1531. На плоскости дан квадрат и невидимая точка P. Разрешено провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой прямой) лежит точка P. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить, лежит ли точка P внутри квадрата?

1532. Существуют ли а) 4 различных натуральных числа; б) 5 различных натуральных чисел; в) 5 различных целых чисел; г) 6 различных целых чисел таких, что сумма любых трёх из них — простое число?

1533. На плоскости даны точки A, B и C. Проведите через точку C прямую, произведение расстояний до которой от точек A и B наибольшее. Всегда ли такая прямая единственна?

1534. Для любых n положительных чисел разность между их суммой и умноженным на n корнем n-й степени из произведения рассматриваемых n чисел не меньше квадрата разности квадратных корней из наибольшего и наименьшего этих чисел. Докажите это.

1535. Куб с ребром 1 надо обшить в один слой куском ткани. а) Докажите, что если узелки, где сходятся по крайней мере три шва, могут лежать только в вершинах, то сумма длин швов не меньше 7. б) Может ли эта длина быть меньше 6,5?

1536. Существуют ли а) два; б) три конгруэнтных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают? (Многоугольник — это часть плоскости, ограниченный замкнутой несамопересекающейся ломаной.)

1537. Про n чисел, произведение которых равно p, известно, что разность между числом p и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти числа иррациональны.

1538. Прямоугольник размером a×b, где a > b, разбит на прямоугольные треугольники, граничащие между собой только по сторонам целой длины так, что общая сторона любых двух треугольников является катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что a не менее чем в два раза больше, чем b.

1539. Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего ортоцентры (точки пересечения высот) треугольников ABC и DEF, где A, B, C, D, E, F — эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.

1540. В компанию, состоящую из n человек, пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: «Знаете ли Вы такого-то?»

а) Может ли журналист установить, кто в компании — Z, задав менее n вопросов?

б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти Z; докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя. (Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)

1541. Вдоль лыжной трассы расставлено в ряд бесконечное число кресел, занумерованных по порядку натуральными числами. Кассир продала билеты на первые m мест, но на некоторые места она продала не один билет, и общее количество проданных билетов больше m. Зрители входят на трассу по одному. Каждый, подходя к месту, указанному на его билете, занимает это место, если оно свободно, а если место занято, говорит «Ох!» и идёт к следующему по номеру месту. Если оно свободно, то занимает его, снова говорит «Ох!» и движется дальше — до свободного места. Докажите, что общее количество «охов» не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.

1542. а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать справа ещё 6 цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального числа?

б) Тот же вопрос про число, начинающееся на 1.

в) Найдите для каждого натурального n такое наименьшее число k, что к любому n-значному числу можно так приписать справа k цифр, чтобы полученное (n + k)-значное число было квадратом натурального числа.

1543. В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Построены биссектрисы PK, PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA. а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой точки K, L, M и N, лежащие соответственно на отрезках AB, BC, CD и DA, являются вершинами параллелограмма.

б) Найдите все такие точки P.

1544. Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия из а) 11; б) 1000; в) бесконечного множества натуральных чисел, суммы цифр десятичных записей членов которой также составляют арифметическую прогрессию?

1545. Имеются доска размером 1 × 1000 и n фишек. Играют двое. Ходят по очереди. Первый своим ходом выставляет на доску не более 17 фишек, по одной на любое свободное поле. Можно все 17 взять из кучи, а можно только часть, скажем k < 17 штук — из кучи, и ещё не более 17 – k фишек переставить на доске. Второй снимает с доски любую серию фишек, то есть несколько фишек, стоящих подряд (без пробелов между ними), и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все n фишек в одну серию. Докажите, что первый игрок при а) n = 98 может выиграть; б) n > 98 — нет.

1546. На боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC с углом α при вершине A взята точка D так, что AD = AB ⁄ n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих основание BC на n равных частей, если а) n = 3; б) n — любое натуральное число.

1547. 8 школьников решали 8 задач. Каждую задачу решили а) 5 школьников; б) 4 школьника. Докажите, что найдутся такие два ученика, что каждую задачу решил хотя бы один из них.

1548. а) Найдите многочлен с целыми коэффициентами четвёртой степени, среди корней которого есть число, являющееся суммой корня четвёртой степени из суммы числа 2 и корня из 3 и корня четвёртой степени из разности числа 2 и корня из 3.

б) Найдите многочлен с целыми коэффициентами пятой степени, среди корней которого есть число, являющееся суммой корня пятой степени из суммы числа 2 и корня из 3 и корня пятой степени из разности числа 2 и корня из 3.

в) Докажите для любого натурального n существование многочлена с целыми коэффициентами n-й степени, одним из корней которого есть число, являющееся суммой корня етвёртой степени из суммы числа 2 и корня из 3 и корня четвёртой степени из разности числа 2 и корня из 3.

1549. Для любого многочлена P(x) ненулевой степени с целыми коэффициентами, старший из которых положителен, и любого натурального числа k существует такое целое число m, что числа P(m), P(m + 1),..., P(m + k) — составные.

1550. В 2ⁿ строках таблицы размером n×2ⁿ выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, а затем некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое такое подмножество строк, что а) сумма чисел выбранных строк равна 0; б) сумма выбранных строк равна нулевой строке, то есть в любом столбце сумма чисел выбранных строк равна 0.

1551. Вершины шестизвенной замкнутой ломаной лежат на окружности. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь такая ломаная?

1552. Обозначим через P_n(x) = 1 + x + x² + ... + x^n–1 многочлен (n – 1)-й степени, все коэффициенты которого равны 1. Докажите следующие утверждения. а) Для любого натурального числа s существует такое натуральное число k, что многочлен P_k(x) можно разложить в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами, свободные члены которых равны 1, а коэффициент при первой степени переменной в одном из этих множителей равен s. б) Такое k существует не только для любого натурального, но и для любого целого числа s.

1553. Из чисел ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ..., ¹⁄₁₀₀ составим всевозможные подмножества, каждое из которых состоит из чётного числа элементов, и для каждого такого подмножества вычислим произведение всех его элементов. Найдите сумму всех таких произведений.

1554. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL и ACPQ. Выразите разность квадратов длин отрезков NQ и PK через разность площадей квадратов ABMN и BCKL.

1555. Даны два непересекающихся круга и такая точка P, что длины всех четырёх касательных PA, PB, PC и PD равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных этих кругов.

1556. Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что а) число n представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа n – 1 и n + 1 не представимы; б) каждое из чисел n – 1, n и n + 1 представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Докажите это.

1557. Точки A и B — две данные точки данной окружности. Найдите множество середин хорд этой окружности, пересекающих отрезок AB.

1558. Игра происходит на доске размером n×n. Двое поочередно передвигают по доске ладью; при этом не разрешено, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала или через которое уже проходила. Изначально ладья стоит в углу доски. Проигравшим считают того, кому некуда ходить. Для кого существует выигрышная стратегия: для начинающего игру или для его противника?

1559. Существует ли куб, расстояния от вершин которого до некоторой плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7?

1560. В некотором государстве человек может быть зачислен в гвардию лишь в случае, если он выше ростом, чем не менее 80% его соседей — людей, живущих на расстоянии менее R от него. В этом же государстве человека освобождают от службы в армии, если он ниже ростом, чем не менее 80% его соседей — людей, живущих на расстоянии менее r от него. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в гвардию и не менее 90% освобождены от армии? (Значения r и R должны быть выбраны так, чтобы для любого человека множества соседей были непустыми.)

1561. Никакие две стороны выпуклого многоугольника не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от содержащей эту сторону прямой. Докажите, что сумма величина таких углов равна 180°.

1562. Можно ли прямоугольник размером 5×7 покрыть не выходящими за его пределы трёхклеточными уголками (то есть фигурами, получаемыми из квадрата размером 2×2 удалением одной клетки) так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одним и тем же числом слоёв?

1563*. Если ни одно из чисел a₁, a₂, ..., a_m не равно 0 и a₁ + a₂ · 2^k + a₃ · 3^k + ... + a_m · m^k = 0 для любого неотрицательного k, где k £ n < m – 1, то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

1564*. Существует ли такое конечное множество M вещественных чисел, ни одно из которых не равно 0, что для любого натурального n существует многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого вещественны и тоже принадлежат множеству M?

1565*. Существует ли такое конечное множество M вещественных чисел, что 0 О M и для любого натурального n существует многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого вещественны и тоже принадлежат множеству M?

1566. Дума состоит из 1600 депутатов, которые образовали 16 000 комитетов по 80 человек в каждом. Докажите существование двух комитетов, имеющих не менее чем 4 общих членов.

1567*. Центры A, B и C трёх непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек A, B и C проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый четырёхугольник, стороны которого через одну покрашены двумя цветами. Докажите, что сумма длин отрезков одного цвета равна сумме длин отрезков другого цвета.

1568. При n > 4 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n + 1)-угольником. Докажите это.

1569*. Придумайте многочлен с рациональными коэффициентами, минимальное значение которого равно а) минус корню из 2; а) корню из 2.

в) Не существует многочлена четвёртой степени, удовлетворяющего условию пункта б). Докажите это.

г) Существуют ли многочлены с целыми коэффициентами, один из которых удовлетворяет условиям пункта а), а другой — условиям пункта б)?

1570. Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с 6 вершинами. Хотя бы один из его двугранных углов прямой. Докажите, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.

1571. Прямоугольная доска ABCD со сторонами AB = 20 и BC = 12, разбита на 20 · 12 = = 240 единичных квадратов. Пусть r — натуральное число. За один ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и только том случае, когда расстояние между их центрами равно квадратному корню из r. Требуется найти последовательность ходов, переводящих монету из единичного квадрата с вершиной A в единичный квадрат с вершиной B.

а) Это невозможно, если r делится на 2 или 3. Докажите это.

б) Это можно сделать, если r = 73. Докажите это.

в) Можно ли это сделать при r = 97?

1572. Внутри треугольника ABC нашлась такая точка P, что разность величин углов APB и ACB равна разности величин углов APC и ABC. Обозначим буквами D и E центры вписанных окружностей треугольников APB и APC. Докажите, что пересекаются в одной точке прямые а) AP, BD и CE; а) AP, BE и CD.

1573. Натуральные числа x и y таковы, что числа 15x + 16y и 16x – 15y являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное значение, которое может принимать минимальный из этих квадратов.

1574. ABCDEF — выпуклый четырёхугольник, причём AB || DE, BC || EF и CD || AF. Докажите, что сумма радиусов описанных окружностей треугольников ABF, BCD и DEF не меньше полупериметра шестиугольника ABCDEF.

1575. n, p, q — такие натуральные числа, что n > p + q, а x₀, x₁, ..., x_n — такие целые числа, что x₀ = x_n = 0 и для любого натурального k, где k £ n, разность x_k – x_k–1 равна p или –q. Докажите существование таких чисел k и m, что 1 £ k < m £ n и x_k = x_m.