаг разрешено выбросить из любого множества кучек по одинаковому числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни?

1242. На сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взяты соответственно точки K и N так, что величина угла KEN равна 180° ⁄ n, где E — вершина, противоположная вершине B. Докажите, что NE — биссектриса угла KNC.

1243. а) На доске написано уравнение *x² + *x = *. Первый из двух играющих называет любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звёздочек. Может ли первый добиться, чтобы полученное уравнение имело различные рациональные корни, или второй всегда сможет ему помешать?

б) На доске написано уравнение x³ + *x² + *x = *. Первый из двух играющих называет любое число, второй ставит его на место любой из звёздочек; затем первый называет ещё одно число, второй ставит его на место одной из двух оставшихся звездочек; наконец, первый ставит любое число на место последней оставшейся звездочки. Может ли первый добиться того, чтобы полученное уравнение имело три различных целых корня?

1244. В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов, в которых либо все трое дружат друг с другом, либо все трое враждуют между собой.

1245. На плоскости заданы точка O и n векторов, сумма которых равна нулю. Докажите, что можно отложить эти векторы, начав в точке O, один за другим в таком порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная будет целиком расположена в некотором угле величиной 60° с вершиной в точке O.

1246. В любой бесконечной арифметической прогрессии, члены которой — натуральные числа, есть два числа с одинаковой суммой цифр. Докажите это.

1247. Можно ли плоскость покрыть без наложений квадратами с длинами сторон 1, 2, 4, 8, 16, ..., используя квадрат каждого размера не более а) десяти раз; б) одного раза?

1248. Отрезок I покрыт несколькими меньшими отрезками, ни один из которых не выходит за пределы отрезка I.

а) Докажите, что левые половины этих отрезков покрывают не менее половины отрезка I.

б) Докажите, что если у каждого из этих отрезков отбросить какую-либо половину — левую или правую,— то оставшиеся половины покроют не менее трети длины отрезка I.

1249. В королевстве n > 6 городов, каждые два их которых соединены одной дорогой с односторонним движением. При этом не из каждого города можно проехать в любой другой, не нарушая правила движения.

а*) Докажите, что король может выбрать один из городов и, изменив направление движения на всех дорогах, входящих и выходящих из него, добиться того, чтобы можно было проехать из любого города в любой другой.

б) Верно ли это утверждение для n = 6?

1250. Для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n докажите, что сумма дробей x₁ ⁄ (x₂ + x₃), x₂ ⁄ (x₃ + x₄), ..., x_n–1 ⁄ (x_n + x₁), x_n ⁄ (x₁ + x₂) больше а) произведения числа n на разность между квадратным корнем из числа 2 и числом 1; б) 5n ⁄ 12. в) Докажите, что эта сумма не меньше n ⁄ 2, если последовательность x₁, x₂, ..., x_n монотонна.

1251. На плоскости дан угол (меньше развернутого). Проведите два отрезка PM и QM с заданной суммой длин s, отрезающие от угла четырёхугольник наибольшей площади (P и Q — точки на сторонах угла, M — внутри угла).

1252. Пусть a и n — натуральные числа, a > 1. Докажите, что φ(aⁿ – 1) делится на n.

φ — это функция Эйлера, то есть φ(k) обозначает количество несократимых правильных дробей со знаменателем k.

1253. На плоскости нарисован выпуклый многоугольник M, разбитый на несколько выпуклых многоугольников,— «карта» из нескольких «стран». Будем говорить, что такая карта реализуема в пространстве, если существует выпуклый многогранник, у которого одна из граней — M, а проекции остальных граней на плоскости грани M — страны этой карты (причём все они лежат внутри M).

а) Постройте пример карты из треугольников, не допускающей реализацию в пространстве.

Докажите, что карта допускает выпуклую реализацию в каждом из следующих случаев:

б) все страны — остроугольные треугольники;

в) каждая страна — вписанный многоугольник, содержащий внутри себя центр описанной окружности.

1254. Прямоугольник размером m×n можно разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы Г тогда и только тогда, когда mn делится на 8, причём m > 1 и n > 1. Докажите это.

1255. Если h — наименьшая высота тетраэдра, d — наименьшее из расстояний между его скрещивающимися рёбрами, то h < 2d < 3h. Докажите эти неравенства.

1256. Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.

1257*. Коэффициенты многочлена f — целые числа. Для любого целого n число f (n) делится хотя бы на одно из чисел a₁, a₂, ..., a_m . Докажите, что существует такое натуральное k, что k £ m и f (n) делится на a_k для любого целого n.

1258*. Числа, расставленные по окружности, разрешено подвергать операции замены тройки подряд идущих чисел x, y и z на тройку x + y, –y и y + z (именно в таком порядке). а) Можно ли такими операциями из чисел 1, 2, 3, ..., 9, 10, –1, –2, –3, ..., –9, –10 получить числа 10, 9, 8, ..., 2, 1, –10, –9, –8, ..., –2, –1?

б) Из любых n чисел, расставленных по окружности, сумма которых положительна, можно получить один и только один набор из n неотрицательных чисел.

1259*. На окружности дано множество E, состоящее из 2n – 1 различных точек, где n > 2, из которых k точек покрашены в чёрный цвет, а все остальные — в белый. Раскраску точек называем хорошей, если существуют две чёрные точки, строго между которыми на одной из дуг содержится ровно n точек из множества E. Найдите наименьшее значение k, для которого каждая раскраска множества E является хорошей.

1260*. Для каких натуральных n число 2ⁿ + 1 делится на n²?