1261. На плоскости расположены 1991 точек — красных, чёрных и жёлтых, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками, причём из всех точек выходит поровну отрезков. Докажите существование красной точки, соединённой и с чёрной, и с жёлтой точками.

1262. a, b, c — длины сторон треугольника; x = |b – c|, y = |a – c|, z = |a – b| — абсолютные величины разностей длин его сторон. Докажите, что сумма xy + yz + zx не превосходит квадрата его полупериметра.

1263. Внутри окружности лежат ещё две окружности, касающиеся внешней окружности в точках A и B соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что если одна из точек пересечения лежит на отрезке AB, то сумма радиусов меньших окружностей равна радиусу большей. Верно ли обратное?

1264. На бесконечном листе белой клетчатой бумаги квадрат 2×2 нужно закрасить в чёрный цвет (а все остальные клетки должны остаться белыми). Можно ли это сделать несколькими операциями, каждая из которых — перекрашивание в противоположный цвет всех клеток квадрата 3×3 или 4×4?

1265*. а) Среди 21 попарных расстояний между 7 различными точками плоскости одно и то же число встречается не более 12 раз. Докажите это.

б) Какое наибольшее количество раз может встретиться одно и то же число среди 15 попарных расстояний между 6 различными точками плоскости?

1266. Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечены 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите существование двух треугольника равной площади с вершинами в этих точках.

1267. Пусть a₁, a₂, ..., a_n — некоторая перестановка первых n натуральных чисел, r_k — остаток от деления суммы a₁ + a₂ + ... + a_k на n. Докажите, что среди чисел r₁, r₂, ..., r_n по крайней мере корень квадратный из n различных чисел.

1268. Внутри треугольника ABC лежит точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны BC, AC и AB соответственно в точках A', B' и C'. Докажите, что произведение диаметра описанной около треугольника ABC окружности на площадь треугольника A'B'C' равна квадратному корню из произведения AB' · AC' · BC' · BA' · CA' · CB'.

1269. Прямая p параллельна стороне AB треугольника ABC и расположена на расстоянии AC от неё так, что внутри полосы, образованной прямыми p и AB, нет внутренних точек треугольника ABC. Прямая q параллельна прямой AC и расположена на расстоянии AB от неё так, что внутри полосы, образованной прямыми q и AC, нет внутренних точек треугольника ABC. Прямые p и q пересекаются в точке L. Докажите, что прямая AL делит отрезок BC пополам.

1270. Если последняя цифра десятичной записи числа m равна 5, то 12^m + 9^m + 8^m + 6^m делится на 1991. Докажите это.

1271. Дана полуокружность с диаметром AB. Постройте хорду MN, параллельную AB, чтобы трапеция AMNB была описанной.

1272. Сумма квадратных корней из обратных величин некоторых n положительных чисел равна 1. Докажите, что если вычесть из каждого из данных чисел единицу и перемножить полученные разности, то произведение не будет меньше (n² – 1)ⁿ.

1273. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, как на основаниях, вне него построены подобные равнобедренные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁, у каждого из которых отношение высоты к основанию равно k. Такие же треугольники ABC₂, BCA₂ и CAB₂ построены и по другую (внутреннюю) сторону от оснований. Докажите, что площади S, S₁ и S₂ треугольников ABC, A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ связаны равенством S₁ ± S₂ = S(1 + 3k²) ⁄ 2, где знак зависит от ориентации треугольника A₂B₂C₂ по отношению к треугольнику ABC.)

1274. Для любого натурального числа n абсолютная величина разности цепных дробей [0; 2, 3, ..., n – 1] и [0; 2, 3, ..., n – 1, n] не превосходит частного от деления числа 1 на n!(n – 1)!.

1275. Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что при любом натуральном n верно равенство a_k+2 = a_ka_k+1 + 1. Докажите, что при n > 9 число a_n – 22 составное.

1276. Для данной хорды MN окружности рассмотрим всевозможные треугольники ABC, основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABC, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.

1277. Для любых положительных чисел a₁, a₂, ..., a_n докажите, что сумма квадратных корней из частных (a₁ + a₂) ⁄ a₃, (a₂ + a₃) ⁄ a₄, ..., (a_n–1 + a_n) ⁄ a₁, (a_n + a₁) ⁄ a₂ больше или равна числа n корней из двух.

1278. Сумма нескольких чисел равна 0, а сумма их квадратов равна 1. Докажите, что среди них есть два числа, произведение которых меньше или равно –1.

1279. На координатной плоскости расположены n квадратов, стороны которых параллельны осям координат. Любые два квадрата можно пересечь прямой, параллельной одной из осей. Докажите, что можно пересечь одной прямой, параллельной одной из осей координат, не менее чем n – 2 из данных квадратов.

1280*. В периоде десятичного разложения дроби ¹⁄_3¹⁰⁰ содержит а) не менее 20 одинаковых цифр подряд; б) последовательность цифр 123 456 789. Докажите это.

1281. Если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то их сумма больше 4. Докажите это.

1282. Не существует двух таких (отличных от параллелограмма) трапеций, что боковые стороны каждой из них соответственно равны основаниям другой. Докажите это.

1283. Квадрат 99×99 разбит на фигурки трёх типов, изображённые на рисунке.

а) Количество фигурок первого типа не меньше 199. Докажите это.

б) Приведите пример разбиения, когда фигурок первого типа 199 штук.

1284. На основании AB равнобедренного треугольника ACB выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и вневписанная окружность треугольника ACD (то есть окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD). Докажите, что этот радиус равен ¹⁄₄ высоты треугольника, опущенной на боковую сторону.

1285. Имеется колода из n карт. Разрешено взять подряд несколько карт и, не меняя порядка, вставить их в любое другое место колоды (можно в начало или конец). Пусть M(n) — наименьшее количество операций, необходимое, чтобы расположить карты в обратном порядке. Докажите, что а) M(9) £ 5; б) M(52) £ 26; в) M(52) ³ 17; г*) M(52) ³ 26. д) Найдите M(n) для любого натурального n.

1286. На конгрессе присутствуют 100 делегатов, каждый из которых знает несколько иностранных языков. Известно, что любые трое могут поговорить между собой без помощи остальных. Докажите, что делегатов можно поселить в 50-ти двухместных номерах гостиницы так, что живущие в одном номере могли бы разговаривать между собой.

1287. Длина диагонали AC параллелограмма ABCD больше длины диагонали BD. Точка M диагонали AC такова, что около четырёхугольника BCDM можно описать окружность. Докажите, что BD — общая касательная окружностей, описанных около треугольников ABM и ADM.

1288*. Число 235² + 972² = 1 000 009 — составное. Докажите это.

1289*. Сумма целых чисел a₁, a₂, ..., a_n равна 1. Для каждого натурального числа k, не превосходящего n, обозначим через N_k количество положительных среди чисел a_k, a_k + a_k+1, ..., a_k + a_k+1 + ... + a_n + a₁ + ... + a_k–1. Докажите, что все числа N₁, N₂, ..., N_n различны.

1290*. Квадратный лист бумаги размера 8×8 разграфили на единичные клетки и произвольным образом сложили в книжку 1×1 (из 64 листов). Листы книги пронумеровали по порядку числами от 1 до 64, а затем вновь развернули. Пусть p — наибольшая разность номеров соседних (граничащих по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение p и при каком складывании книжки оно достигается?

1291. В правильном а) 12-угольнике; б) 54-угольнике существуют четыре диагонали, не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке. Докажите это.

1292. Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором так указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, чтобы общая сумма расходов не превысила заранее заданную величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S?

1293. В данный угол вписаны два непересекающихся круга. Треугольник ABC расположен между кругами так, что его вершины лежат на сторонах угла, а равные стороны AB и AC касаются соответствующих кругов. Докажите, что сумма радиусов кругов равна высоте треугольника, опущенной из вершины A.

1294. Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие один к другому гранями, разного цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков таким образом, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, стало не хватать одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

1295. На прямоугольном экране размером m×n, разбитом на единичные клетки, светятся более (m – 1)(n – 1) клеток. Если в некоторый момент в каком-нибудь квадрате размером 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.

1296. Из многоугольника можно получить новый многоугольник с помощью следующей операции: разрезав его по отрезку на две части, одну из частей перевернуть и приставить к другой части по линии разреза, если при этом части не будут иметь общих точек, кроме точек разреза. Можно ли с помощью нескольких таких операций из квадрата получить треугольник?

1297. Числа α и β удовлетворяют равенствам α³ – 3α² + 5α = 1 и β³ – 3β² + 5β = 5. Найдите α + β.

1298. Билет лотереи — карточка, на которой имеется 50 пустых подряд расположенных клеток. Каждый участник лотереи во все клетки записывает числа от 1 до 50 без повторений. Организаторы лотереи по таким же правилам заполняют свою карточку-эталон. Выигравшим считают билет, у которого хотя бы в одной клетке записано число, которое записано в соответствующей клетке карточки-эталона. Какое наименьшее количество билетов надо заполнить играющему, чтобы иметь выигрышный билет независимо от того, как заполнена карточка-эталон?

1299. На доске выписано несколько чисел. Разрешено стереть любые два из них и записать на доску вместо них одно число — половину их среднего арифметического. Докажите, что если изначально на доске написано n единиц и вышеописанную операцию выполнили n – 1 раз, то на доске осталось число, не меньшее 1 ⁄ n.

1300. Следователь придумал план допроса свидетеля, гарантирующий раскрытие преступления. Он собирается задавать вопросы, на которые возможны только ответы «да» или «нет» (то, какой вопрос будет задан, может зависеть от ответов на предыдущие). Следователь считает, что все ответы будут верные; он подсчитал, что в любом варианте ответов придётся задать не более 91 вопросов. Покажите, что следователь может составить план с не более чем 105 вопросами, гарантирующий раскрытие преступления и в случае, если на один вопрос может быть дан неверный ответ (но может быть, что все ответы верные).

1301. Обязательно ли тетраэдр правильный, если равны друг другу а) пять двугранных углов; б) восемь плоских углов?

в) Обязательно ли пирамида ABCD правильная, если её основание ABC — правильный треугольник, а три плоских угла при вершине D равны друг другу?

1302. Для любого натурального n произведение многочлена (x + 1)^{n – 1} на любой многочлен ненулевой степени имеет не менее n отличных от нуля коэффициентов. Докажите это.

1303. Найдите все такие бесконечные последовательности натуральных чисел q₁, q₂, q₃, ..., что для любого натурального n произведение q_n+3 · q_n+1 равно сумме q_n + q_n+2.

1304. Куб радиуса описанной окружности любого треугольника не меньше произведения расстояний от центра его вписанной окружности до вершин. Докажите это.

1305. Дано 2n различных чисел a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_n. Таблица размером n×n заполнена по следующему правилу: на пересечении j-й строки и k-го столбца написано число a_j + b_k. Для каждого столбца таблицы подсчитаем произведение всех n его чисел. Докажите, что если все полученные произведения равны, то, посчитав для каждой строки произведение всех n её чисел, тоже получим равные произведения.

1306. Назовём вытянутостью прямоугольника отношение большей стороны к меньшей. Докажите, что вытянутость прямоугольника B, вписанного в другой прямоугольник П (так, что вершины B лежат по одной на сторонах П), не меньше вытянутости П.

1307. Для любого натурального n число 2²ⁿ + 2^2n–1 + 1 имеет не меньше n различных простых делителей. Докажите это.

1308. На плоскости даны три прямые. Найдите множество центров правильных треугольников, вершины которых лежат на данных прямых (по одной на каждой из трёх прямых). Исследуйте все случаи взаимного расположения данных прямых.

1309. На плоскости задан треугольник. Для произвольной точки M плоскости определим множество H₁(M) середин отрезков, соединяющих точку M с вершинами треугольника. Каждое следующее множество H_k+1, где k = 1, 2, 3, ..., определим как множество середин отрезков, один из концов каждого из которых принадлежит H_k(M), а другой является вершиной исходного треугольника. Докажите, что для любого положительного числа ε существует фигура F, площадь которой меньше ε, а для любой точки M существует такое натуральное число n, что все фигуры H_n(M), H_n+1(M), H_n+2(M), ... содержатся в фигуре F.

1310*. Соревнуются 2^k боксёров, где k > 1. Ежедневно встречаются 2^{k – 1} пар боксёров, так что каждый проводит один бой. Все боксёры имеют разную силу, в каждом бою побеждает сильнейший. Расписание на каждый день составляют накануне вечером. Докажите, что за k(k + 1)/2 дня можно определить место каждого боксёра.

1311. Длины a, b и c сторон треугольника — целые числа, причём длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот. Докажите, что число a² + b² + c² является квадратом целого числа.

1312. Поля доски размером n×n раскрашены в синий, белый и красный цвета. С каждой синей клеткой граничит по стороне хотя бы одна белая, с каждой белой — красная, а с красной — синяя. Докажите, что красных клеток а) не более 2n²⁄ 3; б) не менее n² ⁄ 11.

1313. Рассмотрим функцию, значение которой для любого натурального числа n равно квадратному корню из разностей квадратных корней из чисел n и n – 1. Придумайте такие восемь натуральных чисел, что сумма значений функции от них равна числу 2.

1314. Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке M. Точки P и Q — центры описанных окружностей треугольников ABM и CDM соответственно. Докажите неравенство AB + CD £ 4PQ.

1315. На окружности расставлены целые числа. Разрешено стереть любое чётное число, а вместо двух соседних с ним чисел записать их сумму (отчего количество чисел уменьшается на два). Такие операции проводим, пока это возможно, то есть пока не останется ни одного чётного числа, либо останется одно или два числа. Докажите, что количество оставшихся чисел зависит лишь от исходной расстановки, но не от порядка действий.

1316. Арифметическая прогрессия из различных натуральных чисел, ни одно из которых не содержит в своей десятичной записи цифры c, состоит не более чем из а) 72 чисел при c ≠ 0; б) 80 чисел при c = 0. Докажите эти оценки и выясните, достигаются ли они.

1317. Для любого треугольника отношение произведения расстояний от центра вписанной окружности до вершин к произведению длин биссектрис больше 1 ⁄ 4 и меньше 8 ⁄ 27. Докажите это.

1318. Дан связный граф с n рёбрами. Докажите, что его рёбра можно пометить числами от 1 до n так, что для каждой вершины, из которой выходит не менее двух рёбер, стоящие на этих рёбрах числа не имеют общего делителя, большего 1.

Граф — это система точек, некоторые пары которых соединены рёбрами. Граф называют связным, если по его рёбрам можно из любой вершины пройти в любую другую.

1319. Точка M расположена внутри треугольника ABC. Докажите, что величина хотя бы одного из углов MAB, MBC и MCA не превосходит 30°.

1320*. Постройте такую бесконечную последовательность x₁, x₂, x₃, ..., что для любых натуральных чисел m и n произведение абсолютной величины разности чисел x_m и x_n на абсолютную величину разности чисел m и n не меньше 1.