1321. Ладья побывала во всех клетках доски размером n×n клеток. Докажите, что она изменила направление своего движения не менее 2n – 2 раз. (Ладья каждым ходом движется параллельно одной из сторон квадрата.)

1322. Три отрезка, выходящие из разных вершин треугольника ABC и пересекающиеся в одной точке M, делят его на шесть треугольников. В каждый из них вписана окружность. Оказалось, что четыре из этих шести окружностей равны. Следует ли отсюда, что треугольник ABC правильный, если M — точка пересечения а) медиан; б) высот; в) биссектрис; г) M — произвольная точка внутри треугольника?

1323. Для любых положительных чисел x и y докажите неравенство x · 2^y + y · 2^–x ³ x + y.

1324. Ни при каком целом k число k² + k + 1 не делится а) ни на 5, ни на 11, ни на 17; б) ни на какое число вида 6m – 1, где m — натуральное. Докажите это.

1325*. а) O — центр тяжести треугольника ABC, то есть точка пересечения его медиан. Обозначим буквой P образ точки B при повороте вокруг точки O на 120°, а буквой Q — образ точки C при повороте вокруг точки O на 240°. Докажите равенства AP = PQ = QA.

б*) Для произвольных точек A₁, A₂, ..., A_n, где n > 1, рассмотрим следующую операцию. Сначала ищем их центр тяжести O, затем каждую точку A_k, где 1 £ k £ n, заменяем на её образ при повороте вокруг точки O на 2πk ⁄ n. С полученными n точками проделываем ту же операцию, и так далее. Докажите, что после n – 1 таких операций получим набор совпадающих точек.

1326. Последовательность задана своим начальным членом a₀ = 9 и рекуррентной формулой a_n+1 = 3a_n⁴ + 4a_n³. Докажите, что десятичная запись числа a₁₀ содержит более 1000 девяток.

1327. Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули вокруг точки A на некоторый угол. При этом повороте точка B перешла в точку D. Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.

1328. Сумма кубов некоторых n чисел отрезка [–1; 1] равна 0. Докажите, что утроенная сумма этих чисел не превосходит числа n.

1329. Прямые, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда площади треугольников ACE и BDF равны. Докажите это.

1330*. На плоскости проведены n прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны). Докажите, что среди частей, на которые они делят плоскость, не меньше а) n ⁄ 3; б) (n – 1) ⁄ 2; в*) n – 2 треугольников.

1331. Отрезки AK, BM, CN и DL делят квадрат ABCD со стороной 1 на четыре треугольника с площадями S₁, S₂, S₃, S₄ и пять четырёхугольников, площадь центрального из которых равна S₁ + S₂ + S₃ + S₄. Докажите равенство AL + BK + CM + DN = 2.

1332. Из бумаги склеены два одинаковых правильных тетраэдра. Какое наименьшее число рёбер этих тетраэдров придётся разрезать, чтобы затем склеить их по разрезанным рёбрам в один правильный октаэдр?

1333. Из бумаги склеены два одинаковых правильных тетраэдра. Какое наименьшее число рёбер этих тетраэдров придётся разрезать, чтобы затем склеить их по разрезанным рёбрам в один правильный октаэдр?

1334. Можно ли числа 1, 2, ..., 10 разбить на два подмножества так, чтобы разность произведений чисел этих подмножеств делилась на 11?

1335. n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом никакую шоколадку нельзя разломить более одного раза.

а) При каких n это возможно, если m = 9?

б) При каких m и n это возможно?

1336. Для любых натуральных чисел m и n сумма числа, обратного корню n-степени из m + 1, и числа, обратного корню m-степени из n + 1, меньше 1. Докажите это.

1337. Выпуклая фигура на плоскости имеет 4 оси симметрии (углы между соседними осями составляют 45°). Через некоторую точку фигуры проведены параллельно этим осям прямые, которые разделили фигуру на 8 частей, раскрашенных поочерёдно в голубой и розовый цвета. Докажите, что сумма площадей голубых частей равна сумме площадей розовых частей.

1338. Укажите способ вычисления 2ⁿ-го числа последовательности Фибоначчи не более чем за 6n – 1 операций сложения, умножения и вычитания.

1339. Пусть величина угла ACB равна γ, а длина биссектрисы, проведённой из вершины C, равна l.

а) Площадь треугольника ABC не превосходит произведения l²tg γ. Докажите это.

б) Для каких треугольников достигается равенство?

1340. На красной окружности произвольным образом отмечены n > 4 различных синих точек. Начав с какой-нибудь из них, будем перекрашивать каждую вторую (по часовой стрелке) синюю точку в красный цвет, соединяя её хордой со следующей перекрашиваемой точкой, и так далее, пока на окружности есть синие точки. На сколько частей распадётся круг при разрезании по всем проведённым линиям, если а) n = 32; б) n = 1992?

1341. m, n, k — натуральные числа, причём m > n. а) Рассмотрим последовательности, состоящие из неотрицательных чисел и заданные своими начальными членами a₀ = b₀ = 0 и рекуррентными соотношениями a_n+1² = m + b_n и b_n+1² = n + a_n. Сравните числа a_k и b_k.

б) Рассмотрим последовательности, состоящие из неотрицательных чисел и заданные своими начальными членами c₀ = d₀ = 0 и рекуррентными соотношениями c_n+1² = m + c_n и d_n+1² = n + d_n. Сравните числа n + c_k и m + b_k.

1342. Напишем строку из первых n натуральных чисел. Под ней напишем строку из n чисел по следующему правилу: сначала — числа, стоящие в первой строке на нечётных местах (по порядку), а затем числа, стоящие на чётных местах (тоже по порядку). Далее будем писать следующие строки по тому же правилу до тех пор, пока на некотором шаге не получится m-я строка, совпадающая с первоначальной. Докажите, что такая строка встретится, причём m < n. Например, при n = 13 имеем:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	3	5	7	9	11	13	2	4	6	8	10	12
1	5	9	13	4	8	12	3	7	11	2	6	10
1	9	4	12	7	2	10	5	13	8	3	11	6
1	4	7	10	13	3	6	9	12	2	5	8	11
1	7	13	6	12	5	11	4	10	3	9	2	8
1	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2
1	12	10	8	6	4	2	13	11	9	7	5	3
1	10	6	2	11	7	3	12	8	4	13	9	5
1	6	11	3	8	13	5	10	2	7	12	4	9
1	11	8	5	2	12	9	6	3	13	10	7	4
1	8	2	9	3	10	4	11	5	12	6	13	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

1343. Три хорды окружности ω попарно пересекаются в точках A, B и C. Построим ещё три окружности: одна касается сторон угла CAB и (изнутри) окружности ω в точке A', вторая — сторон угла ABC и (изнутри) окружности ω в точке B', третья — сторон угла ACB и (опять-таки изнутри) окружности ω в точке C'. Докажите, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.

1344. Том Сойер красит забор, состоящий из длинной (бесконечной) последовательности прямоугольных досок разной высоты и ширины. Каждая доска на 1% уже, чем предыдущая, и выше предыдущей, однако не выше 2 метров. Том начинает с первой доски и затем, если доска выше предыдущей более чем на 2%, красит её, а в противном случае — пропускает. Может ли забор быть таким, что он покрасит не менее а) 40%; б) 50%; в) 60% площади забора?

1345. На гиперболе, заданной уравнением xy = 1, взяты две точки M и N, симметричные относительно начала координат. Окружность с центром M, проходящая через точку N, пересекает гиперболу ещё в трёх точках. Докажите, что эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника.

1346. Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая (самопересекающаяся) 51-звенная ломаная, причём длина каждого звена равна квадратному корню из 3. Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат стороны этого угла (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше утроенной площади правильного треугольника, вписанного в данную окружность.

1347. Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, также упорядоченные по весу. Известно, что все монеты различны по весу. В нашем распоряжении — двухчашечные весы, позволяющие про любые две монеты установить, какая тяжелее. За наименьшее число взвешиваний найдите монету, занимающую по весу 101-е место. (Укажите это число и докажите, что меньшим число взвешиваний обойтись нельзя.)

1348. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Стороны B'C', C'A' и A'B' треугольника A'B'C' параллельны, соответственно, отрезкам PA, PB и PC. Через точки A', B' и C' проведены прямые, параллельные соответственно прямым BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, принадлежащей описанной окружности треугольника A'B'C'.

1349*. Круг разбит на несколько секторов. В некоторых из них стоят фишки; фишек на 1 больше, чем секторов. Затем позиция подвергается следующим преобразованиям: берём какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляем в разные стороны в соседние сектора. Докажите, что после нескольких таких преобразований не менее половины секторов будет занято фишками.

1350. Для любых натуральных чисел n, a и b через V(n, b) обозначим количество разложений числа n в произведение одного или нескольких натуральных сомножителей, каждый из который больше b. (Например, 36 = 6 · 6 = 4 · 9 = 3 · 3 · 4 = 3 · 12, так что V(36, 2) = 5.) Докажите неравенство bV(n, b) < n.

1351. AC и BC — катеты прямоугольного треугольника ABC, причём AC > BC. На катете AC выбрана точка E, а на гипотенузе AB — точка D так, что BC = CE = BD. Докажите, что треугольник CDE прямоугольный в том и только том случае, когда длины сторон треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5.

1352. Назовём числа a₁, a₂, ..., a_n, где n > 2, близкими, если каждое из них меньше, чем сумма остальных, делённая на n – 1. Докажите неравенства а) a₁ > 0; б) a₁ + a₂ > a₃; в) (n – 1)(a₁ + a₂) £ a₁ + a₁ + ... + a_n.

1353. Таблицу размером n×n заполним числами по следующему правилу: в клетке, стоящей на пересечении i-й строки и j-го столбца, запишем число ¹⁄_{(i + j – 1)}. В таблице отметим n чисел таким образом, что никакие два отмеченных числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма отмеченных чисел не меньше 1.

1354. Центры тяжести (то есть точки пересечения медиан) треугольников A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ и A₃B₃C₃ лежат на одной прямой. Рассмотрим все 27 треугольников вида A_iB_jC_k, где i, j и k независимо пробегают значения 1, 2 и 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на два множества так, что сумма площадей первого множества будет равна сумме площадей треугольников второго множества.

1355. Если число a = 2^2k + 2^k + 1 не является делителем числа 2^2k+1 – 1, то число a составное. Докажите это.

1356. Если abc = 4Rrr_c, где a, b, c — длины сторон треугольника ABC, R, r и r_c — радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей (касающейся стороны AB и продолжений сторон CA и CB), то угол ACB прямой. Докажите это.

1357. Числа 91! · 1901! – 1 и 92! · 1900! + 1 делятся на 1993. Докажите это.

1358. Назовём кубоидом шестигранник, все грани которого — четырёхугольники. Если три из четырёх его диагоналей (не лежащих на его гранях) пересекаются в одной точке, то и четвёртая проходит через эту точку. Докажите это.

1359. Пусть 0 £ a₀ £ a₁ £ ... £ a_n. Докажите. что уравнение a₀ + a₁cos x + ... + a_ncos nx = 0 имеет на отрезке [0; π] а) хотя бы один корень; б*) ровно n корней.

1360*. Обозначим через p(m, n) количество различных покрытий доски размерами m×n клеток ^mn⁄₂ костями домино (прямоугольниками 1×2; разумеется, мы считаем одно из чисел m и n чётным). Докажите, что

а) p(2, n) = φ_n — число Фибоначчи;

б) (³⁄₂)ⁿ² < p²(n, n) < 2ⁿ² для любого чётного натурального числа n.

1361. Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CD и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами P и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает стороны AC и BC соответственно в точках M и N, а высоту CD — в точке K. Докажите, что

а) треугольники CMN и ABC подобны;

б) точки C, M, N, P и Q лежат на одной окружности с центром K, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC.

1362. Если натуральное число a взаимно просто с 10, то для любого натурального M существует такое n, что сумма цифр десятичной записи числа aⁿ больше M. Докажите это. (Другими словами, докажите, что последовательность сумм цифр степеней числа a не ограничена.)

1363. Можно ли n раз рассадить 2n + 1 человек за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если а) n = 5; б) n = 4; в) n — произвольное натуральное число?

1364. a, b, c неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенства

а) 4a³ + 4b³ + 4c³ + 15abc ³ 1;

б) a³ + b³ + c³ + abcd ³ min {¹⁄₄; ¹⁄₉ + ^d⁄₂₇} для любого вещественного числа d.

1365. Каждая грань выпуклого многогранника — многоугольник с чётным числом сторон. Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у любой грани было поровну рёбер разных цветов?

1366. Точки M и N — середины сторон CD и DE пятиугольника ABCDE, сторона BC которого параллельна диагонали AD, а сторона AE параллельна диагонали BD. Обозначим точку пересечения отрезков BN и AM буквой O. Докажите, что площадь четырёхугольника MDNO равна площади треугольника ABO.

1367. В некоторой стране между городами существует авиационное сообщение. В стране 2k + 1 авиакомпания, причём первая осуществляет один рейс, вторая — два рейса и так далее (каждый рейс связывает между собой два города). В стране существует закон, согласно которому ни из какого города ни одна авиакомпания не может осуществлять более одного рейса. Компании решили перераспределить между собой рейсы так, чтобы всем досталось поровну рейсов. Докажите, что это можно сделать, не нарушая закона.

1368. а) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. Пусть O, O₁, O₂ — центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD соответственно. Докажите, что точки O, O₁, O₂ и A лежат на одной окружности.

б) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D, не являющаяся её серединой. Пусть O₁ и O₂ — центры описанных окружностей треугольников ABD и ACD соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к медиане AK треугольника ABC делит отрезок O₁O₂ пополам.

1369. Решите систему уравнений ^a⁄_x – ^b⁄_z = c – zx, ^b⁄_y – ^c⁄_x = a – xy, ^c⁄_z – ^a⁄_y = b – yz, где a, b и c — положительные параметры.

1370. Рассматриваем наборы из n гирек разных масс. Масса каждой гирьки — целое число граммов, не превосходящее 21. При каком наименьшем n в любом таком наборе найдутся две пары гирек, уравновешивающие друг друга?

1371. На окружности с центром O расположены точки A и B. Точка P находится на меньшей из дуг AB, точки Q и R симметричны точке P относительно прямых OA и OB соответственно, P' — точка пересечения отрезков AR и BQ. Докажите, что точки P и P' симметричны относительно прямой AB.

1372. Имеется прибор, позволяющий находить все действительные корни любого уравнения третьей степени. Придумайте, как с помощью этого прибора для любого многочлена P третьей степени решить систему уравнений x = P(y), y = P(x).

1373. Дана плоскость, пересекающая сферу с центром O по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки A и B, причём радиус OA перпендикулярен данной плоскости. Через прямую AB проведём произвольную плоскость γ. Она пересечёт окружность в некоторых точках X и Y. Докажите, что произведение длин отрезков BX и BY не зависит от выбора плоскости γ.

1374. Найдите все натуральные числа k, отличные от 1, удовлетворяющие следующему условию: для некоторых не равных одно другому натуральных чисел m и n десятичная запись числа k^m + 1 получается из десятичной записи числа kⁿ + 1 перестановкой цифр в обратном порядке.

1375. В кинотеатре m рядов по n мест в каждом. Рассеянный кассир продал mn билетов, не следя за тем, чтобы они были на разные места. Оказалось, что зрителей можно так рассадить в зале, чтобы у каждого в билете был правильно указан хотя бы один из номеров — ряда или места.

а) Докажите, что зрителей можно рассадить так, чтобы хотя бы у одного из них были правильно указаны оба номера, а для остальных выполнялось прежнее условие.

б) Какое наибольшее число зрителей можно заведомо рассадить на свои места с сохранением условия для всех остальных?

1376. В пространстве даны 9 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Все эти точки попарно соединены отрезками. Отрезок может быть окрашен в синий или красный цвет, а может остаться незакрашенным. Найдите такое наименьшее n, что при любом закрашивании любых n отрезков найдётся треугольник, все стороны которого одного цвета.

1377. На плоскости даны окружность, касающаяся её прямая l и точка M на прямой l. Найдите множество всех точек P, удовлетворяющих следующему условию: существуют две точки Q и R на прямой l, где M — середина отрезка QR, а исходная окружность вписана в треугольник PQR.

1378. Пусть Oxyz — прямоугольная система координат в пространстве, S — конечное множество точек пространства, S_x, S_y и S_z — ортогональные проекции множества S на плоскости Oyz, Oxz и Oxy соответственно. Докажите неравенство |S|² £ |S_x| · |S_y| · |S_z|.

Через |A| обозначаем количество элементов конечного множества A. Ортогональная проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

1379. Для любого натурального числа n через S(n) обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа k, не превосходящего S(n), число n² представимо в виде суммы k квадратов натуральных чисел.

а) Докажите для любого n > 3 неравенство S(n) < n² – 13.

б) Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что S(n) = n² – 14.

в) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(n) = n² – 14.

1380*. Число (5¹²⁵ – 1) ⁄ (5²⁵ – 1) не простое, а составное. Докажите это.