1381. Окружность разбита 2n точками на равные дуги. Докажите, что у любой замкнутой 2n-звенной ломаной с вершинами во всех этих точках есть хотя бы два параллельных звена.

1382. Все точки плоскости произвольным образом раскрашены в два цвета — чёрный и белый. Докажите, что найдётся треугольник с вершинами одного цвета и меньшей стороной длины 1, отношение величин углов которого равно а) 1 : 2 : 3; б) 1 : 2 : 4.

1383. Наименьшее из данных n чисел равно m, наибольшее — M, а сумма равна 0. Докажите, что

а) сумма квадратов этих n чисел не превосходит –nmM;

б) сумма четвёртых степеней этих n чисел не превосходит –nmM(M² + Mm + m²).

1384*. ABC — неравнобедренный остроугольный треугольник; O и I — центры описанной и вписанной окружностей, H — ортоцентр треугольника. Докажите, что четырёхугольники AOIH, BOIH и COIH невырождены, причём среди них ровно два выпуклых.

1385*. ABC — произвольный треугольник. а) Для любого равностороннего треугольника XYZ сумма квадратов длин сторон треугольника ABC не превосходит суммы ушестерённой суммы квадратов отрезков AX, BY и CZ и умноженной на четыре квадратных корня из трёх площади треугольника XYZ. Докажите это,

б) Для любого треугольника ABC докажите существование равностороннего треугольника XYZ, для которого неравенство пункта а) обращается в равенство.

1386. Клетки квадрата 7×7 раскрашены в два цвета. Докажите, что найдётся по крайней мере 21 прямоугольник с вершинами в центрах клеток одного цвета и со сторонами, параллельными сторонам квадрата.

1387. Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B. Луч OX пересекает эту окружность в двух точках С и D так, что OC = CD = 1. Если M — точка пересечения луча OX и отрезка AB, чему равна длина отрезка OM?

1388. Даны различные квадратные трёхчлены f (x) и g (x), старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что f (1) + f (10) + f (100) = g (1) + g (10) + g (100). Укажите такое x, чтобы было выполнено равенство f (x) = f (x).

1389. Во взводе национальной гвардии служат сержанты и рядовые, причём каждый рядовой подчинён одному или двум сержантам. Докажите, что можно уволить в запас не более половины взвода так, что каждым оставшимся рядовым будет командовать ровно один сержант.

1390*. На плоскости расположены несколько единичных кругов. Можно ли отметить несколько точек так, что внутри каждого круга будет находиться ровно одна отмеченная точка?

1391. а) На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁; точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны.

б) Докажите аналогичное утверждение, если A₁BC, AB₁C и ABC₁ — подобные равнобедренные треугольники (с основаниями AB, BC и CA соответственно).

1392. На плоскости задан четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC = CD = 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются следующим преобразованиям (сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD). Новое положение точки A получается из старого симметрией относительно прямой BD, затем новое положение точки D получается из старого симметрией относительно прямой AC (где A уже занимает новое положение), затем опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем вновь отражается D и так далее. Докажите, что после нескольких отражений положение всех точек совпадёт с первоначальным.

1393*. В таблице m строк и n столбцов. «Горизонтальным ходом» называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется «вертикальный ход» («строка» в предыдущем определении заменяется на «столбец»). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов матрицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

1394*. Количество рёбер многогранника равно 100.

а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?

Докажите, что для невыпуклого многогранника это число б) может быть больше 96; в) но не может равняться 100.

1395. Назовём человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовём человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.

1396. Для любых положительных чисел a₁, b₁, a₂, b₂,..., a_n, b_n сумма всех n чисел вида a_kb_k/(a_k + b_k), где 1 £ k £ n, не превосходит величины AB/(A + B), где A = a₁ + a₂ +...+ a_n и B = b₁ + b₂ +...+ b_n. Докажите это.

1397*. По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муравей (таким образом, муравьёв столько же, сколько граней), и все они движутся, обходя каждый свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то два муравья столкнутся.

1398. На множестве M всех натуральных чисел, не превосходящих числа 1993, определена операция *, которая по каждым двум числам a и b даёт некоторое число a*b, также принадлежащее множеству M. Для любых двух чисел a и b множества M выполнено равенство (a*b)*a = b. Докажите существование такого числа a, что a*a = a.

1399. Каким может быть наименьший период суммы двух бесконечных периодических дробей, наименьшие периоды которых равны а) 6 и 12; б) 12 и 20?

1400*. Внутри правильного тетраэдра с ребром a летает муха. Какой наименьший замкнутый путь должна она пролететь, чтобы побывать на всех гранях тетраэдра?

1401. Точка K лежит на не содержащей точку A дуге BC описанной окружности треугольника ABC. NK и MK — биссектрисы треугольников AKB и AKC. Докажите, что прямая MN проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

1402. Для любой неубывающей последовательности x₁, x₂, ..., x_n положительных чисел, где n > 2, докажите, что сумма дробей x₁ ⁄ x₂, x₂ ⁄ x₃, ..., x_n ⁄ x₁ не меньше суммы дробей x₂ ⁄ x₁, x₃ ⁄ x₂, ..., x₁ ⁄ x_n.

1403. Каждую сторону выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n, где n > 4, продлим на её длину. Пусть A₂ — середина отрезка A₁B₁, A₃ — середина отрезка A₂B₂, ..., A₁ — середина отрезка A_nB_n. Докажите, что площадь многоугольника B₁B₂...B_n не более чем в 5 раз больше площади исходного многоугольника.

1404. Числа x, y и z удовлетворяют равенствам x + y + z = 0 и xyz = 2. Найдите наибольшее возможное значение суммы дробей x² ⁄ y, y² ⁄ z и z² ⁄ x.

1405. В основании пирамиды с вершиной B лежит правильный n-угольник A₁A₂...A_n. Величины всех углов BA₁A₂, BA₂A₃, ..., BA_n–1A_n, ..., BA_nA₁ одинаковы. Докажите, что пирамида правильная.

1406. На доске написано n выражений вида *x² + *x = *, причём n — нечётное число. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешено заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 2n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может гарантировать себе получить первый игрок?

1407. В семейном альбоме есть а) десять; б) n фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре — мужчина, слева от мужчины — его сын, а справа — его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если все десять (соответственно, n) мужчин, стоящих в центре, различны?

1408. За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: «Кто ваш сосед справа — умный или дурак?» В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F. При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

1409. Докажите существование такого натурального числа n, что если правильный треугольник со стороной длины n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

1410. а) Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?

б) Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объёмы, то их можно так расположить в пространстве, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по многоугольнику той же площади.