1801. Натуральное число n равно сумме некоторых трёх различных натуральных делителей числа n – 1. Найдите все такие числа.

1802. План секретного объекта представляет собой квадрат размером 8×8, который разбит коридорами на квадратики 1×1. В каждой вершине такого квадратика есть переключатель. Щелчок переключателя меняет освещённость сразу всех коридоров длины 1, выходящих из этой вершины (в освещённых коридорах свет выключается, а в неосвещённых — включается). Первоначально сторож находится в левом нижнем угле полностью неосвещённого объекта. Он может ходить только по освещённым коридорам и щёлкать переключателями сколько угодно раз. а) Может ли сторож перебраться в верхний левый угол, погасив при этом свет во всех коридорах? б) Найдите все вершины квадратиков, в которые сторож может так перебраться.

1803. Внутри квадрата ABCD расположены точки P и Q таким образом, что величины углов PAQ и QCP равны 45^o. Докажите, что сумма площадей треугольников PAQ, PCB и QCD равна сумме площадей треугольников QCP, QAD и PAB.

1804. Для любых положительных чисел a, b и c сумма квадратных корней из дробей a²/(a² + 8bc), b²/(b² + 8ac) и c²/(c² + 8ab) не меньше 1. Докажите это.

1805. В математической олимпиаде участвовали 21 мальчик и 21 девочка. Каждый из них решил не более 6 задач. Для любого мальчика и для любой девочки существует задача, которую решили и он, и она. Докажите, что существует задача, которую решили по крайней мере три мальчика и три девочки.

1806. Квадратная матрица (таблица, заполненная числами) размером n×n такова, что любые n чисел, выбранные по одному из каждой строки и из каждого столбца, дают одинаковую сумму. В каждой строке таблицы выберем наименьшее её число, а затем из полученных n чисел выберем наибольшее число M. В каждом столбце таблицы выберем наибольшее его число, а затем из полученных n чисел выберем наименьшее число m. Докажите равенство m = M.

1807. При каких n можно разрезать треугольник на n выпуклых многоугольников с различным числом сторон?

1808. Решите в натуральных числах уравнение а) x! + y! = z!!; б) (x!)(y!) = z!!, где z!! — произведение всех натуральных чисел, не превосходящих числа z и имеющих ту же чётность, что само z.

1809*. Пользуясь одной линейкой, найдите центры двух а) пересекающихся; б) касающихся (внешним или внутренним образом); в) концентрических окружностей.

1810*. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится чётное число рёбер. Одна грань многогранника красная, остальные — синие. Периметры синих граней все равны 1. Докажите, что и периметр красной грани равен 1.

1811. Два джентльмена одновременно начинают прогулку из пунктов A и B, чтобы завершить её, соответственно, в пунктах B и A. В каждый момент времени скорости джентльменов равны по величине. Между A и B 1000 метров, через каждые 100 метров от аллеи отходит боковая аллея длиной 100 метров. Поравнявшись с боковой аллеей, джентльмен может пройти пройти по ней туда-обратно либо её проигнорировать. Докажите, что встреча джентльменов неизбежна.

1812. Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД (a² + 1, b² + 1, c² + 1) = 1. Докажите равенство НОД(ab + c, bc + a, ca + b) = НОД (a, b, c).

1813. Фигура ограничена полуокружностью и двумя четвертушками окружности того же радиуса.

а) Разрежьте фигуру на три части, чтобы из них можно было сложить квадрат.

б) Разрежьте фигуру на 4 части так, чтобы одна из них являлась квадратом, а из трёх других можно было сложить квадрат.

1814. Пусть a, m и n — натуральные числа, причём число a взаимно просто с числом mn. Обозначим через r_k остаток от деления числа [a^k/m] на n. Докажите, что последовательность r₁, r₂, r₃, ... периодическая.

1815. Общие перпендикуляры к противоположным сторонам неплоского четырёхугольника перпендикулярны один другому. Докажите, что они пересекаются.

1816. Сумма 2000 натуральных чисел больше их произведения. Докажите, что не более 10 из этих чисел отличны от 1.

1817. Перпендикулярные одна другой диагонали и стороны вписанного в квадрат четырёхугольника делят квадрат на 8 треугольников, в шахматном порядке покрашенных в красный и синий цвета. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники, равна сумма радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.

1818. Если числа a, b и c положительные, то сумма квадратных корней из чисел ^a⁄_{b + c}, ^b⁄_{c + a} и ^c⁄_{a + b} больше 2. Докажите это.

1819. Точки O и I — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC. Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C' соответственно. Высоты треугольника A'B'C' пересекаются в точке P. Докажите, что точки O, I и P лежат на одной прямой.

1820*. Если для натуральных чисел a и b

а) десятичная запись числа a² + ab + b² оканчивается нулём, то она оканчивается двумя нулями;

б) число a⁴ + a²b² + b⁴ делится на 11, то оно делится на 121. Докажите это.

1821*. Для любого натурального числа n докажите, что квадрат суммы выражений вида (–1)^k{n ⁄ k}, где k = 1, 2, 3, ..., меньше 2n.

1822. На турнир математических боёв съехались 2n команд, каждая из которых должна по одному разу встретиться со всеми остальными. Организаторы планируют провести соревнование за 2n – 1 туров, чтобы в каждом туре участвовали все команды, а выходных дней у команд не было. Однако вследствие своей безалаберности они составляют расписание встреч на каждый тур без каких-либо планов на будущее — лишь бы в данном туре участвовали все команды и не произошло повторных встреч. Может ли случиться так, что составить расписание для очередного тура окажется невозможным (то есть при любом разбиении команд на пары окажется, что какие-то две команды уже встречались ранее), если а) n = 5; б) n = 6; в) n = 8; г) n — любое натуральное число?

1823*. Если для любого натурального n число f (n), где f — многочлен третьей степени, является кубом целого числа, то для некоторых целых a и b верно тождество f (x) = (ax + b)³. Докажите это.

1824. A₁, A₂, ..., A_n — различные точки координатные плоскости, M — их центр тяжести, n > 1, C — центр круга наименьшего радиуса r, в котором содержатся точки A₁, A₂, ..., A_n. Докажите неравенство (n – 2)r ³ n · MC. (Абсцисса и ордината центра тяжести — это, соответственно, средние арифметические абсцисс и ординат данных точек.)

1825*. Поверхность куба размером 5×5×5 можно естественным образом оклеить 150 бумажными квадратами размером 1×1 каждый, оклеив каждую из граней 25 квадратами. Докажите, что поверхность этого куба можно оклеить этими же бумажными квадратами так, чтобы никакая грань не была оклеена никакими 25-ю из них.

1826. Сумма обратных величин 1/a, 1/b и 1/c положительных чисел a, b и c не меньше суммы самих этих чисел. Докажите, что сумма чисел a, b и c не меньше 3abc.

1827. QH — перпендикуляр.опущенный из точки QM окружности ω на её диаметр AB. Окружность с центром Q и радиусом QH пересекает окружность ω в точках C и M. Докажите, что прямая CM делит радиус QH пополам.

1828. А, Б, В, Г и Д собирают марки. У А — более 3/4 марок тех марок, что есть у Б, у Б — более 3/4 марок В, у В — более 3/4 марок Г, у Г — более 3/4 марок Д, у Д — более 3/4 марок А. Докажите существование марки, которая есть у всех пятерых филателистов.

1829. Можно ли раскрасить все точки некоторого квадрата и все точки некоторого круга в чёрный и белый цвета таким образом, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек были подобны друг другу (возможно, с разными коэффициентами подобия)?

1830. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся число, начиная с которого каждый член последовательности равен сумме всех предыдущих.

1831. В наборе 20 гирек, массы которых различны. Среди любых одиннадцати из них можно найти две, сумма масс которых равна 100 граммам. Докажите, что сумма масс всех гирек равна 1 килограмму.

1832. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон BC, AC и AB в точках A', B' и C' соответственно. Точка Q - середина отрезка A'B'. Докажите равенство величин углов B'C'C и A'C'Q.

1833. Фигура «танк» ходит по горизонтали или по вертикали на данное число n клеток, где n > 1, закрашивая по пути все клетки, по которым движется. Сделав несколько ходов по бесконечной клетчатой доске, танк вернулся на исходную клетку. Оказалось, что его след нигде сам себя не пересёк. При каких n площадь, ограниченная следом танка, могла оказаться равна 2002?

1834. Докажите неравенства а) x⁶y⁶ + y⁶z⁶ + z⁶x⁶ + 3x⁴y⁴z⁴ ³ 2(x³ + y³ + z³)x³y³z³; б) x⁶ + x⁶ + x⁶ + 3y²y²z² ³ 2(x³y³ + y³z³ +z³x³).

1835. Около четырёхугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Через центр вписанной окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон четырёхугольника. Две другие противоположные стороны отсекают на ней отрезок. Докажите, что его длина равна четверти периметра четырёхугольника.

1836. Гидра состоит из голов и шей (любая шея соединяет между собой две головы). Одним ударом меча Геракл может снести все шеи, выходящие из любой выбранной головы. Но при этом из этой головы мгновенно вырастает по одной шее во все те головы, с которыми эта голова не была соединена. Геракл победит гидру, если ему удастся разрубить её на две не связанные шеями части. Найдите наименьшее такое число n, что Геракл может победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем n ударов.

1837. Для любого натурального числа n > 10 000 существует такое представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел натуральное число m, что m > n и четвёртая степень разности чисел m и n меньше числа 81n.

1838. На плоскости нарисовали несколько красных и синих прямых. Никакие две прямые не параллельны. Через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

1839. Если 0 < 4x < π, то а) (cos x)^cos2x > (sin x)^sin2x; б) (cos x)^cos4x < (sin x)^sin4x. Докажите это.

1840. В сферу вписано несколько правильных тетраэдров так, что любые два из них имеют общую вершину. Докажите, что все тетраэдры имеют общую вершину.

1841. Для любых натуральных чисел a, b и c докажите равенство

НОК[НОД(a,b),НОД(b,c),НОД(c,a)] = НОД(НОК[a,b],НОК[b,c],НОК[c,a]).

1842. Вершины A и B треугольника ABC лежат на окружности с центром O. Точки O и C находятся по одну сторону от AB. Поворотом треугольника ABC вокруг точки O получен треугольник A'B'C', причём луч B'C' проходит через вершину C и пересекает окружность в точке F. Докажите равенство CF = CB.

1843. Имеется неограниченно много кошельков. Первоначально в одном из них лежат km монет, где k и m — натуральные числа; остальные кошельки пусты. Затем неоднократно выполняем следующую операцию: из каждого кошелька, в котором есть хотя бы одна монета, вынимаем по одной монете, и все вынутые монеты складываем в какой-нибудь пустой кошелёк. Для каких пар чисел (k;m) через некоторое время в некоторых k кошельках окажется по m монет в каждом?

1844. Периметр пятиугольника ABCDE равен 4, углы BAE, DEA и BCD прямые, AB = DE = 1. Докажите, что биссектриса CF угла C делит пятиугольник на четырёхугольники, у которых равны как периметры, так и площади.

1845. Назовём несоседние натуральные числа a и b близкими, если a² – 1 делится на b и b² – 1 делится на a.

а) Пусть n > 1. Докажите, что на отрезке [n; 8n – 8] существует пара близких чисел.

б) Укажите такое n > 1, что на отрезке [n; 8n – 9] нет ни одной пары близких чисел.