1621. а) В пространстве заданы длины a и b двух строн. Какой должна быть длина c третьей стороны, чтобы точки касания её со вписанной и описанной окружностями делили третью сторону на три равные части?

б) Существует ли прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условию пункта а)?

1622. Пусть K = {1, 3, 4, 7, 8, 10, ...} — множество натуральных чисел, представимых в виде 2^m – 1, где m — натуральное число, или в виде суммы нескольких различных чисел такого вида. Рассмотрим первые n натуральных чисел. Каких чисел среди них больше: принадлежащих множеству K или не принадлежащих, если а) n = 1000; б) n — произвольное натуральное число?

1623*. H — точка пересечения высот, O и I — центры вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника. а) Если величина одного из углов треугольника равна 60°, то OI = IH. Докажите это.

б*) Следует ли из равенства OI = IH, что величина хотя бы одного из углов треугольника равна 60°?

1624. Внутри вписанного в окружность выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n нашлась отличная от центра окружности точка P, из которой все стороны видны под равными углами. Могут ли длины всех отрезков A₁P, A₂P, ..., A_nP быть рациональными числами? Разберите случаи: а) n = 4; б) n = 8; в*) n = 6; г) n = 5 или 7; д*) n > 8.

1625. Плоскость разбита на единичные квадраты, вершины которых находятся в точках с целыми координатами. Квадраты раскрашены в шахматном порядке. Для каждой пары натуральных чисел m и n рассматриваем прямоугольный треугольник с вершинами в целочисленных точках, катеты которого имеют длины m и n проходят по сторонам квадратов. Пусть S₁ — площадь чёрной части треугольника, S₂ — площадь его белой части. Положим f (m,n) = |S₁ – S₂|.

а) Вычислите f (m,n) для всех натуральных чисел m и n, для которых число m + n чётно.

б) Для любых натуральных чисел m и n докажите неравенство f (m,n) £ max{m; n} ⁄ 2.

в) Не существует такого числа C, что f (m,n) < C для любых натуральных чисел m и n.

1626. В треугольнике ABC угол A наименьший. Точки B и C делят описанную окружность треугольника на две дуги; U — внутренняя точка той дуги с концами B и C, которая не содержит точку A. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC пересекает прямую AU в точках V и W соответственно. Докажите равенство AU = TB + TC.

1627. Если модуль суммы n вещественных чисел равен 1 и каждое из них не превышает (n + 1) ⁄ 2, то существует такая перестановка этих чисел, что если каждое из чисел умножить на его номер после перестановки и произведения сложить, то модуль результата не будет больше (n + 1) ⁄ 2.

1628. Таблицу размером n×n, заполненную числами от 1 до 2n – 1, назовём серебряной, если для любого натурального числа m £ n объединение чисел m-й строки и m-го столбца совпадает с множеством первых 2n – 1 натуральных чисел. Докажите, что а) не существует серебряной таблицы для n = 1997; б) существует бесконечно много серебряных таблиц.

1629. Решите в натуральных числах уравнение x^y2 = y^x.

1630. Для любого натурального n обозначим через f (n) количество способов представления числа n в виде суммы целых неотрицательных степеней числа 2. Представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаем одинаковыми. Например, f (4) = 4, ибо число 4 можно представить четырьмя способами: 4 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1. Докажите для любого натурального n > 2 неравенства 2^{n2 ⁄ 4} < f (n) < 2^{n2 ⁄ 2}.

1631. Верны ли следующие утверждения:

а) если многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных многоугольника, то его можно разбить на два конгруэнтных многоугольника отрезком;

б) если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных многоугольника, то его можно разбить на два конгруэнтных многоугольника отрезком;

в) если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных многоугольника, один из которых можно перевести в другой движением, сохраняющим ориентацию, то есть поворотом или параллельным переносом, то исходный многоугольник можно разбить отрезком на два конгруэнтных многоугольника, один из которых можно перевести в другой движением, сохраняющим ориентацию?

1632. Некоторые грани кубика белые, а некоторые чёрные. Площадь его грани равна площади клетки шахматной доски. Кубик поставили на одну из клеток и прокатили по доске так, что он побывал на каждой клетке по одному разу. Могло ли случиться, что всё время цвета клетки и соприкасающейся с ней грани совпадали?

1633. В треугольнике ABC отрезки CM и BN — медианы, P и Q — такие точки на сторонах AB и AC, что биссектриса угла ACB является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла ABC — биссектрисой угла NBQ. Можно ли утверждать, что треугольник ABC равнобедренный, если а) BP = CQ; б) AP = AQ; в) прямые PQ и BC параллельны?

1634. а) На плоскость положили (с перекрытиями) несколько салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём все салфетки получаются одна из другой параллельными переносами. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая — одним гвоздём?

б) Тот же вопрос про правильные 5-угольники.

1635. Каждая сторона треугольника разбита на n равных отрез- ков. Через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Они разбили треугольник на n2 маленьких треугольничков. Какое наибольшее число треугольничков можно отметить, чтобы никакие два отмеченных треугольничка не были расположены между двумя соседними параллельными прямыми, если а) n = 10; б) n = 9? (На рисунке для n = 10 отмечены 7 треугольников.)

1636. Вокруг трапеции нельзя описать окружность. Докажите, что трапеция, образованная серединными перпендикулярами к её сторонам, подобна исходной.

1637. Квадрат разрезали на прямоугольники. Докажите, что сумма длин наименьших сторон всех этих прямоугольников не меньше длины стороны квадрата.

1638. Красный квадрат покрыт 100 равными ему белыми квадратами. Стороны всех белых квадратов параллельны сторонам красного. Можно ли удалить один белый квадрат так, чтобы оставшиеся 99 всё ещё покрывали красный квадрат?

1639. Путешественник посетил селение, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители селения встали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа слева, правдив тот или лжив. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю всех жителей составляют правдивые. Определите и вы, чему она равна.

1640. Внутри четырёхугольника ABCD существует такая точка M, что AMB и CMD — равнобедренные треугольники с углом величиной 120° при вершине M. Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA равносторонние.

1641. Есть n камней и полубесконечная полоска бумаги, разделённая на клетки с номерами 1, 2, 3, ... На первой клетке камень лежит всегда. Разрешено положить в клетку камень или убрать камень из клетки, если на предыдущей клетке лежит камень. Как далеко от начала полоски можно положить камень, действуя в соответствии с этим правилом? Докажите, например, что на клетку с номером 2^{n – 1} камень положить можно.

1642. Некоторые стороны клеток шахматной доски 8×8 объявлены перегородками. Расстановку перегородок назовём хорошей, если доска остаётся связной (ладья может пройти с любого поля на любое другое, не перепрыгивая через перегородки), и плохой — в противном случае. Каких расстановок больше — хороших или плохих?

1643. а) Существуют ли такие целое ненулевое число a и целое число b, что для любого натурального n число a · n! + b является квадратом целого числа?

б) Существуют ли такие целые ненулевые числа a и b и такое целое число c, что для любого натурального n существует такое целое число x, что n! = ax² + bx + c?

1644. Двое показывают следующий фокус. Один из перетасованной колоды, состоящей из 52 карт, вытаскивает 5 карт произвольным образом и выкладывает четыре из них в ряд картинкой вверх, а пятую а) выкладывает среди остальных четырёх, но картинкой вниз; б*) берёт себе. Второй, глядя на лежащие перед ним карты, называет пятую карту. Научите их это делать!

1645. Количество способов, которыми можно расставить n чисел, где n > 9, в последовательность без убывающих подпоследовательностей длиной 10, не превосходит 81ⁿ.

1646. У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то оказалось не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то один из них раскулачивает другого. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что в результате все овцы собрались у одного крестьянина.

1647. Из любого конечного множества точек плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на два множества, диаметры которых меньше диаметра первоначального множества. Докажите это.

Диаметр — это максимальное расстояние между точками множества.

1648*. Из центра правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса 1, в некоторые вершины этого многоугольника проведены векторы. Может ли длина суммы этих векторов равняться а) 1998; б*) квадратному корню из 1998?

1649*. На конференцию приехали 300 участников. Каждый участник знает три языка из пяти, официально принятые на конференции. Докажите, что всех участников можно разбить на три группы по 100 человек так, чтобы для каждой группы нашёлся язык, общий для её членов.

1650*. На плоскости нарисовано дерево (то есть граф без циклов) Г. Граф Г', полученный из Г параллельным переносом на некоторый вектор длины 1, не пересекается с Г. На графе Г отмечены две точки A и B, в которых в начальный момент времени сидело по жуку. Ползая по графу, жуки через некоторое время снова оказались в точках A и B, но при этом поменялись местами. Докажите, что в некоторый момент расстояние между жуками было меньше 1.

1651. Найдите а) наименьшую; б) наибольшую возможную площадь выпуклой фигуры, все проекции которой на оси Ox, Oy и биссектрису первого и третьего квадрантов суть отрезки единичной длины.

1652. Внутри параболы y = x² расположены окружности ω₁, ω₂, ω₃,... так, что каждая окружность ω_{n + 1} касается ветвей параболы и внешним образом — окружности ω_n. Найдите радиус окружности ω₁₉₉₈, если диаметр окружности ω₁ равен 1 и она касается параболы в начале координат.

1653. На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешено любые три из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое их перевели, назовём временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

1654. Через основания L и M биссектрисы BL и медианы BM неравнобедренного треугольника ABC провели прямые параллельно, соответственно, сторонам BC и BA до пересечения с прямыми BM и BL в точках D и E. Докажите, что угол BDE прямой.

1655. Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на квадрат их разности?

1656. Даны два выпуклых многоугольника. Расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а квадрат расстояния между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше 1/2. Докажите, что многоугольники не пересекаются.

1657. Назовём лабиринтом шахматную доску, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде НАПРАВО ладья смещается на одно поле направо или, если справа находится край доски или перегородка, стоит на месте; аналогично определим команды НАЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Мария Ивановна пишет программу — конечную последовательность команд — и даёт её Вовочке, после чего Вовочка выбирает лабиринт и ставит ладью на любое поле. Может ли Мария Ивановна сочинить такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля лабиринта при любом выборе Вовочки?

1658. Обозначим через s(x) сумму цифр десятичной записи числа x. Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что s(a + b) < 5, s(b + c) < 5 и s(a + с) < 5, но s(a + b + c) > 50?

1659*. Фигура F, составленная из клеток размером 1×1, обладает следующим свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника размером m×n числами, сумма которых положительна, фигуру F можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках так расположенной фигуры F была положительна (фигуру F можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник можно покрыть фигурой F в несколько слоёв.

1660. В стране 1998 городов. Из каждого осуществляются беспосадочные авиарейсы в три других города (все рейсы двусторонние). Из любого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать таким образом, чтобы можно было долететь из любого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в незакрытых городах.

1661. Можно ли отметить 64 единичных кубика в кубе размером 8×8×8 так, чтобы среди любых 8 отмеченных кубиков нашлись два кубика, расположенные в одном слое, параллельном некоторой грани куба, и при этом в каждом слое, параллельном грани, было отмечено 8 кубиков?

1662. Может ли десятичная запись куба натурального числа начинаться с цифр 1998?

1663. Биссектрисы вписанного четырёхугольника образуют в пересечении выпуклый четырёхугольник. Докажите, что диагонали последнего четырёхугольника перпендикулярны.

1664. Существует ли натуральное число k > 1 и такой отличный от константы многочлен P с целыми коэффициентами, что каждые два из чисел P(k), P(k²), P(k³), ... взаимно просты?

1665*. а) В сферу вписаны несколько кубов. Каждые три из них имеют хотя бы одну общую вершину. Докажите, что все кубы имеют хотя бы одну общую вершину.

б) Четыре куба расположены в пространстве так, что каждые три из них имеют хотя бы одну общую вершину. Обязательно ли все четыре куба имеют хотя бы одну общую вершину?