1576. а) Можно ли отметить на плоскости 4 красные и 4 чёрные точки так, чтобы для любых трёх точек одного цвета нашлась точка другого цвета, являющаяся вместе с тремя рассматриваемыми точками вершиной параллелограмма?

б) Можно ли 4 вершины куба покрасить красной краской, а 4 — чёрной так, чтобы в любой плоскости, проходящей через три вершины одного цвета, лежала хотя бы одна вершина другого цвета?

1577. В треугольнике отношение синуса некоторого угла к косинусу другого равно тангенсу третьего. Докажите, что высота, проведённая из вершины первого угла, медиана, проведённая из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересекаются в одной точке.

1578*. Не существует ни одной всюду определённой функции f, удовлетворяющей равенству f (f (x)) = x² – 1997 для любого x. Докажите это.

1579. Пусть A', B', C', D', E' и F' — середины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA соответственно выпуклого шестиугольника ABCDEF. Выразите площадь шестиугольника ABCDEF через площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA' и FAB'.

1580. Можно ли несколькими отрезками и дугами разрезать круг на части и сложить из этих частей квадрат той же площади?

1581*. а) Существует ли такое шестизначное число a, что ни одно из чисел a, 2a, ..., 500 000a не оканчивается шестью одинаковыми цифрами?

б*) Для любого натурального числа k, не равного 1, найдите такое наименьшее натуральное число n, что для любого натурального a хотя бы одно из чисел a, 2a, ..., na оканчивается k одинаковыми цифрами.

1582. По кругу выложены n карточек оборотной стороной вверх. На карточках написаны неизвестные различные числа. Разрешено переворачивать карточки по одной, всего не более k штук. Научитесь находить такую карточку, что написанное на ней число больше чисел обеих её соседок, если а) n = 5 и k = 4; б) n = 76 и k = 10; в) n = 199 и k = 12.

1583. а) Длина медианы тетраэдра (то есть длина отрезка, соединяющего вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани) не превосходит среднего арифметического длин рёбер, выходящих из той же вершины. Докажите это.

б) Обязательно ли длина биссектрисы тетраэдра (то есть длина отрезка, идущего от вершины к противоположной грани и равнонаклонённого к содержащим эту вершину граням) меньше половины суммы длин рёбер, выходящих из той же вершины?

в) Верно ли для биссектрисы неравенство пункта а)?

1584. Бесконечная последовательность получается почленным сложением двух геометрических прогрессий. Может ли такая последовательность начинаться с чисел а) 1, 1, 3 и 5; б) 1, 2, 3 и 5; в) 1, 2, 3 и 4; г) 1, 2, 3 и 2?

д) Если первые четыре члена такой последовательности — рациональные числа, то и все другие члены этой последовательности — рациональные числа. Докажите это.

1585. а) В новой лотерее на карточке размером 6×6 надо отметить 6 клеток. При розыгрыше лотереи называют 6 «чёрных» (проигрышных) клеток. Билет считаем выигрышным, если на нём не отмечено ни одной чёрной клетки. Какое наименьшее число билетов нужно купить, чтобы наверняка среди них был хоть один выигравший?

б) Решите эту задачу для карточки размером k×k, из которых надо отмечать k, при чётном k.

1586. Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника, не содержащих эту вершину. Докажите, что площадь одного из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.

1587. Решите систему уравнений (x + y)(a – y) = (1 + xy)(1 – ay) и (x – y)(b – x) = (1 – xy)(1 – bx), где a и b — данные положительные числа.

1588. Два чеканщика играют в следующую игру. Они по очереди чеканят новые монеты достоинством в целое число рублей каждая. При очередном ходе не разрешено чеканить монету в один рубль, а также монету, которая уже отчеканена или достоинство которой можно получить как сумму достоинств любых нескольких (не обязательно разных) уже отчеканенных монет. Проигрывает тот, кто не может отчеканить новую монету.

а) Игра не может длиться бесконечно. Докажите это.

б) Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?

1589. Для любой раскраски плоскости в 5 цветов найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми отличается от 1 не более чем на 0,001. Докажите это.

1590. На границе круглого острова расположены по очереди четыре порта: 1, 2, 3 и 4. На этом острове имеется плоская сеть дорог с односторонним движением, не имеющая кольцевых маршрутов: выехав из какого-либо порта или с развилки дорог, нельзя вернуться в этот же пункт снова. Для любых двух портов m и n обозначим через f_mn количество различных путей из порта m в порт n.

а) Докажите, что f₁₄f₂₃ не меньше числа f₁₃f₂₄.

б) Предположим, что на окружности острова шесть портов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, перечисленных по часовой стрелке. Докажите, что f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ не меньше числа f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

1591. BL и AK — биссектрисы треугольника ABC; KL — биссектриса треугольника AKC. Найдите величину угла BAC.

1592. Представимо ли число 1997¹⁹⁹⁷ в виде суммы кубов нескольких подряд идущих целых чисел?

1593. Имеется набор гирек: а) 1, 2, 4, 8 и 16 граммов; б) 1, 2, 4, . . . , 2⁹ = 512 граммов. Разрешено класть гири на обе чаши весов. Какие грузы можно взвесить наибольшим числом способов?

1594. Известно, что f (xf (y)) = f (x)y, где f — определённая на множестве всех вещественных чисел и принимающая вещественные значения функция. а) Докажите тождество f (xy) = f (x)f (y).

б) Придумайте три функции, удовлетворяющие условиям задачи.

1595. Точка O лежит внутри треугольника ABC. Если величины углов ABC, BAC, OAC и OCA равны соответственно 80°, 50°, 40° и 30°. Найдите величину угла BOC.

1596. Функция f определена и непрерывна на отрезке [0; 5], причём интеграл от неё по всему отрезку равен нулю. Докажите, что частью отрезка [0; 5] является хотя бы один отрезок длины 2, интеграл по которому равен нулю.

1597. a, b, c — положительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что сумма обратных величин чисел 1 + 2a, 1 + 2b и 1 + 2c не меньше 1; сумма обратных величин чисел 1 + a + b, 1 + b + c и 1 + c + a не больше 1.

1598. Пусть n > 1 и 1 + x + ... + xⁿ = f (x)g (x), где F и G — многочлены с неотрицательными коэффициентами. Докажите, что а) все коэффициенты этих многочленов — нули и единицы; б) один из многочленов f (x) и g (x) представим в виде (1 + x + ... + x_k)T(x), где k > 0, а коэффициенты многочлена T — нули и единицы.

1599. Из последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, ... первых цифр степеней числа 2 выбираем несколько цифр подряд и записываем их в обратном порядке. Докажите, что эти цифры встретятся, начиная с некоторого места, подряд в последовательности первых цифр степеней числа 5.

1600. На плоскости дан круг диаметра 1 и несколько полос, сумма ширин которых равна 100. Докажите, что полосы можно параллельно передвинуть так, чтобы они покрыли данный круг.

1601. f — нечётная возрастающая функция. Докажите, что для любых чисел a, b и c, сумма которых равна 0, сумма f (a) f (b) + f (b)f (c) + f (c)f (a) неположительна.

1602. В вершинах выпуклого 1997-угольника расположены 1997 фишек. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки — оставить на месте. Могли ли после а) 9; б) 10 ходов все фишки оказаться на одной прямой?

1603. Обозначим (x)₊ = max{x, 0}. а) Площадь пересечения квадрата, заданного неравенствами 0 £ x £ 1 и 0 £ y £ 1, с полуплоскостью ax + by £ c, где a, b и c — положительные числа, равна частному от деления на 2ab суммы (c)₊² – (c – a)₊² – (c – b)₊² + (c – a – b)₊². Докажите это.

б) Выведите аналогичную формулу для объёма пересечения куба, заданного неравенствами 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1 и 0 £ z £ 1, с полупространством, заданным неравенством ax + by + cz £ d, где a, b, c и d — положительные числа.

1604. Внутри выпуклого многоугольника F расположен выпуклый многоугольник G. Хорду многоугольника F — отрезок с концами на границе многоугольника F — называют опорной к многоугольнику G, если хорда пересекает G только по границе: либо по одной вершине, либо по одной стороне. Докажите существование а) по крайней мере одной опорной хорды, середина которой лежит на границе многоугольника G; б) по крайней мере двух таких хорд.

1605. На n карточках написаны попарно различные числа. Карточки разложены на столе по кругу числами вниз. Разрешено перевернуть всего не более k карточек. Докажите, что найти такие три подряд идущие карточки, что число, написанное на средней из них, больше двух остальных, при а) n = 5 и k = 4; б) n = 76 и k = 10; в) n = 199 и k = 12.

1606. Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE с концами на сторонах AB и BC, параллельный стороне AC и видимый из середины стороны AC под прямым углом.

1607. Корень трёхчлена ax² + bx + b умножили на корень трёхчлена ax² + ax + b и получили в произведении 1. Найдите эти корни.

1608. На фестиваль военно-морской песни приглашены хоры из 100 стран. Каждый хор должен исполнить три песни и сразу уехать домой. Ознакомившись с текстами песен, организаторы обнаружили, что каждая песня оскорбительна для одной из участвующих стран. Докажите, что они могут назначить порядок выступлений таким образом, чтобы никому не пришлось выслушивать более трёх оскорбительных для его страны песен.

1609. P(x) — а) квадратный трёхчлен; б) многочлен чётной степени с неотрицательными коэффициентами. Для любых действительных чисел x и y докажите неравенство (P(xy))² £ P(x²) · P(y²).

1610. Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает на голову каждому колпак а) белого или чёрного; б) белого, синего или красного цвета. Каждый мудрец видит цвета колпаков всех других мудрецов, но не видит цвет своего колпака. Затем мудрецы по одному называют какой-нибудь цвет (каждому разрешено говорить только один раз). После этого король исключает из Совета всех, не угадавших цвет своего колпака. Могут ли мудрецы накануне переаттестации договориться, чтобы все, кроме быть может одного, избежали исключения?

1611. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую — в точке D. Пусть M и N — середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K — середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

1612*. В клетках таблицы размером 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 99, 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит S. Найдите наименьшее возможное значение S. (Числа называем соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)

1613. На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по несколько в одной клетке). Разрешено выполнять следующие действия:

• снять по одному камню с клеток n – 1 и n и положить один камень в клетку n + 1;
• снять два камня с клетки номер n и положить по одному камню в клетки с номерами n + 1 и n – 2.

Докажите, что при любой последовательности мы достигнем ситуации, когда ни одно из указанных действий выполнить нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий, а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам.

1614. На плоскости расположены 2n + 1 прямых. Докажите, что существует не более n(n + 1)(2n + 1) ⁄ 6 остроугольных треугольников, стороны которых лежат на данных прямых.

1615. В прямоугольную коробку размером m×n, где m и n нечётны, уложены кости домино размерами 1×2 так, что остался не покрытым только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, то эту доминошку разрешено сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом откроется новая дырка). Докажите, что с помощью таких операций можно перегнать дырку в любой другой угол.

1616. Дана правильная пирамида ABCD с плоскими углами α при вершине D. Плоскость, параллельная основанию, пересекает рёбра DA, DB и DC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Поверхность многогранника ABCA₁B₁C₁ разрезали по пяти рёбрам A₁B₁, B₁C₁, C₁C, CA и AB. Полученную развёртку уложили на плоскость. При каких α развёртка будет (частично) накрывать сама себя?

1617. Дан правильный шестиугольник со стороной 100. Каждая его сторона разделена на 100 равных частей, и через точки деления проведены всевозможные прямые линии, параллельные сторонам шестиугольника (образующие сетку единичных правильных треугольников). Рассмотрим произвольное покрытие шестиугольника единичными ромбами, каждый из которых состоит из двух соседних треугольников сетки. Сколько существует линий сетки, разрезающих пополам (на два треугольника) а) 17; б) k ромбов (для каждого натурального k) и зависит ли ответ от покрытия?

1618*. В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов и из них выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю. Докажите, что концы некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный многоугольник (две симметричные относительно центра считаем правильным «двуугольником»), если n равно а) 6; б) 8; в) 9; г) 12. д) Верно ли аналогичное утверждение для любого n?

1619. Числа x, y и z удовлетворяют равенствам x² + xy + y² = 3 и y² + yz + z² = 16. Найдите наибольшее возможное значение величины xy + yz + zx.

1620*. Через точку O плоскости проведены n прямых, делящих плоскость на 2n углов. В каждый из них вписана окружность, касающаяся сторон на расстоянии 1 от точки O. Лучи занумерованы по порядку, начиная с луча OA₁. Для произвольно выбранной на луче OA₁ точки M₁ строится ломаная M₁M₂M₃...M_2nM_2n+1, вершина M_k которой при любом k = 1, 2,..., 2n лежит на луче OA_k, вершина M_2n+1 — снова на луче OA₁, а звено M_kM_k+1 касается той из рассматриваемых окружностей, что вписана в угол A_kOA_k+1. Докажите для а) n = 3; б) любого натурального n, что если для некоторой точки M₁ ломаная замкнутая (M_2n+1 = M₁), то она замкнутая при любом выборе точки M₁.

При некотором положении точки M₁ (или, аналогично, M_k) — а именно, если OM₁ больше 1,— касательная прямая, проведённая к окружности из точки M₁ (отличная от OM₁), пересекает не луч OA₂, а прямую OA₂ по другую сторону от O — эту точку следует считать точкой M₂ (и из неё проводить касательную к окружности, вписанной в угол A₂OA₃); таким образом, ломаная может получиться не только невыпуклой, но и самопересекающейся. Возможен и случай, когда проведённая из M₁ касательная параллельна OA₂ — тогда точку M₂ следует считать бесконечно удалённой и следующую касательную проводить параллельно OA₂. Впрочем, если точка M₁ выбрана на отрезке OA₁, то есть если OM₁ < 1, то подобные оговорки не нужны.