1471. Лыжник проехал через каждую из нескольких деревень по два раза и вернулся в исходную точку. Всегда ли по его лыжне можно проехать так, чтобы побывать в каждой деревне ровно один раз? Возвращаться в исходную точку не обязательно.

1 2 3 ... n – 1 n n 1 2 ... n – 2 n – 1 n – 1 n 1 ... n – 3 n – 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 3 4 ... n 1

1472. Для каких натуральных n в таблице можно выбрать n различных чисел в разных строках и столбцах?

1473. Обозначим через c_n первую цифру десятичной записи числа 2ⁿ. а) Сколько единиц среди первых 1000 членов этой последовательности? б) В последовательности c₁ = 2, c₂ = 4, c₃ = 8, c₄ = 1, c₅ = 3, ... встречается ровно 57 различных подпоследовательностей длины 13. Докажите это.

1474. На плоскости дан вектор длины 1. Можно провести любую прямую и построить ортогональную проекцию вектора на эту прямую. Полученнуй вектор можно ортогонально спроецировать на вторую прямую, полученный вектор — на третью и так далее. Можно ли таким образом получить перпендикулярный исходному вектору вектор, длина которого не меньше 0,99?

1475. Полоска бумаги размера 1×n разбита на n единичных квадратов. В квадраты записывают числа 1, 2, ..., n следующим образом. Сначала в некоторый квадрат пишут число 1, затем число 2 пишут в один из соседних квадратов, число 3 — в один из соседних с одним из уже занятых квадратов и так далее. (Произвол — в выборе первого квадрата и выбор соседа на каждом шаге.) Сколькими способами это можно сделать?

1476. Не существуют такие простые числа p и q, что p ≠ q, но 2^p + 1 делится на q и 2^q + 1 делится на p. Докажите это.

1477. Существует ли выпуклый а) 5-угольник; б) n-угольник, где n — данное натуральное число, n > 2, от которого можно отрезать подобный ему многоугольник?

1478. Существует ли такой многочлен P(x) = x⁴ + bx² + c, что b > 0, c > 0 и а) уравнение P(x) = x² не имеет вещественных корней, а уравнение P(P(x)) = x² имеет хотя бы один вещественный корень; б) уравнение P(x) = x² имеет хотя бы один вещественный корень, а уравнение P(P(x)) = x² не имеет ни одного вещественного корня.

1479. Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырёх натуральных чисел так, что все 12 чисел различны:

26 = 1 + 6 + 8 + 11 = 2 + 5 + 9 + 10 = 3 + 4 + 7 + 12.

Для каждого натурального n обозначим через K(n) наибольшее количество четвёрок натуральных чисел, сумма чисел каждой из которых равна n, а все 4K(n) чисел различны. Докажите равенство K(n) = [(n – 2) ⁄ 8].

1480*. Назовём ежом тело, составленное из куба и шести приклеенных к нему (в точности по граням) кубов того же размера. Кнопкой назовём тело, полученное из ежа отбрасыванием одного из кубиков (не центрального). Назовём 2-ежом состоящее из 13 кубиков тело, полученное приклеиванием к одному (центральному) кубу по 2 куба в каждом из 6 направлений. Разбейте пространство на а) ежи; б) кнопки; в) 2-ежи. г) Придумайте ещё фигуры из кубов, на которые можно разбить пространство.

1481. AK — биссектриса треугольника ABC, D — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине B с описанной окружностью. Докажите, что если BC > AB, то разность между отношением синуса угла BAC к синусу угла ACB и отношением синуса угла CDK к синусу угла BDK равна 1.

1482. Найдите все такие натуральные числа x, что десятичная запись числа 1 + 2 + ... + x получается из числа x приписыванием к десятичной записи числа x слева цифры 1.

1483. Найдите наименьшую возможную длину суммы семи векторов единичной длины, у каждого из которых и абсцисса, и ордината неотрицательны.

1484. Можно ли разбить пространство на конгруэнтные а) тетраэдры; б) равногранные тетраэдры; в) разногранные тетраэдры? (Тетраэдр называем разногранным, если ни одна его грань не конгруэнтна ни одной другой.)

1485. Для любой неубывающей последовательности x₁, x₂, ..., x_n неотрицательных чисел докажите, что значение выражения x₂^k(x₁ – x₃) + x₃^k(x₂ – x₄) + ... + x₁^k(x_n – x₂) неотрицательно при k > 1 и неположительно при 0 < k < 1.

1486. Можно ли из чисел 1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ¹⁄₅, ... выбрать последовательность из а) 5; б) n; в) бесконечного множества чисел, каждое из которых, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих?

1487*. H — точка пересечения высот, O и I — центры описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника. Докажите, что из трёх отрезков OH, IH и OI наибольший — OH.

1488. а) Существует ли бесконечная последовательность квадратов натуральных чисел, в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих?

б) Существует ли возрастающая последовательность квадратов натуральных чисел, сумма любых двух соседних членов которой — квадрат целого числа?

1489. Для каких прямоугольников размером m×n на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно из любой расстановки получить любую другую, если разрешено менять одновременно все числа одной строки, все числа одного столбца и все числа любой диагонали (в частности, любой угловой клетки)?

1490*. Пусть x, y, z — длины сторон треугольника, периметр которого меньше π. Докажите, что а) из синусов чисел x, y, z можно составить треугольник; б) площадь этого треугольника не превосходит ¹⁄₈ суммы синусов чисел 2x, 2y и 2z.

1491*. а) Существуют ли такие 1995-значные числа a и b, что 3990-значное число, полученное приписыванием к десятичной записи числа a справа десятичной записи числа b, кратно числу, полученному приписыванием к десятичной записи числа b справа десятичной записи числа a?

б) Для каких натуральных n существует пара таких n-значных чисел?

1492. M — произвольная точка плоскости; AH, BK и CL — высоты треугольника ABC. Докажите, что описанные окружности треугольников AHM, BKM и CLM пересекаются ещё в некоторой точке, отличной от точки M.

1493*. Обозначим s(n) = 1¹ + 2² + ... + nⁿ. Пусть n > 3. Докажите неравенства а) 3s(n) > (n + 1)ⁿ; б) 2s(n) < (n + 1)ⁿ. в) Докажите, что сумма чисел, обратных к числам s(n), s(n + 1), s(n + 2), s(n + 3), ..., меньше числа, обратного числу nⁿ.

1494. Любой прямоугольный треугольник разрешено разрезать на два по высоте, опущенной на гипотенузу. Можно ли, начав с четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, добиться того, чтобы все треугольники стали разного размера?

1495*. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник описанный тогда и только тогда, когда сумма величин, обратных к радиусам вписанных окружностей треугольников AOB и COD, равна сумме величин, обратных к радиусам вписанных окружностей треугольников BOC и DOA.

1496. Рассмотрим решения в натуральных числах уравнений вида x₁² + x₂² + ... + x_n² = kx₁x₂...x_n. Докажите следующие утверждения.

а) Для любого натурального k существует бесконечно много таких n, что уравнение имеет хотя бы одно решение.

б) Для любого натурального k > 3 найдите наименьшее n > k, для которого уравнение имеет хотя бы одно решение.

в) Если n = 3, то уравнение имеет решение лишь при k = 1 или 3.

г) Если k = 2, то при n = 4 или 5 решений нет, а при n = 7 — есть.

д) Если k = 3, то при n = 4 решений нет, а при n = 6 — есть.

е) Фиксируем k и n > 1. Верно ли, что если уравнение имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесконечно много?

1497. На торической доске размером 15×15 нельзя расставить ферзей, не бьющих друг друга. Докажите это. (Другими словами, не существуют 15 пар натуральных чисел, не превосходящих числа 15, для которых различны как все первые числа всех пар, так и все вторые числа всех пар, все остатки от деления на 15 сумм чисел пар и, наконец, все остатки от деления на 15 разностей первого и второго чисел пар.)

1498. Для каждого натурального n > 1 решите систему уравнений x₁x_n = 2, x_k+1(x_n – x_k) = 1 при 0 < k < n.

1499*. Число 2 представимо в виде суммы трёх четвёртых степеней рациональных чисел бесконечным множеством способов. Докажите это.

1500*. В любой состоящей из 50 человек компании существуют двое, имеющие среди остальных чётное число (быть может, 0) общих знакомых. Докажите это.

1501. Числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что для любого числа x верно неравенство |a₁sin x + a₂sin 2x + ... + a_nsin nx| £ |sin x|. Докажите неравенство |a₁ + 2a₂ + ... + na_n| £ 1.

1502. Прямая отрезает от правильного n-угольника треугольник APQ так, что PA + AQ = AB>, где A и B — соседние вершины n-угольника. Найдите сумму величин углов, под которыми отрезок PQ виден из всех вершин n-угольника, кроме A.

1503. Все натуральные числа раскрашены в два цвета — чёрный и белый. Сумма любого чёрного и любого белого чисел чёрная, а произведение любого чёрного и любого белого чисел белое. а) Докажите, что произведение любых двух белых чисел — белое. б) Опишите все возможные варианты варианты раскраски.

1504. а) Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что если сумма дробей ^a⁄_b, ^b⁄_c и ^c⁄_a является целым числом, то сумма дробей ^b⁄_a, ^c⁄_b и ^a⁄_c не является целым числом?

б) Если числа a, b и c, а также сумма дробей ^a⁄_b, ^b⁄_c, ^c⁄_a, равно как и сумма дробей ^b⁄_a, ^c⁄_b, ^a⁄_c являются натуральными числами, докажите равенства a = b = c.

1505. Вершины A, B и B, C треугольника ABC являются соответственными вершинами двух подобных параллелограммов ABDE и BCFG, построенных на сторонах AB и BC вне треугольника. Докажите, что медиана BM треугольника ABC при продолжении образует с прямой DG углы, равные углам параллелограммов.

1506. Любой отрезок числовой оси можно разбить на несколько чёрных и белых отрезков так, что сумма интегралов по белым отрезкам от а) любого квадратного трёхчлена; б) любого многочлена степени не выше данной равна сумме интегралов по чёрным отрезкам. Докажите это.

1507. M — основание перпендикуляра, опущенного из центра O вписанной окружности четырёхугольника ABCD на прямую AC. Докажите, что точка O равноудалена от прямых BM и DM.

1508. Судьям принесли собой 80 банок денег. Массы всех банок различны и известны (имеется список). Этикетки потерялись, и только принесший банки адвокат помнит, где что. Он хочет доказать это судьям, используя только список и чашечные весы со стрелкой, показывающей разность весов грузов на чашках. Докажите, что он а) может это сделать за четыре взвешивания; б) не может за три.

1509. На плоскости расположено несколько точек, соединённых непересекающимися дугами. На каждой дуге написано одно из чисел 1, 2, 3. В каждой точке сходятся три дуги, занумерованных разными числами. Припишем каждой точке знак плюс или минус в зависимости от того, в каком порядке (по часовой стрелке или против неё) встречаются номера 1, 2, 3 входящих в неё дуг. Докажите, что разность количеств положительных и отрицательных точек делится на 4.

1510. Существует а) хотя бы одно составное число n, что разность 3^n–1 – 2^n–1 кратна n; б) бесконечно много таких натуральных n. Докажите это.

1511. На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка A — одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной, проведённой в точке A к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности.

1512. а) f (x) — многочлен чётной степени, отличный от 0. Докажите, что существует такое натуральное число k, что многочлен f (x) + f (x + 1) + ... + f (x + k) не имеет вещественных корней.

б) f (x) — многочлен нечётной степени. Докажите, что существует такое натуральное число k, что многочлен f (x) + f (x + 1) + ... + f (x + k)имеет ровно один вещественный корень.

1513*. Докажите, что разность между тангенсом угла 3π ⁄ 7 и учетверённым синусом угла π ⁄ 7 равна квадратному корню из 7.

1514. Прямоугольник разбит на доминошки (то есть прямоугольники 1×2). Докажите, что его клетки можно так раскрасить в два цвета, чтобы любая доминошка в данном разбиении содержала клетки разных цветов, но в любом другом разбиении этого прямоугольника на доминошки нашлась бы доминошка, содержащая две клетки одного цвета.

1515. f (x), g (x) и h (x) — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение f (g (h (x))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

1516. Имеются три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму денег (если Сизиф не может расплатиться, то Зевс великодушно позволяет ему совершить перетаскивание в долг).

В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых они лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?

1517. Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается единожды и при этом для любого натурального числа k сумма первых k членов последовательности делится на k?

1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.

1519*. На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешено, измерив циркулем расстояние между любыми двумя отмеченными точками, провести окружность с этим радиусом и центром в любой отмеченной точке. Линейкой разрешено провести прямую через любые две отмеченные точки. При каждом построении отмечаем все точки пересечения проведённых линий. Пусть Ц(n) — наименьшее количество линий, которые позволяют только циркулем построить две отмеченные точки на расстоянии n одна от другой, где n — натуральное число; ЛЦ(n) — то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность частных Ц(n) / ЛЦ(n) не ограничена.

1520*. Старшие коэффициенты многочленов P(x) и Q(x) равны 1. Докажите, что сумма квадратов многочленов P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

1521. Каждый из 256 депутатов парламента ответил на каждый 8 вопросов «да» или «нет». Любые два из них ответили по разному хотя бы на один из вопросов. Можно ли их так рассадить на 256 стульев, расставленных в виде квадрата размером 16×16, чтобы ответы каждого отличались от ответа любого из его соседей справа, слева, спереди или сзади ровно по а) одному вопросу; б) семи вопросам?

1522. Для любых натуральных чисел d, k и m существует такое натуральное число n, что k-я степень суммы квадратных корней из чисел m и m + d равна сумме квадратных корней из чисел n и n + d. Докажите это.

1523. Пусть a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, a₅ = 5 и a_n+1 = a₁ a₂ ... a_n – 1 при n > 4. Докажите равенство a₁² + a₂² + ... + a₇₀² = a₁²a₂²... a₇₀².

1524. P — точка пересечения диагоналей описанного четырёхугольника ABCD. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABP, BCP, CDP и DAP лежат на одной окружности.

1525. A, B, C и D — различные точки прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами AC и BD пересекаются в точках X и Y. Прямые XY и BC пересекаются в точке Z. Точка P принадлежит прямой XY и отлична от точки Z. Прямая CP пересекает окружность с диаметром AC в точках C и M; прямая BP пересекает окружность с диаметром BD в точках B и N. Докажите, что прямые AM, DN и XY пересекаются в одной точке.

1526. Для любых положительных чисел a, b и c, произведение которых равно 1, сумма обратных величин чисел a³(b + c), b³(c + a) и c³(a + b) не меньше ³⁄₂. Докажите это.

1527. Найдите все натуральные числа n > 3, для которых существуют такие точки A₁, A₂, ..., A_n плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и такие числа s₁, s₂, ..., s_n, что площадь любого треугольника AkAlAm, где 0 £ k < l < m £ n, равна s_k + s_l + s_m.

1528. Найдите наибольшее x₀, для которого существуют такие числа x₀, x₁, ..., x₁₉₈₅, что выполнены следующие условия: x₀ = x₁₉₈₅ и для любого натурального числа k £ 1985 сумма числа x_k–1 и удвоенного обратного к нему равна сумме числа 2x_k и числа, обратного числу x_k.

1529. ABCDEF — выпуклый шестиугольник, AB = BC = CD, DE = EF = FA и величина угла BCD равна величине угла EFA. Точки G и H лежат внутри шестиугольника ABCDEF. Выведите неравенство AG + GB + GH + DH + HE ³ CF а) из равенств 120° величин углов AGB и DHE; б) в общем случае.

1530. Пусть p — нечётное натуральное число. Найдите количество p-элементных подмножеств множества {1, 2, 3, . . . , 2p}, сумма всех элементов которого делится на p.